Giáo trình Dãy số và các bài toán về dãy số

Mục lục
1 Dãy số và các bài toán về dãy số 4
1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Định nghĩa và các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Dãy số thực: một số dạng dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Dãy số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Dãy số và phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.4 Một vài thủ thuật khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Một số phương pháp xây dựng hệ thống bài tập . . . . . . . . . . . 23
1.4.1 Xây dựng dãy hội tụ bằng phương trình . . . . . . . . . . . 23
1.4.2 Xây dựng dãy truy hồi từ cặp nghiệm của phương trình bậc 2 24
1.4.3 Xây dựng các dãy số nguyên từ lời giải các phương trình
nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.4 Xây dựng dãy số là nghiệm của một họ phương trình phụ
thuộc biến n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Lý thuyết dãy số dưới con mắt toán cao cấp . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.1 Rời rạc hóa các khái niệm và định lý của lý thuyết hàm
biến số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.2 Phương pháp hàm sinh và bài toán tìm số hạng tổng quát . 29
1.5.3 Đại số tuyến tính và phương trình sai phân . . . . . . . . . 30
1.5.4 Sử dụng xấp xỉ trong dự đoán kết quả . . . . . . . . . . . . 31
1.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Phương trình sai phân 41
2.1 Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 Một số khái niệm chung về phương trình sai phân . . . . . 43
2.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất . . . . . . . . . . . . . 44
1
MỤC LỤC 2
2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân
tuyến tính cấp 1 không thuần nhất khi vế phải f(n) có
dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.2 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k . . . . . . . . . . . 58
3 Xác định số hạng tổng quát của một dãy số 60
3.1 Tìm số hạng tổng quát của dãy (dạng đa thức) khi biết các số
hạng đầu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Công thức truy hồi là một biểu thức tuyến tính . . . . . . . . . . . 63
3.2.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Công thức truy hồi là một hệ biểu thức tuyến tính . . . . . . . . . 70
3.3.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Công thức truy hồi là biểu thức tuyến tính với hệ số biến thiên . . 72
3.5 Công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . 78
3.6 Hệ thức truy hồi phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.1 Quy trình tuyến tính hoá một phương trình sai phân . . . . 82
3.6.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6.3 Một số ví dụ khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.6.4 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 Phương trình hàm sai phân bậc hai 99
4.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Phương trình hàm sai phân bậc hai với hàm tuần hoàn và phản
tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3 Phương trình với hàm số tuần hoàn, phản tuần hoàn nhân tính . . 108
4.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.2 Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.3 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
MỤC LỤC 3
5 Dãy số sinh bởi hàm số 128
5.1 Hàm số chuyển đổi phép tính số học và đại số . . . . . . . . . . . . 128
5.2 Về các dãy số xác định bởi dãy các phương trình . . . . . . . . . . 135
5.3 Định lý về ba mệnh đề tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4 Một số bài toán về ước lượng tổng và tích . . . . . . . . . . . . . . 142
5.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6 Một số lớp hàm chuyển đổi các cấp số 145
6.1 Cấp số cộng, cấp số nhân và cấp số điều hoà . . . . . . . . . . . . 145
6.2 Dãy số tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.3 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.4 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng vào cấp số nhân . . . . . . . . . . . 154
6.5 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân vào cấp số cộng . . . . . . . . . . . 155
6.6 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân vào cấp số điều hoà . . . . . . . . 156
7 Một số lớp hàm chuyển đổi các cấp số trong tập rời rạc 158
7.1 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số cộng . . . . . . . . . 158
7.2 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số nhân . . . . . . . . . 161
8 Một số bài toán xác định dãy số trong lớp dãy tuần hoàn cộng
tính và nhân tính. 167
8.1 Một số bài toán xác định dãy số trong lớp dãy tuần hoàn cộng tính 167
8.2 Hàm số xác định trên tập các số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.2.1 Hàm số chuyển đổi các phép tính số học . . . . . . . . . . 170
8.2.2 Hàm số chuyển tiếp các đại lượng trung bình . . . . . . . . 172
8.2.3 Phương trình trong hàm số với cặp biến tự do . . . . . . . 177
8.2.4 Một số dạng toán liên quan đến dãy truy hồi . . . . . . . . 180
8.3 Hàm số xác định trên tập các số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.4 Phương trình trong hàm số với cặp biến tự do . . . . . . . . . . . . 191
8.5 Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . 198
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Chương 1
Dãy số và các bài toán về dãy
số
1.1 Giới thiệu
Chọn đề tài về dãy số, chúng tôi đã tự trước mình một nhiệm vụ vô cùng khó
khăn, bởi đây là một lĩnh vực rất khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác
nhau của toán học. Hơn thế, trước đó đã có khá nhiều cuốn sách chuyên khảo về
đề tài này. Dù vậy, chúng tôi vẫn muốn cố gắng đóng góp một số kinh nghiệm và
ghi nhận của mình thu lượm được trong quá trình giảng dạy những năm qua.
