Giáo trình Hình học họa hình (Phần 2)

 41
PháönIII: ÂÆÅÌNG VAÌ MÀÛT- CAÏC BAÌI TOAÏN 
 VÃÖ GIAO 
Chæång taïm: BIÃØU DIÃÙN ÂÆÅÌNG VAÌ MÀÛT 
8.1-CAÏC HÇNH PHÀÓNG CÄØ ÂIÃØN: 
8.1.1-Tam giaïc : 
 Âãø biãøu diãùn âäö thæïc cuía mäüt tam giaïc báút kyì, ta cho âäö thæïc cuía ba 
âiãøm báút kyì laì ba âènh cuía tam giaïc. 
 Âãø biãøu diãùn âäö thæïc cuía mäüt tam giaïc âaî âæåüc xaïc âënh kêch thæåïc , 
hçnh daûng thuäüc mäüt màût phàóng naìo âoï, ta sæí duûng pheïp gáûp quanh màût phàóng 
âæa màût phàóng âaî cho vãö truìng våïi màût phàóng hçnh chiãúu. Trãn hçnh-7.14, muûc 
7.6.1 , âaî trçnh baìy viãûc sæí duûng pheïp gáûp quanh vãút bàòng âãø dæûng mäüt tam giaïc 
âãöu , caûnh a thuäüc màût phàóng α (mα, nα). 
8.1.2-Hçnh bçnh haình, hçnh thoi : 
 Do pheïp chiãúu vuäng goïc baío täön tênh song song vaì tyí säú âån cuía ba 
âiãøm thàóng haìng, nãn ta coï caïc hçnh chiãúu cuía mäüt hçnh haình laì caïc hçnh bçnh 
haình. Trãn hçnh-8.1, biãøu diãùn mäüt hçnh bçnh haình ABCD. 
 Træåìng håüp hai âæåìng cheïo cuía hçnh bçnh haình thoía maîn vuäng goïc 
trong khäng gian, thç hçnh bçnh haình tråí thaình hçnh thoi. Hçnh-8.2, biãøu diãùn 
mäüt hçnh thoi coï âæåìng cheïo AC laì âæåìng bàòng. 
Hçnh-8.1 Hçnh-8.2 
A2 
B2 
C2 
D2 
A1 D1 
B1 C1 
x 
x 
A2
B2 
C2 
D2 
D1 A1
B1 C1 
 42
8.1.2-Hçnh chæî nháût, hçnh vuäng: 
 Âãø biãøu diãùn mäüt hçnh chæî nháût ,ta nãn choün mäüt trong hai càûp caûnh 
song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu . Khi âoï goïc vuäng trãn hçnh chiãúu tæång 
æïng âæåüc baío täön. Hçnh-8.3, biãøu diãùn mäüt hçnh chæî nháût coï càûp caûnh laì âæåìng 
bàòng. 
Trong træåìng håüp cáön biãøu diãùn mäüt hçnh chæî nháût coï kêch thæåïc cho 
træåïc hay mäüt hçnh vuäng coï caûnh cho træåïc , phæång aïn täút nháút laì sæí duûng 
pheïp gáûp âæa màût phàóng âaî cho vãö truìng våïi màût phàóng hçnh chiãúu. Hçnh-8.4, 
biãøu diãùn mäüt hçnh vuäng ABCD. 
 Hçnh-8.3 Hçnh-8.4 
8.2-ÂÆÅÌNG CONG: 
8.2.1-Khaïi niãûm: 
Âæåìng cong hçnh hoüc coï thãø xem nhæ laì qué têch cuía mäüt âiãøm chuyãøn âäüng 
theo mäüt qui luáût naìo âoï. Nhæîng âæåìng cong phàóng hay gàûp laì nhæîng âæåìng 
báûc 2 nhæ âæåìng troìn , elip , parabol , hyperbol. Coï thãø noïi elip , parabol , 
hyperbol laì nhæîng âæåìng cong báûc 2 láön læåüt khäng coï âiãøm vä táûn, coï mäüt 
âiãøm vä táûn, coï hai âiãøm vä táûn. Âæåìng troìn âæåüc xem nhæ elip âàûc biãût coï hai 
truûc bàòng nhau. 
8.2.1-Hçnh chiãúu cuía mäüt âæåìng cong: 
Caïc tênh cháút: 
1/ Hçnh chiãúu xuyãn tám hay song song cuía tiãúp tuyãún cuía âæåìng cong taûi mäüt 
âiãøm noïi chung laì tiãúp tuyãún cuía hçnh chiãúu âæåìng cong taûi hçnh chiãúu âiãøm âoï. 
A2 
B2 C2 
D2 
A1 
D1 
B1 
C1
x
nα 
Xα 
mα 
N2
B1 
A'1 
A1
C2 N1
n'α 
N'1
B'1 
C'1 
D'1 
A2 B2 
D2
C1 
D1
h'1 
h1 
h2 
 43
(H-8.5) 
2/ Hçnh chiãúu cuía âæåìng cong âaûi säú báûc n ,noïi 
chung laì mäüt âæåìng cong âaûi säú báûc n. 
3/Hçnh chiãúu vuäng goïc cuía âæåìng cong âaûi säú 
báûc n lãn màût phàóng âäúi xæïng cuía noï laì mäüt 
âæåìng cong phàóng âaûi säú coï báûc n/2. 
*Chuï yï ràòng hçnh chiãúu cuía elip, 
parabol, hyperbol láön læåüt laì elip, parabol, 
hyperbol. 
Khi veî chuïng ta cáön quan tám âãún caïc truûc âäúi xæïng hoàûc hçnh chiãúu truûc 
âäúi xæïng cuía chuïng. Hçnh chiãúu song song cuía càûp âæåìng kênh liãn håüp cuía elip 
laì càûp âæåìng kênh liãn håüp cuía noï. Riãng âæåìng troìn ta phaíi khaío saït thãm dæåïi 
âáy. 
8.2.2 Âæåìng troìn: 
Hçnh chiãúu vuäng goïc cuía âæåìng troìn noïi chung laì mäüt elip. Våïi truûc daìi laì 
hçnh chiãúu cuía âæåìng kênh âæåìng troìn song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu 
tæång æïng. Do âoï truûc daìi cuía elip bàòng âæåìng kênh cuía âæåìng troìn âæåüc chiãúu. 
Càûp âæåìng kênh liãn håüp cuía âæåìng troìn laì càûp âæåìng kênh vuäng goïc nhau. 
