Giáo trình Giải tích I

BÙI XUÂN DIỆU
KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG
Bài Giảng
GIẢI TÍCH I
(lưu hành nội bộ)
HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ - TÍCH PHÂN - HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giải
Hà Nội- 2009
MỤC LỤC
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1 . Hàm số một biến số (13LT+13BT). . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Sơ lược về các yếu tố Lôgic; các tập số: N,Z,Q,R . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Trị tuyệt đối và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần
3.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Vô cùng lớn, vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.1 Vô cùng bé (VCB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2 Vô cùng lớn (VCL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.1 Các định lý về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.2 Qui tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10 Các lược đồ khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.2 Khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng tham số . . . . . . . . . . . 34
10.3 Khảo sát và vẽ đường cong trong hệ toạ độ cực . . . . . . . . . . . . . 35
10.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Chương 2 . Phép tính tích phân một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
2 MỤC LỤC
1.1 Nguyên hàm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.4 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5 Tích phân các biểu thức vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Các tiêu chuẩn khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Tích phân với cận trên thay đổi (hàm tích phân) . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 Hệ thống bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Các ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1 Tính diện tích hình phằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Tính độ dài đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Tính diện tích mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ . . . . . . . . . . . 70
4.4 Các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Chương 3 . Hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.2 Tính liên tục của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.1 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2 Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3 Đạo hàm của hàm số hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.5 Đạo hàm theo hướng - Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.6 Hàm ẩn - Đạo hàm của hàm số ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 Cực trị của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1 Cực trị tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2
MỤC LỤC 3
3.2 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3
4 MỤC LỤC
4
CHƯƠNG1
HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ (13LT+13BT)
§1. SƠ LƯỢC VỀ CÁC YẾU TỐ LÔGIC; CÁC TẬP SỐ:
N,Z,Q,R
1. Phần Lôgic không dạy trực tiếp (phần này Đại số đã dạy) mà chỉ nhắc lại những
phép suy luận cơ bản thông qua bài giảng các nội dung khác nếu thấy cần thiết.
2. Giới thiệu các tập số; cần nói rõ tập Q tuy đã rộng hơn Z nhưng vẫn chưa lấp đầy
trục số còn tập R đã lấp đầy trục số và chứa tất cả các giới hạn của các dãy số hội tụ,
ta có bao hàm thức
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
§2. TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT
Nhắc lại định nghĩa và nêu các tính chất sau
• |x| ≥ 0, |x| = 0⇐⇒ x = 0, |x + y| ≤ |x|+ |y|;
• |x− y| ≥ ||x| − |y|| , |x| ≥ A⇐⇒ x ≥ A hoặc x ≤ −A
• |x| ≤ B⇐⇒ −B ≤ x ≤ B.
5
6 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)
§3. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ, TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ VÀ
CÁC KHÁI NIỆM: HÀM CHẴN, HÀM LẺ, HÀM TUẦN
HOÀN, HÀM HỢP, HÀM NGƯỢC
1. Định nghĩa hàm số:
Nhắc lại định nghĩa ở phổ thông. Chú ý nếu viết dưới dạng ánh xạ f : X → R thì tập
xác định đã rõ chính là X còn biểu thức của f (dưới dạng biểu thức giải tích) là chưa
