Giáo trình Giải tích 2 (Phần 2)

Chương 4. Lý thuyết trường 
 101
CHƯƠNG 4. LÝ THUYẾT TRƯỜNG 
GIỚI THIỆU 
Trong vật lý, đặc biệt trong kỹ thuật thường gặp khái niệm trường: Trường nhiệt độ, từ 
trường, điện trường,.... Khái niệm trường trong toán học là tổng quát hoá các trường hợp cụ thể 
đó. Miền 3Ω∈ xác định một trường vô hướng u(x,y,z) nếu tại mọi điểm Ω∈),,( zyxM đều xác 
định đại lượng vô hướng u(M). Chẳng hạn trường nhiệt độ là một trường vô hướng. Vậy đặc 
trưng của trường vô hướng là một hàm vô hướng. Miền 3Ω∈ xác định một trường véctơ 
),,( zyxF nếu tại mọi điểm Ω∈),,( zyxM đều xác định đại lượng véctơ: 
),,().,,().,,().,,(),,( RQPkzyxRjzyxQizyxPzyxF =++= 
Chẳng hạn từ trường là một trường véc tơ. Vậy đặc trưng của trường véctơ là một hàm 
véctơ. Một trường véctơ xác định khi biết ba thành phần của véctơ đặc trưng cho trường đó: 
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP , tức là biết ba trường vô hướng. Từ nay về sau ta dùng các ký 
hiệu: ),,( zyxr = thay cho M0 , trong đó M có toạ độ (x,y,z), ),,( dzdydxrd = 
),,( dxdydzdxdydzSd = . 
Để học tốt chương này, người học cần thông thạo phép tính vi tích phân hàm nhiều biến. 
Trong chương này, yêu cầu nắm vững các nội dung chính sau đây: 
1. Các đặc trưng của trường vô hướng. 
Mặt mức, Građiên và ý nghĩa vật lí của các đại lượng đó. 
2. Các đặc trưng của trường véctơ. 
Đường dòng, thông lượng, độ phân kì, hoàn lưu, véctơ xoáy và ý nghĩa vật lí của các đại 
lượng đó. 
3. Các trường đặc biệt 
Điều kiện nhận biết và tính chất của các trường đặc biệt: trường ống, trường điều hoà, 
trường thế. 
NỘI DUNG 
4.1. Các đặc trưng của trường vô hướng 
4.1.1. Mặt mức 
Cho trường vô hướng u(x,y,z), Ω∈),,( zyx . Tập các điểm Ω∈),,( zyx thoả mãn phương 
trình: Czyxu =),,( , C là hằng số (4.1) 
Chương 4. Lý thuyết trường 
 102
gọi là mặt mức của trường vô hướng ứng với giá trị C. Rõ ràng các mặt mức khác nhau (các giá trị 
C khác nhau) không giao nhau và miền Ω bị phủ kín bởi các mặt mức. Nếu 2Ω⊂ thì ta có khái 
niệm đường mức (đường đẳng trị) cho bởi phương trình: 
 Cyxu =),( 
Chẳng hạn, một điện tích q đặt ở gốc toạ độ gây nên một trường điện thế 
222
1),,(
Ryx
zyxu
++
= . Khi đó mặt mức có phương trình: C
zyx
q =
++ 222
 hay 22
2
222 R
C
qzyx ==++ . Đó là các mặt cầu đồng tâm 0. 
4.1.2.Građiên (Gradient) 
Cho trường vô hướng Ω∈= ),,(),,,( zyxzyxuu và ),,( zyxu khả vi trên Ω . Khi đó 
Ω∈⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂= ),,(,,,),,( zyx
x
u
y
u
x
uzyxgradu . (4.2) 
(Xem mục 1.2.8,Chương 1.) Vậy một trường vô hướng ),,( zyxu đã sinh ra một trường véctơ 
),,( zyxgradu . 
Từ tính chất của phép tính đạo hàm, ta có các tính chất sau đây của Građiên 
 graduugrad λλ =)( , λ là hằng số. 
gradvugraduvvugrad
gradvgraduvugrad
..).(
)(
+=
+=+
 2
u 1grad (vgradu ugradv)
v v
= − , nếu 0≠v 
 gradf (u) f '(u)gradu.= 
4.2. Các đặc trưng của trường véctơ 
4.2.1. Đường dòng 
Cho trường véctơ kzyxRjzyxQizyxPMF ),,().,,(),,()( ++= , Ω∈),,( zyx . Đường 
cong Ω⊂C gọi là đường dòng của trường véctơ )(MF nếu tại mỗi điểm M trên đường cong C, 
tiếp tuyến của C tại đó có cùng phương với véctơ )(MF . Chẳng hạn các đường sức trong từ 
trường hoặc điện trường là các đường dòng. Nếu đường dòng có phương trình : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
và P,Q,R là các thành phần của 
→
F thì ta có hệ thức: 
Chương 4. Lý thuyết trường 
 103
),,(
)('
),,(
)('
),,(
)('
zyxR
tz
zyxQ
ty
zyxP
tx == (4.3) 
Gọi (4.3) là hệ phương trình vi phân của họ đường dòng của trường véctơ ),,( zyxF . 
Chẳng hạn một điện tích q đặt tại gốc toạ độ tạo ra một điện trường E , theo định luật 
Culông thì : 
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
++++++
==
2
3
2222
3
2222
3
222
3
)(
,
)(
,
)(
.
zyx
qz
zyx
qy
zyx
qx
r
rqE 
Khi đó hệ phương trình vi phân của họ đường dòng là : 
z
dz
y
dy
x
dx == 
Để giải hệ phương trình này, bạn đọc có thể xem trong [ ] [ ]2 , 6 . Kết quả họ đường dòng 
( trong vật lí, thường gọi là các đường sức) cho bởi phương trình : 
 tkztkytkx 321 ,, === , 321 ,, kkk là các hằng số tuỳ ý. 
Đó là họ đường thẳng đi qua gốc toạ độ. 