 Vê duû: Haîy veî hçnh chiãúu cuía 
âæåìng troìn tám O, baïn kênh R thuäüc màût 
phàóng α vuäng goïc P2. 
 Giaíi: Hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng 
troìn tám O , baïn kênh R laì âoaûn thàóng 
C2D2 = 2R vaì C2D2 ∈ α2. Coï thãø xem 
âáy laì mäüt elip våïi truûc daìi C2D2 vaì truûc 
ngàõn bàòng 0. 
 Hçnh chiãúu bàòng âæåìng troìn laì 
elip, tám O1, truûc daìi A1B1 = 2R , hçnh 
chiãúu cuía âæåìng kênh AB song song màût 
phàóng hçnh chiãúu bàòng P1. Truûc ngàõn laì 
C1D1 vuäng goïc A1B1. 
 Vê duû: Haîy veî hçnh chiãúu cuía âæåìng troìn tám O, baïn kênh R thuäüc màût 
phàóng α (h,f). 
Giaíi: Trãn hçnh-8.7 veî hçnh chiãúu âæïng vaì hçnh chiãúu bàòng cuía mäüt 
Hçnh-8.5 
Hçnh-8.6
D2 
A1 
B1 
D1 C1 
O1 
C2 
A2≡B2≡O2 
α2 
x 
(c) 
(c') 
t 
t' 
P
 44
Âæåìng troìn nàòm trong màût phàóng α 
(h,f). Tám O vaì baïn kênh r laì nhæîng 
yãúu täú âaî cho. Hçnh chiãúu bàòng vaì hçnh 
chiãúu âæïng cuía âæåìng troìn âæåüc biãøu 
diãùn laì caïc elip.Elip hçnh chiãúu bàòng 
coï truûc daìi song song våïi h vaì bàòng 2 r. 
Elip hçnh chiãúu âæïng coï truûc daìi song 
song f vaì bàòng 2 r . Âãø xaïc âënh caïc 
truûc ngàõn cuía caïc ellip âoï ta gáûp màût 
phàóng âãún truìng P1. Hçnh chiãúu bàòng 
cuía âæåìng troìn sau khi gáûp laì âæåìng v’1 
vaì dæûa vaìo âæåìng troìn náöy ta suy ra 
truûc ngàõn cuía caïc ellip hçnh chiãúu. 
Trãn hçnh veî cuîng chè roî caïch veî hçnh 
chiãúu bàòng mäüt âiãøm M báút kyì cuía 
âæåìng troìn. 
8.3-CAÏC ÂA DIÃÛN TRONG KHÄNG GIAN: 
8.3.1-Caïc khaïi niãûm vaì qui tàõc biãøu diãùn: 
 Âa diãûn laì mäüt màût kên taûo thaình båíi caïc âa 
giaïc phàóng gàõn liãön våïi nhau båíi caïc caûnh (H-8.8). 
Caïc âa giaïc taûo thaình âa diãûn goüi laì caïc màût cuía âa 
diãûn. Caïc caûnh vaì caïc âènh cuía âa giaïc goüi laì caïc 
caûnh vaì caïc âènh cuía âa diãûn. Nhiãöu khi ngæåìi ta 
cuîng goüi váût thãø giåïi haûn båíi caïc màût cuía âa diãûn laì 
âa diãûn. Âãø traïnh nháöm láùn ta thäúng nháút âa diãûn laì 
mäüt màût. Nhæ váûy caïc màût hçnh thaïp, hçnh làng truû 
,.. .laì caïc âa diãûn âàûc biãût. 
 Âãø biãøu diãùn mäüt âa diãûn ta chè cáön biãøu diãùn caïc caûnh hoàûc caïc âènh cuía 
âa diãûn âoï. Chuï yï caïc caûnh nàòm bãn trong caïc âæåìng bao trãn hai hçnh chiãúu 
phaíi âæåüc xeït tháúy khuáút. 
8.3.2-Biãøu diãùn tæï diãûn : 
 Hçnh-8.9 biãøu diãùn mäüt tæï diãûn SABC. Trãn hçnh chiãúu âæïng âæåìng gáùy 
khuïc kên S2A2B2C2 laì âæåìng bao quanh hçnh chiãúu âæïng, trãn hçnh chiãúu bàòng 
âæåìng gáùy khuïc kên S1B1A1C1 laì âæåìng bao quanh hçnh chiãúu bàòng . 
Hçnh-8.8 
f'2 
v1 
f2 
h2 
v2 O2 
f1 
h1 
v'1
O'1
O1 
M'1
M1
Hçnh-8.7 
 45
 Caïc caûnh S1A1, B1C1 åí hçnh 
chiãúu bàòng vaì S2B2,A2C2 åí hçnh chiãúu 
âæïng âæåüc xeït tháúy khuáút nhåì caïc âiãøm 
cuìng tia chiãúu âæïng vaì cuìng tia chiãúu 
bàòng nhæ âaî biãút. 
 Giaí sæí biãút M2 cuía âiãøm M 
thuäüc tæï diãûn, haîy veî M1. Dãù tháúy coï 
hai âiãøm M maì caïc hçnh chiãúu âæïng 
cuía chuïng truìng nhau , mäüt màût thuäüc 
SAB, mäüt màût thuäüc SAC. Aïp duûng 
baìi toaïn cå baín thuäüc caïc màût phàóng 
trãn, ta veî âæåìng SM chàóng haûn. ÅÍ 
hçnh chiãúu bàòng tháúy roî hai âiãøm M1 
vaì M’1. 
8.3.3-Biãøu diãùn màût thaïp : 
 Biãøu diãùn mäüt màût thaïp khi biãút màût phàóng âaïy, chiãöu cao vaì caïc chán. 
Hçnh-1.8 cho vê duû vãö viãûc biãøu diãùn mäüt màût thaïp maì màût âaïy xaïc âënh båíi 
hçnh vuäng coï tám laì O vaì mäüt caûnh nàòm trãn âæåìng bàòng h. 
