Giáo trình Hình học họa hình (Phần 1)

 1
HÇNH HOÜC
HOÜA HÇNH
DÆÅNG THOÜ
ÂAÛI HOÜC ÂAÌ NÀÔNG — 2004 
 ÂAÛI HOÜC ÂAÌ NÀÔNG 
TRÆÅÌNG ÂAÛI HOÜC BAÏCH KHOA
 2
LÅÌI NOÏI ÂÁÖU 
 Giaïo trçnh hçnh hoüc hoüa hçnh naìy soaûn theo chæång trçnh caíi caïch 
cuía Bäü Giaïo Duûc Vaì Âaìo Taûo . Giaïo trçnh nhàòm phuûc vuû sinh viãn caïc 
hãû âaìo taûo cuía caïc ngaình kyî thuáût trong caïc nàm hoüc cå baín . Saïch coï 
choün loüc caïc vê duû minh hoüa vaì viãút tæång âäúi tyí myí nhàòm phuûc vuû cho 
sinh viãn tæû âoüc coï thãø hiãøu dãù daìng. 
 Keìm theo cuäún baìi giaíng sinh viãn coï thãm saïch baìi táûp âënh kyì âãø 
phuûc vuû viãûc nàõm laûi lyï thuyãút vaì måí räüng tæ duy. Do âoï mäùi sinh viãn 
cáön phaíi thæûc hiãûn âáöy âuí caïc baìi táûp âaî cho trong cuäún baìi táûp vaì laìm 
thàóng vaìo saïch . 
 Trong quïa trçnh soaûn thaío chuïng täi chàõc chàõn khäng traïnh khoíi 
thiãúu soït vãö caïc màût . Ráút mong baûn âoüc, caïc âäöng nghiãûp âoïng goïp yï . 
 Âaì nàông , thaïng 10 nàm 2004 
 Taïc giaí 
 3
 Pháön I : NHÆÎNG KHAÏI NIÃÛM TÄØNG QUAÏT 
Chæång mäüt: MÅÍ ÂÁÖU 
1.1-MUÛC ÂÊCH VAÌ YÃU CÁÖU: 
-Muûc âêch:Baín veî laì vàn kiãûn kyî thuáût cå baín âãø chè âaûo saín xuáút .Baín 
veî âæåüc xáy dæûng nhåì nhæîng phæång phaïp biãøu diãùn vaì caïc hãû thäng qui æåïc. 
Nghiãn cæïu caïc phæång phaïp biãøu diãùn laìm cå såí lyï luáûn cho viãûc xáy dæûng caïc 
baín veî laì nguäön gäúc lëch sæí vaì laì mäüt trong nhæîng näüi dung cuía Hçnh hoüc hoüa 
hçnh. 
 Âãø biãøu diãùn caïc âäúi tæåüng cuû thãø nhæ mäüt bäü pháûn maïy moïc,mäüt cäng 
trçnh xáy dæûng,træåc hãút phaíi biãút caïch biãøu diãùn caïc khäng gian hçnh hoüc chæïa 
nhæîng âäúi tæång cuû thãø áúy. 
 Noïi roî hån , Hçnh hoüc hoüa hçnh laì mäüt män hoüc nghiãn cæïu caïch biãøu 
diãùn caïc khäng gian bàòng nhæîng yãúu täú hçnh hoüc cuía mäüt khäng gian coï chiãöu 
tháúp hån ,phäø biãún nháút laì màût phàóng, räöi duìng caïc hçnh biãøu diãùn áúy âãø nghiãn 
cæïu caïc khäng gian ban âáöu. 
 Hçnh hoüc hoüa hçnh nhåì baío âaîm âæåüc tênh træûc quan vaì chênh xaïc nãn âaî 
âæåüc duìng nhiãöu trong thæûc tãú âãø xáy dæûng caïc baín veî kyî thuáût vaì noï laì mäüt 
trong nhæîng män hoüc cå såí cuía chæång trçnh âaìo taûo kyî sæ. 
 -Yãu cáöu cuía hçnh biãøu diãùn: Muäún âaût âæåüc muûc âêch trãn , caïc hçnh 
biãøu diãùn phaíi âaût âæåüc caïc yãu cáöu sau; 
 + Âån giaín, roî raìng, chênh xaïc. 
 + Thoía maîn tênh tæång âæång hçnh hoüc hay tênh phaín chuyãøn cuía baín veî. 
 * Âãø hoüc täút män hçnh hoüc hoüa hçnh, ngæåìi hoüc cáön nàõm væîng caïc kiãún thæïc 
cuía hçnh hoüc så cáúp nháút laì hçnh hoüc khäng gian. 
1.2-CAÏC PHEÏP CHIÃÚU: 
1.2.1-Pheïp chiãúu xuyãn tám: 
Mäüt pheïp chiãúu xuyãn tám âæåüc xaïc 
âënh båíi mäüt âiãøm S goüi laì tám chiãúu vaì mäüt 
phàóng P goüi laì màût phàóng hçnh chiãúu.Pheïp 
chiãúu âæåüc thæûc hiãûn båíi hai bæåïc.(H-1.1) 
 -Näúi âæåìng thàóng SA. Hçnh-1.1 
S
A
A' 
P
 4
 -Tçm giao âiãøm AÏ = SA x P 
AÏ : goüi laì hçnh chiãúu xuyãn tám cuía A tæì tám S lãn màût phàóng hçnh chiãúu P. 
Tênh cháút 1: Hçnh chiãúu cuía mäüt âæåìng thàóng khäng qua tám chiãúu laì mäüt 
âæåìng thàóng.(H-1.2) 
Tênh cháút 2: Hçnh chiãúu cuía cuía hai âæåìng thàóng song song laì hai âæåìng thàóng 
âäöng qui(âiãøm âäöìng qui laì hçnh chiãúu âiãøm vä táûn cuía hai âæåìng thàóng song 
song).(H-1.3) 
1.2.2-Pheïp chiãúu song song: 
 Mäüt pheïp chiãúu song song âæåüc xaïc âënh båíi mäüt hæåïng s vaì mäüt màût 
phàóng hçnh chiãúu P, khäng song song våïi s. (H-1.4) 
 Hçnh -1.2 Hçnh-1.3 
 Thæûc hiãûn pheïp chiãúu gäöm hai bæåïc: 
- Qua A keí t song song s. 
- Tçm giao âiãøm AÏ = t x P . 
AÏ : goüi laì hçnh chiãúu song song cuía A theo 
hæåïng s lãn màût phàóng hçnh chiãúu P. 
Tênh cháút 1:Pheïp chiãúu song song baío täön 
tênh cháút song song cuía hai âæåìng thàóng. 