4.2.2. Thông lượng của trường véctơ 
Trong mục 3.6.2 ta đã đưa ra định nghĩa thông lượng của trường véctơ ),,( zyxF qua mặt 
cong định hướng S xác định theo công thức (3.35) : 
 ∫∫∫∫∫∫ =++==Φ
SSS
SdFRdxdyQdzdxPdydzdSnF ... (4.4) 
Trong đó )cos,cos,(cos γβαn là véctơ đơn vị của véctơ pháp tuyến của mặt S được định 
hướng, P, Q, R là các thành phần của F . 
4.2.3. Đive (Divergence, độ phân kỳ) 
Ta gọi độ phân kỳ hay gọi tắt là dive của trường véctơ ),,( zyxF tại điểm M(x,y,z) là đại 
lượng vô hướng, ký hiệu ),,( zyxFdiv , xác định theo công thức : 
z
R
y
Q
x
PzyxFdiv ∂
∂+∂
∂+∂
∂=),,( (4.5) 
Vậy một trường véctơ F đã sinh ra một trường vô hướng Fdiv . 
Nếu miền Ω⊂V có biên là S thì công thức Gauss –Ostrogradski (3.42) có dạng : 
 dxdydzzyxFdivdSnF
VS
),,(.. ∫∫∫∫∫ = (4.6) 
Chương 4. Lý thuyết trường 
 104
Nghĩa là thông lượng của trường véctơ F qua phía ngoài mặt S bao miền V bằng tổng độ 
phân kỳ tại tất cả các điểm trong miền V của trường véctơ. Theo ý nghĩa cơ học của tích phân bội 
ba, suy ra ),,( zyxFdiv chính là mật độ thông lượng tại điểm M(x,y,z) của trường. Từ ý nghĩa vật 
lý của trường vận tốc ta thấy thông lượng của trường vận tốc qua mặt kín S ra phía ngoài là hiệu 
của lượng vật chất từ trong chảy ra và từ ngoài vào qua S (chẳng hạn lượng nước). Nếu thông 
lượng 0>Φ , từ ý nghĩa vật lý, cũng như từ tính chất của tích phân ta thấy trong miền V bao bởi S 
phải có điểm nguồn. Chính vì thế ta gọi M là điểm nguồn của trường nếu 0)( >MFdiv , ngược 
lại nếu 0)( <MFdiv thì M là điểm hút. 
4.2.4. Hoàn lưu 
Cho trường véctơ ),,(),,( RQPzyxF = và một đường cong L trong trường véctơ. Ta gọi : 
 ∫ ∫ →→=++=
L L
rdFRdzQdyPdxC (4.7) 
là hoàn lưu hay lưu số của trường ),,( zyxF theo đường cong L. Theo ý nghĩa cơ học của tích 
phân đường loại hai ta thấy nếu ),,( zyxF là trường lực thì hoàn lưu của nó theo L là công do lực 
),,( zyxF sinh ra khi vật di chuyển dọc theo L. 
4.2.5. Rôta (Rotation,Véc tơ xoáy) 
Cho trường véctơ ),,(),,( RQPzyxF = , véctơ xoáy của trường, ký hiệu là Frot , xác định 
theo công thức : 
R Q P R Q ProtF i j k
y z z x x y
i j k
x y z
P Q R
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂
G G G G
G G G
 (4.8) 
Vậy một trường véctơ F đã sinh ra một trường véctơ ),,(F zyxrot . 
Giả sử có mặt cong S trong trường được định hướng và biên của nó là đường L trơn từng 
khúc. Khi đó công thức Stokes (3.39) có dạng : 
 . F. . F.
L S S
F d r rot n dS rot d S
→ → = =∫ ∫∫ ∫∫G G G JGv (4.9) 
Nghĩa là hoàn lưu của trường véctơ F dọc theo chu tuyến L của mặt cong S chính bằng 
thông lượng của véctơ xoáy qua mặt cong S của trường. 
Chương 4. Lý thuyết trường 
 105
Từ ý nghĩa cơ học, ta thấy .
L
F d r
→ →∫ là công của trường lực ),,( zyxF khi di chuyển dọc 
theo L. Nếu L là đường cong kín thì công sinh ra thường bằng không vì công sản ra trên phần 
”thuận chiều ” của đường cong kín L cân bằng với công sản ra trên phần ”ngược chiều”, nếu 
không có ”xoáy” ( 0F =rot ). Do đó, từ công thức Stokes ta thấy hoàn lưu theo chu tuyến kín L 
đặc trung cho tính xoáy của trường trên mặt S có chu tuyến L, nói cách khác là tính chất ”xoáy” 
của trường theo chu tuyến đó. Do đó, nếu 0)(F ≠Mrot ta nói rằng M là điểm xoáy của trường và 
0)(F =Mrot ta nói rằng M là điểm không xoáy. 
4.3. Một số trường đặc biệt. 
4.3.1. Trường thế 
a. Định nghĩa : Trường véctơ )(MF gọi là trường thế nếu tồn tại một trường vô hướng 
)(Mu sao cho : 
 VMMgraduMF ∈∀= ),()( (4.10) 
Khi đó hàm )(Mu được gọi là hàm thế hay hàm thế vị của trường )(MF , còn 
)()( MuMV −= gọi là thế năng của trường. 
Giả sử ),,()( RQPMF = là trường thế với hàm thế là )(Mu . 
Khi đó 
z
uR
y
uQ
x
uP ∂
∂=∂
∂=∂
∂= ,, , tức là : RdzQdyPdxdu ++= nghĩa là 
RdzQdyPdx ++ là vi phân toàn phần của hàm )(Mu . 
b. Tính chất : Xuất phát từ định lý bốn mệnh đề tương đương (mục 3.4,Chương3.), suy ra : 
1. Để trường )(MF là trường thế, điều kiện cần và đủ là trường )(MF không xoáy 
),0)(F( VMMrot ∈∀= . 
2. Hoàn lưu của trường )(MF theo mọi chu tuyến kín, trơn từng khúc trong V đều bằng 0 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ =∫
L
rdF 0. . 
