Giáo trình Giải tích 2 (Phần 1)

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG 
SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP 
GIẢI TÍCH 2 
(Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa) 
Lưu hành nội bộ 
HÀ NỘI - 2006 
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG 
SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP 
GIẢI TÍCH 2 
 Biên soạn : Ts. VŨ GIA TÊ 
LỜI GIỚI THIỆU 
GIAỈ TÍCH 2 (TOÁN CAO CẤP A 3 ) là học phần tiếp theo các học phần GIẢI TÍCH 1, 
ĐẠI SỐ ( TOÁN CAO CẤP A1 , A 2 ) dành cho sinh viên năm thứ nhất thuộc các nhóm ngành 
khối kĩ thuật. Giáo trình này dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên đại học với hình thức đào tạo 
từ xa. Giáo trình được biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 của Bộ Giáo dục- Đào tạo 
và theo đề cương chương trình của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông phê duyệt năm 
2006 cho hệ đào tạo chính qui. 
Ở Việt nam, hình thức đào tạo từ xa tuy đã triển khai và nhân rộng từ 10 năm nay nhưng 
vẫn còn khá mới mẻ. Với cách học này, đòi hỏi người học phải làm việc độc lập nhiều hơn, lấy tự 
học, tự nghiên cứu là chính. Do đó tài liệu học tập, cụ thể là các giáo trình phải được coi là 
phương tiện cơ bản và quan trọng nhất. Các yếu tố trên được chúng tôi chú ý khi viết giáo trình 
này, cụ thể là: Nội dung được trình bày ngắn gọn, chính xác. Trừ một số định lí có chứng minh 
nhằm rèn luyện tư duy và củng cố kiến thức, còn hầu hết các định lí đưa ra được thừa nhận với 
mục đích áp dụng. Tương ứng mỗi nội dung kiến thức đều có ví dụ minh họa nhằm hướng người 
học hiểu sâu sắc và biết cách áp dụng. Trong mỗi chương đều có mục đích, yêu cầu và phần tóm 
tắt nội dung để người học dễ đọc, dễ thuộc. Các câu hỏi mang tính trắc nghiệm cuối mỗi chương 
là cơ sở đánh giá kiến thức có được của người học về nội dung chương đó. 
Giáo trình gồm 5 chương, tương ứng với 4 đơn vị học trình (60 tiết). 
Chương 1 .Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số. 
Chương 2. Tích phân bội. 
Chương 3. Tích phân đường và tích phân mặt. 
Chương 4. Lý thuyết trường. 
Chương 5. Phương trình vi phân. 
Mặc dù cố gắng rất nhiều, song không tránh khỏi các sơ suất về nội dung cũng như các lỗi 
về ấn loát, chúng tôi rất mong được sự góp ý kiến và rất cám ơn về điều đó. 
Nhân đây, chúng tôi chân thành cám ơn Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính 
Viễn thông, Trung tâm Đào tạo Bưu chính Viễn thông 1, đặc biệt Phòng Đào tạo Đại học từ xa và 
các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ chúng tôi hoàn thành giáo trình này. 
 Hà Nội, 7-2006 
 Tác giả 
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 
 3
CHƯƠNG 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 
GIỚI THIỆU 
Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số là sự mở rộng một cách tự nhiên và cần thiết của 
phép tính vi phân hàm số một biến số. Các bài toán thực tế thường xuất hiện sự phụ thuộc một 
biến số vào hai biến số hoặc nhiều hơn, chẳng hạn nhiệt độ T của một chất lỏng biến đổi theo độ 
sâu z và thời gian t theo công thức tT e z−= , nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn phụ thuộc vào điện 
trở của dây, cường độ của dòng và thời gian dẫn điện theo công thức 20, 24Q RI t= ,v.vVì vậy, 
khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang tính tổng quát vừa mang tính thực tiễn. Để học tốt 
chương này, ngoài việc nắm vững các phép tính đạo hàm của hàm một biến số, người học phải có 
các kiến thức về hình học không gian (xem [ ]2 ).Trong chương này, yêu cầu người học nắm vững 
các nội dung chính sau: 
1. Các khái niệm chung của không gian n (n chiều). 
 Mô tả được miền xác định và đồ thị của hàm hai biến. 
2. Phép tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần. 
 Nắm vững các qui tắc tính đạo hàm riêng trên cơ sở tính đạo hàm của hàm một biến. Công 
thức tính đạo hàm riêng của hàm số ẩn. Công thức vi phân toàn phần và biết cách áp dụng vào 
phép tính gần đúng. 
3. Nắm vững khái niệm và cách tính đạo hàm theo hướng. Giải thích được đạo hàm riêng 
theo các biến x, y, z chính là đạo hàm theo hướng các trục Ox, Oy, Oz. 
4. Bài toán tìm cực trị. 
 Qui tắc tìm cực trị tự do, phương pháp nhân tử Lagrange. 
NỘI DUNG 
1.1. Các khái niệm chung 
1.1.1. Không gian n chiều 
* Ta đã biết mỗi điểm trong không gian 3 chiều được đặc trưng hoàn toàn bởi bộ 3 số (x, y, 
z) là 3 tọa độ Descartes của nó: x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ. 
Tổng quát như sau: Mỗi bộ có thứ tự n số thực ),...,,( 21 nxxx gọi là một điểm n chiều. Kí 
hiệu M ),...,,( 21 nxxx có nghĩa là điểm n chiều M có các toạ độ nxxx ,...,, 21 . Tập các điểm 
M ),...,,( 21 nxxx gọi là không gian Euclide n chiều. Kí hiệu tập này là n . 