(H-1.5) 
Tênh cháút 2:Pheïp chiãúu song song baío täön 
tyí säú âån cuía ba âiãøm thàóng haìng. (H-1.6) 
 Hçnh -1.4 
S 
I
A≡A'
P
a
b' 
B≡B' a' 
b 
s
A
A' 
P
S 
A 
A' 
P 
d 
d' 
 5
AB // CD ⇒ A'B' // C'D' (ABC) = (A'B'C') 
 Hçnh-1.5 Hçnh-1.6 
1.2.3- Pheïp chiãúu vuäng goïc: 
 Pheïp chiãúu vuäng goïc laì træåìng håüp âàûc biãût cuía pheïp chiãúu song song 
khi hæåïng chiãúu s vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu P. (H- 1.7) 
Tênh cháút : Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí mäüt goïc vuäng chiãúu thaình mäüt goïc vuäng laì 
mäüt trong hai caûnh goïc vuäng song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu vaì caûnh kia 
khäng vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu. (H-1.8) 
 Hçnh-1.7 Hçnh-1.8 
s 
A 
A' 
P 
B
D
C 
B' 
C' D' 
a 
b' P
b 
a'
s
A
A'
P
B C 
B' C' 
A 
A' 
P 
 6
Chæång hai: ÂIÃØM 
2.1- ÂÄÖ THÆÏC CUÍA MÄÜT ÂIÃØM: 
2.1.1-Hãû thäúng caïc màût phàóng hçnh chiãúu: 
 Trong khäng gian, choün hai màût phàóng vuäng goïc nhau. P1 nàòm ngang 
vaì P2 thàóng âæïng nhæ hçnh veî. (H-2.1) 
 P1 : goüi laì màût phàóng hçnh chiãúu 
 bàòng. 
 P2 : goüi laì màût phàóng hçnh chiãúu 
âæïng. 
 Hai màût phàóng P1, P2 chia 
khäng gian ra laìm bäún pháön tæ theo 
thæï tæû nhæ hçnh veî. 
2.1.2- Biãøu diãùn âiãøm -Âäü cao -Âäü xa : 
 Chiãúu vuäng goïc âiãøm A láön læåüc lãn P1 vaì P2 räöi gáûp P1 âãún truìng 
våïi P2 theo chiãöu nhæ hçnh veî .Sau âoï âàût P2 truìng våïi màût phàóng baín veî ta 
seî coï mäüt hãû caïc hçnh chiãúu cuía âiãøm A , thæåìng âæåüc goüi laì âäö thæïc cuïa 
A.(H-2.2) 
 Hçnh-2.2a Hçnh-2.2b 
Hçnh-2.1 
A1 
A2 
AXx 
P2
1
P1
P2
2
3
4
x 
A 
P1 
P2 
AX
A1 
A2 
x 
 7
 Ta coï mäüt säú âënh nghéa nhæ sau: 
 - A1: Hçnh chiãúu bàòng cuía âiãøm A . 
 - A2: Hçnh chiãúu âæïng cuía âiãøm A . 
- x = P1 x P2 : Truûc chiãúu . 
- Âæåìng näúi hai âiãøm A1,A2 : Âæåìng doïng 
- A1Ax : Âäü xa ( eïloignement) ,âæåüc qui æåïc laì dæång khi A1 nàòm 
phêa dæåïi truûc x. 
- A2Ax : Âäü cao (cote) ,âæåüc qui æåïc laì dæång khi A2 nàòm phêa trãn 
truûc x. 
2.1.3- Âäö thæïc cuía mäüt âiãøm trong bäún pháön tæ khäng gian. Caïc màût phàóng 
phán giaïc. 
 Theo qui æåïc åí 2.1.2, vë trê cuía mäüt âiãøm trong bäún pháön tæ tæång æïng 
våïi âäü xa, âäü cao nhæ sau: Pháön tæ Âäü cao Âäü xa 
 1 + + 
 2 + - 
 3 - - 
 4 - + 
 Ngæåìi ta goüi: 
 -Màût phàóng phán giaïc 1 laì màût phàóng phán giaïc âi qua pháön tæ thæï 1 
vaì thæï 3. 
 -Màût phàóng phán giaïc 2 laì màût phàóng phán giaïc âi qua pháön tæ thæï 2 
vaì thæï 4. 
 Hçnh veî dæåïi âáy cho vê duû minh hoüa âäö thæïc cuía mäüt säú âiãøm cuía 
khäng gian. (H-2.3) 
 (A∈ptæ 1) (B∈phtæ 2) (C∈phtæ 3) (D∈phtæ 4) (E∈pgiaïc 1) (F∈pgiaïc 2) 
 Hçnh - 2.3 
A1 
A2
x 
B1 
B2 
C1
C2
D1
D2
E1 
E2 F1=F2 
 8
2.2-HÃÛ BA MÀÛT PHÀÓNG HÇNH CHIÃÚU: 
 Sæí duûng thãm mäüt màût phàóng hçnh chiãúu thæï ba, kyï hiãûu laì P3 vuäng 
goïc våïi caí hai màût phàóng hçnh chiãúu P1 vaì P2 noïi trãn, ta coï hãû ba màût phàóng 
hçnh chiãúu vuäng goïc.(H-2.4) 
 Chiãúu vuäng goïc mäüt âiãøm A láön læåüt lãn P1,P2,P3,räöi gáûp P1,P3 theo 
chiãöu nhæ hçnh veî âãún truìng våïi P2 ,ta coï âäö thæïc tæång æïng cuía noï.(H-2.5) 
 Hçnh-2.4 Hçnh-2.5 
 A3: laì hçnh chiãúu caûnh cuía âiãøm A. 
 AA3=AxO : laì âäü xa caûnh cuía A , våïi qui æåïc laì dæång khi A1,A2 åí 
bãn traïi truûc z. 
P2 
A 
P1 AX 
A1
A2 
P3
A3
AY
AZ 
y
z 
x 
x 
A1
A2
AX
A3Az 
Ay' 
Ay 
z 
y 
y'O 
 9
Chæång 3: ÂÆÅÌNG THÀÓNG 
3.1-ÂÄÖ THÆÏC CUÍA ÂÆÅÌNG THÀÓNG: 
 Mäüt âæåìng thàóng âæåüc biãøu diãùn båíi hai âiãøm hay båíi hai hçnh chiãúu 
cuía noï. (H-3.1) (H-3.2) 
 Hçnh-3.1 Hçnh-3.2 
3.2-CAÏC ÂÆÅÌNG THÀÓNG ÂÀÛC BIÃÛT. 