Ví dụ 1 : Chứng tỏ rằng trường lực hấp dẫn tạo bởi trái đất tác động lên vệ tinh là trường 
thế và tìm hàm thế của nó. 
Giải : Theo định luật Newton, trường lực hấp dẫn sẽ là : 
 r
r
mMzyxF 3
.),,( γ−= 
Chương 4. Lý thuyết trường 
 106
trong đó M là khối lượng trái đất, m là khối lượng vệ tinh.γ là hệ số hấp dẫn, P(x, y, z) là vị trí 
của vệ tinh, còn gốc toạ độ coi là vị trí trái đất. Ta có : 
 3rotF 0, P(x, y, z) \{0,0,0}= ∀ ∈G  (xem ví dụ 14 chương 3) 
Vậy trường lực hấp dẫn là trường thế. Hàm thế tính theo công thức (3.40) : 
q q
q
0 0
0
0 32 2 2 2
0 0
( ) ( )
( )
1 ( ) ( ) ( )
M M M M
M M
xdy ydy zdzu P F d r u M Mm
x y z
MmMm d u M u M
r r
γ
γγ
→ → + += + = −
+ +
= + = +
∫ ∫
∫
trong đó các điểm 0P ,P không trùng gốc toạ độ. 
4.3.2. Trường ống 
a. Định nghĩa : Trường véctơ )(MF gọi là trường ống nếu VMMFdiv ∈∀= ,0)( hay : 
 0=∂
∂+∂
∂+∂
∂
z
R
y
Q
x
P (4.11) 
Ta gọi ống dòng của trường véctơ là phần không gian trong V tạo bởi các đường dòng tựa 
trên biên của một mặt cong S nào đó trong trường. Bản thân mặt S cũng như các thiết diện ngang 
của ống gọi là thiết diện của ống dòng. 
b. Tính chất : Từ công thức Gauss – Ostrogradski ta suy ra các tính chất sau đây của 
trường ống : 
* Thông lượng của trường ống qua mặt cong kín S bất kỳ trong trường đều bằng không. 
Thật vậy, 0. ===Φ ∫∫∫∫∫
Ω
dxdydzFdivSdF
S
. 
* Nếu V là đơn liên thì thông lượng của trường ống qua mặt S có biên L trong trường chỉ 
phụ thuộc vào biên L mà không phụ thuộc vào mặt S. Thật vậy, giả sử 1S và 2S là hai mặt cùng 
căng bởi biên L. Gọi Ω là miền giới hạn bởi hai mặt này thì : 
 ∫∫∫∫∫∫∫ −==
Ω 21
..0
SS
SdFSdFdxdydzFdiv 
 Suy ra ∫∫∫∫ =
21 SS
SdFSdF . 
* Thông lượng qua mọi thiết diện của một ống dòng trong trường ống đều bằng không. 
Thật vậy, giả sử 1S và 2S là hai thiết diện của ống dòng (H.4.1). Gọi xqS là mặt xung 
quanh của ống dòng giữa 1S và 2S và Ω là vật thể giới hạn bởi 21,, SSSxq . 
Chương 4. Lý thuyết trường 
 107
n
2n
1n
2S
1S
H.4.1
F
Theo tính chất 1, ta có : ∫∫∫∫∫∫ ++=
xqSSS
dSnFdSnFdSnF ......0
21
. 
ở đây n định hướng ra phía ngoài của Ω . 
Theo định nghĩa của đường dòng, nên trên biên xqS thì 0. =nF . Mặt khác, trên biên 1S 
thì 1n ngược hướng với n , tức là 1.. nFnF −= . 
Còn trên biên 2S thì 2n cùng hướng với n . 
Từ đó suy ra : ∫∫∫∫ +−=
21
21 ..0
SS
dSnFdSnF . 
Hay là : ∫∫∫∫ =
21 SS
SdFSdF . 
Dễ dàng kiểm tra thấy được trường hấp dẫn (ví dụ 1) hay điện trường (ví dụ 14 chương 3) 
đều là các trường ống và trường thế trừ gốc toạ độ. Do đó thông lượng qua mọi mặt cong kín 
không bao gốc toạ độ đều bằng 0. 
Ví dụ 2 : Tìm thông lượng của điện trường sinh ra bởi điện tích q đặt ở gốc toạ độ qua phía 
ngoài mặt cong kín S bất kỳ bao gốc toạ độ. 
n
n
RS
S
Giải : Từ ví dụ 14 chương 3 ta có điện trường : 
 3. r
rqE = 
Chương 4. Lý thuyết trường 
 108
và thông lượng qua mặt cầu bán kính R là q..4π nghĩa là không phụ thuộc bán kính R. Giả sử S là 
mặt cong kín nào đó bao gốc toạ độ. Gọi RS là mặt cầu tâm ở gốc toạ độ và bán kính R đủ lớn 
sao cho RS bao cả S (H.4.2). Gọi Ω miền giới hạn bởi S và SR. Khi đó : 
 0.. == ∫∫∫∫∫∫
Ω∪
dxdydzEdivdSnE
RSS
Suy ra ∫∫∫∫ −=
SS
dSnEdSnE
R
.... , trong đó véctơ n của S hướng vào gốc toạ độ. Vậy thông 
lượng qua phía ngoài mặt cong S chính bằng thông lượng qua phía ngoài mặt cầu RS và bằng 
q..4π 
4.3.3. Trường điều hoà 
a. Định nghĩa : Trường véctơ )(MF gọi là trường điều hoà nếu nó vừa là trường ống vừa 
là trường thế, tức là : 
 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
0
0F
Fdiv
rot
 (4.12) 
b. Tính chất : Hàm thế )(Mu của trường điều hoà )(MF là hàm điều hoà, nói cách khác 
hàm thế )(Mu thoả mãn phương trình Laplace : 0=Δu 
Hay 02
2
2
2
2
2
=∂
∂+∂
∂+∂
∂
z
u
y
u
x
u (4.13) 
Thật vậy, )(MF là trường thế nên hàm thế u thoả mãn R
z
uQ
y
uP
x
u =∂
∂=∂
∂=∂
∂ ,, . 