Tập tài liệu này không phải là một giáo trình về dãy số, lại càng không phải
là một cẩm nang hướng dẫn giải các bài toán dãy số. Tập tài liệu này đúng hơn
hết là những cóp nhặt của tác giả về những phương pháp giải các bài toán dãy
số cùng với những nhận định đôi khi mang đầy tính chủ quan của tác giả. Vì vậy,
hãy coi đây là một tài liệu mở. Hãy tiếp tục triển khai, liên hệ và đúc kết kinh
nghiệm, ghi nhận những cái hay và góp ý cho những cái chưa hay, thậm chí chưa
chính xác.
Trong tài liệu này, không phải tất cả các vấn đề của dãy số đều được đề cập
tới. Ví dụ phần dãy số và bất đẳng thức chỉ được nói đến rất sơ sài, các bài toán
dãy số mà thực chất là các bài toán về đồng dư cũng không được xét tới... Hai
mảng lớn mà tập tài liệu này chú ý đến nhất là bài toán tìm số hạng tổng quát
của một dãy số và bài toán tìm giới hạn dãy số.
Trong tập tài liệu này, các vấn đề và các bài toán có mức độ khó dễ khác
nhau. Có những bài cơ bản, có những bài khó hơn và có những bài rất khó. Vì
vậy, cần phải lựa chọn vấn đề với mức độ thích hợp (ví dụ có một số vấn đề và
bài toán chỉ đụng phải ở mức kỳ thi chọn đội tuyển hoặc quốc tế).
Viết tập tài liệu này, tác giả đã sử dụng rất nhiều nguồn tài liệu khác nhau,
tuy nhiên chỉ có một số bài có ghi nguồn gốc, một số bài không thể xác định được.
4
1.2. Định nghĩa và các định lý cơ bản 5
Tác giả cũng đã sử dụng các bài giảng của các thầy Phan Đức Chính, Nguyễn
Văn Mậu, Lê Đình Thịnh, Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Minh Đức... trong bài viết
của mình.
Cuối cùng, tập tài liệu này không khỏi có những nhầm lẫn và thiếu sót, tác
giả rất mong nhận được sự góp ý của tất cả các thầy cô giáo. Và rất mong rằng,
với nỗ lực chung của tất cả chúng ta, tập tài liệu sẽ tiếp tục được hoàn thiện và
bổ sung.
1.2 Định nghĩa và các định lý cơ bản
Định nghĩa 1.1. Dãy số là một hàm số từ N vào một tập hợp số (N,Q,R,C)
hay một tập con nào đó của các tập hợp trên). Các số hạng của dãy số thường
được ký hiệu là un, vn, xn, yn thay vì u(n), v(n), x(n), v(n). Bản thân dãy số được
ký hiệu là {xn}.
Vì dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên nó cũng có các tính
chất của một hàm số.
Định nghĩa 1.2. Dãy số {xn} được gọi là dãy tăng (giảm) nếu với mọi n ta có
xn+1 ≤ xn(xn+1 ≤ xn). Dãy số tăng hoặc dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn
điệu.