rõ, có thể không tìm được biểu thức ấy. Còn nếu hàm số được cho dưới dạng biểu thức
giải tích thì cần phải xác định rõ miền xác định của hàm số. Trong chương trình chỉ
tập trung vào cách cho hàm số dạng một hay nhiều biểu thức giải tích.
Một số hàm Dirichlet, dấu, phần nguyên có thể nêu dưới dạng ví dụ hay thể hiện qua
các phần dạy khác.
Tập giá trị của hàm số:
2. Hàm số đơn điệu
3. Hàm số bị chặn (chặn trên, chặn dưới, bị chặn).
4. Hàm chẵn, hàm lẻ (tính chất của đồ thị và kết quả f (x) = hàm chẵn + hàm lẻ).
5. Hàm tuần hoàn:
Nêu qua định nghĩa, ví dụ là các hàm số lượng giác.
Trong phạm vi chương trình chủ yếu là xem có số T 6= 0(T > 0) nào đó thỏa mãn
f (x + T) = f (x) mà không đi sâu vào việc tìm chu kỳ (số T > 0 bé nhất).
6. Hàm hợp: định nghĩa và ví dụ.
7. Hàm ngược:
(a) Định nghĩa
(b) Mối quan hệ giữa đồ thị của hai hàm
(c) Định lý về điều kiện đủ để tồn tại hàm ngược, (tăng hay giảm)
(d) Trên cơ sở định lý trên xây dựng các hàm số lượng giác ngược và vẽ đồ thị của
chúng. Ở phổ thông học sinh đã biết y = ax , y = loga x là các hàm ngược của
nhau
8. Hàm số sơ cấp
6
3. Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm
tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược 7
(a) Nêu các hàm số sơ cấp cơ bản:
y = xα, y = ax, y = loga x, y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x
y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arccotg x.
(b) Định nghĩa hàm số sơ cấp:
Nêu ví dụ về 3 lớp hàm sơ cấp: đa thức, phân thức hữu tỷ, hyperbolic.
3.1 Bài tập
Bài tập 1.1. Tìm TXĐ của hàm số
a) y = 4
√
lg(tan x) b) y = arcsin
2x
1 + x
c) y =
√
x
sin pix
d) y = arccos(2 sin x)
Lời giải.
a. TXĐ = {pi/4 + kpi ≤ x ≤ pi/2 + kpi, k ∈ Z} b. TXĐ = {−1/3 ≤ x ≤ 1}
c. TXĐ = {x ≥ 0, x 6∈ Z} d. TXĐ = {−pi
6
+ kpi ≤ x ≤ pi
6
+ kpi, k ∈ Z}
Bài tập 1.2. Tìm miền giá trị của hàm số
a. y = lg(1− 2 cos x) b. y = arcsin
(
lg
x
10
)
Lời giải. a. MGT = {−∞ ≤ y ≤ lg 3} b. MGT = {−pi/2 ≤ y ≤ pi/2}
Bài tập 1.3. Tìm f (x) biết
a. f
(
x +
1
x
)
= x2 +
1
x2
b. f
(
x
1 + x
)
= x2.
Lời giải. a. ĐS : f (x) = x2 − 2 với |x| ≥ 2. b. ĐS: f (x) =
(
x
1− x
)2
∀x 6= 1.
Bài tập 1.4. Tìm hàm ngược của hàm số (trên miền mà hàm số có hàm ngược)
a. y = 2x + 3. b. y =
1− x
1 + x
c. y =
1
2
(ex + e−x)
Lời giải. a) ĐS : y =
1
2
x− 3
2
b) ĐS : y = y =
1− x
1 + x
7
8 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)
c) Ta có y′ =
1
2
(ex − e−x) nên hàm số đã cho không là một đơn ánh. Ta phải xét trên 2
miền:
Trên miền x ≥ 0, từ y = 1
2
(ex + e−x)⇒ex = y±√y2 − 1⇒x = ln(y +√y2 − 1). Ta
có song ánh:
[0, +∞)→ [1, +∞)
x 7→ y = 1
2
(ex + e−x)
ln(y +
√
y2 − 1)← y
Vậy hàm ngược trên miền x ≥ 0 là y = ln(x +√x2− 1), x ≥ 1.
Trên miền x ≤ 0, tương tự ta có hàm ngược là y = ln(x−√x2− 1), x ≤ 1.
Bài tập 1.5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
a. f (x) = ax + a−x(a > 0)
b. f (x) = ln(x +
√
1− x2)
c. f (x) = sin x + cos x
Lời giải. a. ĐS: hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b. ĐS: hàm số đã cho là hàm số lẻ.
c. ĐS: hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
Bài tập 1.6. Chứng minh rằng bất kì hàm số f (x) nào xác định trong một khoảng đối
xứng (−a, a) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và
một hàm số lẻ.
Lời giải. Với mỗi f (x) bất kì ta luôn có
f (x) =
1
2
[ f (x) + f (−x)]︸ ︷︷ ︸
g(x)
+
1
2
[ f (x)− f (−x)]︸ ︷︷ ︸
h(x)
trong đó g(x) là một hàm số chẵn, còn h(x) là một hàm số lẻ.
Bài tập 1.7. Xét tính tuần hoàn và chu kì của hàm số sau (nếu có)
a. f (x) = A cos λx + B sin λx
8
3. Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm
tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược 9
b. f (x) = sin x +
1
2
sin 2x +
1
3
sin 3x
c. f (x) = sin2 x
d. f (x) = sin(x2)
Lời giải. a) Giả sử T > 0 là một chu kì của hàm số đã cho. Khi đó
f (x + T) = f (x)∀x ∈ R
⇔A cos λ(x + T) + B sin λ(x + T) = A cos λx + B sin λx ∀x ∈ R
⇔A[cos λx− cos λ(x + T)] + B[sin λx− sin λ(x + T)] = 0 ∀x ∈ R
⇔2 sin −λT
2
[A sin(λx +
λT
2
) + B cos(λx +
λT
2
)] = 0 ∀x ∈ R
⇔ sin λT
2
= 0
⇔ T =
∣∣∣∣2kpiλ
∣∣∣∣ .
Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T =
2pi
|λ| .
b. Theo câu a) thì hàm số sin x tuần hoàn với chu kì 2pi, hàm số sin 2x tuần hoàn với
chu kì pi, hàm số sin 3x tuần hoàn với chu kì
2pi
3
. Vậy f (x) = sin x +
1
2
sin 2x +
1
3
sin 3x
tuần hoàn với chu kì T = 2pi
c. f (x) = sin2 x =
1− cos 2x
2
tuần hoàn với chu kì T = pi
d. Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T > 0.Khi đó
sin(x + T)2 = sin(x2)∀x.
1. Cho x = 0⇒T = √kpi, k ∈ Z, k > 0.
2. Cho x =
√
pi⇒k là số chính phương. Giả sử k = l2, l ∈ Z, l > 0.
3. Cho x =
√
pi
2
ta suy ra điều mâu thuẫn.
Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.
Bài tập 1.8. Cho f (x) = ax + b, f (0) = −2, f (3) = −5. Tìm f (x).
Lời giải. ĐS: f (x) =
7
3
x− 2.
Bài tập 1.9. Cho f (x) = ax2 + bx + c, f (−2) = 0, f (0) = 1, f (1) = 5. Tìm f (x).
9
10 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)
Lời giải. ĐS: f (x) =
7
6
x2 +
17
6
x + 1.
Bài tập 1.10. Cho f (x) = 1
2
(ax + a−x), a > 0. Chứng minh rằng :
f (x + y) + f (x− y) = 2 f (x) f (y).
Bài tập 1.11. Giả sử f (x) + f (y) = f (z). Xác định z nếu:
a. f (x) = ax, a 6= 0. b. f (x) = arctan x
c. f (x) =
1
x
d. f (x) = lg
1 + x
1− x
Lời giải.
a. ĐS: z = x + y b. ĐS: z =
x + y
1− xy
c. ĐS: z =
xy
x + y
d. ĐS: z =
x + y
1 + xy
§4. DÃY SỐ
Định nghĩa dãy số, các khái niệm về dãy đơn điệu, bị chặn, giới hạn và các phép toán.
Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn (tiêu chuẩn kẹp, tiêu chuẩn đơn điệu, tiêu chuẩn Cauchy).
1. Nhắc lại định nghĩa dãy số và các khái niệm về dãy bị chặn, đơn điệu
2. Định nghĩa giới hạn dãy số và nêu một ví dụ. Các khái niệm về dãy số hội tụ, phân
kỳ. Nêu tính chất giới hạn nếu có là duy nhất, mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
3. Các phép toán
4. Ý tưởng về giới hạn ∞
5. Các tiêu chuẩn hội tụ
(a) Đơn điệu bị chặn, ví dụ mô tả số e.
(b) Tiêu chuẩn kẹp
(c) Định nghĩa dãy Cauchy, tiêu chuẩn Cauchy. Nêu ví dụ dãy (an):
an = 1 +
1
2
+
1
3
+ · · ·+ 1
n
phân kỳ.
10
4. Dãy số 11
4.1 Bài tập
Bài tập 1.12. Tìm giới hạn của các dãy số sau:
a. xn = n−
√
n2 − n b. xn =
√
n(n + a)− n c. xn = n + 3
√
1− n3
d. xn =
n
2
sin
npi
2
e. xn =
sin2 n− cos3 n
n
Lời giải. a. ĐS:
1
2
b. ĐS:
a
2
c. ĐS: 0 d. ĐS: phân kì e. ĐS: 0
Bài tập 1.13. Xét dãy số xn = xn−1 +
1
xn−1
, x0 = 1.
a. Chứng minh rằng dãy {xn} không có giới hạn hữu hạn.
b. Chứng minh rằng lim
n→∞ xn = +∞.
Bài tập 1.14. Xét un = (1 +
1
n
)n.Chứng minh rằng {un} là một dãy số tăng và bị chặn.
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
1 + (1 +
1
n
) + . . . + (1 +
1
n
) ≥ (n + 1) n+1
√
(1 +
1
n
)n.
⇒(1 + 1
n + 1
)n+1 ≥ (1 + 1
n
)n
Hơn nữa ta có
un = (1 +
1
n
)n =
n
∑
k=0
Ckn.
1
nk
k! = 1.2 . . . k ≥ 2k−1∀k ≥ 2
⇒Ckn.
1
nk
=
n.(n− 1) . . . (n− k + 1)
k!
.
1
nk
<
1
k!
≤ 1
2k−1
⇒un < 1 + 1 + 1
2
+
1
22
+ . . . +
1
2k−1
< 3.
Bài tập 1.15. Cho sn = 1 +
1
1!
+ . . . +
1
n!
.Chứng minh rằng {sn} tăng và bị chặn.
Lời giải. Chú ý : lim
n→+∞ un = limn→+∞ sn = e.
Bài tập 1.16. Tính lim
n→+∞
1 + a + . . . + an
1 + b + . . . + bn
; |a| < 1, |b| < 1.
11
12 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)
Lời giải.
lim
n→+∞
1 + a + . . . + an
1 + b + . . . + bn
= lim
n→+∞
1− an+1
1− a .
1− b
1− bn+1 =
1− b
1− a
Bài tập 1.17. Tính lim
n→+∞
√
2 +
√
2 + . . . +
√
2 (n dấu căn).
Lời giải. Đặt un =
√
2 +
√
2 + . . . +
√
2 ta có u2n+1 = 2 + un. Trước hết chứng minh {un}
là một dãy số tăng và bị chặn, 0 ≤ un ≤ 2. Theo tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn, {un} là một
dãy số hội tụ. Giả sử lim
n→∞ un = a, 0 < a < 2 thì từ phương trình u
2
n+1 = 2 + un, cho n → ∞
ta có
a2 = a + 2
Vậy a = 2 hay lim
n→+∞
√
2 +
√
2 + . . . +
√
2 = 2
Bài tập 1.18. Tính lim
n→+∞(n−
√
n2 − 1) sin n.
Lời giải. lim
n→+∞(n−
√
n2 − 1) sin n = lim
n→+∞
sin n
n +
√
n2 − 1 = 0 (theo tiêu chuẩn kẹp)
Bài tập 1.19. Tính lim
n→+∞[cos(ln n)− cos(ln(n + 1))].
Lời giải. Ta có
cos(ln n)− cos(ln(n + 1)) = −2 sin
(
ln n + ln(n + 1)
2
)
. sin
(
ln n− ln(n + 1)
2
)
= −2 sin ln n(n + 1)
2
sin
ln nn+1
2
nên
0 ≤ |cos(ln n)− cos(ln(n + 1))| ≤ 2
∣∣∣∣sin ln nn+12
∣∣∣∣
Mặt khác lim
n→∞ sin
ln nn+1
2
= 0 nê ... 