Mặt khác )(MF là trường ống nên 0=∂
∂+∂
∂+∂
∂
z
R
y
Q
x
P . 
Do đó 02
2
2
2
2
2
=∂
∂+∂
∂+∂
∂
z
u
y
u
x
u . 
Theo định nghĩa thì trường hấp dẫn và điện trường là các trường điều hoà trong miền V 
không chứa gốc toạ độ. Hàm thế của trường đó có dạng 2
1 C
r
C + . Trong đó 21,CC là các hằng 
số. Các ví dụ sau sẽ chỉ ra các hàm điều hoà tổng quát hơn. 
Ví dụ 3. Chứng minh hàm số : 
 2 2 21 2 0 0 0
Cu(M) C , r (x x ) (y y ) (z z ) ,
r
= + = − + − + − 1 2C ,C là các hằng số tuỳ ý 
 là hàm điều hoà trong mọi miền V không chứa điểm ),,( 0000 zyxM . 
Giải : Ta chứng minh hàm )(Mu thoả mãn phương trình Laplace (4.13). 
Chương 4. Lý thuyết trường 
 109
Thật vậy 3
0
12
'
1
r
xxC
r
rC
x
u x −−=−=∂
∂
 5
2
0
2
12
2 )(3
r
xxrC
x
u −−−=∂
∂
Tương tự : 
5
2
0
2
12
2
5
2
0
2
12
2
)(3
)(3
r
zzrC
z
u
r
yyrC
y
u
−−−=∂
∂
−−−=∂
∂
Do đó : 
[ ]
0
)()()(33
5
2
0
2
0
2
0
2
1 =−+−+−−−=Δ
r
zzyyxxr
Cu 
Tương tự kiểm tra thấy rằng hàm 20
2
0 )()(,
1ln),( yyxxr
r
yxu −+−== là hàm điều 
hoà trong mọi miền phẳng D không chứa điểm ),( 000 yxM , tức là hàm u đã cho thoả mãn 
phương trình Laplace trong mặt phẳng : 
 02
2
2
2
=∂
∂+∂
∂=Δ
y
u
x
uu 
4.4. Hệ tọa độ cong trực giao 
4.4.1..Định nghĩa: 
Mỗi một điểm M trong không gian thực được xác định bởi một bộ 3 số sắp thứ tự 
),,( 321 uuu và ngược lại, được kí hiệu M ),,( 321 uuu . Các số 321 ,, uuu gọi chung là toạ độ cong 
của điểm M. Các mặt cong lần lượt có phương trình: ,101 uu = ,202 uu = 303 uu = , 
( 302010 ,, uuu là các hằng số) gọi là các mặt toạ độ trong hệ toạ độ cong. Giao của các mặt toạ độ 
gọi là các đường toạ độ. Nếu các đường toạ độ trực giao từng đôi thì hệ toạ độ cong được gọi là 
hệ toạ độ cong trực giao. Như vậy hệ toạ độ đề các, hệ toạ độ trụ (xem mục 2.4.2.), hệ toạ độ cầu 
(xem mục 2.4.3.) là các hệ toạ độ trực giao (H.4.3, H 4.4) 
Chương 4. Lý thuyết trường 
 110
θ
ϕ
1k
2k
3k
ϕ
1k
2k
3k
4.4.2. Liên hệ giữa tọa độ đề các và tọa độ cong trực giao 
Mối liên hệ giữa các tọa độ được cho bởi hệ phương trình: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
),,(
),,(
),,(
321
321
321
uuuzz
uuuyy
uuuxx
 (4.14) 
Các đường tọa độ 321 ,, lll cho bởi hệ phương trình: 
⎩⎨
⎧
=
=
0
0
),,(
),,(
jj
ii
uzyxu
uzyxu
, .)3,2,1,( =ji và ji ≠ . (4.15) 
Các véctơ đơn vị của các đường tọa độ tại điểm M là 
→→→
321 ,, kkk (H 4.5), chúng thoả mãn: 
. khi ,0 jikk ji ≠=
→→
Đặt .3,2,1,
)()()(
1
222
=
∂
∂+∂
∂+∂
∂= i
z
u
y
u
x
u
h
iii
i Người ta đã chứng minh được những công 
thức sau đây, cho mối liên hệ giữa toạ độ đề các và toạ độ cong. 
 ),,(),,( 332211 duhduhduhdzdydxrd ==
→
 ),,(),,( 212113133232 duduhhduduhhduduhhdzdydxSd ==
→
 (4.15) 
 321321 dududuhhhdxdydzdV == 
Trong toạ độ cầu ),,( θϕr , ta có: θsin,,1 321 rhrhh === . 
Chương 4. Lý thuyết trường 
 111
Trong toạ độ trụ ),,( zr ϕ , ta có: 1,,1 321 === hrhh . 
4.4.3.Các đặc trưng của trường trong hệ toạ độ cong trực giao 
a. )u,u,u(GradU 321 
Công thức tổng quát: .111 3
33
2
22
1
11
→→→
∂
∂+∂
∂+∂
∂= k
u
U
h
k
u
U
h
k
u
U
h
gradU 
Trong toạ độ cầu cho ),,( ... 
14)3(
2
1
04
321
231
321
21
===
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−=−−+
−=−++
=−+
CCC
CCC
CCC
CC
Chương 5. Phương trình vi phân 
 152
Vậy nghiệm của bài toán Côsi là: xeey
xx
2
3cos22 2
1
+= 
TÓM TÁT CHƯƠNG 5. 