3.2.1-Âæåìng bàòng : Laì âæåìng thàóng song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu 
bàòng P1. Âäö thæïc âæåüc veî trãn hçnh-3.3. 
 Nháûn xeït: -Hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng bàòng thç song song truûc x. 
 -Hçnh chiãúu bàòng cuía mäüt âoaûn thàóng thuäüc âæåìng bàòng thç 
bàòng chênh noï. 
3.2.2-Âæåìng màût : Laì âæåìng thàóng song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng 
P2. Âäö thæïc âæåüc veî trãn hçnh-3.4. 
 Nháûn xeït: -Hçnh chiãúu bàòïng cuía âæåìng màût thç song song truûc x 
. -Hçnh chiãúu âæïng cuía mäüt âoaûn thàóng thuäüc âæåìng màût thç 
bàòng chênh noï. 
3.2.3-Âæåìng caûnh : Laì âæåìng thàóng song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu caûnh 
P3. Âäö thæïc âæåüc veî trãn hçnh-3.5. 
 Nháûn xeït: -Hçnh chiãúu bàòng vaì hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng caûnh thç 
truìng nhau vaì vuäng goïc våïi truûc x. 
 -Hçnh chiãúu bàòng cuía mäüt âoaûn thàóng thuäüc âæåìng bàòng thç 
 bàòng chênh noï. 
* Âãø thoía maîn tênh phaín chuyãøn cuía âäö thæïc ,mäüt âæåìng caûnh phaíi âæåüc biãøu 
diãùn båíi hai âiãøm thuäüc noï. 
x x 
d1
d2
A1 
A2 
B2 
B1 
 10
 Hçnh-3.3 Hçnh-3.4 Hçnh-3.5 
3.2.4-Âæåìng thàóng chiãúu bàòng: Laì âæåìng thàóng vuäng goïc våïi màt phàóng 
hçnh chiãúu bàòng P1. Âäö thæïc âæåüc veî trãn hçnh -3.6. 
 Nháûn xeït: -Hçnh chiãúu bàòng cuía âæåìng thàóng chiãúu bàòng suy biãún thaình 
mäüt âiãøm. 
 -Hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng thàóng chiãúu bàòng laì âæåìng thàóng 
vuäng goïc våïi truûc x. 
 * Âæåìng thàóng chiãúu bàòng væìa laì âæåìng màût væìa laì dæåìng 
caûnh, nãn coï moüi tênh cháút cuía hai loaûi âæåìng noïi trãn. 
3.2.5-Âæåìng thàóng chiãúu âæïng: Laì âæåìng thàóng vuäng goïc våïi màt phàóng 
hçnh chiãúu âæïng P2. Âäö thæïc âæåüc veî trãn hçnh -3.7. 
 Nháûn xeït: -Hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng thàóng chiãúu âæïng suy biãún thaình 
mäüt âiãøm. 
 -Hçnh chiãúu bàòng cuía âæåìng thàóng chiãúu âæïng laì âæåìng thàóng 
vuäng goïc våïi truûc x. 
 * Âæåìng thàóng chiãúu âæïng væìa laì âæåìng bàòng væìa laì dæåìng 
caûnh, nãn coï moüi tênh cháút cuía hai loaûi âæåìng noïi trãn. 
3.2.6-Âæåìng thàóng chiãúu caûnh: Laì âæåìng thàóng vuäng goïc våïi màût phàóng 
hçnh chiãúu caûnh P3. Âäö thæïc âæåüc veî trãn hçnh -3.8. 
 Nháûn xeït: -Hçnh chiãúu bàòng vaì hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng thàóng chiãúu 
caûnh song song våïi truûc x ; 
 -Hçnh chiãúu caûnh cuía âæåìng thàóng chiãúu caûnh suy biãún thaình 
mäüt âiãøm. 
 * Âæåìng thàóng chiãúu caûnh væìa laì âæåìng bàòng væìa laì âæåìng 
màût, nãn coï moüi tênh cháút cuía hai loaûi âæåìng noïi trãn. 
A1 
A2 B2 
B1 
x 
h2 
h1 
x 
C1
C2
D2 
D1 
f2 
f1 
x 
E1 
E2
F2 
E3
F1
F3 
Ay 
z 
y 
y'O 
p2
p1
p3 
 11
 Hçnh-3.6 Hçnh-3.7 Hçnh-3.8 
3.3-ÂIÃÖU KIÃÛN LIÃN THUÄÜC CUÍA ÂIÃØM VAÌ ÂÆÅÌNG THÀÓNG: 
Âiãöu kiãûn 1: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø mäüt âiãøm thuäüc mäüt âæåìng thàóng thæåìng 
laì caïc hçnh chiãúu cuìng tãn thuäüc nhau. (H-3.10) 
Âiãöu kiãûn 2: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø mäüt âiãøm C thuäüc mäüt âæåìng caûnh AB laì 
tyí säú âån cuía ba âiãøm A,B,C trãn hai hçnh chiãúu bàòng nhau .(H-3.11) 
 Hçnh-3.10 Hçnh-3.11 
3.4-VÃÚT ÂÆÅÌNG THÀÓNG: 
3.4.1-Vãút bàòng: Vãút bàòng âæåìng thàóng laì giao âiãøm cuía âæåìng thàóng våïi màût 
phàóng hçnh chiãúu bàòng P1. (H-3.12) 
 Nháûn xeït:- Hçnh chiãúu âæïng cuaí vãút bàòng thuäüc truûc x. 
 - Hçnh chiãúu bàòng cuaí vãút bàòng truìng våïi chênh noï. 
3.4.1-Vãút âæïng: Vãút âæïng âæåìng thàóng laì giao âiãøm cuía âæåìng thàóng våïi màût 
phàóng hçnh chiãúu âæïng P2. (H-3.12) 
 Nháûn xeït:- Hçnh chiãúu bàòng cuaí vãút âæïng thuäüc truûc x. 
 - Hçnh chiãúu âæïng cuaí vãút âæïng truìng våïi chênh noï. 
A1≡B1≡d1 
A2 
x 
B2 
d2 
C1≡D1≡e1 
D1
x 
C1
e1
E3≡F3≡g3 E2
x 
F2 g2
g1
E1 F1 
O 
A1 
A2 
d2 
d1 
x 
B1
B2
A2 
B3 
A1
A3
C1
z 
y 
y' Ox 
C3C2
 12
 Hçnh veî -3.12 a,b biãøu diãùn vãút bàòng M vaì vãút âæïng N. 