 Âãø xáy dæûng hçnh vuäng ta 
coï thãø sæí duûng caïc pheïp biãún âäøi âaî 
biãút , nhæ pheïp gáûp âaî noïi åí caïc 
pháön trãn. ÅÍ âáy seî sæí duûng 
phæång phaïp thay âäøi màût phàóng 
hçnh chiãúu âæïng âæa màût phàóng âaïy 
tråí thaình chiãúu âæïng khi choün truûc 
x’ vuäng goïc våïi hçnh chiãúu bàòng 
âæåìng bàòng h1.Caïch dæûng caïc caûnh 
cuía hçnh vuäng, âènh cuía màût thaïp 
vaì viãûc xaïc âënh caïc hçnh chiãúu ban 
âáöu cuía caïc âiãøm S,A,B,C,D âæåüc 
chè roî trãn hçnh-8.10. Hçnh veî cuîng 
trçnh baìy mäüt âiãøm M thuäüc màût 
thaïp. 
8.3.4-Biãøu diãùn màût làng truû : 
Hçnh-8.9 
S2 A2 
B2 
C2 
M2≡M'2 
C1 
A1 
B1 
S1 
M'1 
M1 
h2
Hçnh-8.10 
S2 
C2 
A2 
B2 
D2 
O2 
S1 
S'1 
A1 
D1 
C1 
B1 
O1 
h1 
x' 
α'1 
 46
n Hoaìn toaìn tæång tæû nhæ âäúi 
våïi màût thaïp. Hçnh-8.11 trçnh baìy 
caïch dæûng mäüt màût làng truû biãút 
âaïy ABC thuäüc màût phàóng P1 vaì 
mäüt caûnh CD , âäöng thåìi làng truû 
náöy coï màût âaïy thæï hai DEF vuäng 
goïc våïi caïc caûnh. Phæång phaïp sæí 
duûng âån giaín laì âæa caïc caûnh cuía 
làng truû thaình âæåìng màût nhåì pheïp 
thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu 
âæïng måïi. Hçnh veî cuîng chè roî caïc 
hçnh chiãúu cuía mäüt âiãøm M thuäüc 
làng truû âaî cho. 
8.4-BIÃØU DIÃÙN MÀÛT CONG: 
8.4.1-Caïc khaïi niãûm vaì qui tàõc biãøu diãùn: 
Ta coï thãø xem màût cong laì qué têch cuía mäüt âæåìng chuyãøn âäüng theo mäüt qui 
luáût hçnh hoüc nháút âënh. Âæåìng chuyãøn âäüng goüi laì âæåìng sinh . Âæåìng sinh coï 
thãø laì âæåìng thàóng hoàûc âæåìng cong vaì coï thãø biãún daûng trong quaï trçnh hçnh 
thaình màût. 
 Nãúu âæåìng sinh laì âæåìng thàóng thç màût taûo thaình goüi laì màût keî. Coï loaûi 
màût keí khai triãùn âæåüc vaì màût keî khäng khai triãøn âæåüc. 
 Nhæîng màût hçnh hoüc thæåìng gàûp laì: Màût noïn ,màût truû , màût cáöu, elipsoit, 
hypebolit, paraboloit , màût xuyãún , màût xoàõn 
 Biãøu diãùn mäüt màût laì biãøu diãùn mäüt säú thaình pháön cuía màût âuí xaïc âënh 
màût âoï. Âãø dãù hçnh dung ta thæåìng biãøu diãùn màût bàòng âæåìng bao hçnh chiãúu vaì 
âæåìng chuyãøn tiãúp cuía màût trãn hçnh chiãúu. 
8.4.1-Màût noïn: 
Màût noïn laì màût taûo thaình båíi âæåìng thàóng chuyãøn âäüng âi qua mäüt âiãøm cäú 
âënh goüi laì âènh cuía màût noïn vaì tæûa trãn mäüt âæåìng cong goüi laì âæåìng chuáøn 
cuía noïn. 
Hçnh-8.11
A2 B2 C2 
M2 
F2 
E2 D2 
x 
x' 
A1 
B1 
C1 
D1 
E1 
F1 
D'2 
E'2 
F'2 
α'2 
M1 
M'1 
 47
Hçnh 8.12 biãøu diãùn mäüt pháön cuía màût noïn báûc 2 giåïi haûn tæì âènh S âãún 
âæåìng chuáøn báûc 2 (c). Cuîng coï thãø xem (c) laì hçnh phàóng laìm thaình âaïy noïn. 
Pháön tháúy khuáút nhæ hçnh veî. Trãn hçnh chiãúu âæïng m2, n2 laì caïc âæåìng sinh 
bao. ÅÍ hçnh chiãúu bàòng ta khäng veî m1, n1 vç chuïng laì âæåìng sinh bçnh thæåìng. 
Âæåìng bao cuía hçnh chiãúu bàòng laì p1 vaì q1, hçnh chiãúu cuía p, q khaïc m, n. 
 Trong taìi liãûu náyö chè nghiãn cæïu noïn báûc 2 , cho nãn khi noïi màût noïn ta 
hiãøu laì noïn báûc 2. 
 Giaí sæí biãút M2 cuía âiãøm M thuäüc noïn, haîy veî âiãøm M1. 
Dãù tháúy coï hai âiãøm M maì M2≡M'2 . Ta veî caïc âæåìng sinh SM vaì SM' 
tæïc laì S2M2 ≡ S2M'2. ÅÍ hçnh chiãúu tháúy roî hai nghiãûm M1 vaì M'1 .Theo hçnh âaî 
cho M1 khuáút vç S1A1 khuáút vaì M'1 tháúy vç S1B1 tháúy; M2 tháúy vç S2A2 tháúy vaì 
M'2 khuáút vç S2B2 khuáút. 
Hçnh-8.13 biãøu diãùn màût noïn troìn xoay, truûc vuäng goïc våïi P1. Træåìng 
håüp naìy noïn laì noïn laì noïn troìn xoay, váûy âãø veî mäüt âiãøm thuäüc noïn ta coï thãø 
gàõn âiãím âoï vaìo mäüt âæåìng sinh hoàûc âæåìng báûc 2 thuäüc màût phàóng song song 
våïi màût phàóng cuía âæåìng chuáøn âi qua âiãøm âoï. 