• Phương trình có biến số phân ly. Dạng phương trình: 0)()( 21 =+ dyyfdxxf 
Tích phân tổng quát: Cdyyfdxxf =+ ∫∫ )()( 21 
• Phương trình đẳng cấp cấp một. Dạng phương trình: ),(,
x
yfy = hay
x
yttfy == ),(, 
Phương pháp tích phân: Coi t là hàm số của x, thay vào phương trình sẻ đưa về 
dạng có biến số phân ly 
ttf
dt
x
dx
−= )( 
• Phương trình tuyến tính cấp một. Dạng phương trình: )()(' xqyxpy =+ 
Nghiệm tổng quát: 
∫ ∫∫+∫= −− dxexqeCey dxxpdxxpdxxp )()()( )( 
• Phương trình Bernoulli. Dạng phương trình: )()(' xqyyxpy α=+ 
 Phương pháp tích phân: Đặt 1
1)( −= αyxu , 
 Thay vào phương trình trên sẽ nhận được PTVP tuyến tính cấp 1 đối với hàm )(xu : 
 )()1()()1(' xquxpu αα −=−+ 
• Phương trình vi phân toàn phần. Dạng phương trình: 0),(),( =+ dyyxQdxyxP 
 trong đó Dyx
y
P
x
Q ∈∀∂
∂=∂
∂ ),(, 
Tích phân tổng quát: 
0 0
0( , ) ( , )
yx
x y
P x y dx Q x y dy C+ =∫ ∫ 
 hoặc: 
0 0
0( , ) ( , )
yx
x y
P x y dx Q x y dy C+ =∫ ∫ 
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất: 
 0)()( 21 =+′+′′ yxayxay (*) 
Tính chất nghiệm: 
1. Nếu y1 và y2 là nghiệm của PTVP(*) thì y1+y2 và Cy1 (hoặc Cy2) với C là hằng số tuỳ ý, 
cũng là nghiệm của(*) 
Chương 5. Phương trình vi phân 
 153
2. Nếu y1, y2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (*) thì nghiệm tổng quát nó có dạng : 
2211 yCyCy += 
trong đó 21,CC là các hằng số tuỳ ý 
3. Nếu biết 01 ≠y là nghiệm của (*) thì có thể tìm được nghiệm y2 của nó độc lập tuyến 
tính với y1 dạng : 
 ∫ ∫= − dxexyxyxy
dxxa )(
2
1
12
1
)(
1)()( 
Chú ý : Trong tích phân trên hằng số cộng của tích phân bất định luôn lấy bằng 0 
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất 
 1 2( ) ( ) ( )y a x y a x y f x′′ ′+ + = (**) 
 Tính chất nghiệm : 
1. Nghiệm tổng quát của PTVP (**) bằng tổng nghiệm tổng quát của PTVP (*) cộng với 
một nghiệm riêng bất kỳ của chính phương trình (**) 
 *yyy += 
Ở đây người ta dùng ký hiệu : 
 y là nghiệm tổng quát của PTVP (*) 
 *y là nghiệm riêng của PTVP (**) 
2. (Nguyên lý chồng chất nghiệm): Nếu *2
*
1 , yy lần lượt là các nghiệm riêng của phương 
trình không thuần nhất 
)()(')("
)()(')("
221
121
xfyxayxay
xfyxayxay
=++
=++
thì *2
*
1
* yyy += là nghiệm riêng của phương trình (**) với vế phải )()()( 21 xfxfxf += 
3. Nếu biết hai nghiệm riêng 21, yy độc lập tuyến tính của (*) thì một nghiệm riêng của 
(**) có thể tìm được bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange. Nghiệm đó có dạng: 
)()()()( 2211
* xyxCxyxCy += 
trong đó: 
/ /
1 1 2 2
/ / / /
1 1 2 2
0
( )
C y C y
C y C y f x
⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩
4. Nếu biết hai nghiệm riêng của PTVP (**) *2
*
1 , yy thì hàm số 
*
2
*
1 yyy −= là nghiệm của 
PTVP (*) 
 • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất có hệ số không đổi 
 0'" 21 =++ yayay , (1) 21 ,aa là các hằng số thực 
 2 1 2 0k a k a+ + = (2) gọi là phương trình đặc trưng của (1) 
Chương 5. Phương trình vi phân 
 154
Dạng nghiệm tổng quát: 
Nếu (2) cho 2 nghiệm thực khác nhau 21, kk thì nghiệm tổng quát của (1) sẽ là: 
 xkxk eCeCy 21 21 += 
Nếu (2) cho 2 nghiệm thực trùng nhau thì nghiệm tổng quát của (1) sẽ là 
 kxexCCy )( 21 += 
Nếu (2) cho 2 nghiệm phức βα ik ±= thì nghiệm tổng quát của (1) sẽ là 
 )sincos( 21 xCxCey
x ββα += 
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất có hệ số không đổi 
)('" 21 xfyayay =++ , (3) a1,,a2 là các hằng số thực 
Trường hợp 1: )...()()( 0
1
1 AxAxAexPexf
n
n
n
n
x
n
x +++== −−αα 
trong đó 0),,0(,, 1 ≠=∈ nAniRAα 
Nếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất 
tương ứng với (3) thì một nghiệm riêng của (3) tìm dưới dạng 
 )...()( 0
1
1
* BxBxBenQey nn
n
n
x
n
x +++== −−αα 
Trường hợp 2: [ ]xxQxxPexf mnx ββα sin)(cos)()( += 
trong đó )(),(,, xQxPR nn∈βα là các đa thức bậc n,m cho trước với các hệ số thực. 
Nếu βα i± không phải là nghiệm của (2) thì một nghiệm riêng của (3) được tìm dưới 
dạng: 
 [ ]xxSxxRey llx ββα sin)(cos)(* += 
trong đó )(),( xSxR ll là các đa thức bậc ),max( mnl = có các hệ số được tìm bằng phương 
pháp hệ số bất định với các hệ hàm: xxxx ββ cos,sin,...,,,1 2 
Nếu βα i± là nghiệm của (2) thì tìm nghiệm riêng trong dạng: 
 [ ]xxSxxRxey llx ββα sin)(cos)(* += 
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 5 
5.1. Nghiệm tổng quát của PTVP cấp n phụ thuộc vào n hằng số tuỳ ý. 
 Đúng Sai 
5.2. Nghiệm của bài toán Cauchy luôn duy nhất nghiệm 
 Đúng Sai 
5.3. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange áp dụng chỉ cho PTVP tuyến tính. 