x arctg
( y
x
)2 nếu x 6= 0
0 nếu x = 0
b.
f (x, y) =


x sin y− y sin x
x2 + y2
nếu (x, y) 6= (0, 0)
0 nếu (x, y) = (0, 0) .
86
2. Đạo hàm và vi phân 87
Lời giải. a. Ta dễ thấy hàm số liên tục với mọi (x, y) 6= (0, y).
Xét x = 0, vì
∣∣∣x arctg ( yx)2∣∣∣ ≤ pi2 |x| nên limx→0 x. arctg ( yx)2 = 0 = f (0, y) . Vậy f (x, y) liên
tục trên R2.
Với x 6= 0 các đạo hàm riêng tồn tại và liên tục:
z′x = arctg
(y
x
)2 − 2x2y2
x4 + y4
, z′y =
2x3y
x4 + y4
Xét tại x = 0,

f ′x (0, y) = lim
h→0
f (h, y)− f (0, y)
h
= arctg
(
h
y
)2
=

 0, y = 0
pi
2 , y 6= 0
f ′y (0, y) = lim
k→0
f (0, y + k)− f (0, y)
k
= lim
k→0
0 = 0
Vậy ta thấy f ′x (x, y) liên tục trên R2\ (0, 0) ; f ′y (x, y) liên tục trên R2.
b. Hàm số liên tục trên R2\ (0, 0), còn tại (0, 0) thì
0 ≤
∣∣∣∣x sin y− ysinxx2 + y2
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ xyx2 + y2
(
sin y
y
− sin x
x
)∣∣∣∣ ≤ 12
∣∣∣∣sin yy − sin xx
∣∣∣∣
nên
lim
x→0
y→0
∣∣∣∣x sin y− ysinxx2 + y2
∣∣∣∣ = 0
Vậy f (x, y) liên tục trên R2.
Bài tập 3.6. Giả sử z = y f
(
x2 − y2) , ở đó f là hàm số khả vi. Chứng minh rằng đối với
hàm số z hệ thức sau luôn thoả mãn
1
x
z′x +
1
y
z′y =
z
y2
Lời giải. Ta có
z′x = y f
(
x2 − y2
)
.2x, z′y = f
(
x2 − y2
)
+ y. f
(
x2 − y2
)
. (−2y)
nên
1
x
z′x +
1
y
z′y =
f
(
x2 − y2)
y
=
z
y2
Bài tập 3.7. Tìm đạo hàm của hàm số hợp sau đây
a. z = eu2−2v2 , u = cos x, v =
√
x2 + y2.
87
88 Chương 3. Hàm số nhiều biến số
b. z = ln
(
u2 + v2
)
, u = xy, v = xy .
c. z = arcsin (x− y) , x = 3t, y = 4t3.
Lời giải. a. Ta có {
u′x = − sin x
u′y = 0
;