Dãy số {xn} được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho với mọi n
ta có xn ≤M .
Dãy số {xn} được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho với mọi n
ta có xn ≥ m.
Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn.
Dãy số xn được gọi là tuần hoàn với chu kỳ k nếu xn+k = xn với mọi n ∈ N. Dãy
số tuần hoàn với chu kỳ 1 gọi là dãy hằng.
Định nghĩa 1.3. Ta nói dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn a khi n dẫn đến vô
cùng nếu với mọi  > 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và )
sao cho với mọi n > N0 ta có |xn − a| nhỏ hơn .
lim
n→∞ xn = a⇔  > 0∃N0 ∈ N : ∀n > N0|xn− a| < 
Ta nói dãy số {xn} dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số
thực dương M lớn tuỳ ý, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và M)
sao cho với mọi n > N0 ta có |xn| lớn hơn M .
lim
n→∞ xn =∞⇔ ∀M > 0∃N0 ∈ N : ∀n > N0 |x| > M.
Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn
hoặc dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ.
1.2. Định nghĩa và các định lý cơ bản 6
Định lý 1.1 (Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ). Nếu {xn}, {yn} là các
dãy hội tụ và có giới hạn tương ứng là a, b thì các dãy số {xn + yn}, {xn − yn},
{xnyn} và {xn/yn} cũng hội tụ và có giới hạn tương ứng là a+ b, a− b, a.b, a/b.
(Trong trường hợp dãy số thương, ta giả sử yn và b khác không)
Định lý 1.2 (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức). Cho dãy số {xn} có
giới hạn hữu hạn l, nếu ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có a ≤ xn ≤ b thì a ≤ xn ≤ b.
Định lý 1.3 (Định lý kẹp). Cho ba dãy số {xn}, {yn}, {zn} trong đó xn và zn có
cùng giới hạn hữu hạn 1, và N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có xn ≤ yn ≤ zn. Khi đó yn
cũng có giới hạn là 1.
Định lý 1.4 (Dãy đơn điệu). Một dãy tăng và bị chặn trên hay một dãy giảm
và bị chặn dưới thì hội tụ. Nói ngắn gọn hơn, một dãy số đơn điệu và bị chặn thì
hội tụ.
Định lý 1.5 (Về dãy các đoạn thẳng lồng nhau). Cho hai dãy số thực {an}, {bn}
sao cho
a) ∀n ∈ N, an ≤ bn;
b) ∀nßN, [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn];
c) bn − an → 0 khi n→∞.
Khi đó tồn tại duy nhất số thực l sao cho ∩ [an, bn] = 1.
Định lý 1.6 (Bolzano Veierstrass). Từ một dãy bị chặn luôn có thể trích ra một
dãy con hội tụ.
Định nghĩa 1.4. Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ > 0∃N0 ∈ N: ∀m,n >
N0|xm − xn| < .
Định nghĩa 1.5 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn khi và
chỉ khi nó là dãy Cauchy.
Cấp số cộng. Dãy số {xn} được gọi là một cấp số cộng khi và chỉ khi tồn
tại d sao cho
∀n ∈ N, xn+1 = xn + d.
d được gọi là công sai của cấp số cộng, x0 là số hạng đầu, xn là số hạng thứ n.
Ta có các công thức cơ bản sau:
xn = x0 + nd
Sn = x0 + x1 + · · ·+ xn−1
= nx0 + n(n − 1)d/2
= n(x0 + xn−1)/2
1.2. Định nghĩa và các định lý cơ bản 7
Cấp số nhân. Dãy số {xn} được gọi là một cấp số nhân khi và chỉ khi tồn tại
q sao cho
∀n ∈ N, xn+1 = qxn.
d được gọi là công bội của cấp số nhân, x0 là số hạng đầu, xn là số hạng thứ n.