* Cho M ),...,,( 21 nxxx n∈ , N ),...,,( 21 nyyy n∈ . Gọi khoảng cách giữa M và N, kí 
hiệu d(M, N), là số thực tính theo công thức: 
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 
 4
∑
=
−=−++−= n
i
iinn yxyxyxNMd
1
222
11 )()(......)(),( 
Tương tự như trong 2 3, ,   ta nhận được bất đẳng thức tam giác trong n . Tức là với 3 
điểm A, B, C bất kỳ trong n ta có: 
 ),(),(),( CBdBAdCAd +≤ 
* Cho ),...,,( 002
0
10 nxxxM n∈ và 0>ε . Tập { }n0 0(M ) M : d(M,M )εΩ = ∈ < ε gọi là 
ε - lân cận hoặc lân cận bán kính ε của M0 hoặc hình cầu mở tâm M0 bán kính ε (H.1.1a). 
* Cho nE ⊂ . Điểm EM ∈ gọi là điểm trong của E nếu có )0()( >∃⊂Ω εε EM . 
Điểm N n∈ gọi là điểm biên của E nếu bất kỳ )(MεΩ đều chứa những điểm thuộc E và điểm 
không thuộc )0( >∀εE . Tập E gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong, gọi là đóng 
nếu nó chứa mọi điểm biên của nó. Tập các điểm biên của E kí hiệu E∂ . Bao đóng của E hay tập 
E đóng ký hiệu E và có EEE ∂= ∪ (H.1.1a). 
* Tập E gọi là bị chặn hay giới nội nếu như tồn tại số N sao cho NE (0)⊂ Ω . 
* Tập E gọi là liên thông nếu mỗi cặp điểm M1, M2 trong E đều được nối với nhau bởi một 
đường cong liên tục nào đó nằm trọn trong E. Tập liên thông E gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn 
bởi một mặt kín (một đường cong kín trong 2 ; một mặt cong kín trong 3 ) (H.1.1a). Tập liên 
thông E gọi là đa liên nếu nó bị giới hạn bởi từ hai mặt kín trở lên rời nhau từng đôi một (H.1.1b). 
Ví dụ 1: Xét các tập sau trong 2 . 
 { }4:),( 22 <+= yxyxA 
 { })0,0(),0,1(),2,1( −=B và 2 
Giải: 
{ }4:),( 22 =+=∂ yxyxA - đường tròn tâm O bán kính 2, { }4:),( 22 ≤+= yxyxA - hình 
tròn kể cả biên. 
A, 2 là các tập liên thông, B không liên thông (gồm 3 điểm rời rạc). 
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 
 5
A, B là các tập giới nội, 2 không giới nội (cả mặt phẳng 0xy). 
1.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến số 
Cho nD ⊂ . Gọi ánh xạ: 
 RDf →: 
Hay là 1 2 n 1 2 nM(x , x ,...., x ) D u f (M) f (x , x ,...., x )∈ = = ∈6  là một hàm số của n biến 
số xác định trên D. D gọi là miền xác định của hàm số f; nxxx ,....,, 21 là các biến số độc lập, còn u 
gọi là biến số phụ thuộc. 
1.1.3. Miền xác định của hàm nhiều biến số 
Người ta quy ước: Nếu cho hàm số u = f(M) mà không nói gì về miền xác định D của nó thì 
phải hiểu rằng miền xác định D của hàm số là tập hợp các điểm M sao cho biểu thức f(M) có 
nghĩa. 
Miền xác định của hàm số thường là tập liên thông. Sau đây là một số ví dụ về miền xác 
định của hàm số 2 biến số, 3 biến số. 
Ví dụ 2: Tìm miền xác định của các hàm số sau và mô tả hình học các miền đó: 
a) 221 yxz −−= , b) )ln( yxz += , c) 
2229 zyx
yu −−−= 
Giải: 
a. Miền xác định là tập 2(x, y)∈ sao cho 01 22 ≥−− yx hay 122 ≤+ yx . Đó là hình tròn 
đóng tâm O bán kính bằng 1 (H.1.2a). Hình tròn đóng này có thể mô tả bởi hệ bất phương trình: 
 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤≤−−
≤≤−
22 11
11
xyx
x
b. Miền xác định là tập 2(x, y)∈ thoả mãn x + y > 0 hay y > -x. Đó là nửa mặt phẳng có 
biên là đường y = -x (H.1.2b). Nửa mặt phẳng này được mô tả bởi hệ bất phương trình: 
⎩⎨
⎧
+∞<<−
+∞<<∞−
yx
x
c. Miền xác định là tập 3(x, y, z)∈ thoả mãn 9222 <++ zyx . Đó là hình cầu mở tâm O 
bán kính bằng 3 (H.1.2c). Hình cầu mở này mô tả bởi hệ bất phương trình: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−≤≤−−−
−≤≤−−
<<−
2222
22
99
99
33
yxzyx
xyx
x
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 
 6
1.1.4. Ý nghĩa hình học của hàm hai biến số 
Cho hàm 2 biến z = f(x,y) với Dyx ∈),( . Tập các điểm 3(x, y, z)∈ với z = f(x,y) gọi là 
đồ thị của hàm số đã cho. Như thế đồ thị của hàm 2 biến thường là một mặt cong trong không 
gian 3 chiều 0xyz. Đồ thị của hàm số mô tả một cách trực quan hàm số thể hiện được ý nghĩa hình 
học của hàm số. Dưới đây ta xét các mặt cong đặc biệt và đơn giản, thông dụng trong toán học và 
ứng dụng. 