v′x = x√x2+y2
v′y =
y√
x2+y2
;
nên 
z
′
x = e
cos x2−2(x2+y2) [− sin 2x− 4x] .
z′y = e
cos x2−2(x2+y2) [−4y] .
b. Ta có {
u′x = y
u′y = x
;
{
v′x = 1y
v′y = −xy2
nên
z′x =
2
x
, z′y =
2
(
y4 − 1)
y (y4 + 1)
c. Ta có {
x′t = 3
y′t = 12t2
nên
z′t =
1√
1− (x− y)2
(
3− 12t2
)
Bài tập 3.8. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số
a. z = sin
(
x2 + y2
)
. b. z = ln tg
y
x
c. z = arctg
x + y
x − y d. u = x
y2z. (3.2)
Lời giải. a.
dz = cos
(
x2 + y2
)
(2xdx + 2ydy)
b.
dz =
2
sin
2y
x
.
(
xdy− ydx
x2
)
.
88
2. Đạo hàm và vi phân 89
c.
dz =
(x− y) dx + (x + y) dy
(x− y)2 + (x + y)2
.
d.
du = xy
2z
(
y2z
x
dx + 2yz ln xdy + y2 ln xdz
)
.
Bài tập 3.9. Tính gần đúng
a. A = 3
√
(1, 02)2 + (0, 05)2 b. B = ln
(
3
√
1, 03 + 4
√
0, 98− 1)
Lời giải. a. Xét hàm f (x, y) = 3
√
x2 + y2, ∆x = 0, 02; ∆y = 0, 05; x = 1; y = 0. Ta có
f ′x =
1
3 (x2 + y2)
2/3
2x; f ′y =
1
3 (x2 + y2)
2/3
2y
Khi đó
f (1 + ∆x, 0 + ∆y) ≈ f (1, 0) + f ′x (1, 0) ∆x + f ′y (1, 0) ∆y = 1 +
2
3
.0, 02 + 0.0, 05 = 1, 013.
b. Xét hàm
f (x, y) = ln
(
3
√
x + 4
√
y− 1) ; x = 1; y = 1; ∆x = 0, 03; ∆y = 0, 02
Ta có
f ′x =
1
3
√
x + 4
√
y− 1.
1
3x
2
3
; f ′y =
1
3
√
x + 4
√
y− 1.
1
3y
3
4
Khi đó
f (1 + ∆x, 1 + ∆y) ≈ f (1, 1) + f ′x (1, 1) ∆x + f ′y (1, 1) ∆y = 0 +
1
3
.0, 03 +
1
4
(−0, 02) = 0, 005.
Bài tập 3.10. Tìm đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau
a. x3y− y3x = a4; tính y′ b. arctg x + y
a
=
y
a
; tính y′
c. x + y + z = ez; tính z′x, z′y d. x3 + y3 + z3 − 3xyz = 0, tính z′x, z′y
Lời giải.
a. Xét hàm số ẩn F (x, y) = x3y− y3x− a4 = 0, có F′x = 3x2y− y3; F′y = x3 − 3y2x. Vậy
y′ =
−F′x
F′y
= −3x
2y− y3
x3 − 3y2x
89
90 Chương 3. Hàm số nhiều biến số
b. Xét hàm số ẩn F (x, y) = arctg x+ya − ya có


F′x =
1
a
1+( x+ya )
2 =
a
a2+(x+y)2
F′y = aa2+(x+y)2 −
1
a =
a2−a2−(x+y)2
a(a2+(x+y)2)
nên
y′ =
a
(x + y)2
.
c. Xét hàm số ẩn F (x, y, z) = x + y + z− ez có F′x = 1; F′y = 1; F′z = 1− ez nên
z′x =
−1
1− ez ; z
′
y =
−1
1− ez
d. Xét hàm số ẩn F (x, y) = x3 + y3 + z3 − 3xyz = 0 có F′x = 3x2 − 3yz; F′y = 3y2 − 3xz; F′z =
3z2 − 3xy nên
z′x =
3yz− 3x2
3z2 − 3xy ; z
′
x =
3xz− 3y2
3z2 − 3xy
Bài tập 3.11. Cho u = x+zy+z , tính u′x, u′y biết rằng z là hàm số ẩn của x, y xác định bởi
phương trình z.ez = x.ex + y.ey
Lời giải. Xét hàm số F (x, y, z) = zez − xex − yey = 0 có


F′x = − (ex + xex)
F′y = − (ey + yey)
F′z = ez + zez
nên


u′x =
(1 + z′x) . (y + z)− (x + z) (z′x)
(y + z)2
=
(
1 + e
x+xex
ez+zez
)
− (x + z) ex+xexez+zez
(y + z)2
u′y =
(x + z) .
(
1 + z′y
)
− (y + z)
(
z′y
)
(y + z)2
=
(x + z) .
(
1 + e
y+yey
ez+zez
)
− (y + z)
(
ey+yey
ez+zez
)
(y + z)2
Bài tập 3.12. Tìm đạo hàm của các hàm số ẩn y(x), z(x) xác định bởi hệ
x + y + z = 0x2 + y2 + z2 = 1
Lời giải. Lấy đạo hàm hai vế của các phương trình của hệ ta có
1 + y
′
x + z
′
x = 0
2x + 2yy′x + 2zz′x = 0
nên 

y′x =
z− x
y− z
z′x =
x− y
y− z
90
2. Đạo hàm và vi phân 91
Bài tập 3.13. Phương trình z2 + 2x =
√
y2 − z2, xác định hàm ẩn z = z (x, y). Chứng minh
rằng x2z′x + 1y z
′
y =
1
z
Lời giải. Xét hàm số F (x, y, z) = z2 + 2x −
√
y2 − z2 có


F′x = − 2x2
F′y =
−y√
y2−z2
F′z = 2z + z√y2−z2
nên


z′x =
2
x2
2z + z√
y2−z2
z′y =
−y√
y2−z2
2z + z√
y2−z2
Từ đó suy ra x2z′x +
z′y
y =
1
z .
Bài tập 3.14. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau
a. z =
1
3
√
(x2 + y2)
3 b. z = x2 ln
(
x2 + y2
)
c. z = arctg
y
x
Lời giải. a. Ta có

z
′
x = x
√
x2 + y2
z′y = y
√
x2 + y2
nên


z′′xx =
√
x2 + y2 + x
2x
2
√
x2 + y2
=
2x2 + y2√
x2 + y2
z′′yy =
√
x2 + y2 + y
2y
2
√
x2 + y2
=
x2 + 2y2√
x2 + y2
z′′xy =
2xy
2
√
x2 + y2
=
xy√
x2 + y2
b. Ta có