Ta có các công thức cơ bản sau:
xn = qnx0
Sn = x0 + x1 + · · ·+ xn−1 = (qn − 1)x0/(q − 1)
Nếu |q| < 1 thì {xn} được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân
lùi vô hạn được tính theo công thức
S = x0/(1− q)
Dãy Fibonacci. Dãy số Fibonacci là dãy số được định nghĩa bởi
f0 = 0, f1 = 1, ∀n ∈ N, fn+2 = fn+1 + fn.
Dãy số Fibonacci có rất nhiều tính chất thú vị và xuất hiện một cách tự nhiên
trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Chúng ta có công thức sau đây để tìm số hạng
tổng quát của dãy số Fibonacci:
Công thức Binet.
fn =
(
1+
√
5
2
)n−(1−√52 )n√
5
.
Nói chung, các dãy số xác định bởi công thức truy hồi fn+2 = fn+1 + fn (với
f0, f1 bất kỳ) được gọi là dãy Fibonacci mở rộng.
Dãy Farey. Dãy Farey Fn với mỗi số nguyên dương n là tập hợp các phân số
tối giản dạng a/b với 0 ≤ a ≤ b ≤ n và (a, b) = 1 xếp theo thứ tự tăng dần.
Ví dụ 1.1.
F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}.
Ngoại trừ F1, Fn có số lẻ các phần tử và 1/2 luôn nằm ở giữa. Gọi p/q, p′/q′ và
p′′/q′′ là các số hạng liên tiếp trong dãy Farey thì
pq′ − qp′ = 1, và p′/q′ = (p+ p′′)/(q + q′′).
Số các số hạng N(n) trong dãy Farey được tính theo công thức
N(n) = 1 +
n∑
k=1
ϕ(k) = 1 + φ(n).
1.3. Một số phương pháp giải bài toán về dãy số 8
1.3 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số
Phương pháp giải các bài toán dãy số rất đa dạng như chính yêu cầu của
chúng. Đó có thể là một tính chất số học, một tính chất đại số hay một tính chất
giải tích. Dưới đây chúng ta sẽ xem xét những phương pháp cơ bản nhất.
Tuy nhiên, có thể đưa ra hai nguyên lý chung để giải các bài toán dãy số là
- Đừng ngại viết ra các số hạng đầu tiên của dãy số
- Đừng ngại tổng quát hóa bài toán
1.3.1 Dãy số thực: một số dạng dãy số đặc biệt
Dãy số dạng xn+1 = f(xn)
Đây là dạng dãy số thường gặp nhất trong các bài toán về giới hạn dãy số.
Dãy số này sẽ hoàn toàn xác định khi biết f và giá trị ban đầu x0. Do vậy sự hội
tụ của dãy số sẽ phụ thuộc vào tính chất của hàm số f(x) và x0. Một đặc điểm
quan trọng khác của dãy số dạng này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a phải là
nghiệm của phưng trình x = f(x). Chúng ta có một số kết quả cơ bản như sau:
Định nghĩa 1.6. Hàm số f : D→ D được gọi là một hàm số co trên D nếu tồn
tại số thực q, 0 < q < 1 sao cho |f(x)− f(y)| ≤ q|x− y| với mọi x, y thuộc D.
Định lý 1.7. Nếu f(x) là một hàm số co trên D thì dãy số {xn} xác định bởi
x0 = a ∈ D, xn+1 = f(xn) hội tụ. Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên
D của phương trình x = f(x).
Chứng minh. Với mọi n > m thì áp dụng định nghĩa hàm số co, ta có
|xn−xm| = |f(xn−1)− f(xm−1)| ≤ q|xn−1−xm−1| ≤ · · · ≤ qm|xn−m−x0| (1.1)
Từ đây |xn − x0| ≤ |xn − xn−1|+ · · ·+ |x1 − x0| ≤ (qn−1 + · · ·+ 1)|x1 − x0|, suy
ra {xn} bị chặn. Xét  > 0. Từ (1.1), do q < 1 và |xn−m − x0| bị chặn nên ta suy
ra tồn tại N sao cho qN |xn−m − x0| < . Suy ra {xn} là dãy Cauchy và do đó hội
 ... 1)(1 + f(y + 1)) = 1+ f(y + 1),
hay
f(2 + y) = f(2) + f(y). (8.14)
8.5. Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm 204
Cho x = 2, từ đẳng thức
f(x+ y) + f(xy) = f(x) + f(y) + f(x).f(y),
ta được
f(2 + y) + f(2y) = f(2) + f(y) + f(2).f(y).