A. Mặt phẳng: 
Mặt phẳng là đồ thị của hàm hai biến tuyến tính, nói cách khác phương trình mặt phẳng có 
dạng: Ax + By + Cz + D = 0 trong đó 0222 >++ CBA . Chẳng hạn 0≠C có 
)(1 ByAxD
C
z ++−= , hàm số này xác định trên 2 . 
B. Ellipsoid 
Ellipsoid là mặt cong, phương trình chính tắc của nó có dạng (H.1.3) 
 12
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x 
Đây là hàm hai biến cho dưới dạng không tường minh (dạng ẩn). Hàm số là đa trị. 
Chẳng hạn coi z là biến phụ thuộc vào x và y thì miền xác định là hình ellipse có các bán trục 
a và b: 
2 2
2 2 1
x y
a b
+ ≤ 
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 
 7
Khi a = b = c = R ta có mặt cầu tâm gốc toạ độ và bán kính là R: 2222 Rzyx =++ 
C. Paraboloid elliptic 
Phương trình chính tắc của paraboloid elliptic có dạng (H.1.4): z
b
y
a
x =+ 2
2
2
2
Miền xác định của hàm số trên là 2 . Khi a = b tức là phương trình có dạng: 
zayx 222 =+ 
Gọi đó là paraboloid tròn xoay. 
D. Mặt trụ bậc 2 
* Mặt trụ elliptic (H.1.5) có phương trình chính tắc: 
 12
2
2
2
=+
b
y
a
x 
* Mặt trụ hyperbolic (H.1.6) có phương trình chính tắc: 
 12
2
2
2
−=−
b
y
a
x 
* Mặt trụ parabolic (H.1.7) có phương trình chính tắc: 
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 
 8
 pxy 22 = 
E. Mặt nón bậc 2 
Phương trình chính tắc của mặt nón có dạng (H.1.8) 
 02
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x 
1.1.5. Giới hạn của hàm số nhiều biến số 
Khái niệm giới hạn của hàm số nhiều biến số cũng được đưa về khái niệm giới hạn của hàm 
một biến số. Ở đây một biến số đóng vai trò là khoảng cách d(M0, M) giữa hai điểm M0 và M 
trong không gian n . Để đơn giản trong cách viết chúng ta xét trong không gian 2 chiều 2 . 
* Nói rằng dãy điểm Mn(xn, yn) dần đến điểm M0(x0, y0); kí hiệu 0MM n → khi ∞→n 
nếu 0),(lim 0 =∞→ nn MMd hay là ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
∞→
∞→
0
0
lim
lim
yy
xx
nn
nn 
* Cho hàm z = f(x,y) xác định ở lân cận M0(x0, y0), có thể trừ điểm M0. Ta nói rằng hàm 
f(M) có giới hạn là l khi M(x,y) dần đến M0(x0, y0) nếu mọi dãy điểm Mn(xn, yn) thuộc lân 
cận dần đến M0 ta đều có: lyxf nn
n
=∞→ ),(lim 
Thường kí hiệu lMf
MM
=→ )(lim 0 hay 0 0( , ) ( , )lim ( , )x y x y f x y l→ = 
Sử dụng ngôn ngữ "," δε có thể định nghĩa như sau: Hàm số f(M) có giới hạn l khi 
0MM → nếu εδδε ∃>∀ lMfMMd )(),(0:0,0 0 
Chú ý: 1. Tất cả các khái niệm giới hạn vô hạn hoặc các định lí về giới hạn: tổng, tích, 
thương đều giống như hàm số một biến số. 
 2. Từ định nghĩa ta nhận thấy: Giới hạn l của hàm số ( , )f x y khi 0M M→ 
không phụ thuộc đường đi của M tiến đến 0M , vì thế nếu chỉ ra hai đường đi của M tiến 
đến 0M mà ( )f M tiến đến hai giá trị khác nhau thì hàm số không có giới hạn tại 0M . 
Ví dụ 3: Tìm các giới hạn 
a. 22
2
)0,0(),(
lim
yx
yx
yx +→ b. 22)0,0(),( lim yx
xy
yx +→ c. 22)0,0(),( lim yx
xy
yx +→ 
Giải: 
a. Ta có 2222
2
),(,0 yxOMdy
yx
yx +=≤−+ 
εδε =∃>∀ ,0 khi 
2
2 2
2 20 0
x yx y y y
x y
δ δ δ ε< + < ⇒ < ⇒ − ≤ < =+ 
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 
 9
Vậy 0lim 22
2
)0,0(),(
=+→ yx
yx
yx
b. Cho )0,0(),( OyxM → theo đường y = Cx, C = const (hằng số) 
thì 22
2
22 )1( xC
Cx
yx
xy
+=+ 2220 1lim C
C
yx
xy
x +=+⇒ → chứng tỏ dãy giá trị hàm có giới hạn khác nhau 
phụ thuộc vào C. Theo chú ý 2,.suy ra hàm không có giới hạn. 
c. 
2 2 2 2
xxy 0 . y y .
x y x y
− ≤ ≤+ +
 Tương tự a. suy ra 0lim
22)0,0(),(
=+→ yx
xy
yx
1.1.6. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số 
A. Định nghĩa 
* Hàm số f(M) xác định trên miền D và DM ∈0 . Ta nói rằng hàm số f(M) liên tục tại 0M 
nếu )()(lim 0
0
MfMf
MM
=
→
. 
* Hàm số f(M) xác định trên miền D. Nói rằng hàm số liên tục trên miền D nếu nó liên tục 
tại mọi điểm DM ∈ . 