 Hçnh-3.12a Hçnh-3.12b 
3.5- ÂÆÅÌNG THÀÓNG CÀÕT NHAU: 
Âiãöu kiãûn 1: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø hai âæåìng thàóng thæåìng càõt nhau laì caïc 
hçnh chiãúu cuìng tãn cuía chuïng càõt nhau trãn mäüt âæåìng doïng. (H-3.13) 
Âiãöu kiãûn 2: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø mäüt âæåìng thàóng thæåìng vaì mäüt âæåìng 
caûnh càõt nhau laì caïc hçnh chiãúu cuìng tãn cuía chuïng càõt nhau taûi caïc âiãøm 
thoía maîîn âäö thæïc mäüt âiãøm thuäüc âæåìng caûnh. (H-3.14) 
 Hçnh-3.13 Hçnh-3.14 
3.6- ÂÆÅÌNG THÀÓNG SONG SONG: 
Âiãöu kiãûn 1: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø hai âæåìng thàóng thæåìng song song laì caïc 
hçnh chiãúu cuìng tãn song song nhau. (H-3.15) 
Âiãöu kiãûn 2: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø hai âæåìng thàóng caûnh song song laì coï 
hai âæåìng thàóng tæûa trãn chuïng càõt nhau hoàût song song. (H-3.16) 
d2 
P1 
P2 
N1
N2≡ N
x 
d1 
M2 
M1≡ M
d 
A1 
A2
d1 
N1 
M1
d2 
M2
N2
x 
I1 
I2 
b1 a1 
b2 
a2 
x A1 
A2
B2
I2 
B1 
I1 d1 
d2 
 13
 Hçnh-3.15 Hçnh-3.16 
3.7- ÂÆÅÌNG THÀÓNG CÀÕT NHAU: 
*Hai âæåìng thàóng khäng thoía maîn âiãöu kiãûn càõt nhau vaì song song thç cheïo 
nhau. (H-3.18) 
3.8-HÇNH CHIÃÚU GOÏC VUÄNG: 
Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø mäüt goïc vuäng chiãúu thaình mäüt goïc vuäng laì mäüt caûnh 
goïc vuäng song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu vaì caûnh kia khäng vuäng goïc 
våïi màût phàóng hçnh chiãúu. (Duìng âënh lyï ba âæåìng vuäng goïc âãø chæïng minh 
mãûnh âãö trãn). 
 Trãn hçnh-3.17, goïc vuäng aOb coï caûnh a song song våïi P1 nãn hçnh 
chiãúu bàòng a1O1b1 laì goïc vuäng. Mãûnh âãö cuîng âuïng cho hai âæåìng thàóng 
cheïo nhau vaì vuäng goïc nhau. (H-3.18) 
 Hçnh-3.17 Hçnh-3.18 
a1 
a2 
x 
b2 
b1 
D1 
A2
C1 
B2
x 
B1
I2 
I1 
A1 
C2 
D2 
I1 
I2 
b1 
a1 
b2 
a2 
x x 
a2b2
b1 
a1 
 14
 14
Chæång 4: MÀÛT PHÀÓNG 
4.1- ÂÄÖ THÆÏC CUÍA MÄÜT MÀÛT PHÀÓNG: 
 Giäúng nhæ trong hçnh hoüc khäng gian, mäüt màût phàóng coï thãø âæåüc biãøu 
diãùn båíi ba âiãøm khäng thàóng haìng, båíi mäüt âiãøm vaì mäüt âæåìng thàóng khäng 
thuäüc nhau,båíi hai âæåìng thàóng càõt nhau hay song song nhæ caïc âäö thæïc âæåüc 
cho dæåïi âáy: (H-4.1) 
 (A,B,C) (D,d) (axb) (a//b) 
 Hçnh-4.1 
4.2-VÃÚT MÀÛT PHÀÓNG : 
4.2.1-Vãút bàòng: Vãút bàòng màût phàóng laì giao tuyãún cuía màût phàóng våïi màût 
phàóng hçnh chiãúu bàòng P1. Vãút bàòng cuía mäüt màût phàóng α thæåìng âæåüc kyï 
hiãûu laì mα. (H-4.2) 
 Nháûn xeït: -Hçnh chiãúu âæïng cuaí vãút bàòng truìng våïi truûc chiãúu m2α ≡ x . 
 - Hçnh chiãúu bàòng cuaí vãút bàòng truìng våïi chênh noï m1α ≡ mα . 
4.2.2-Vãút âæïng: Vãút âæïng màût phàóng laì giao tuyãún cuía màût phàóng våïi màût 
phàóng hçnh chiãúu âæïng P2. (H-4.2) 
 Nháûn xeït:- Hçnh chiãúu bàòng cuaí vãút âæïng truìng våïi truûc chiãúu n1α ≡ x . 
 - Hçnh chiãúu âæïng cuaí vãút âæïng truìng våïi chênh noï n2α ≡ nα . 
 *Læu yï: -Âæåìng thàóng thuäüc màût phàóng thç vãút cuía âæåìng thàóng thuäüc 
 caïc vãút tæång æïng cuía màût phàóng. 
a1 
a2 
x 
b2 
b1 I1 
I2
b1 d1 
b2 
d2
x 
A1 
A
B2 
B1 
C1 
C2 
D1
D2 
a2 
a1 
 15
 -Hai vãút cuaí màût phàóng phaíi giao nhau trãn truûc x hoàûc song 
song våïi truûc x (do vë trê tæång âäúi cuía 3 màût phàóng trong khäng gian) 
 Hçnh veî 4.2 a,b biãøu diãùn vãút bàòng mα vaì vãút âæïng nα cuía màût phàóng α. 
 Hçnh-4.2a Hçnh-4.2b 
4.3-CAÏC VË TRÊ ÂÀÛC BIÃÛT CUÍA MÀÛT PHÀÓNG: 
4.3.1-Màût phàóng chiãúu bàòng: Laì màût phàóng vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh 
chiãúu bàòng P1. 
 Nháûn xeït: -Hçnh chiãúu bàòng cuía màût phàóng chiãúu bàòng suy biãún thaình 
mäüt âæåìng thàóng. 
 Hçnh-4.3: Hçnh chiãúu bàòng cuía moüi âiãøm thuäüc màût phàóng chiãúu bàòng α 
âãöu thuäüc âæåìng thàóng α1. Dãù daìng tháúy ràòng vãút bàòng α laì mα ≡ α1 vaì vãút 
âæïng nα ⊥ x. 
4.3.2-Màût phàóng chiãúu âæïng: Laì màût phàóng vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh 
chiãúu âæïng P2. 