Phương trình này tương đương với
f(2y) = 2f(y), (8.15)
hay là
f(2y)
2y
=
f(y)
y
. (8.16)
Đặt g(x) = f(x)/x, x 6= 0, ta có (8.16) tương đương với
g(x) = g(2x).
Suy ra
g(x) = g
(x
2
)
= g
(x
4
)
= · · ·= g
( x
2n
)
. (8.17)
Suy ra tồn tại (xn)∞0 với mọi x ∈ R sao cho xn → x, g(x) là hàm số liên tục trên
R− {0}. Thành ra, lim
n→∞ g(xn) = g(x). Tức là
lim
n→∞ g
( 1
2n
)
= g(x).
Vì (8.17) nên từ đây ta có g(1) = g(x), hay f(1)1 = g(x), f(1) = g(x) = f(x)/x.
Cuối cùng ta được f(x) = x.
Suy ra f cộng tính.
Chú ý rằng trong ý (b) nếu cần xét riêng x ∈ Q thì ta có
f(n) = f(1 + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸
n số 1
) = nf(1) = n.
Ta có
f(n.
m
n
) = f(n).f(m/n)
tương đương với mỗi
f(m) = n.f(n/m)
f(m) = nf(m/n)
Suy ra
f
(m
n
)
=
f(m)
n
=
mf(1)
n
=
m
n
.
Vậy f(m/n) = m/n, hay f(x) = x, với mọi x ∈ Q.
8.5. Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm 205
Bài toán 8.51. Tìm hàm f(x) xác định R∗ → R∗ (0 6 x < +∞) thỏa mãn các
điều kiện
1. f(x.f(y)).f(y) = f(x+ y) ∀x, y > 0,
2. f(2) = 0
3. f(x) 6= 0 ∀x ∈ [0, 2).
Giải. Cho y = 2 thì từ điều kiện thứ nhất ta có f(x.f(2)).f(2) = f(x+ 2). Từ
điều kiện thứ hai suy ra f(x + 2) = 0 với mọi x > 0. Vì điều kiện thứ ba nên
f(x) 6= 0 với mọi x ∈ [0, 2), suy ra t = x+ 2 > 2, suy ra f(t) = 0 với mọi t > 2.
Suy ra
f(x) = 0, ∀x > 2. (8.18)
Vậy
f(x) =
{
0 nếu x ∈ [2,+∞)
6= 0 nếu x ∈ [0, 2) (8.19)
Ta chỉ cần tìm hàm f(x) với 0 6 x 6 2 thì f((2−x).f(x)).f(x) = f(2−x+x) =
f(2) = 0.
Suy ra f((2− x).f(x)) = 0. Kết hợp với (8.18) ta có (2− x)f(x) > 2. Suy ra
1/f(x) 6= 0 và f(x) > 2/(2− x). Do đó
1
f(x)
6 2− x
2
. (8.20)
Mặt khác, f((y − x).f(x)) 6= 0, nên (y − x).f(x) < 2 theo (8.19). Ta cố định x
và cho y → 2, do tính liên tục của f nên (y − x)f(x) → (2 − x)f(x) 6 2. Với
2− x > 0 thì f(x) 6 2/(2− x). Suy ra
1
f(x)
> 2− x
x
. (8.21)
Từ (8.20) và (8.21) suy ra
2− x
2
6 1
f(x)
6 2− x
x
.
Do đó f(x) = 2/(2− x). Tóm lại
f(x) =
{
2
2−x khi 0 6 x < 2
0 khi x > 2
8.5. Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm 206
Cách 2. Khi 0 6 x 0,
f((2− x).f(x)).f(x) = f(2− x+ x) = f(2) = 0.