* Hàm số f(M) liên tục trên miền đóng D nếu nó liên tục trên miền D và liên tục tại mọi 
điểm DN ∂∈ theo nghĩa DMNfMf
NM
∈=→ ),()(lim . 
* Nếu đặt ),(),(),( 000000 yxfyyxxfyxf −Δ+Δ+=Δ gọi là số gia toàn phần của hàm số 
tại (x0,y0) thì hàm số f(x,y) liên tục tại (x0, y0) nếu như 0),( 00 →Δ yxf khi 0→Δx và 0→Δy . 
B. Tính chất 
Hoàn toàn tương tự như hàm một biến số ta có tính chất quan trọng sau đây: 
Định lý 1.1. Nếu f(x,y) liên tục trong miền đóng D giới nội thì nó đạt giá trị lớn nhất và giá 
trị bé nhất trong miền D tức là: DMDM ∈∈∃ 21 , để có bất đẳng thức kép: 
 DMMfMfMf ∈∀≤≤ ),()()( 21 
1.2. Đạo hàm và vi phân 
1.2.1. Đạo hàm riêng 
Cho hàm số u = f(x,y) xác định trong miền D và DyxM ∈),( 000 . Thay y = y0 vào hàm số 
đã cho sẽ nhận được hàm số một biến số u = f(x, y0). Nếu hàm số này có đạo hàm tại x0 thì đạo 
hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f(x, y) đối với x tại M0(x0, y0) và kí hiệu như sau: 
),( 00 yxux′ hay ),( 00 yxx
u
∂
∂ hay ),( 00 yxf x′ hay ),( 00 yxx
f
∂
∂ 
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 
 10
Đặt ),(),(),( 000000 yxfyxxfyxfx −Δ+=Δ gọi đó là số gia riêng của hàm f(x, y) theo 
biến x tại (x0, y0) và ta có: 
x
yxfyx
x
f x
x Δ
Δ=∂
∂
→Δ
),(lim),( 00
000
Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số đối với y tại M0(x0, y0) và ký hiệu: 
 ),( 00 yxuy′ , ),( 00 yxy
u
∂
∂ , ),( 00 yxf y′ , ),( 00 yxy
f
∂
∂ 
Chú ý: Có thể chuyển toàn bộ các phép tính đạo hàm của hàm một biến số: cộng, trừ, nhân, 
chia,  sang phép tính đạo hàm riêng. 
Ví dụ 4: Tính đạo hàm riêng sau: 
a. 3 /, (1,2), (1,1)x yu x y u u′= . 
b. ),(),,(),0( yxuyxuxxu yx
y ′′>= . 
c. ),,(),,,(),,,(,2 zyxuzyxuzyxu
z
yarctgzxu zyx ′′′= . 
Giải: 
a. 6)2,1(3),( 2 =′⇒=′ xx uyxyxu , 
 1)1,1(),( 3 =′⇒=′ yy uxyxu . 
b. xxuyxu yy
y
x ln,
1 =′=′ − 
c. 
z
yxzarctgzyxux 2),,( =′ , 
 22
22
2
2
2
1
11),,(
zy
zx
z
yz
zxzyxu y +=+
=′ , 
 )(
1
1),,( 22
2
2
22
22
zy
yz
z
yarctgx
z
yz
yzx
z
yarctgxzyxuz +−=+
−=′ . 
1.2.2. Vi phân toàn phần 
A. Định nghĩa 
* Cho hàm số u = f(x, y) xác định trong miền D chứa (x0, y0). Nếu số gia toàn phần của hàm 
số tại (x0, y0) ứng với số gia ,x yΔ Δ của các đối số có dạng: 
 yxyBxAyxf Δ+Δ+Δ+Δ=Δ ....),( 00 βα (1.1) 
trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc vào (x0, y0), còn βα , dần đến 0 khi 0MM → tức là khi 
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 
 11
0,0 →Δ→Δ yx thì nói rằng hàm số f(x, y) khả vi tại M0, còn biểu thức yBxA Δ+Δ .. được gọi 
là vi phân toàn phần của hàm số tại M0 và kí hiệu là df(x0, y0), hay du(x0, y0). Như vậy 
yBxAyxdf Δ+Δ= ..),( 00 
* Hàm số u = f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền 
D. 
B. Điều kiện cần của hàm số khả vi 
Định lý 1.2. Nếu f(x, y) khả vi tại (x0, y0) thì liên tục tại đó. 
Từ (1.1) suy ra 0),( 00 →Δ yxf khi 0,0 →Δ→Δ yx . 
Định lý 1.3. Nếu f(x, y) khả vi tại (x0, y0) thì hàm có các đạo hàm riêng tại (x0, y0) và 
),(),,( 0000 yxfByxfA yx ′=′= . 
Chứng minh: 
Từ (1.1) suy ra: 
 βα +=Δ
Δ+=Δ
Δ B
y
yxf
A
x
yxf yx ),(,),( 0000 
Vậy ByxfAyxf yx =′=′ ),(,),( 0000 chứng tỏ 
 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x ydf x y f x y x ... x
y
z
0
H.3.20
222 yxRz −−=
222 yxRz −−−=
 ∫∫ ∫∫
+ −
+=
S S
zdxdyzdxdyI 
 Tích phân lấy theo phía trên của +S và tích phân lấy theo phía dưới của S . 