 Đúng Sai 
5.4. Phương trình Bernoulli là PTVP tuyến tính 
 Đúng Sai 
Chương 5. Phương trình vi phân 
 155
5.5. PTVP toàn phần là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất. 
 Đúng Sai 
5.6. PTVP tuyến tính thuần nhất luôn luôn có nghiệm 
 Đúng Sai 
5.7. Biết 2 nghiệm y1 và y2 của PTVP tuyến tính thuần nhất thì biết được nghiệm tổng quát 
của phương trình đó. 
 Đúng Sai 
5.8. Biết 2 nghiệm của PTVP tuyến tính không thuần nhất thì có thể biết được nghiệm tổng 
quát của phương trình đó. 
 Đúng Sai 
5.9. Giải PTVP tuyến tính có hệ số hằng số không cần dùng đến phép tính tích phân 
 Đúng Sai 
5.10. PTVP tuyến tính có tính chất chồng chất nghiệm. 
 Đúng Sai 
5.11. Giải các phương trình: 
a. 
x
y +=′ 1
1
 b. 
xexy 2'= 
c. 
y
yxy
ln
cos' = d. 0
11 22
=
−
+
− x
ydx
y
xdy
e. )sin()sin(' yxyxy −=++ f. )cos( yxy −=′ 
5.12. Giải các bài toán Cauchy: 
a. 1)1(,0
)()1(
==++− yzxy
dy
yx
dx
b. 0)0(,)1( 22 ==+ ydxedyye xx 
c. 1)0(,0lnsin ==− yydxyxdy 
d. 2)1(,4)1( 22 =+=′+ yyyx 
5.13. Giải các phương trình: 
a. dxyxydxxdy 22 +=− 
b. 02' 22 =−+ yxxyy 
c. ( ) ( )ydxxdy
x
yyxdyydx
x
yx −=+ sincos 
d. 0)()( =++− dyxydxxy 
5.14. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: 
Chương 5. Phương trình vi phân 
 156
a. 02)1(')1( 22 =+−−+ xyxyxx 
b. 
2
2' xxexyy −=+ 
c. 222 )1(2')1( xxyyx +=−+ 
d. 0)6(2 2 =−+ dyxyydx 
5.15. Giải các bài toán Cauchy: 
a. 
2
1)0(,)1(
1
2' 3 =+=+− yxx
yy 
b. 0)0(,1')1( 2 ==++ yxyyx 
5.16. Chứng minh hàm số dtexy
x
t∫=
1
2
là một nghiệm của phương trình 
22' xexyxy =− . 
Hãy tìm nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện y(1)=1 
5.17. Giải các phương trình: 
a. 33' yxxyy =+ 
b. 2 3( ) 1dy x y xy
dx
+ = 
c. xdyydxxy =− )2ln( 
d. 0)( 2 =++ dyyxxydx 
5.18. Giải các phương trình vi phân toàn phần: 
a. 0
)(
11
)( 2
2
2
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −− dyyx
x
y
dx
xyx
y
b. 0
)(
)2(
2 =+
++
yx
dyyxxdx
c. 01sincos11cossin1 222 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +− dy
yy
x
y
x
x
y
x
dx
x
y
x
y
y
x
y
d. 02)ln1(3
3
2 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−+ dy
y
xydxyx 
5.19. Giải các phương trình sau đây bằng cách tìm thừa số tích phân α 
a. )(,02)2( xxdydxxyy α=++ 
b. )(,0)(
3
2 22
3
2 xdyyxdxyyxxy α=++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++ 
c. )(,0)1( yxdydxxyy α=−+ 
d. )(,0ln2 xyxdxxyydxxdy α=−+ 
Chương 5. Phương trình vi phân 
 157
5.20. Giải các phương trình vi phân sau: 
a. 0)1(ln2 =+′−′′− yyxyxx , biết rằng nó có một nghiệm riêng dạng Rxy ∈= αα ,1 
b. 08')24()12( =−−+′′+ yyxyx , biết rằng nó có một nghiệm riêng dạng 
Rey x ∈= αα ,1 
c. 06)1( 2 =−′′− yyx , biết rằng nó có một nghiệm riêng y1(x) có dạng đa thức. 
d. 22')1(2)2( 2 −=−−+′′− yyxyxx biết rằng nó có hai nghiệm riêng xyy == 21 ,1 
5.21. Giải các phương trình sau khi biết một nghiệm riêng của phương trình thuần nhất 
tương ứng. 
a. xyxyxyyx ==+−′′ 132 ,22'2 
b. xeyxy
x
y
x
xy =−=−−−+′′ 1,11
1'
1
c. xyx
x
ey
xx
y x ln,ln2
ln
1
12 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=+′′ 
5.22. Giải các phương trình: 
a. 
1+=−′′ x
x
e
eyy 
b. 13'2 +=++′′ − xeyyy x 
c. tgxyy =+′′ 
d. 
xx
yy
2cos2cos
1=+′′ 
5.23. Giải các phương trình: 
a. xyyy sin6'7 =+−′′ 
b. xyy 62'3 −=−′′ 
c. xeyyy x cos3'2 −=+−′′ 
d. xeyyy −=++′′ 4'2 
e. xexyyy 4220'9 =+−′′ 
f. xxyy 22 cos=+′′ 
5.24. Giải các bài toán Cauchy 
a. 0)0(,1)0(,cos52'2 =′==+−′′ yyxyyy 
b. 0)0(')0(,cos3 ===+′′ yyxyy 
Đáp số và gợi ý 
 161
ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý 
ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý CHƯƠNG 1. 
1.11. 
a. { 0,0),,( >> yxyx hoặc }0,0 << yx 
b. Vành tròn đóng giới hạn bởi 2 đường tròn tâm gốc tọa độ bán kính 1 và 3. 
c. Miền mở nằm trong 2 đường y = x và y = -x, nằm bên phải trục Oy 
d. Toàn mặt phẳng trừ đường parabol y = x2 
1.12. 
a. 