z′x = 2x ln (x + y) +
x2
x + y
z′y =
x2
x + y
nên


z′′xx = 2 ln (x + y) +
2x
x + y
+
2x (x + y)− x2
(x + y)2
z′′xy =
2x
x + y
+
−x2
(x + y)2
z′′yy =
x2
(x + y)2
c. Ta có


z′x =
1
1 +
( y
x
)2 .−yx2 = −yx2 + y2
z′y =
1
1 +
( y
x
)2 1x = xx2 + y2
nên


z′′xx =
2xy
(x2 + y2)
2
z′′xy =
− (x2 + y2)+ y.2y
(x2 + y2)
2
=
y2 − x2
(x2 + y2)
2
z′′yy =
−2xy
(x2 + y2)
2
91
92 Chương 3. Hàm số nhiều biến số
Bài tập 3.15. Tính vi phân cấp hai của các hàm số sau
a. z = xy2 − x2y b. z = 1
2 (x2 + y2)
Lời giải. a. Ta có dz =
(
y2 − 2xy) dx + (2xy− x2) dy nên
d2z = −2y (dx)2 + 4 (y− x) dxdy+ (2y) (dy)2
b. Ta có dz = x
2(x2+y2)
2 dx +
y
2(x2+y2)
2 dy nên
d2z =
y2 − 3x2
(x2 + y2)
3
(dx)2 − 4xy
(x2 + y2)
3
dxdy +
x2 − 3y2
(x2 + y2)
3
(dy)2
§3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
3.1 Cực trị tự do
Định nghĩa 3.9. Cho hàm số z = f (x, y) xác định trong một miền D và M0(x0, y0) ∈ D.
Ts nói rằng hàm số f (x, y) đạt cực trị tại M0 nếu với mọi điểm M trong lân cận nào đó của
M0 nhưng khác M0, hiệu số f (M)− f (M0) có dấu không đổi.
• Nếu f (M)− f (M0) > 0 trong một lân cận nào đó của M0 thì M0 được gọi là cực tiểu
của hàm số f tại M0.
• Nếu f (M) − f (M0) < 0 trong một lân cận nào đó của M0 thì M0 được gọi là cực đại
của hàm số f tại M0.
Trong phần tiếp theo chúng ta sử dụng các kí hiệu sau:
p = f ′x(M), q = fy(M), r = fxx”(M), s = fxy”(M), t = fyy”(M)
Định lý 3.27. Nếu hàm số f (x, y) đạt cực trị tại M và tại đó các đạo hàm riêng p =
f ′x(M), q = fy(M) tồn tại thì các đạo hàm riêng ấy bằng không.
Định lý 3.28. Giả sử hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong
một lân cận nào đó của M0(x0, y0). Giả sử tại M0 ta có p = q = 0, khi đó
1. Nếu s2 − rt 0, là cực đại nếu
r < 0.
92
3. Cực trị của hàm số nhiều biến số 93
2. Nếu s2 − rt > 0 thì f (x, y) không đạt cực trị tại M0.
Chú ý: Nếu s2 − rt = 0 thì chưa kết luận được điều gì về điểm M0, nó có thể là cực trị,
cũng có thể không. Trong trường hợp đó ta sẽ dùng định nghĩa để xét xem M0 có phải là
cực trị hay không bằng cách xét hiệu f (M) − f (M0), nếu nó xác định dấu trong một lân
cận nào đó của M0 thì nó là cực trị và ngược lại.
Bài tập 3.16. Tìm cực trị của các hàm số sau
a. z = x2 + xy + y2 + x− y + 1 b. z = x + y− x.ey
c. z = 2x4 + y4 − x2 − 2y2 d. z = x2 + y2 − e−(x2+y2)
Lời giải. a. Xét hệ phương trình

p = z
′
x = 2x + y + 1 = 0
q = z′y = x + 2y− 1 = 0
⇔

x = −1y = 1 . Vậy ta có
M (−1, 1) là điểm tới hạn duy nhất.
Ta có A = z′′xx(M) = 2; B = z′′xy(M) = 1; C = z′′yy(M) = 2 nên B2− AC = 1− 4 = −3 <
0. Vậy hàm số đạt cực trị tại M và do A > 0 nên M là điểm cực tiểu.
b. Xét hệ phương trình 
p = 1− e
y = 0
q = 1− xey = 0
⇔

x = 1y = 0
Vậy hàm số có điểm tới hạn duy nhất M (1, 0). Ta có A = z′′xx(M) = 0; B = z′′xy(M) =
−1; C = z′′yy(M) = −1 nên B2 − AC = 1 > 0. Hàm số đã cho không có cực trị.
c. Xét hệ phương trình
z
′
x = 8x
3 − 2x
z′y = 4y3 − 4y
⇔