 Từ ông thức (3.36) ta có : 
∫∫∫∫
∫∫∫∫
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−−−=
−−=
−
+
DS
DS
dxdyyxRzdxdy
dxdyyxRzdxdy
222
222
 Vậy ∫∫ −−=
S
dxdyyxRI 2222 
 Chuyển sang toạ độ cực ta có : 
 32
3
22
0
22
2
0 3
4
0
)(
3
22..2 R
R
rRdrrrRdI
R
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−=−= ∫∫ πϕ
π
3.7. Công thức Stokes 
Dưới đây ta sẽ có công thức mở rộng công thức Green, đó là mối liên hệ giữa tích phân 
đường loại hai trong không gian với tích phân mặt loại hai. 
Định lý 3.7(Stokes) : Giả sử mặt cong S định hướng được, trơn từng mảnh có biên là 
đường L trơn từng khúc. Nếu các hàm số P,Q,R liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của 
chúng trên mặt cong S thì : 
dxdy
y
P
x
Qdzdx
x
R
z
Pdydz
z
Q
y
RRdzQdyPdx
SL
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=++ ∫∫∫
+
 (3.39) 
trong đó tích phân đường ở vế trái lấy theo hướng dương quy ước như sau : Đi theo hướng dương 
của L sao cho mặt cong S ở phía tay trái, khi đó mặt cong S được định hướng bởi véctơ pháp 
tuyến n hướng từ chân lên đầu (H.3.21). 
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 
 88
Gọi (3.39) là công thức Stokes. 
n
Chú ý: 
a. Công thức Green là trường hợp riêng của công thức Stokes ( khi thay 
0),,(,0 == zyxRz vào (3.39) nhận được công thức (3.20)). 
b. Tính tích phân đường loại hai khi 3RL ⊂ thường rất khó khăn (ta mới chỉ đưa ra công 
thức tính khi L cho bởi phương trình tham số, xem công thức (3.17)). Do đó công thức Stokes tỏ 
ra rất hiệu lực khi mà L là biên của các mặt cong nào đó mà tích phân mặt loại hai trên nó có thể 
tính dễ dàng. 
c. Xuất phát từ công thức Stokes, ta nhận được định lý bốn mệnh đề tương đương xét trong 
không gian 3R tương tự như định lý 3.4. 
Định lý 3.8: Giả sử các hàm ( , , ), ( , , ), ( , , )P x y z Q x y z R x y z liên tục cùng với các đạo hàm 
riêng cấp một của chúng trên miền đơn liên V. Khi đó bốn mệnh đề sau đây là tương đương với 
nhau: 
 (1). Vzyx
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R ∈∀∂
∂=∂
∂
∂
∂=∂
∂
∂
∂=∂
∂ ),,(,,, 
 (2). 0=++∫
L
RdzQdyPdx , L là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền V. 
 (3). 
pAB
Pdx Qdy Rdz+ +∫ , trong đó pAB V⊂ , chỉ phụ thuộc vào hai điểm A,B mà không 
phụ thuộc dạng cung pAB . 
 (4). Biểu thức RdzQdyPdx ++ là vi phân toàn phần của hàm u(x,y,z) nào đó trên miền 
V. Trường hợp miền V là không gian thì hàm u(x,y,z) có thể tính theo công thức : 
0 0 0
0 0( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
yx z
o
x y z
u x y z P x y z dx Q x y z dy R x y z dz C= + + +∫ ∫ ∫ (3.40) 
trong đó CVzyxVzyx ,),,(,),,( 000 ∈∈ là hằng số tuỳ ý và: 
p
( ) ( )
AB
Pdx Qdy Rdz u A u B+ + = −∫ (3.41) 
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 
 89
trong đó pAB V⊂ . 
Ví dụ 13: Tính ∫ ++=
C
xdzzdyydxI , với C là đường tròn, giao của mặt cầu 
2222 Rzyx =++ và mặt phẳng 0=++ zyx và hướng của L là ngược chiều kim đồng hồ nếu 
nhìn về phía 0>z . 
R
R
x
y
z
0
H.3.22
n
C
Giải : Mặt phẳng 0=++ zyx đi qua tâm mặt cầu. Vậy giao tuyến là đường tròn lớn . 
Xem hình H.3.22. Lấy hình tròn là mặt cong S có biên là C. Các côsin chỉ phương của n định 
hướng theo hướng của C là 
3
1coscoscos === γβα (Xem công thức (3.30)). Đặt 
xRzQyP === ,, , áp dụng công thức Stokes và công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại hai và 
loại một theo công thức (3.35), ta có : 
 2
S S
I dydz dzdx dxdy 3 dS 3R .= − + + = − = −π∫∫ ∫∫ 
3.8. Công thức Gauss – Ostrogradski 
Dưới đây ta có công thức liên hệ giữa tích phân bội ba và tích phân mặt loại hai, gọi đó là 
công thức Gauss – Ostrogradski. 
Định lý 3.9 (Gauss – Ostrogradski) : Giả sử V là miền giới nội trong R3 có biên là mặt S 
trơn từng mảnh. Nếu các hàm số P,Q,R liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng 
trong miền V thì : 
 ∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=++
VS
dxdydz
z
R
y
Q
x
PRdxdyQdzdxPdydz (3.42) 
trong đó mặt lấy tích phân định hướng ra phía ngoài miền V. 
Chú ý : 
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 
 90
a. Nếu trong công thức (3.41) đặt zRyQxP === ,, thì ta nhận được công thức tính thể 
tích vật thể V nhờ vào tích phân mặt loại hai : 
 ∫∫ ++=
S
zdxdyydzdxxdydzV
3
1
trong đó S được định hướng ra phái ngoài miền V. 
b. Có thể coi rằng công thức Gauss – Ostrogradski là mở rộng công thức Green từ không 
gian hai chiều ra ba chiều. Vì thế đôi khi tính tích phân trên mặt S không kín, ta có thể thêm mặt 
cong nào đó để áp dụng công thức Gauss –Ostrogradski. 