Hçnh-8.12 Hçnh-8.13 
8.4.2-Màût truû: 
Màût truû laì màût keî khai triãøn âæåüc. Coï thãø xem màût truû laì màût noïn våïi âènh åí vä 
táûn. Hçnh-8.14 biãøu diãùn mäüt màût truû báûc 2 bàòng caïc âæåìng sinh bao cuía caïc 
S1 
M1 
M'1 
(c1) 
(c2) 
M2≡M'2 
S2 
x 
S2 
S1 
M2≡M'2 
M1 
M'1 (c1)
(c2)x
 48
hçnh chiãúu vaì âæåìng chuáùn (c) laì âæåìng báûc 2 maì hçnh chiãúu bàòng laì âæåìng troìn 
, hçnh chiãúu âæïng laì âoaûn thàóng .Giaí sæí biãút hçnh chiãúu âæïng M2 cuía âiãøm M 
thuäüc màût truû, haîy veî M1 . Tæång tæû nhæ trãn màût noïn ta veî qua M âæåìng sinh 
hoàûc âæåìng báûc 2, (c') thuäüc màût phàóng song song våïi màût phàóng cuía (c) .Sau 
khi xaïc âënh tám I cuía (c') , veî (c'1) tám I1 tiãúp xuïc våïi caïc âæåìng bao våïi hçnh 
chiãúu bàòng cuía màût truû. 
 Hçnh-8.14 
8.4.3-Màût cáöu: 
Màût cáöu laì màût báûc 2 vaì laì màût troìn xoay . Hçnh-8.15 biãøu diãùn màût cáöu tám O 
baïn kênh R. Caïc hçnh chiãúu cuía màût cáöu laì caïc âæåìng troìn tám O1, O2 baïn kênh 
R; âæåìng troìn (a2) laì hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng troìn låïn (a) thuäüc màût phàóng 
song song våïi P2 ,âæåìng troìn (b1) laì hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng troìn xêch âaûo 
(b). Nhæîng âiãøm thuäüc næía trãn cuía màût cáöu âæåüc tháúy åí hçnh chiãúu bàòng. 
Nhæîng âiãøm thuäüc næía træåïc cuía màût cáöu âæåüc tháút åí hçnh chiãúu âæïng. Giaí sæí 
biãút M2 cuía âiãøm M thuäüc màût cáöu , haîy veî M1. 
 Qua M, ta veî âæåìng troìn thuäüc màût phàóng song song våïi P1 ( hoàûc våïi 
P2) âãø veî hçnh chiãúu cuía noï laì âæåìng thàóng hoàûc âæåìng troìn åí hçnh chiãúu coìn 
laûi. 
8.4.4-Màût xuyãún: 
Màût xuyãún laì màût troìn xoay báûc 4 ,taûo thaình båíi mäüt âæåìng troìn quay quanh 
mäüt truûc thuäüc màût phàóng cuía âæåìng troìn nhæng khäng qua tám. 
I2 
I1 
M2≡M'2 
M1 
M'1 
(c1) 
(c2) 
(c'1)
O2 
O1 
x
O2 
(a2)
(b2) 
M2≡M'2 
O1 
M1 
M'1 
(b1)
(a1) 
Hçnh-8.15
 49
 Nãúu truûc khäng càõt âæåìng troìn ta coï xuyãún håí, nãúu truûc càõt âæåìng troìn 
ta coï xuyãún kên. Màût xuyãún thæåìng biãøu diãùn åí vë trê âàûc biãût, truûc troìn xoay 
thæåìng choün vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu, luïc âoï caïc âæåìng bao hçnh 
chiãúu veî âæåüc dãù daìng. 
 Hçnh-8.16 , biãøu diãùn mäüt 
màût xuyãún våïi truûc t laì âæåìng thàóng 
chiãúu âæïng. Hçnh chiãúu âæïng: a2 vaì 
b2 laì hçnh chiãúu cuía caïc âæåìng troìn 
vé tuyãún sinh ra do âiãøm thuäüc 
âæìång troìn sinh (c), caïch xa truûc t 
nháút. Hai vé tuyãún a vaì b thuäüc màût 
phàóng âäúi xæïng cuía màût xuyãún 
vuäng goïc våïi truûc t. Hçnh chiãúu 
bàòng: c1 vaì c'1 laì hçnh chiãúu cuía 
âæåìng troìn sinh (c) åí vë trê thuäüc 
màût phaíng qua truûc t vaì song song 
våïi P1, d1 laì hçnh chiãúu cuía âæåìng 
troìn vé tuyãún coï âæåìng bàòng trung 
bçnh coüng caïc âæåìng kênh cuía a vaì b 
, d2 truìng våïi hçnh chiãúu âæïng cuía 
âæåìng troìn qué têch tám cuía 
(c).Nhæîng âiãøm thuäüc næía trãn vaì 
giåïi haûn tæì hai âæåìng troìn d âæåüc 
tháúy åí hçnh chiãúu bàòng. 
 Nhæîng âiãøm thuäüc næía træåïc cuía xuyãún giåïi haûn båíi hai âæåìng troìn a vaì b âæåüc 
tháúy åí hçnh chiãúu âæïng. Giaí sæí, biãút hçnh chiãúu bàòng M1 cuía âiãøm M thuäüc màût 
xuyãún, haîy veî âiãøm M2. 
 Qua M ta veî hai âæåìng troìn vé tuyãún e vaì g (e1≡g1) . Trãn hçnh chiãúu 
âæïng ta tháúy roî bäún nghiãûm: M2, M'2, M''2, M'''2. 
Hçnh-8.16
M1 
M2 
M'2 
M'''2 
M''2 
a2 
b2 
d2 
e2 
g2 
c'2 
a1≡b1
d1 
d'1 c'1 
c1 
c2 
e1≡g1 
 50
Chæång chên: MÀÛT PHÀÓNG TIÃÚP XUÏC MÀÛT CONG 
9.1-KHAÏI NIÃÛM : 
 Tiãúp tuyãún taûi mäüt âiãøm cuía mäüt âæåìng cong thuäüc màût cong cuîng goüi 
laì tiãúp tuyãún cuía màût cong taûi âiãøm âoï . 
 Nãúu taûi mäüt âiãøm cuía màût cong coï vä säú tiãúp tuyãún cuîng thuäüc mäüt màût 
phàóng thç màût phàóng naìy goüi laì màût phàông tiãúp xuïc cuía màût cong taûi âiãøm âoï 
.Màût phàóng tiãúp xuïc thæåìng âæåüc duìng âãø veî tiãúp tuyãún cuía giao hai màût , veî 
âæåìng bao cuía boïng trãn hai màût ... 