x
(
4x2 − 1) = 0
y
(
y2 − 1) = 0 ⇔

x = 0∨ x =
1
2 ∨ x = − 12
y = 0∨ y = 1∨ y = −1
Vậy các điểm
tới hạn của hàm số là
M1 (0, 0) ; M2 (0, 1) ; M3 (0,−1) ; M4
(
1
2
, 0
)
; M5
(
1
2
, 1
)
M6
(
1
2
,−1
)
; M7
(
−1
2
, 0
)
; M8
(
−1
2
, 1
)
; M9
(
−1
2
,−1
)
Ta có z′′xx = 24x2 − 2; z′′xy = 0; z′′yy = 12y2− 4.
– Tại M1(0, 0), A = −2; B = 0; C = −4; B2 − AC = −8 < 0 nên M1 là điểm cực đại
với z = 0.
– Tại M2 (0, 1) ; M3 (0,−1) ; A = −2; B = 0; C = 8; B2 − AC = 16 > 0 nên M2, M3
không phải là điểm cực đại với z = 0.
93
94 Chương 3. Hàm số nhiều biến số
– Tại M4
(
1
2 , 0
)
; M7
(
−1
2 , 0
)
; A = 4; B = 0; C = −4; B2 − AC = 16 > 0 nên M4, M7
không phải là điểm cực đại với z = 0.
– Tại M5
(
1
2 , 1
)
; M6
(
1
2 ,−1
)
; M8
(
− 12 , 1
)
; M9
(
− 12 ,−1
)
; A = 4; B = 0; C = 8; B2 −
AC = −32 < 0 nên M5, M6, M8, M9 là các điểm cực tiểu với giá trị tại đó là
z = − 98 .
d. Xét hệ phương trình

p = z
′
x = 2x + e
−(x2+y2).2x = 0
q = z′y = 2y + e
−(x2+y2).2y = 0
⇔

x = 0y = 0
Vậy M(0, 0) là điểm tới hạn duy nhất. Xét
z′′xx = 2 + 2.e
−(x2+y2) − 4x2.e−(x2+y2)
z′′xy = −4xy.e−(x
2+y2)
z′′yy = 2 + 2.e
−(x2+y2) − 4y2.e−(x2+y2)
Tại M(0, 0) có A = 4; B = 0; C = 4; B2 − AC = −16 0 nên tại M hàm số đạt
cực tiểu.
3.2 Cực trị có điều kiện
Cho tập mở U ⊂ R2 và hàm số f : U → R. Xét bài toán tìm cực trị của hàm số f khi
các biến x, y thoả mãn phương trình
ϕ(x, y) = 0
Ta nói rằng tại điểm (x0, y0) ∈ U thoả mãn điều kiện ϕ(x0, y0) = 0 hàm f có cực đại tương
đối (tương ứng cực tiểu tương đối) nếu tồn tại một lân cận V ⊂ U sao cho f (x, y) ≤ f (x0, y0)
(tương ứng f (x, y) ≥ f (x0, y0)) với mọi (x, y) ∈ V thoả mãn điều kiện ϕ(x, y) = 0. Điểm
(x0, y0) được gọi là cực trị có điều kiện của hàm số f (x, y), còn điều kiện ϕ(x, y) = 0 được
gọi là điều kiện ràng buộc của bài toán. Nếu trong một lân cận của (x0, y0) từ hệ thức
ϕ(x, y) = 0 ta xác định được hàm số y = y(x) thì rõ ràng (x0, y(x0)) là cực trị địa phương
của hàm số một biến số g(x) = f (x, y(x)). Như vậy, trong trường hợp này bài toán tìm cực
trị ràng buộc được đưa về bài toán tìm cực trị tự do của hàm số một biến số. Ta xét bài
toán sau đây
Bài tập 3.17. Tìm cực trị có điều kiện
a. z = 1x +
1
y với điều kiện
1
x2
+ 1
y2
= 1
a2
b. z = x.y với điều kiện x + y = 1
94
3. Cực trị của hàm số nhiều biến số 95
Lời giải. a. Đặt x = asin t ; y =
a
cos t , ta có
1
x2
+ 1
y2
= 1
a2
. Khi đó
z =
1
x
+
1
y
=
sin t
a
+
cos t
a
.
Ta có
z′t =
cos t
a
− sin t
a
=
√
2
a
sin
(pi
4
− t
)
= 0⇔ t = pi
4
∨ t = 5pi
4
Với t = pi4 ta có x =
√
2a; y =
√
2a, hàm số đạt cực tiểu và zCT = −
√
2
a .
Với t = 5pi4 ta có x = −
√
2a; y = −√2a, hàm số đạt cực đại và zCĐ =
√
2
a .
b. Từ điều kiện x + y = 1 ta suy ra y = 1− x. Vậy z = xy = x(1− x). Dễ dàng nhận
thấy hàm số x = x(1− x) đạt cực đại tại x = 12 và zCĐ = 14 .
Tuy nhiên không phải lúc nào cũng tìm được hàm số y = y(x) từ điều kiện ϕ(x, y) = 0. Do
đó bài toán tìm cực trị điều kiện không phải lúc nào cũng đưa được về bài toán tìm cực trị
tự do. Trong trường hợp đó ta dùng phương pháp Lagrange được trình bày dưới đây.
Định lý 3.29 (Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị điều kiện). Giả sử U là một tập
mở trong R2, f : U → R và (x0, y0) là điểm cực trị của hàm f với điều kiện ϕ(x, y) = 0.
Hơn nữa giả thiết rằng:
a. Các hàm f (x, y), ϕ(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong một lân cận của (x0, y0).
b. ∂ϕ∂y (x0, y0) 6= 0.
Khi đó tồn tại một số λ0 cùng với x0, y0 tạo thành nghiệm của hệ phương trình sau (đối với
λ, x, y) 