Do f(x) 6= 0 nên f((2− x)f(x)) = 0, suy ra (2− x)f(x) > 2. Thành thử,
f(x) > 2
2− x (8.22)
Mặt khác, f((y − x)f(x)) 6= 0 nên (y − x)f(x) < 2. Ta cố định x và cho y → 2,
do tính liên tục của f nên (y − x)f(x)→ (2− x)f(x) 6 2. Suy ra
f(x) 6 2
2− x. (8.23)
Từ (8.22) và (8.23) suy ra f(x) = 22−x . Tóm lại
f(x) =
{
2
2−x khi 0 6 x < 2
0 khi x > 2
Bài toán 8.52. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục với mọi x > 0 và thoả mãn
điều kiện
1. f(uv) = f(v) + f(u), ∀u, v > 0
2. lim
x→1
f(x) = 0,
3. f(x) 6= 0, ∀x > 0.
Giải. Giả sử f(x) 6≡ 0, với mọi x > 0.
f(x) = f(1.x) = f(1) + f(x),
suy ra f(1) = 0. Lấy x > 0, xn → x0 khi n→∞. Suy ra xn/x0 → 1 khi n→∞.
Suy ra
limf
(
xn
x0
)
= 0.
Vậy f(xn) = f(x0, xnx0 ) = f(x0) + f(
xn
x0
)→ f(x0) + 0. Tức là
lim
xn→x0
f(xn) = f(x0).
f(uv) = f(u) + f(v), ∀u, v > 0. (8.24)
8.5. Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm 207
Suy ra f(xn) = nf(x), với x > 0, n ∈ N∗. Do f(1) = 0 nên f(xn) = nf(x)
đúng khi n = 0. Hơn nữa, với mọi n ∈ N∗ thì 0 = f(1) = f(xn, x−n) = f(xn) +
f(x−1) = nf(x) + f(x−n). Suy ra f(x−n) = −nf(x), và
f
(
x
m
n
)
= f
((
x
1
n
)m)
= mf(x1/n) = m
1
n
f(x) =
m
n
f(x).
Suy ra f(xm/n) = mn f(x), m, n ∈ Z. Do đó
f(xr) = rf(x), ∀x > 0 r ∈ Q.
Đặc biệt f(2r) = r.f(2) = r.A, r ∈ Q, A = f(2). Nếu x > 0 thì x = 2log2 x suy
ra với mọi x > 0 thì tồn tại một dãy số hữu tỷ {rn}∞0 sao cho
lim
r→∞ rn = log2 x.
Suy ra
lim
r→∞ 2
rn = 2log2 x = x
dẫn đến lim
n→∞ f(2
rn) = f(x), mà f(2rn) = A.rn → A. log2 x khi n→∞.
Suy ra
lim
n→∞ f(2
rn) = A. log2 x = f(x).
Do f(x) 6≡ 0 với x > 0 nên với mọi x > 0 ta có A 6= 0, đặt A = loga 2, a > 0 và
a 6= 1, f(x)−A log2 x = loga 2. log2 x = loga x. Vậy
f(x) = loga x, ∀x > 0, 0 < a 6= 1.
Bài toán 8.53. Tìm f(x) xác định và liên tục với mọi x > 0 và thoả mãn điều
kiện
1. f(uv) = f(u).f(v), ∀u, v > 0
2. lim
x→1
f(x) = 1.
Giải. Ta có với mọi x > 0
f(x) = f(
√
x.
√
x) = f2(
√
x) > 0.
Suy ra f(x) > x, ∀x > 0.
Nếu tồn tại x0 > 0 để f(x0) = 0 thì với mọi x > 0 ta có f(x) = f(x0. xx0 ) =
f(x0).f
(
x
x0
)
= 0. Theo giả thiết ta cũng có lim
x→1
f(x) = 1. Vậy f(x) > 0, với mọi
x > 0.