9.2- MÀÛT PHÀÓNG TIÃÚP XUÏC VÅÏI MÀÛT KEÍ : 
 Nãúu mäüt màût phàóng tiãúp xuïc våïi mäüt màût keí taûi mäüt âiãøm thç noï thuäüc caïc 
âæåìng sinh thàóng cuía màût keí qua âiãøm âoï .Nãúu màût phàóng tiãúp xuïc våïi màût keí 
doüc theo mäüt âæåìng sinh thç màût keí naìy khai triãøn âæåüc , nhæ màût noïn ,màût truû 
... Sau âáy , ta xeït vaìi vê duû : 
 ... u âæïng . Trãn hçnh chiãúu 
bàòng seî tråí thaình càûp âæoìng 
kênh liãn hiãûp vaì âuí xaïc âënh 
elip. Xem hçnh veî bãn. 
3 -(H-115) Xem A laì âiãøm âáöu 
cuía mäüt voìng xoàõn . 
4 -(H-116) Veî hçnh gáûp cuía âaïy 
(A0B0C0) vaì tám (H0) cuía âaïy 
.Xaïc âënh caïc hçnh chiãúu cuía 
ABC vaì tám H . 
Qua H dæûng âæåìng thàóng d vuäng goïc våïi P,räöi âàût trãn d âoaûn 
SH=30mm. 
5 -(H-117) Læu yï caûnh AB laì âæåìng bàòng vaì AC laì âæåìng màût vç váûy 
nãúu goüi a,b,c láön læåüt laì caïc caûnh cuía làng truû âi qua A,B,C ta seî coï 
a1,b1,c1 ⊥ A1B1 vaì a2,b2,c2 ⊥ A2C2. 
6 -(H-118) Goüi O laì tám âæåìng troìn âaïy (c), ta coï S2O2=30mm. Hçnh 
chiãúu âæïng cuía âæåìng troìn âaïy laì âoaûn thàóng daìi 30mm, hçnh chiãúu 
bàòng laì elip (xem H- 86,trang 43 saïch lyï thuyãút). 
7 -(H-119) Goüi chán âæåìng vuäng goïc haû tæì A âãún l laì O, ta coï A2O2⊥l2 , 
⇒ O1∈l1. Duìng phæång phaïp tam giaïc xaïc âënh âäü låïn AO .Veî cáöu tám 
O baïn kênh OA, caïc âæåìng sinh bao cuía truû seî tiãúp xuïc caïc âæåìng troìn 
bao cuía cáöu vaì song song l1,l2. 
8 -(H-120) Duìng phæång phaïp tam giaïc xaïc âënh âäü låïn AO. Hai âæåìng 
troìn coï tám O1 vaì O2, coï baïn kênh bàòng OA laì hai âæåìng troìn bao cuía 
cáöu. 
x 
a1
b1
b2 
a2
H-114
O1 
A2
B2 
C2
D2 
A1
B1 
C1
D1 
g1 
g2 
 10
9 -(H-121) Xem H-8.14 trang 48 saïch lyï thuyãút. 
 -(H-122) Xem H-8.12 trang 47 saïch lyï thuyãút. 
 -(H-123) Xem H-8.15 trang 48 saïch lyï thuyãút. 
 -(H-124) Xem H-8.16 trang 49 saïch lyï thuyãút. 
Màût phàóng tiãúp xuïc 
1 -(H-125) Màût phàóng cáön dæûng laì màût phàóng âi qua A vaì tiãúp xuïc 
truû troìn xoay truûc h coï baïn kênh r. Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu 
âæïng måïi âæa truû thaình chiãúu âæïng, truû suy biãún thaình âæåìng troìn 
tám h'2 coï baïn kênh r vaì màût phàóng cáön dæûng suy biãún thaình âæåìng 
thàóng âi qua A'2 vaì tiãúp xuïc våïi âæåìng troìn. Traí vãö hãû thäúng cuî, màût 
phàóng xaïc âënh båíi A vaì âæåìng sinh tiãúp xuïc.(Chuï yï biãûn luáûn nghiãûm) 
2 -(H-126) Màût phàóng cáön dæûng laì màût phàóng âi qua d vaì tiãúp xuïc 
noïn troìn xoay truûc h ⊥ P ,coï goïc nghiãng taûo våïi P laì α. Thay âäøi 
màût phàóng hçnh chiãúu bàòng måïi âæa noïnû thaình chiãúu bàòng. Xem H-
9.2 trang 51 saïch lyï thuyãút.(Chuï yï biãûn luáûn nghiãûm) 
3 -(H-127) Xaïc âënh hai màût phàóng tiãúp xuïc noïn âäöng thåìi song song 
våïi âæåìng bàòng cuía màût phàóng. Âiãøm cao nháút vaì tháúp nháút laì giao 
cuía màût phàóng càõt våïi hai âæåìng sinh tiãúp xuïc. 
4 -(H-128) Xem H-9.10 trang 55 saïch lyï thuyãút. 
Giao cuía màût phàóng våïê caïc màût. 
1 -(H-129) Dãù tháúy P laì màût phàóng chiãúu âæïng do âoï âaî biãút hçnh 
chiãúu âæïng cuía giao tuyãún laì mäüt tæï giaïc truìng våïi hçnh chiãúu suy 
biãún cuía màût phàóng.Veî hçnh chiãúu coìn laûi cuía caïc âènh bàòng baìi toaïn 
âiãøm thuäüc âæåìng thàóng. 
2 -(H-130) Âáy cuîng thuäüc træåìng håüp âàûc biãût : làng truû laì chiãúu 
âæïng vç váûy hçnh chiãúu âæïng cuía giao tuyãún âaî biãút, truìng våïi hçnh 
chiãúu suy biãún cuía làng truû.Æïng duûng baìi toaïn cå baín säú 2- âiãøm 
thuäüc màût phàóng âãø dæûng hçnh chiãúu bàòng caïc âènh cuía tæï giaïc giao 
tuyãún. 
3 -(H-131) Sæí duûng phæång phaïp phuû tråü âãø tçm giao âiãøm cuía caïc 
caûnh tæï diãûn våïi màût phàóng Q. Giao tuyãún seî laì mäüt tam giaïc IJK, våïi 
I=SAxQ,J=SBxQ,K=SCxQ. 
4 -(H-132) Veî mäüt màût phàóng Q vuäng goïc våïi caïc caûnh cuía làng truû 
abc( màût phàóng Q coï thãø xaïc âënh bàòng hai vãút (mQ ⊥a1,nQ⊥a2)).Sau 
âoï sæí duûng phæång phaïp phuû tråü âãø tçm giao âiãøm cuía caïc caûnh làng 
 11
truû våïi màût phàóng Q .Tiãút diãûn vuäng goïc laì mäüt tam giaïc ,sæí duûng 
pheïp gáûp quanh vãút âãø tçm âäü låïn tháût. 