 Nháûn xeït: Hçnh chiãúu âæïng cuía màût phàóng chiãúu âæïng suy biãún thaình 
mäüt ... vuäng trãn hçnh chiãúu âæïng vaì coï thãø 
veî âæåüc âäü låïn AB laì caûnh huyãön cuía mäüt tam giaïc vuäng coï caûnh goïc vuäng laì 
hçnh chiãúu âæïng A2B2 ,caûnh kia bàòng hiãûu âäü xa cuía AB. Våïi tam giaïc náöy ta coï 
goïc nghiãng β cuía AB våïi P2. 
 Hçnh-6.1 Hçnh-6.2 
 Vê duû: Xaïc âënh âäü daìi cuía âoaûn thàóng caûnh AB. (H-6.3) 
A 
P1 
P2 
C 
A1 B1 
x 
B
α 
Hiãûu âäü cao A,B
A1B0=AB
α = (AB/P1)
A2
A1 B1 
B2
α
 (∆cao A,B)
(∆cao A,B) 
B0 
x
 30
Hiãûu âäü xa cuía AB laì A1B1 . Caûnh huyãön 
cuía mäüt tam giaïc vuäng maì mäüt caûnh laì 
A2B2 ,caûnh thæï hai laì A2A0 daìi bàòng A1B1 
cho ta âäü daìi cuía AB.( Dé nhiãn coï thãø xaïc 
âënh âäü daìi cuía AB bàòng caïch veî tam giaïc 
vuäng B1A1A00 trãn hçnh chiãúu bàòng, åí âáúy 
B1A00 = A2B2.) 
 *Biãút caïch xaïc âënh âäü daìi cuía mäüt 
âoaûn thàóng ta coï thãø xaïc âënh diãûn têch cuía 
mäüt tam giaïc, mäüt âa giaïc vaì do âoï cuía mäüt 
hçnh phàóng noïi chung. 
6.2-ÂÆÅÌNG THÀÓNG VUÄNG GOÏC VÅÏI MÀÛT PHÀÓNG: 
 Dæûa vaìo âënh lyï vãö hçnh chiãúu 
goïc vuäng vaì âënh lyï vãö âæåìng thàóng 
vuäng goïc màût phàóng trong hçnh 
chiãúu vuäng goïc, ta coï âënh lyï trãn âäö 
thæïc : 
 Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø mäüt âæåìng 
thàóng vuäng goïc våïi mäüt màût phàóng 
laì hçnh chiãúu bàòng âæåìng thàóng 
vuäng goïc våïi hçnh chiãúu bàòng âæåìng 
bàòng màût phàóng vaì hçnh chiãúu âæïng 
âæåìng thàóng vuäng goïc våïi hçnh 
chiãúu âæïng âæåìng màût cuía màût 
phàóng. 
 Tháût váûy, nãuï âæåìng thàóng d vuäng goïc våïi màût phàóng α thç d vuäng goïc våïi 
táút caí caïc âæåìng thàóng cuía màût phàóng α trong âoï coï âæåìng bàòng h vaì âæåìng 
màût f cuía noï. 
 Theo âiãöu kiãûn vãö hçnh chiãúu goïc vuäng thaình goïc vuäng : d1 ⊥ h1 vaì d2 
⊥ f2. Ngæåüc laûi nãúu d1 ⊥ h1 vaì d2 ⊥ f2 thç d ⊥ h vaì d ⊥ f laì hai âæåìng thàóng càõt 
nhau nãn d ⊥ α. Trãn hçnh-6.4 : Âæåìng thàóng d vuäng goïc våïi màût phàóng α. 
6.3-KHOAÍNG CAÏCH TÆÌ MÄÜT ÂIÃØM ÂÃÚN MÄÜT ÂÆÅÌNG THÀÓNG: 
Hçnh-6.3
A2 
A1 
B1 
B2 
A00
x
A0 
Hçnh-6.4
I1 
I2 
b1 a1 
b2 a2 
x 
f2 
d2 
d1 f1 
h2 
h1 
 31
 Giaí sæí cáön xaïc âënh khoaíng caïch tæì âiãøm A âãún âæåìng thàóng d, ta coï caïc 
phæång aïn nhæ sau: 
 -Qua A veî mäüt màût phàóng α (h,f) vuäng goïc våïi âæåìng thàóng d. (H-6.5) 
 Sæí duûng âiãöu kiãûn vuäng goïc åí 6.2, ta coï h1 ⊥ d1 vaì f2 ⊥ d2. Tçm giao âiãøm I 
cuía màût phàóng α våïi âæåìng thàóng d nhåì phæång phaïp màût phàóng phuû tråü âaî 
âæåüc khaío saït. Cuäúi cuìng duìng phæång phaïp tam giaïc xaïc âënh âäü låïn tháût cuía 
âoaûn thàóng AI. 
 -Cuîng coï thãø sæí duûng caïc phæång phaïp biãún âäøi hçnh chiãúu âãø âæa màût 
phàóng (A,d ) tråí thaình song song hay truìng våïi caïc màût phàóng hçnh chiãúu. Trãn 
hçnh 2.16 âaî sæí duûng pheïp quay quanh âæåìng bàòng âãø tçm khoaíng caïch tæì A 
âãún d. 
 Hçnh-6.5 Hçnh-6.6 
6.4-KHOAÍNG CAÏCH TÆÌ MÄÜT ÂIÃØM ÂÃÚN MÄÜT MÀÛT PHÀÓNG: 
 Phæång phaïp täøng quaït âãø tçm khoaíng caïch tæì mäüt âiiãøm âãún mäüt màût 
phàóng laì: Qua âiãøm veî mäüt âæåìng thàóng vuäng goïc våïi màût phàòng ; Tçm giao 
âiãøm cuía âæåìng thàóng væìa veî våïi màût phàóng ; Duìng phæång phaïp tam giaïc xaïc 
âënh âäü låïn tháût cuía âoaûn vuäng goïc.(H-6.6) 
 -Træåìng håüp màût phàóng laì màût phàóng chiãúu thç âoaûn vuäng goïc seî laì 
âoüan thàóng song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu, nãn âäü låïn tháût thãø hiãûn ngay 
 ∆cao A,I 
x 
A2 
A1 
I1 
I2 
A0I1=AI 
 ∆cao A,I 
A0 
d2≡ϕ2≡g2h2
d1
f2
f1
f1
A
I 
α 
 32
trãn hçnh chiãúu. Trãn hçnh 6.7, Màût phàóng âaî cho laì chiãúu âæïng vaì khoaíng caïch 
cáön tçm thãø hiãûn ngay trãn hçnh chiãúu âæïng. 
 -Hçnh 6.8, thãø hiãûn caïc bæåïc tçm khoaíng caïch tæì âiãøm A âãún màût phàóng 
biãøu diãùn bàòng vãút α(mα,nα) : 
 -Qua A veî d vuäng goïc α : d1 ⊥ mα ; d2 ⊥ nα.. 