Ví dụ 14 : Tính thông lượng của trường điện từ 
3
.
r
rqF = trong đó q là điện tích đặt tại gốc 
toạ độ, kzjyixr ++= , 222 zyxr ++= qua phía ngoài mặt cầu : 
 2222 Rzyx =++ 
Giải : Đặt )0,0,0(),,(,,,
333
≠∀=== zyx
r
zqR
r
yqQ
r
xqP . 
Vì thế ta không thể áp dụng công thức Gauss – Ostrogradski 
Ta có ∫∫ ++=Φ
S
zdxdyydzdxxdydz
r
q )(1
3
. 
Do mặt cầu đối xứng qua gốc toạ độ và biểu thức dưới dấu tích phân đối xứng đối với x,y,z 
do đó : 3
S
z24q dxdy
r
Φ = ∫∫ , S là phần mặt cầu góc phần tám thứ nhất định hướng lên trên. 
1
2 2 2
3
D
R x y
24q dxdy
R
− −Φ = ∫∫ 
D1 là phần tư hình tròn tâm 0, bán kính R. Chuyển sang toạ độ cực ta có : 
R 32
2 2 2 2 2
3 3
0 0
Rq 124 d R r rdr 24q (R r ) 4 q.
0R 2R 3
π ⎛ ⎞πΦ = ϕ − = − − = π⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ 
Ví dụ 15 : Tính zydxdyyxdzdxxzdydzI
S
++= ∫∫ lấy theo phía ngoài của S là biên của hình 
chóp x 0, y 0, z 0, x y z 1.≥ ≥ ≥ + + ≤ 
Giải : Hình chóp V cho trên hình H.3.23 
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 
 91
x
y
z
1
1
1
0
H.3.23
Áp dụng công thức (3.41) có : ∫∫∫ ++=
V
dxdydzyxzI )( 
Chiếu V lên mặt phẳng 0xy được tam giác : ⎩⎨
⎧
≥≥
≤+
0,0
1
yx
yx
[ ]
8
1
24
1
6
1
4
1
2
1 
0
1
24
1
6
1
0
1
42
1
0
1
)(
3
1)1(
2
1 
)(1
2
1
0
1
)(
2
1 
)(
4
21
0
1
0
3
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
=+−−=
+−−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−−=
+−=−−++=
++=
∫ ∫
∫∫∫∫
∫∫∫
−−
−−−
xxdx
x
yxdxx
dyyxdxdy
yx
zyxdx
dzzyxdydxI
xx
yxx
TÓM TẮT CHƯƠNG 3 
•Cách tính tích phân đường loại một 
1. Giả sử cung pAB trơn cho bởi phương trình: bxaxyy ≤≤= ),( và hàm số f(x,y) liên 
tục trên cung pAB . Khi đó: 
p
2( , ) ( , ( )) 1 ' ( )
b
aAB
f x y ds f x y x y x dx= +∫ ∫ 
2. Nếu cung pAB cho bởi phương trình tham số: 
 2 , )(
)(
ttt
tyy
txx
i ≤≤⎩⎨
⎧
=
=
: 
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 
 92
p
2
1
2 2( , ) [ ( ), ( )] ' ( ) ' ( )
t
tAB
f x y ds f x t y t x t y t dt= +∫ ∫ 
•Cách tính tích phân đường loại hai 
1. Giả sử hai hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục trên cung pAB trơn cho bởi phương trình tham 
số: ⎩⎨
⎧
=
=
)(
)(
tyy
txx
 Điểm A ứng với giá trị tham số Att = , B ứng với giá trị tham số Bt . Khi đó: 
p
( , ) ( , ) [ ( ( ), ( )) '( ) ( ( ), ( )) '( )]
B
A
t
tAB
P x y dx Q x y dy P x t y t x t P x t y t y t dt+ = +∫ ∫ 
2 .Khi cung pAB phẳng cho bởi phương trình dạng tường minh y=y(x), A,B có hoành độ 
tương ứng là a, b, ta nhận được: 
p
[ ]( , ) ( , ) ( , ( )) ( , ( )) '( )b
aAB
P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx+ = +∫ ∫ 
• . Công thức Green.. Cho các hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp 
một trong miền D có biên là đường L, khi đó: 
 ∫∫∫
+
+=∂
∂−∂
∂
LD
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q )( 
.• . Bốn mệnh đề sau đây tương đương trong không gian 2R 
(1). Dyx
x
Q
y
P ∈∀∂
∂=∂
∂ ),( , 
(2). 0=+∫
L
QdyPdx , L là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền D. 
(3). 
pAB
Pdx Qdy+∫ , trong đó cung pAB nằm trong miền D, chỉ phụ thuộc vào 2 điểm A,B 
mà không phụ thuộc dạng cung pAB . 
(4). Biểu thức QdyPdx + là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó trên miền D. 