222222
,1
yxyx
yz
yx
z yx +++
=′
+
=′ 
b. 
y
xx
y
xyz
y
xyz yx cossin2,cos −=′=′ 
c. xxzxyz yy
y
x ln,
33 13 =′=′ − 
d. 2222 , yx
xz
yx
yz yx +=′+−=′ 
1.14. 
a. ( ) yezxxez yxxyyxxx 4.,42sin )(2cos)(2cos 222222 +−+− −=′+−=′ 
b. ( )( )112,2 4
4
+
−=′=′
yy
yz
x
z yx 
1.15. 
a. ( )
x
yx
ydxxdydz 2sin
2
2
−= 
b. ( ) ( )[ ]dxyxyydyyyxedz x sincossinsincos +++−= 
1.16. 
a. ( )22
22
3
)3('
xyx
yxyy −
−= 
b. 2
2
)(
'
yx
ay += 
Đáp số và gợi ý 
 162
c. 
1
1'' 222 −++== zyxzz yx 
d. 
xyz
xzyz
xyz
yzxz yx −
−−=′−
−−=′ 2
2
2
2
, 
1.18. 
3
28− 
1.19. 
r
u
r
u 2=∂
∂ khi a = b = c 
1.20. 2
),cos(
r
ru GA
AG
→
−=∂
∂ triệt tiêu khi rGAG ⊥ 
1.21. 
a. Điểm dừng: ),2,4(),2,2( −− 
 xxyyxxxy eyxyxeyzzz
2222////2// )1048(2)2(4 +++−+−=−=Δ 
 ,04)2,2( 4 >=−Δ −e ,02)2,4(,04)2,2( 2//8 <−=−<−=−Δ − eze yy 
 Vậy 4max 4)2,4(
−=−= ezz 
b. Điểm dừng: ),1,1(),0,0( ,369),( xyyx −=Δ ,09)0,0( >=Δ 
 ,027)1,1( =xxz vậy 1)1,1(min −== zz 
c. Có 5 điểm dừng: ),,(),2,2(),0,2(),2,0(),0,0( babaab 
 ),2)(2(4))((16),( 22 ybxaxyybxayx −−−−−=Δ 
 04),(,0)2,2()0,2()2,0()0,0( 22 Δ=Δ=Δ=Δ bababaab 
 ,02),( 2// <−= bbaz xx Vậy .),( 22max babazz == 
d. Điểm dừng: ),2,1( ),51)(21(41),(
22 yx
yx ++−=Δ 026)2,1( <−=Δ 
 ,06)2,1(// >=xxz vậy 2ln107)2,1(min −== zz 
Đáp số và gợi ý 
 163
e. Tồn tại 4 điểm dừng: ),
3
1,
3
1( ±± ,36),( xyyx −=Δ 
,012)
3
1,
3
1( >=−Δ ,012)
3
1,
3
1( >=−Δ 
,012)
3
1,
3
1( <−=−−Δ ,012)
3
1,
3
1( <−=Δ ,0)
3
1,
3
1(// <−−xxz 
,0)
3
1,
3
1(// >xxz Vậy 3
4)
3
1,
3
1(max =−−= zz 
.
3
4)
3
1,
3
1(min −== zz 
f. Tồn tại 3 điểm dừng: ),2,2(),2,2(),0,0( −− 
 ),13)(13(1616),( 22 −−−=Δ yxyx ,0384)2,2()2,2( <−=−Δ=−Δ 
,020)2,2()2,2( //// >=−=− xxxx zz .8)2,2()2,2(min −=−=−= zzz 
 Ngoài ra ,02)0,(,0,02),(,0)0,0( 244 == xxxzxxxxzz khi x đủ bé. 
Vậy hàm số không đạt cực trị tai (0,0) 
g. Điểm dừng: ).2,5( ,40001),(
33 yx
yx −=Δ 03)2,5( <−=Δ 
 0
5
4)2,5(// >=xxz , .30)2,5(min == zz 
h. Điểm dừng: (0,0), ),3(124),( 2 yxyxyx −−=Δ ,0)0,0( =Δ 
 Nhận xét: ,),(,0)0,0( 3xxxzz == đổi dấu khi x đổi dấu, chứng tỏ hàm số không 
 đạt cực trị. 
1.22. d = 1 
1.23. 
5
3,
5
4 ±=±= yx 
ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý CHƯƠNG 2. 
2.10. 
Đáp số và gợi ý 
 164
a. ∫∫∫∫
−−
+
y
yy
dxyxfdydxyxfdy
arccos
arccos
1
2
2
4
arccos
2
2
0
),(),(
π
b. ∫∫
−
y
y
dxyxfdy ),(
4
0
c. ∫∫∫∫ + 3
2
6
2
3
1
2
0
),(),(
x
dyyxfdxdyyxfdx 
d. ∫∫
−+
−
211
2
1
0
),(
y
y
dxyxfdy 
2.11. 
a. 
36
1 
b. 
3
8 
c. 
4
32ln23ln
4
9 −− 
d. 
504
1− 
2.12. 
a. 3
3
14 aπ 
b. 
32
11π 
c. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −1
22
5 π 
d. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
3
2
23
8 π 
2.13. 
a. 
6
1 
b. 
5
238 
c. 
2ln2
7
4
97 − 
Đáp số và gợi ý 
 165
d. 
6
5 
2.14. 
a. 
8
π 
b. π 
2.15. 
a. 
3072
43 
b. 
!4
1 
c. 
2
4a 
d. 
3
4 5aπ (chuyển sang tọa độ cầu hoặc tọa độ trụ) 
ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý CHƯƠNG 3. 
3.16. 
a. 24 
b. 
143
216 
3.17. 1 
3.18. 
a. 
3
32− 
b. 4 
3.19. 
a. 1 
b. 
5
1− 
c. 
3
4 
3.20. 
a. 2aπ và 2aπ− 
b. 
2
2aπ và 
2
2aπ− 
Đáp số và gợi ý 
 166
c. 
2
ab và 
2
ab− 
3.21. 0 
3.22. 
2
4Rπ 
3.23. 
a. 4 
b. 