8.5. Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm 208
Xét hàm số g(x) = lim f(x), với mọi x > 0 thoả mãn điều kiện
g(u, v) = ln f(uv) = ln(f(u).f(v)) =
= ln f(u) + ln f(v)
= g(u) + g(v)
và lim
x→1
g(x) = 0.
Vậy g(x) thỏa mãn điều kiện bài toán 8.52 ở trên. Suy ra
g(x) = loga x, 0 0.
Suy ra ln f(x) = logα x = logαe. lnx. Do đó
f(x) = xα
với α = loga e, (0 < a 6= 1)
Bài toán 8.54. Cho f : (−1, 1)→ R liên tục và
f(x) = f
(
2x
1 + x2
)
, ∀x ∈ [−1, 1].
Chứng minh rằng f(x) là hàm hằng.
Giải. Ta cố định x, xét dãy số (xn)∞1 xác định bởi
x0 = x > 0, xn+1 =
2x
1 + x2
. (8.25)
Dãy (xn) là dãy số tăng. Suy ra xn+1 > xn, hay 2xn/(1+x2n) > xn. Từ đây ta có
−1 6 xn 6 1. Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có
xn+1 =
2xn
1 + x2n
6 1.
Do dãy số (xn) tăng và bị chặn dưới bởi 1 nên tồn tại giới hạn limn→∞ xn = l > 0.
Ta có (8.25) tương đương với
l =
2l
1 + l2
,
từ đó ta có l = 1.
Dãy số
f(xn+1) = f
(
2xn
1 + x2n
)
= f(xn).
Lấy f(x) = f(x0) = · · · = f(xn). Do f(x) liên tục trên [−1, 1] nên lim
n→∞ f(xn)
= f(1), hay f(x) = f(1) = c, với c là hằng số.
(trường hợp x0 = x < 0 xét tương tự)
8.5. Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm 209
Bài toán 8.55. Tìm tất cả các hàm f(x) xác định và liên tục trên R − {0} và
thỏa mãn điều kiện sau
(f(x2)− x2)(f(x)− x) = 1
x3
, ∀ x 6= 0. (8.26)
Giải. Phương trình (8.26) tương đương với
(x2f(x2)− x4)(xf(x)− x2) = 1.
Đặt xf(x)− x2 = g(x), ta thu được
g(x2)g(x) = 1. (8.27)
Suy ra g(x) 6= 0, với mọi x ∈ R. Ta có g(0) = ±1 và g(1) = ±1. Thay x bởi −x
vào trong (8.27) ta thu được
g(x2)g(−x) = 1 = g(x2)g(x).
Suy ra g(−x) = g(x) trên tập đối xứng qua gốc toạ độ R. Suy ra g(x) là hàm số
chẵn trên R, nên ta chỉ cần xét g(x) trên tập x > 0 là đủ.
Xét 0 6 x 6 1, ta có
g(x) =
1
g(x2)
=
1
1
g(x4)
= g(x4).
Suy ra g(x) = g(x4).
Lại có
g(x4) =
1
g((x4)2)
=
1
1
g((x4)2)
= g((x4)4) = g(x4
2
).
Suy ra g(x4) = g(x4
2
). Vậy ta thu được
g(x) = g(x4) = g((x4)4) = · · · = g((· · ·(x4)4)4 · · · )4) = g(x4n), n→ +∞.
Qua giới hạn ta thu được
g(x) = lim
n→+∞ g(x
(1/4)n),
do lim
0 x 1
x4
n
= 0. Suy ra
g(x) = lim
n→+∞ g(x
4n) = g(0),
mà g(0) = ±1. Suy ra g(x) = ±1 = c.
8.5. Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm 210
Xét x > 1, ta có
g(x) =
1
g(x
1
2 )
=
1
1
g(x
1
4 )
= g(x
1
4 ) = · · · = g(x( 14 )n).
Qua giới hạn, ta thu được g(x) = lim
n→+∞ x
( 1
4
)n = g(1) vì với x > 1 thì limn→+∞ =
1, suy ra g(x) = g(1) = ±1 = c.