5 -(H-133a) Màût phàóng 
càõt xaïc âënh båíi vãút bàòng 
vaì âènh S. Âãø xaïc âënh vãút 
âæïng, qua S veî âæåìng 
bàòng cuía màût phàóng .Vãút 
âæïng cuía màût phàóng seî 
âi qua vãút âæïng cuía 
âæåìng bàòng.( Coï thãø 
duìng biãún âäøi hçnh chiãúu 
âãø giaíi quyãút. 
 -(H-133b,c,d) Thay âäøi 
màût phàóng hçnh chiãúu 
âæïng måïi âæa màût phàóng 
P tråí thaình chiãúu âæïng 
.Vãút âæïng måïi seî thoía 
maîn càõt theo tæìng daûng 
giao tuyãún nhæ hçnh veî bãn.Trãn hçnh coï traí vãö vãút âæïng cuía daûng 
parabol. 
6 -(H-134) Sæí duûng màût phàóng hçnh chiãúu caûnh seî cho giao tuyãún suy 
biãún thaình âoaûn thàóng vaì daûng giao laì elip .Traí vãö hai hçnh chiãúu càûp 
truûc âuí xaïc âënh elip. 
 -(H-135) Xem H-10.7 trang 61 saïch lyï thuyãút. Cuîng coï thãø thay âäøi 
màût phàóng hçnh chiãúu âæïng måïi (H-133) âãø giaíi quyãút. 
7 -(H-136) Do P laì màût phàóng chiãúu âæïng nãn hçnh chiãúu âæïng cuía elip 
giao tuyãún âaî biãút, truìng våïi hçnh chiãúu suy biãún cuía màût phàóng.Âæa 
càûp âæåìng kênh liãn håüp xuäúng hçnh chiãúu bàòng. 
 -(H-137) Xem H-10.2 trang 57 saïch lyï thuyãút. 
8 -(H-138) Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng måïi âæa màût phàóng 
càõt tråí thaình màût phàóng chiãúu âæïng. Âæåìng troìn giao tuyãún seî tråí 
thaình âoaûn thàóng. Âæa càûp âæåìng kênh vuäng goïc tråí vãö âãø xaïc âënh 
elip trãn hai hçnh chiãúu. 
9 -(H-139) Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng måïi âæa màût phàóng P 
tråí thaình màût phàóng chiãúu âæïng. Veî màût phàóng Q song song P vaì tiãúp 
S2 
S1 
mP 
H-133b,c,d 
n’P 
n’P 
n’P 
Elip 
Parabol 
Hyperbol
x’ 
 12
xuïc våïi cáöu coï baïn kênh r= 22 15R − (Læu yï n’Q // n’P vaì tiãúp xuïc våïi 
âæåìng troìn coï baïn kênh r= 22 15R − ). 
Giao cuía âæåìng thàóng våïi caïc màût. 
1 -(H-140) a laì âæåìng thàóng chiãúu âæïng nãn âaî biãút mäüt hçnh chiãúu 
âæïng cuía hai giao âiãøm. Aïp duûng baìi toaïn âiãøm thuäüc màût tçm hçnh 
chiãúu coìn laûi. Âãø tçm giao âiãøm cuía c, phaíi sæí duûng màût phàóng phuû 
tråü laì màût phàóng chiãúu âæïng ϕ2≡c2. 
2 -(H-141) Âãø tçm giao âiãøm cuía b, phaíi sæí duûng màût phàóng phuû tråü laì 
màût phàóng chiãúu âæïng ϕ2≡b2. Âãø tçm giao cuía MN ,sæí duûng màût phàóng 
phuû tråü ϕ (SM,SN). 
3 -(H-142) a/ a laì âæåìng thàóng chiãúu âæïng nãn âaî biãút mäüt hçnh chiãúu 
âæïng cuía hai giao âiãøm. Aïp duûng baìi toaïn âiãøm thuäüc màût noïn tçm 
hçnh chiãúu coìn laûi. Âãø tçm giao cuía b, sæí duûng màût phàóng phuû tråü ϕ 
(S,b). 
 -(H-143) b/ a laì âæåìng 
thàóng chiãúu âæïng nãn âaî biãút 
mäüt hçnh chiãúu âæïng cuía hai 
giao âiãøm. Aïp duûng baìi toaïn 
âiãøm thuäüc màût noïn tçm hçnh 
chiãúu coìn laûi. Âãø tçm giao cuía 
b, sæí duûng màût phàóng phuû tråü 
ϕ (s,b). Våïi s laì mäüt âæåìng 
thàóng càõt b vaì song song 
âæåìng sinh truû. Xem hçnh-143 
bãn caûnh ta coï hai giao âiãøm 
laì I,J. 
 -(H-144) c/Âæåìng thàóng a laì chiãúu âæïng nãn âaî biãút mäüt hçnh chiãúu 
âæïng cuía hai giao âiãøm. Aïp duûng baìi toaïn âiãøm thuäüc màût cáöu tçm 
hçnh chiãúu coìn laûi. Âãø tçm giao cuía b, sæí duûng thay âoíi màût phàóng 
hçnh chiãúu , xem H-11.6 trang 68 saïch lyï thuyãút. 
4 -(H-145) Baìi toaïn tråí thaình âi tçm giao âiãøm I,J cuía âæåìng thàóng a 
våïi màût noïn troìn xoay chiãúu bàòng âènh S, goïc taûo våïi P1 laì 600 . SI vaì 
SJ laì hai âæåìng thàóng cáön dæûng. Chuï yï biãûn luáûn nghiãûm. 
5 -(H-146) Baìi toaïn tråí thaình âi tçm giao âiãøm I,J cuía âæåìng thàóng a 
våïi màût cáöu tám O âæåìng kênh AB. Baìi toaïn coï daûng âàûc biãût vç d laì 
O2
O1
b2 
s2 
b1 
s1 
H-143
I2 
J2 
I1 
J1 
 13
âæåìng thàóng chiãúu. (Duìng phæång phaïp tam giaïc âãø tçm âäü låïn tháût 
AB). 
6 -(H-147) Baìi toaïn tråí thaình âi tçm giao âiãøm I,J cuía âæåìng thàóng l 
våïi màût truû troìn xoay chiãúu âæïng truûc d, baïn kênh R. Baìi toaïn coï daûng 
âàûc biãût vç truû laì chiãúu âæïng. 