2
5π 
3.24. 
a. π+1 
b. ( ) 4
16
16 22 −+π
π 
3.25. 
a. Cyyxyxx ++++− 3
3
13
3
1 3223 
b. Cyyxe yx ++−++ 2)sin( 
c. [ ] Cyxeye yx ++−+ )1( 
d. Cyyx +−+
2
)ln(
2
1 222 
3.26. 
a. 1 
 b. –1 
3.27. 
a. ( ) C
x
yarctgyxum +++== 22ln
2
1,1 
b. C
yx
yxuba ++
−=−== 22,1 
3.28. 
a. 2π 
b. 4
3
8 aπ 
3.29. 
a. 614 
Đáp số và gợi ý 
 167
b. 2
15
64 4a 
c. 
8
π 
3.30. 
a. 
15
2 
b. 
15
2
12
5 +π 
c. ( )2222224 accbba
abc
++π 
d. 
105
2 7Rπ− 
3.31. 
a. 
8
6Rπ− 
b. 32Rπ− 
3.32. 
a. 
8
1 
b. 
5
12 5Rπ 
c. 43a 
ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý CHƯƠNG 4. 
4.9. 08,99,0cos ≈≈ αα 
4.10. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
4
3,
3
7,
4
3,
3
1
4.11. 
a. 
16
3 4Rπ
b. 
5
π
c. π2 
4.12. –12 
Đáp số và gợi ý 
 168
4.13. 0 (Hướng dẫn: )()2,2,2( 2222222 zzyxgradzyxyzxzxy −=− còn L là giao của 
1222 =++ zyx và mặt zy 3= ) 
4.14. 
a. Cyxeu x ++= − )ln( 
b. Czyxxyzu +++= )( 
c. Czxyzxyu +++= 
ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý CHƯƠNG 5. 
5.11. 
a. [ ] Cxxy ++−= )1ln(2 
b. Cxxey x ++−= )22( 2 
c. Cxtgy +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
42
lnln
2
1 2 π 
d. ( )( ) Cxyyx =−−−− 22 1111 
e. Cytgx =+
2
lnsin2 
f. Cyxgx =−+
2
cot 
5.12. 
a. 2lnln2 =−++ yxyx 
b. 
4
333 π−= xarctgey 
c. Mọi nghiệm đều thỏa mãn 
d. 
xx
xxy
21
4)1(2
2
2
+−
+−= 
5.13. 
a. 021 22 =−+ xCCy 
b. 221 xCxy +±= 
c. C
x
yxy =cos 
d. 222 2 Cxxyy =−+ 
5.14. 
Đáp số và gợi ý 
 169
a. 
x
CCxy 1)1( ++= 
b. ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += −
2
2
2 xCey x 
c. ))(1( 2 Cxxy ++= 
d. 32 2 Cyxy =− (giải x theo y) 
5.15. 
a. ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++=
2
1
2
)1(
2
2 xxxy 
b. 
( )
1
1ln
2
2
+
++=
x
xxy 
5.17. 
a. 1)1(
222 =++ xCexy 
b. 21 22
1 2
+−= − yCe
x
y
 (giải x theo y) 
c. 21 1( ln ) 1
2 4
y x Cx+ + = 
d. ( )Cyyx += ln 1 (giải x theo y) 
5.18. 
a. C
yx
xy
x
y =−−ln 
b. C
yx
xyx =+−+ln 
c. C
y
x
y
x
x
y =−+− 1cossin 
d. Cyyx =−+ 23 )ln1( 
5.19. 
a. 
x
e 2
1
=α , Ceyx x =22 
b. Cyxyee xx =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=
3
,
2
2α 
Đáp số và gợi ý 
 170
c. Cx
y
x
y
=+= 22 2,1α 
d. C
xy
x
yx
=+= 1ln
2
1,1 222α 
5.20. 
a. xCxCy ln21 += 
b. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++= − xxCeCy x 2
2
)12( 2
2
2
1 
c. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
+−+−+−=
1
1ln.
4
)1(3
2
31)(
2
2
2
3
1 x
xxxxCxxCy 
d. 1)1(2
2
1 +−+= xCxCy 
5.21. 
a. 3221 xxCxCy ++= 
b. )1( 221 +−+= xxCeCy x 
c. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++= ∫ xexdxCCxy 221 lnln 
5.22. 
a. [ ] [ ]21 )1ln(2)1ln(2 CexeCexey x
x
x
x
++−−++−=
−
b. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++= − 2
5
21 )1(5
4 xxCCey x 
c. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+=
42
lncossincos 21
πxtgxxCxCy 
d. xxCxCy 2cossincos 21 −+= 
5.23. 
a. 
74
cos7sin56
21
xxeCeCy xx +++= 
b. 2321 xeCCy
x ++= 
c. ( ) )sin4cos5(
41
2sin2cos 21 xx
exCxCey
x
x −++=
−
d. ( ) xx exexCCy −− ++= 221 2 
Đáp số và gợi ý 
 171
e. xxx exxxeCeCy 42342
5
1 23
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−+= 
f. 
27
2cos13
9
2sin4
6
2cos1
2
sincos
22
21
xxxxxxxCxCy ++−−++= 
5.24. 
a. xexy x sin)1(2cos −+= 
b. ( ) xxxxy sin
8
33coscos
32
1 +−= 
Đáp số và gợi ý 
 172
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. G. M. FICHTENGÔN, Giáo trình phép tính vi tích phân, Tập 1,2,3, Nauka, Moskva, 
1969. (tiếng Nga). 
2. NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (chủ biên),Toán học cao cấp, Tập 1,2,3, NXB Giáo dục, Hà nội, 
2004. 
3. K. MAURIN, Analiza, , ,es 1Cz c , PWN, Warszawa, 1976. 
4. PHAN QUỐC KHÁNH, Phép tính vi tích phân, Tập 2, NXB Giáo dục, 2000. 
5. JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình toán, Tập 1,2,3,4, NXB Giáo dục, Hà nội, 
1999,(dịch từ tiếng Pháp, DUNOD, Paris, 1999). 
6. V. V. STEPANOV, Giáo trình phương trình vi phân, Nhà xuất bản Quốc gia, Moskva, 
1959.(tiếng Nga).