 CdyyxQdxyxPyxu
y
y
x
x
++= ∫∫
00
),(),(),( 0 
 CdyyxQdxyxPyxu
y
y
x
x
++= ∫∫
00
),(),(),( 0 trong đó 0 0( , ) , ( , )A x y D M x y D∈ ∈ 
• Công thức tính tích phân mặt loại một: Hàm số f(x,y,z) liên tục trên mặt cong S trơn cho 
bởi phương trình Dyxyxzz ∈= ),(),,( . Khi đó: 
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 
 93
 dxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf yx
DS
),('),('1)),(,,(),,( 22 ++= ∫∫∫∫ 
• Công thức tính tích phân mặt loại hai : Hàm số R(x,y,z) liên tục trên mặt cong định hướng 
S trơn cho bởi phương trình Dyxyxzz ∈= ),(),,( . 
 Khi đó ∫∫∫∫ ±=
DS
dxdyyxzyxRdzdyzyxR )),(,,(),,( 
 Dấu + khi lấy tích phân mặt loại hai theo phía trên của mặt S. 
 Dấu – khi lấy tích phân mặt loại hai theo phía dưới của S. 
• Công thức Stokes 
dxdy
y
P
x
Qdzdx
x
R
z
Pdydz
z
Q
y
RRdzQdyPdx
SL
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=++ ∫∫∫
+
• Bốn mệnh đề tương đương trong không gian 3R 
 (1). Vzyx
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R ∈∀∂
∂=∂
∂
∂
∂=∂
∂
∂
∂=∂
∂ ),,(,,, 
 (2). 0=++∫
L
RdzQdyPdx , L là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền V. 
 (3). 
pAB
Pdx Qdy Rdz+ +∫ , trong đó pAB V⊂ , chỉ phụ thuộc vào hai điểm A,B mà không 
phụ thuộc dạng cung pAB 
 (4) Biểu thức RdzQdyPdx ++ là vi phân toàn phần của hàm u(x,y,z) nào đó trên 
0 0 0
0 0( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
yx z
o
x y z
u x y z P x y z dx Q x y z dy R x y z dz C= + + +∫ ∫ ∫ 
trong đó CVzyxVzyx ,),,(,),,( 000 ∈∈ là hằng số tuỳ ý và: 
p
( ) ( )
AB
Pdx Qdy Rdz u A u B+ + = −∫ 
• Công thức Ostrogradski 
∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=++
VS
dxdydz
z
R
y
Q
x
PRdxdyQdzdxPdydz 
Ứng dụng tính thể tích ∫∫ ++=
S
zdxdyydzdxxdydzV
3
1
 trong đó S được định hướng ra 
phía ngoài miền V. 
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 3. 
3.1. Có thể dùng tích phân đường loại 1 để tính độ dài một cung 
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 
 94
 Đúng Sai 
3.2. Tích phân đường loại 1 phụ thuộc vào hướng đi của đường cong 
 Đúng Sai 
3.3. Có thể dùng tích phân đường loại 2 để tính công của một lực. 
 Đúng Sai 
3.4. Tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào hướng đi của đường cong. 
 Đúng Sai 
3.5. Có thể dùng tích phân đường loại 2 để tính diện tích một hình phẳng. 
 Đúng Sai 
3.6. 0
L
Q PPdx Qdy
x y
∂ ∂+ = ⇒ =∂ ∂∫ trong miền D giới hạn bởi đường cong L 
 Đúng Sai 
3.7 Công thức Green chỉ đúng cho miền đơn liên. 
 Đúng Sai 
3.8. Định lý 4 mệnh đề tương đương đúng với miền liên thông. 
 Đúng Sai 
3.9. Có thể dùng tích phân mặt loại 1 để tính diện tích mặt cong. 
 Đúng Sai 
3.10. Tích phân mặt loại 1 không phụ thuộc vào hướng lấy tích phân mặt 
 Đúng Sai 
3.11. Dùng tích phân mặt loại 2 để tính thông lượng của một trường véctơ. 
 Đúng Sai 
3.12. Có thể biểu diễn tích phân mặt loại 2 qua tích phân mặt loại 1 
 Đúng Sai 
3.13. Có thể biểu diễn tích phân đường loại 2 theo đường cong kín qua tích phân mặt loại 2. 
 Đúng Sai 
3.14 Có thể biểu diễn tích phân mặt loại 2 theo phía trong của mặt cong qua tích phân bội 3. 
 Đúng Sai 
3.15. Tính tích phân mặt loại 1, mặt loại 2 phải đưa về tích phân bội 2. 
 Đúng Sai 
3.16. Tính các tích phân đường loại 1 sau: 
a. ∫
L
xyds , L là biên hình chữ nhật ABCD với A(0,0), B(4,0), C(4,2), D(0,2) 
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 
 95
b. ∫
L
xyzds , L cho bởi phương trình 10,
3
8
2
3
2
≤≤
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
t
tz
ty
tx
3.17. Tính khối lượng của dây vật chất có phương trình axeeay a
x
a
x
≤≤⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += − 0,
2
 với 
khối lượng riêng 
y
yx 1),( =ρ 
3.18. Tính các tích phân đường loại 2 sau: 
a. 
q
2 2( ) ( )
ABC
x y dx x y dy− + +∫ , qABC là đường gấp khúc với A(0,0), B(2,2), C(4,0) 
b. ∫ +−
L
dyxyydx )( 2 , L là cung parabol 22 xxy −= nằm ở phía trên trục 0x theo chiều 
kim đồng hồ. 