Giao cuía hai màût 
1 -(H-148) Baìi toaïn giao thuäüc daûng 1-giao hai âa diãûn : giao tuyãún laì 
2 âæåìng gáúp khuïc kên( giao hoaìn toaìn) gäöm caïc âoaûn thàóng. Hçnh 
chiãúu âæïng cuía giao tuyãún cuîng âaî biãút truìng våïi hçnh chiãúu suy biãún 
cuía làng truû tam giaïc.Dæûng hçnh chiãúu bàòng 8 âènh cuía âæåìng 2 gáúp 
khuïc bàòng baìi toaïn âiãøm thuäüc âæåìng thàóng vaì baìi toaïn âiãøm thuäüc 
màût phàóng.Chuï yï âàût tãn âáöy âuí cho caïc caûnh cuía làng truû , caïc âènh 
cuía choïp vaì caïc âènh cuía giao tuyãún. Âãø xeït tháúy khuáút cuía giao 
tuyãún phaíi xeït láön læåüt våïi caí hai màût. 
2 -(H-149) Baìi toaïn giao thuäüc daûng 1-giao hai âa diãûn : giao tuyãún laì 
âæåìng gáúp khuïc kên gäöm caïc âoaûn thàóng. Hçnh chiãúu bàòng cuía giao 
tuyãún cuîng âaî biãút truìng våïi hçnh chiãúu suy biãún cuía làng truû tæï 
giaïc.Dæûng hçnh chiãúu âæïng 10 âènh cuía âæåìng gáúp khuïc bàòng baìi 
toaïn âiãøm thuäüc âæåìng thàóng vaì baìi toaïn âiãøm thuäüc màût phàóng.Chuï 
yï âàût tãn âáöy âuí cho caïc caûnh cuía 2 làng truû vaì caïc âènh cuía giao 
tuyãún. 
3 -(H-150) Baìi toaïn giao thuäüc daûng 1-giao hai âa diãûn : giao tuyãún laì 
âæåìng gáúp khuïc kên gäöm caïc âoaûn thàóng. Hçnh chiãúu âæïng cuía giao 
tuyãún cuîng âaî biãút truìng våïi hçnh chiãúu suy biãún cuía làng truû tam 
giaïc.Dæûng hçnh chiãúu bàòng 10 âènh cuía âæåìng gáúp khuïc bàòng baìi 
toaïn âiãøm thuäüc âæåìng thàóng vaì baìi toaïn âiãøm thuäüc màût phàóng.Chuï 
yï âàût tãn âáöy âuí cho caïc caûnh cuía làng truû , caïc âènh cuía choïp vaì caïc 
âènh cuía giao tuyãún. 
4 -(H-151) Baìi toaïn giao thuäüc daûng 2-giao âa diãûn vaì màût cong: giao 
tuyãún laì âæåìng gáúp khuïc kên gäöm caïc cung troìn . Hçnh chiãúu bàòng cuía 
giao tuyãún cuîng âaî biãút truìng våïi hçnh chiãúu suy biãún cuía làng truû 
tam giaïc.Dæûng hçnh chiãúu âæïng 10 cuía âæåìng gáúp khuïc bàòng baìi toaïn 
âiãøm thuäüc cáöu vaì baìi toaïn âæåìng troìn thuäüc màût cáöu.Chuï yï âàût tãn 
âáöy âuí cho caïc caûnh cuía làng truû vaì caïc âènh cuía giao tuyãún. 
4 -(H-151) Baìi toaïn giao thuäüc daûng 2- giao âa diãûn vaì màût cong: giao 
 14
tuyãún laì âæåìng gáúp khuïc kên gäöm caïc cung troìn vaì elip . Hçnh chiãúu 
âæïng cuía giao tuyãún cuîng âaî biãút, truìng våïi hçnh chiãúu suy biãún cuía 
làng truû tam giaïc.Dæûng hçnh chiãúu cuía âæåìng gáúp khuïc bàòng baìi toaïn 
âiãøm thuäüc noïn vaì baìi toaïn âæåìng thuäüc màût noïn. Chuï yï âàût tãn âáöy 
âuí cho caïc caûnh cuía làng truû vaì caïc âènh cuía giao tuyãún. 
 6 -(H-153) Baìi toaïn giao thuäüc daûng 2-giao âa diãûn vaì màût cong: giao 
tuyãún laì 2 âæåìng gáúp khuïc kên (giao hoaìn toaìn) gäöm caïc cung næía 
elip . Hçnh chiãúu âæïng cuía giao tuyãún cuîng âaî biãút, truìng våïi hçnh 
chiãúu suy biãún cuía truû troìn xoay. Dæûng hçnh chiãúu bàòng cuía âæåìng 
gáúp khuïc bàòng baìi toaïn âiãøm thuäüc màût phàóng vaì baìi toaïn âæåìng 
thuäüc màût phàóng.Chuï yï âàût tãn âáöy âuí cho caïc caûnh cuía làng truû vaì 
caïc âènh cuía giao tuyãún. 
7 -(H-154) Baìi toaïn giao thuäüc daûng 3- giao 2 màût cong: giao tuyãún laì 
âæåìng cong ghãönh báûc 2x2=4 . Hçnh chiãúu âæïng cuía giao tuyãún cuîng 
âaî biãút, truìng våïi hçnh chiãúu suy biãún cuía truû troìn xoay. Dæûng hçnh 
chiãúu bàòng cuía âæåìng cong bàòng baìi toaïn âiãøm thuäüc màût noïn vaì baìi 
toaïn âæåìng thuäüc màût .Chuï yï choün caïc âiãøm cáön thiãút nhæ thuäüc 
âæåìng bao cuía 2 màût, ranh giåïi tháúy khuáút cuía truû. Hçnh chiãúu bàòng 
giao tuyãún coï truûc âäúi xæïng nàòm ngang. 
8 -(H-155) Baìi toaïn giao thuäüc daûng 3- giao 2 màût cong: giao tuyãún laì 
âæåìng cong ghãönh báûc 2x2=4.ÅÍ âáy chè xeït næía baìi toaïn. Hçnh chiãúu 
bàòng cuía giao tuyãún cuîng âaî biãút, truìng våïi hçnh chiãúu suy biãún cuía 
truû troìn xoay. Dæûng hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng cong bàòng baìi toaïn 
âiãøm thuäüc màût cáöu vaì baìi toaïn âæåìng thuäüc màût cáöu .Chuï yï choün 
caïc âiãøm cáön thiãút nhæ thuäüc âæåìng bao cuía 2 màût, ranh giåïi tháúy 
khuáút cuía truû. 