∂φ
∂x = 0
∂φ
∂y = 0
∂φ
∂λ = 0
⇔


∂ f
∂x (x, y) + λ
∂ϕ
∂x (x, y) = 0
∂ f
∂y (x, y) + λ
∂ϕ
∂y (x, y) = 0
ϕ(x, y) = 0
(3.3)
với φ(x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y) được gọi là hàm Lagrange.
Định lý trên chính là điều kiện cần của cực trị có ràng buộc. Giải hệ phương trình 3.3 ta
sẽ thu được các điểm tới hạn. Giả sử M(x0, y0) là một điểm tới hạn ứng với giá trị λ0. Ta
có
φ(x, y, λ0)− φ(x0, y0, λ0) = f (x, y) + λ0ϕ(x, y)− f (x0, y0)− λ0ϕ(x0, y0) = f (x, y)− f (x0, y0)
nên nếu M là một điểm cực trị của hàm số φ(x, y, λ0) thì M cũng là điểm cực trị của hàm
số f (x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0. Muốn xét xem M có phải là điểm cực trị của hàm số
φ(x, y, λ0) hay không ta có thể quay lại sử dụng định lý 3.28 hoặc đi tính vi phân cấp hai
d2φ(x0, y0, λ0) =
∂2φ
∂x2
(x0, y0, λ0)dx
2 + 2
∂2φ
∂x∂y
(x0, y0, λ0)dxdy +
∂2φ
∂y2
(x0, y0, λ0)dy
2
95
96 Chương 3. Hàm số nhiều biến số
trong đó dx và dy liên hệ với nhau bởi hệ thức
∂ϕ
∂x
(x0, y0)dx +
∂ϕ
∂y
(x0, y0)dy = 0
hay
dy = −
∂ϕ
∂x (x0, y0)
∂ϕ
∂y (x0, y0)
dx
Thay biểu thức này của dy vào d2φ(x0, y0, λ0) ta có
d2φ(x0, y0, λ0) = G(x0, y0, λ0)dx
2
Từ đó suy ra
• Nếu G(x0, y0, λ0) > 0 thì (x0, y0) là điểm cực tiểu có điều kiện.
• Nếu G(x0, y0, λ0) < 0 thì (x0, y0) là điểm cực đại có điều kiện.
Bài tập 3.18. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số z = 1x +
1
y với điều kiện
1
x2
+ 1
y2
= 1
a2
Lời giải. Xét hàm số Lagrange φ(x, y, λ) = 1x +
1
y + λ(
1
x2
+ 1
y2
− 1
a2
). Từ hệ phương trình


∂φ
∂x = − 1x2 − 2λx3
∂φ
∂y = − 1y2 − 2λy3
∂φ
∂λ =
1
x2
+ 1
y2
− 1
a2
= 0
ta thu được các điểm tới hạn là M1(a
√
2, a
√
2) ứng với λ1 = − a√2 , M2(−a
√
2,−a√2) ứng
với λ2 = a√2 . Ta có
d2φ =
∂2φ
∂x2
dx2 + 2
∂2φ
∂x∂y
dxdy +
∂2φ
∂y2
dy2 =
(
2
x3
+
6λ
x4
)
dx2 +
(
2
y3
+
6λ
y4
)
dy2
Từ điều kiện 1
x2
+ 1
y2
− 1
a2
= 0 suy ra − 2
x3
dx− 2
y3
dy = 0 nên dy = − y3
x3
dx, thay vào biểu thức
d2φ ta có
• Tại M1, d2φ(M1) = −
√
2
4a3
(dx2 + dy2) = − 2
√
2
4a3
(dx2) < 0 nên M1 là điểm cực đại có điều
kiện.
• Tại M2, d2φ(M2) =
√
2
4a3
(dx2 + dy2) = 2
√
2
4a3
(dx2) > 0 nên M2 là điểm cực tiểu có điều
kiện.
96
3. Cực trị của hàm số nhiều biến số 97
3.3 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất
Giả sử f : A → R là hàm số liên tục trên tập hợp đóng A của R2. Khi đó, f đạt giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên A. Để tìm các giá trị này ta hãy tìm giá trị của hàm số
tại tất cả các điểm dừng trong miền A cũng như tại các điểm đạo hàm riêng không tồn tại,
sau đó so sánh các giá trị này với các giá trị của hàm trên biên ∂A của A (tức là ta phải
xét cực trị có điều kiện).
Bài tập 3.19. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a. z = x2y(4− x− y) trong hình tam giác giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x + y = 6.
b. z = sin x + sin y + sin(x + y) trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường x = 0, x =
pi
2 , y = 0, y =
pi
2 .
97