3.19. Tính ∫ +−
L
ydyxdxxy 2)1( từ A(1,0) đến B(0,2) theo: 
a. đường 22 =+ yx 
b. đường 44 2 =+ yx 
c. đường ⎩⎨
⎧
=
=
ty
tx
sin2
cos
3.20. Tính ∫
L
xdy và ∫
L
ydx theo chiều dương với L là: 
a. đường tròn 222 ayx =+ 
b. biên của nửa hình tròn 0,222 >≤+ yayx 
c. tam giác có ba đỉnh O(0,0), A(a,0) và B(0,b) 
3.21. Tính ∫ −++
L
dyyxdxyx )()( 2222 với L là biên của tam giác OAB theo chiều dương, 
biết O(0,0), A(1,0), B(0,1). 
a. bằng cách tính trực tiếp 
b. dùng công thức Green 
3.22. Tính ∫ ++−
L
dyyxydxx )1()1( 22 với L là đường 222 Ryx =+ (theo chiều dương) 
bằng hai cách: 
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 
 96
a. trực tiếp 
b. dùng công thức Green 
3.23. Tính các tích phân đường sau theo chiều dương: 
a. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∫ dxyxdyxyxy
L 22
, L là biên của tam giác ABC, A(-1,0), B(1,-2), C(1,2). 
b. ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +L dx
yxydyxyx
44
33 , L là đường xyx 222 =+ 
3.24. Tích phân đường sau đây có phụ thuộc vào đường lấy tích phân không? Tính tích 
phân theo pAB tương ứng: 
a. 
p
2
21 cos sin cos
AB
y y y y ydx dy
x x x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ với ),,2(),,1( ππ BA pAB không cắt trục Oy. 
b. 
p
2 2 2 2 2 23 3
AB
x y x y y xdx dy
xy x y
⎛ ⎞+ − −+⎜ ⎟⎝ ⎠∫ với ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 2,
2
),1,1( πBA 
pAB có phương trình 
2
0,
sin1
cos
2
2 π≤≤⎪⎩
⎪⎨⎧ +=
+=
t
ty
ttx
 và không cắt các trục toạ độ. 
3.25. Chứng minh rằng các biểu thức QdyPdx + sau đây là vi phân toàn phần của hàm 
u(x,y) nào đó. Tìm u? 
a. ( ) dyyxydxxyx )32(32 2222 +−++− 
b. cos( ) cos( ) 2x y x ye x y dx e x y dy+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
c. [ ] [ ]dyyxeedxyyxee yxyx 1)()2( +−+++− 
d. ydy
yx
yx
yx
xdx
22
22
22
1
+
−−++ 
3.26. Tính ∫ ++−L yx
xdyydx
222
1
π với: 
a. L là đường 222 ayx =+ (theo chiều ngược kim đồng hồ) 
b.L là biên hình vuông với đỉnh (-1,-1), (-1,1), (1,1), (1,-1) (theo chiều thuận kim đồng hồ). 
3.27. Tìm m, a, b để các biểu thức sau là vi phân toàn phần của hàm số u nào đó và tìm hàm 
số đó 
a. myx
dyyxdxyx
)(
)()(
22 +
++−
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 
 97
b. 
( )
222
2222
)(
)2(2
yx
dybyxyxdxyxyax
+
++−++
3.28. Tính ∫∫ +
S
dSyx )( 22 nếu: 
a. S là mặt nón 10,222 ≤≤+= zyxz 
b. S là mặt cầu 2222 azyx =++ 
3.29. Tính các tích phân mặt loại một sau: 
a. ∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ++S dS
yxz
3
42 , S là phần của mặt phẳng 1
432
=++ zyx nằm trong góc phần tám 
thứ nhất. 
b. ( )∫∫ ++
S
dSxyzxyz , S là phần của mặt nón 22 yxz += nằm trong mặt trụ 
2 2 2 , 0x y ax a+ = > 
c. ∫∫
S
xdS , S là phần của mặt trụ parabolic 
2
2xz = nằm trong góc phần tám thứ nhất của 
mặt trụ 122 =+ yx . 
3.30. Tính các tích phân mặt loại hai sau: 
a. ∫∫
S
xyzdxdy , S là mặt ngoài của phần hình cầu xác định bởi 2 2 2x y z 1, x 0, y 0.+ + ≤ ≥ ≥ 
b. 2
S
xdydz dzdx xz dxdy+ +∫∫ , S là mặt ngoài của phần hình cầu xác định bởi 
0,0,0,1222 ≥≥≥≤++ zyxzyx . 
c. ∫∫ ++
S z
dxdy
y
dzdx
x
dydz
, S là mặt ngoài của ellipsoid 12
2
2
2
2
2
≤++
c
z
b
y
a
x 
d. ∫∫
S
zdxdyyx 22 , S là mặt trên nửa mặt cầu 0,2222 ≤=++ zRzyx . 
3.31. Tính các tích phân đường sau theo hướng ngược kim đồng hồ nhìn từ phía 0>z : 
a. ∫ ++
L
zdzdydxyx 32 , L là đường tròn 
⎩⎨
⎧
=
=+
0
222
z
Ryx
b. ∫ ++
L
xdzzdyydx , L là đường tròn 
⎩⎨
⎧
=++
=++
0
2222
zyx
Rzyx
3.32. Tính các tích phân mặt theo phía ngoài của vật thể bao bởi mặt cong S. 
a. 
S
xzdydz yxdzdx zydxdy+ +∫∫ , S là biên của hình chóp x 0, y 0, z 0, x y z 1.≥ ≥ ≥ + + ≤ 
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 
 98
b. 3 3 3
S
x dydz y dzdx z dxdy+ +∫∫ , S là mặt cầu 2 2 2 2x y z R .+ + = 
c. 2 2 2
S
x dydz y dzdx z dxdy+ +∫∫ , S là biên của hình lập phương 
0 x a, 0 y a, 0 z a.≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 
Tài liệu tham khảo 
 99