9 -(H-156) Tæång tæû baìi 8,H-155. 
10 -(H-157) ÆÏng duûng âënh lyï 2 cuía giao hai màût báûc 2 coï kãút quaí 
giao laì hai âæåìng elip . Hçnh chiãúu âæïng cuía giao tuyãún cuîng âaî biãút, 
truìng våïi hçnh chiãúu suy biãún cuía truû troìn xoay. Dæûng hçnh chiãúu 
bàòng cuía âæåìng cong bàòng baìi toaïn âiãøm thuäüc màût noïn vaì baìi toaïn 
âæåìng thuäüc màût. 
Caïc baìi tæì 11 âãún 15 hoaìn toaìn tæång tæû våïi caïc læu yï: -Xãúp daûng baìi 
toaïn âãø coï daûng giao tuyãún (daûng 1,2,3,daûng caïc màût báûc 2 thoía maîn 
caïc âënh lyï âàûc biãût); -Nháûn xeït caïc yãúu täú âäúi xæïng; -Choün caïc âiãøm 
 15
cáön thiãút phaíi veî (caïc âiãøm gaîy, âiãøm thuäüc âæåìng bao, âiãøm thuäüc 
ranh giåïi tháúy khuáút, âiãøm cao nháút, âiãøm tháúp nháút...) ;-Näúi theo 
trçnh tæû håüp lyï vaì xeït tháúy khuáút. 
 PHÁÖN IV : Âãö thi máùu 
Cáu1 : Tçm khoaíng caïch tæì âiãøm A âãún màût phàóng α(h,f) .(H-164) 
 Giaíi: 
-Qua A veî d vuäng goïc α : 
d1 ⊥ h1 ; d2 ⊥ f2.. 
-Sæí duûng màût phàóng phuû 
tråü ϕ laì chiãúu âæïng, chæïa d: 
ϕ2 ≡ d2≡ g2 , suy ra g1 vaì tçm 
âæåüc I1 = d1 x g1, âæa lãn 
hçnh chiãúu âæïng co ïI2∈ d2. 
-Sæí duûng phæång phaïp tam 
giaïc , coï khoaíng caïch cánö 
tçm AI = A1I0. 
Thæåìng ngæåìi ta coï 
thãø sæí duûng caïc pheïp biãún 
âäøi hçnh chiãúu âãø âæa baìi 
toaïn vãö træåìng håüp âàûc 
biãût. Âæa màût phàóng vãö vë 
trê màût phàóng chiãúu.(xem 
chæång 7) 
Cáu 2 : Veî hai hçnh chiãúu 
cuía tam giaïc âãöu thuäüc màût 
phàóng α, âaî biãút hçnh chiãúu 
bàòng A1B1 cuía caûnh AB 
thuäüc âæåìng bàòng.(H-165) 
 Giaíi: 
Sæí duûng pheïp quay quanh 
vãút bàòng âæa màût phàóng α 
truìng P1.Coï hçnh chiãúu 
bàòng måïi cuía AB laì A'1B'1, 
ta veî thãm âènh C'1 cuía tam 
giaïc âãöu tháût. Gàõn caïc âènh 
nhæ hçnh veî seî âæa vãö 
x 
d2 
h1 
ϕ2≡g2 
d1 
g1
I2 
I1 
I0 
A2 
A1 
H-164
f1 
h2 
f2 
nα 
Xα 
mα 
N2 
B1 
A'1 
A1 
C2 
N1 
n'α 
N'1
B'1 
C'1
A2 B2 
C1 
h'1 
h1 
h2 
H-165 
 16
âæåüc hai hçnh chiãúu ban âáöu. 
 Thæåìng ngæåìi ta sæí duûng pheïp gáûp quanh caïc vãút âãø giaíi caïc baìi 
toaïn liãn quan âãún âäü låïn tháût nhæ dæûng hçnh vuäng, âæåìng troìn...). 
Cáu3: Veî giao tuyãún cuía hai làng truû. (H-166) 
 Giaíi: 
Baìi toaïn giao thuäüc daûng 
1-giao hai âa diãûn : giao tuyãún 
laì âæåìng gáúp khuïc kên (giao 
khäng hoaìn toaìn) gäöm caïc âoaûn 
thàóng. Hçnh chiãúu bàòng cuía giao 
tuyãún cuîng âaî biãút truìng våïi 
hçnh chiãúu suy biãún cuía làng truû 
tæï giaïc.Dæûng hçnh chiãúu âæïng 
10 âènh cuía âæåìng gáúp khuïc 
bàòng baìi toaïn âiãøm thuäüc 
âæåìng thàóng vaì baìi toaïn âiãøm 
thuäüc màût phàóng thuäüc làng truû 
coìn laûi. Chuï yï âàût tãn âáöy âuí 
cho caïc caûnh cuía làng truû vaì caïc 
âènh cuía giao tuyãún. Âãø xeït tháúy 
khuáút cuía giao tuyãún phaíi xeït 
láön læåüt våïi caí hai màût. 
 Âãö thi tham khaío: 
ÂÃÖ THI : HÇNH HOÜC HOÜA HÇNH 
 ÂAÛI HOÜC KYÎ THUÁÛT ÂAÌ 
NÀÔNG
THÄNG QUA : ÂÃÖ SÄÚ : 01A/2001 
1/ Khäng thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu ,xaïc âënh goïc nghiãng cuía màût phàóng 
α( mα,nα) våïi caïc màût phàóng hçnh chiãúu. 
2/Veî hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng thàóng a âi qua A ,nghiãng våïi màût 
phàóng chiãúu bàòng Q1 mäüt goïc 30o ( chuï yï caïc qué têch). 
3/ Veî giao hai màût. 
11
31 51 
71 
d1≡21≡2'1
e1≡41≡4'1
f1≡61≡6'1 
a1 
b1
c1 
c2 
12 72 
22 62 
42
4'2
2'2
6'2 
32 52 
a2 
b2
d2 e2 f2 g2
g1 H-166 
 17
 MUÛC LUÛC 
 Pháön I : Cáu hoíi än táûp 01 
 Pháön II : Âãö baìi táûp 04 
 Pháön III : Hæåïng dáùn giaíi 58 
 Pháön IV : Baìi thi máùu 73