-Sæí duûng màût phàóng phuû tråü ϕ laì chiãúu âæïng, chæïa d: ϕ2 ≡ d2≡ g2 , suy ra g1 vaì 
ì tçm âæåüc I1 = d1 x g1, âæa lãn hçnh chiãúu âæïng coï d2. 
-Sæí duûng phæång phaïp tam giaïc , coï khoaíng caïch cánö tçm AI = A1I0. 
 Hçnh-6.7 Hçnh-6.8 
 Thæåìng ngæåìi ta coï thãø sæí duûng caïc pheïp biãún âäøi hçnh chiãúu âãø âæa baìi 
toaïn vãö træåìng håüp âàûc biãût. Âæa màût phàóng vãö vë trê màût phàóng chiãúu.(xem 
chæång 7) 
A2 
A1 
x 
I2 
I1 
α2 
A2I2=AI 
nα 
d2 
mα 
ϕ2≡g2 
d1 
g1 
I2 
I1 
I0 
A2 
A1 
 33
Chæång baíy : CAÏC PHEÏP BIÃÚN ÂÄØI HÇNH CHIÃÚU CÅ BAÍN 
Khi tçm âäü låïn cuía mäüt âoaûn âæåìng bàòng ta tháúy ngay âäü låïn cuía noï åí 
hçnh chiãúu bàòng. Khi veî giao âiãøm cuía mäüt âæåìng thàóng vaì mäüt màût phàóng 
chiãúu, ta biãút mäüt hçnh chiãúu cuía noï vaì veî hçnh chiãúu thæï hai khaï dãù daìng. Såí dé 
âæåüc nhæ thãú vç caïc yãúu täú âaî cho åí vë trê âàûc biãût, phuì håüp våïi yãu cáöu baìi 
toaïn. 
 Trong hçnh hoüc hoüa hçnh ,ngæåìi ta sæí duûng caïc pheïp biãún âäøi hçnh chiãúu 
âãø biãún nhæîng hçnh chiãúu âaî cho thaình nhæîng hçnh chiãúu måïi , giuïp ta giaíi 
quyãút baìi toaïn dãù daìng hån. 
 Muäún cho mäüt hçnh Φ coï vë trê báút kyì tråí thaình coï vë trê âàûc biãût ta coï 
thãø laìm theo hai caïch sau: 
 -Giæî nguyãn hçnh Φ , thay hãû thäúng màût phàóng hçnh chiãúu cuî bàòng mäüt 
hãû thäúng màût phàóng hçnh chiãúu måïi sao cho âäúi våïi hãû thäúng màût phàóng hçnh 
chiãúu náöy hçnh Φ coï vë trê âàûc biãût. 
 -Giæî nguyãn hãû thäúng màût phàóng hçnh chiãúu, thay âäøi vë trê cuía Φ sao 
cho åí vë trê måïi hçnh Φ coï vë trê âàûc biãût âäúi våïi hãû thäúng màût phàóng hçnh chiãúu. 
7.1-PHÆÅNG PHAÏP THAY ÂÄØI MÀÛT PHÀÓNG HÇNH CHIÃÚU 
7.1.1-Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãïu âæïng: 
Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng P2 laì duìng màût phàóng P’2 vuäng goïc 
våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng P1, laìm màût phàóng hçnh chiãúu âæïng måïi.(H-7.1) 
Hçnh-7.1a Hçnh-7.1b 
A1 
A2
AX x 
P'2 
x' 
P1 
A'2
P2 
A 
P1 
AX 
A1 
A2 
P'2
A'2
Ax'
x'
x 
 34
Nháûn xeït: Xeït mäüt âiãøm A våïi caïc hçnh chiãúu A1,A2,A’2: (H-7.1b) 
 -Hçnh chiãúu bàòng A1 khäng thay âäøi. 
 -Âäü cao cuía A trong hãû thäúng måïi vaì cuî bàòng nhau AxA2 = Ax’A’2. 
Qui æoïc: Trãn hçnh -7.1b , åí truûc x’ ghi chæî P1 vãö phêa âäü xa dæång, chæî P’2 vãö 
phêa coï âäü cao dæång cuía âiãøm A. 
 Vê duû 1: Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng måïi sao cho âæåìng thàóng 
AB tråí thaình âæåìng màût trong hãû thäúng måïi. ( H-7.2) 
 Giaíi: Nãúu AB laì âæåìng màût thç hçnh chiãúu bàòng A1B1 phaíi song song våïi 
truûc hçnh chiãúu måïi x’. Váûy ta duìng màût phàóng hçnh chiãúu âæïng måïi P’2 sao cho 
A1B1 // x’. Âäü cao cuía A vaì B khäng thay âäøi nãn ta dãù daìng veî âæåüc A’2 vaì 
B’2. 
 Coï thãø duìng phæång phaïp væìa veî âãø tçm âäü låïn cuía AB vç dãù tháúy A’2B’2 
= AB. 
Hçnh-7.2 Hçnh-7.3 
Vê duû 2: Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng sao cho màût phàóng ABC tråí 
thaình màût phàóng chiãúu âæïng trong hãû thäúng màût phàóng hçnh chiãúu måïi. (H-7.3) 
 Giaíi: Màût phàóng hçnh chiãúu âæïng måïi P’2 phaíi vuäng goïc âäöng thåìi våïi 
caí hai màût phàóng P1 vaì ABC nãn noï phaíi vuäng goïc våïi âæåìng bàòng cuía ABC. 
Váûy ta veî mäüt âæåìng bàòng cuía màût phàóng ABC, chàóng haûn AD. Muäún AD tråí 
thaình vuäng goïc våïi P’2 ( âæåìng thàóng chiãúu âæïng ) thç A1D1 phaíi vuäng goïc våïi 
truûc x’. 
A1 
A2 
B2 
B1 
A'2 B'2
x 
x' P1
P'2
A2
C2
C1A1
B1
B2
I1
h2
h1
d1
x
C'2
A'2≡I'2
B'2
x'
I2
 35
 Hçnh chiãúu âæïng måïi cuía AD laì A’2 ≡ D’2 vaì hçnh chiãúu âæïng måïi cuía 
màût phàóng ABC laì âæåìng thàóng B’2A’2C’2. 
 Coï thãø duìng baìi toaïn trãn âãø tçm goïc cuía mäüt màût phàóng âäúi våïi màût 
phàóng hçnh chiãúu bàòng hoàûc veî giao âiãøm cuía âæåìng thàóng vaì màût phàóng . 
7.1.2-Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãïu bàòng: 
Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng P1 laì duìng màût phàóng P’1 vuäng goïc 
våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng P2, laìm màût phàóng hçnh chiãúu bàòng måïi.(H-7.4) 
Nháûn xeït: Xeït mäüt âiãøm A våïi caïc hçnh chiãúu A1,A2,A’1: (H-7.4b) 
 -Hçnh chiãúu âæïng A2 khäng thay âäøi. 
 -Âäü xa cuía A trong hãû thäúng måïi vaì cuî bàòng nhau AxA1 = Ax’A’1. 
Hçnh-7.4a Hçnh-7.4b 
Qui æåïc: Trãn hçnh -7.4b , åí truûc x’ ghi chæî P2 vãö phêa âäü cao dæång, chæî P’1 vãö 
phêa coï âäü xa dæång cuía âiãøm A. 
 Vê duû 3: Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng âãø cho âæåìng màût AB tråí 
thaình âæåìng thàóng chiãúu bàòng trong hãû thäúng måïi.(H-7.5) 
 Giaíi : Nãúu AB âaî tråí thaình mäüt âæåìng thàóng vuäng goïc våïi màût phàóng 
hçnh chiãúu bàòng måïi P’1 thç A2B2 vuäng goïc våïi x’. Váûy ta thay P1 thaình P’1 sao 
cho A2B2 ⊥ x’ räöi suy ra A’1 ≡ B’1. 
 Tæì vê duû náöy cuîng nhæ vê duû 2 (H-7.4) åí trãn,ta coï thãø chuyãøn mäüt âæåìng 
màût thaình âæåìng thàóng chiãúu bàòng vaì âæåìng bàòng thaình âæåìng thàóng chiãúu 
âæïng båíi mäüt láön thay màût phàóng hçnh chiãúu. 
P2 
A 
P1 
AX 
A1 
A2 
P'1A'1 
A'x 
x' 
x 
A1 
A2 
AX 
x 
x' 
A'1 
P1 
P2 
 36
Hçnh-7.5 Hçnh-7.6 
Vê duû 4: Cho màût phàóng chiãúu âæïng ABC. Thay âäøi màût phàóng hçnh 
chiãúu bàòng âãø màût phàóng ABC tråí thaình màût phàóng bàòng trong hãû thäúng måïi. 
(H-7.6) 
Giaíi : Muäún cho màût phàóng ABC song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu 
bàòng måïi P’1 thç truûc hçnh chiãúu måïi x’ phaíi song song våïi A2B2C2. 
Tæì âoï veî âæåüc A’1B’1C’1 vaì dãù tháúy : A’1B’1C’1 = ABC 
7.1.3-Thay âäøi liãn tiãúp hai màût phàóng hçnh chiãúu: 
 Khi cáön thiãút ta thay âäøi liãn tiãúp hai màût phàóng hçnh chiãúu âãø coï mäüt hãû 
hai màût phàóng hçnh chiãúu måïi. Vç váûy váún âãö chè laì thæûc hiãûn liãn tiãúp caïc pheïp 
thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng vaì màût phàóng hçnh chiãúu bàòng âaî trçnh baìy 
åí trãn. Chàóng haûn, ta thay P2, âæåüc hãû thäúng P1-P’2; Tiãúp âo ïláúy P1-P’2 laìm gäúc, 
thay P1 âãø coï mäüt hãû thäúng hoaìn toaìn måïi P’1-P’2. 
Hçnh 7-7 trçnh baìy caïch veî caïc hçnh chiãúu cuía mäüt âiãøm A khi thay âäøi 
caïc màût phàóng hçnh chiãúu theo trçnh tæû trãn. 
Chuï yï : Khi veî A’1, láúy âäü xa Ax’’A’1 = Ax’ A1 chæï khäng phaíi AxA1. 
 Vê duû :Tçm khoaíng caïch tæì âiãøm A âãún âæåìng thàóng BC. (H-7.8) 
 Giaíi : Goüi AH laì khoaíng caïch tæì A âãún BC . Muäún coï âæåüc âäü låïn cuía 
AH trãn hçnh chiãúu, ta biãún âäøi hçnh chiãúu sao cho BC vuäng goïc våïi màût 
phàóng hçnh chiãúu. Luïc âoï AH song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu væìa noïi vaì 
dãù daìng veî âæåüc hçnh chiãúu måïi cuía AH. 
C1 
C2 
D2 
D1 
f2 
f1 
C'1≡D'1
f'1 
x 
x' 
P2 
P'1
D1 
D2
E2 
E1 
x 
F2 
F1 
x' 
D'1
F'1 
E'1 
P'1 
P2 
 37
 Hçnh-7.7 Hçnh-7.8 
 Váûy ta coï caïc bæåïc giaíi nhæ sau: 
 -Thay âäøi P2 thaình P’2 âãø âæa BC // P’2. 
 -Thay âäøi P1 thaình P’1 âãø âæa BC ⊥ P’1. 
 (Caïch veî nhæ caïc vê duû åí trãn) 
 Trãn hçnh chiãúu bàòng måïi , ta coï A’1H’1 = AH. 
 Âãø veî caïc hçnh chiãúu cuî cuía H, ta veî A’2H’2 ⊥ B’2C’2 vç goïc vuäng âènh 
H coï caûnh BC // P’2 ; hoàûc hiãøu caïch khaïc, trong hãû thäúng måïi AH laì âæåìng 
bàòng ( hçnh chiãúu bàòng thãø hiãûn âäü låïn tháût âoaûn thàóng) nãn veî A’2H’2 // x’’. Tæì 
H’2, suy ra H1 räöi H2. 
7.2-PHEÏP QUAY QUANH ÂÆÅÌNG THÀÓNG CHIÃÚU BÀÒNG: 
Pheïp quay quanh âæåìng thàóng chiãúu bàòng t laì mäüt pheïp dåìi hçnh, trong âoï : 
 -Mäùi âiãøm A æïng våïi mäüt âiãøm A’ trong mäüt màût phàóng vuäng goïc våïi 
t. (H-7.9) 
 -Khoaíng caïch tæì A vaì A’ âãún t bàòng nhau : OA = OA’. 
 -Goïc (OA,OA’) = α coï hæåïng cho træåïc 
 Ta goüi t laì truûc quay vaì OA laì baïn kênh quay. 
 Nháûn xeït : 
 -Hçnh chiãúu âæïng caïc âæåìng thàóng näúi caïc âiãøm tæång æïng song song våïi 
truûc hçnh chiãúu x. 
 -Hçnh chiãúu bàòng cuía goïc (OA,OA’) bàòng chênh noï. 
A1 
A2 
AX x 
P'2 
x' 
P1 
A'2
x'' 
A'1
P'1
P2
C1 
A2
B2 
B1 
C'2 B'2 
x 
x' 
P1 
P'2
C2 
H2
H1
A1
A'2
H'2
A'1
x'' 
P'1 P'2 
B'1≡C'1 
 38
 *Dãù tháúy trãn hçnh chiãúu bàòng ,pheïp quay quanh âæåìng thàóng chiãúu 
bàòng thãø hiãûn nhæ pheïp quay quanh mäüt âiãøm trong hçnh hoüc phàóng. 
7.3-PHEÏP QUAY QUANH ÂÆÅÌNG THÀÓNG CHIÃÚU ÂÆÏNG: 
Ta coï âënh nghéa vaì tênh cháút cuía pheïp quay quanh âæåìng thàóng chiãúu âæïng 
tæång tæû nhæ muûc 7.2 .Hçnh -7.10 thãø hiãûn âiãøm B quay quanh truûc t vuäng goïc 
P2 âãún vë trê måïi M' goïc quay α. 
7.4-PHEÏP QUAY QUANH ÂÆÅÌNG BÀÒNG: 
Âáy laì pheïp quay quanh truûc vaì truûc xoay laì mäüt âæåìng bàòng. 
 Ta xeït mäüt âiãøm M quay quanh âæåìng bàòng h âãún vë trê M' cuìng âäü cao 
våïi h (H-7.11). 
 +M1M'1 vuäng goïc våïi h1 vç màût phàóng caïc baïn kênh quay OM.OM' 
vuäng goïc våïi h. 
 +O1M1 = OM vç OM âaî song song våïi P1. Tæì âoï muäún veî âiãøm M'1 ta 
tiãún haình nhæ sau: 
-Veî âäü låïn cuía baïn kênh quay OM. Trãn hçnh veî ta duìng phæång phaïp tam giaïc 
O1M0 = OM. 
-Âàût trãn âæåìng thàóng O1M1 ( ⊥ h1) âoaûn O1M'1 = O1M0 ( ta coï M'1 hoàûc M''1 ). 
 Vê duû æïng duûng: Tçm âäü låïn cuía tam giaïc ABC bàòng pheïp quay quanh 
âæåìng bàòng. ( H-7.12) 
 Giaíi: Veî mäüt âæåìng bàòng cuía tam giaïc ABC, chàóng haûn AD. Quay âiãøm 
B hoàûc C quanh AD âãún cuìng âäü cao våïi AD. Vë trê måïi cuía C laì C'. Tæì âoï suy 
ra vë trê måïi B' cuía B. Chuï yï ràòng âiãøm D nàòm trãn truûc quay nãn khäng thay 
Hçnh-7.9 
t2 
t1≡O1 
A2 A'2 
A1 A'1 
O2 
α 
x 
Hçnh-7.10 
t1
t2≡O2
B1 B'1 
B2 B'2 
O1
α 
x
 39
âäøi vë trê, B1B'1 vuäng goïc våïi h1 . Trãn hçnh-7.12 A'1B'1C'1 = ABC vç ABC âaî 
song song våïi P1. 
7.5-PHEÏP QUAY QUANH ÂÆÅÌNG MÀÛT: 
Tæång tæû nhæ muûc 7.4 ta quay màût phàóng âãún song song våïi P2 våïi truûc quay laì 
âæåìng màût cuía màût phàóng. 
7.6-PHEÏP GÁÛP MÀÛT PHÀÓNG QUANH CAÏC VÃÚT : 
7.6.1-Pheïp gáûp màût phàóng quanh vãút bàòng: 
Pheïp gáûp màût phàóng quanh vãút bàòng laì pheïp quay màût phàóng quanh vãút bàòng 
cuía noï âæa noï âãún truìng våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng. 
 Ta xeït mäüt âiãøm N gáûp quanh vãút bàòng mα âãún vë trê N’ thuäüc màût 
phàóng P1 hay coï âäü cao bàòng khäng: (H-7.13) 
Hçnh-7.11 Hçnh-7.12
h2 
h1 
M2 
O2 
O2 
M'1 
M''1 
M1 
A2
C2
C1
B1
B2
D1
h2
h1
d1
C'1
A'1≡A1
B'1
D2
Hçnh-7.13 Hçnh-7.14
nα 
Xα 
mα 
N≡N2 
M1
A'1 
A1 
M2N1 
n'α 
N≡N'1 
nα 
Xα 
mα 
N2
K1 A'1 
A1
K2 N1
n'α 
N'1
B'1 
C'1 
C1 
B1 
B2 
C2 
A2
 40
-N1N’1 vuäng goïc våïi mα vç màût phàóng caïc baïn kênh quay ON, ON’ vuäng goïc 
våïi mα. 
 -Sau khi gáûp âoaûn XαN’ bàòng thæûc nãn âàût XαN’ = XαN. 
 -XαN’ laì vë trê gáûp cuía vãút âæïng n’α. 
 Trãn hçnh 7.13 coï veî vë trê gáûp cuía âiãøm A thuäüc màût phàóng bàòng caïch 
gàõn A vaìo âæåìng thàóng MN cuía màût phàóng. 
Vê duû: Veî trong màût phàóng α (mα,nα) mäüt tam giaïc âãöu ABC. Caûnh AB 
cuía tam giaïc âaî cho. (H-7.14) 
 Giaíi: Âãø xaïc âënh âènh C ta gáûp màût phàóng α chàóng haûn vaìo màût phàóng 
P1. Viãûc gáûp âæåüc thæûc hiãûn bàòng caïch quay mäüt âiãøm N thuäüc vãút âæïng cuía α 
nhæ væìa trçnh baìy åí hçnh 7.13. Vãút âæïng nα cuía màût phàóng gáûp thaình n’1α ≡ 
XαN’. Hçnh gáûp cuía AB laì A’1B’1, veî âæåüc bàòng caïch gàõn noï lãn âæåìng thàóng 
IK.Vç I ∈ nα 
Nãn I’ thuäüc n’α ; K ∈ mα nãn K ≡ K’ . Våïi A’1B’1 laìm caûnh, veî tam giaïc âãöu 
A’1B’1C’1. A’1B’1C’1 chênh laì hçnh gáûp cuía tam giaïc ABC cáön veî. Sau âoï theo C’1 
xaïc âënh C1 vaì C2. 
7.6.2-Pheïp gáûp màût phàóng quanh vãút âæïng: 
 Hoaìn toaìn tæång tæû nhæ pheïp gáûp màût phàóng quanh vãút bàòng.