Vậy c = xf(x)− x2, hay f(x) = c/x+ x, c là một hằng số.
Bài toán 8.56. Cho f : (−1, 1)→ R liên tục thoả mãn điều kiện
f(x) = f
(
2x
1 + x2
)
, ∀x ∈ (−1, 1). (8.28)
Chứng minh rằng f(x) là hàm hằng.
Giải. Xét 0 < x < 1. Ta cố định x, xét dãy số (xn)+∞1 như sau
x0 = x, xn+1 =
1−√1− x2n
xn
. (8.29)
Dãy này được suy ra từ việc xét dãy số
xn =
2xn + 1
1 + x2n+1
.
Ta chứng minh rằng (xn)∞1 xác định với mọi n và
lim
n→∞ xn = 0. (8.30)
Từ (8.28) suy ra f(x) = f(x0) = f(x1) = · · · = f(xn). Do f(x) liên tục trên
(−1, 1) nên f(x) = lim
n→∞ f(xn) = f(0).
Ta chứng minh dãy số (xn)∞1 bị chặn.
Dễ thấy (xn)∞1 luôn dương với mọi n ∈ N∗. Ta chứng minh xn 6 1, với mọi
n ∈ N∗.
Nếu n = 0 thì x0 = x < 1, đúng theo giả thiết.
Giả sử xk < 1, ta có
xk+1 =
1−√1− x2n
xk
6 1.
Bất đẳng thức này tương đương với 1−xk 6
√
1− x2k. Từ đây ta có xk(xk−1) 6 0,
điều này luôn đúng với xk < 1.
8.5. Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm 211
Suy ra (xn)∞1 là dãy số giảm.
Bây giờ ta chứng minh dãy số (xn)∞1 bị chặn bởi số 0. Thật vật, vì (xn)∞1 là
dãy số giảm nên tồn tại lim
n→∞ xn = c (ta đi chứng minh c = 0).
Suy ra
lim
n→∞ xn = limn→∞
2xn + 1
1+ x2n+1
= lim
n→∞
2xn
1 + x2n
.
Từ đó c = c/(1 + c2), suy ra c = 0 hoặc c = 1. Do dãy số giảm nên c = 0, suy
ra limn→∞ xn = 0. Vậy dãy số (xn)∞1 giảm và bị chặn bởi 0 vậy dãy số (xn)∞1 bị
chặn.
Ta có
f(xn) = f
(
2xn+1
1 + x2n+1
)
= f(xn+1).
Suy ra f(x) = f(xn+1) = f(xn) = · · · = f(x1) = f(0). Do f(x) liên tục trên
(−1, 1) nên lim
n→∞ f(xn) = f(0), hay là f(x) = f(0) = c với c là một hằng số.
Trường hợp −1 < x < 0. Ta chứng minh dãy số (xn)∞1 đơn điệu tăng và bị
chặn bởi số 0.
Nhận xét. Bài toán 8.54 và 8.56 khác nhau cơ bản ở điều kiện nên ở bài 8.54
xét dãy số xn+1 = 2xn1+x2n , ở bài toán 8.56 xét dãy số xn =
2xn+1
1+x2n
sao cho dãy số
không thể bằng 1 được, suy ra xn =
1−
√
1−x2n
xn
.
Bài toán 8.57. Cho f : R → R liên tục, 0 < c < 14 . Giả sử f thoả mãn điều
kiện f(x) = f(x2 + c), ∀x ∈ R. Chứng minh rằng f(x) là hàm hằng.
Giải. Nhận xét rằng f là hàm số chẵn trên R. Suy ra, ta chỉ cần xét x > 0. Xét
x2 + c = x, tức với 0 < c < 14 thì tồn tại hai nghiệm phân biệt α, β của phương
trình
x2 − x+ c = 0. (8.31)
Trường hợp 1. Xét x ∈ [0, α]. Cố định x0, xét dãy số
x0 = x, xn+1 = x2n + c. (8.32)
Ta có
f(xn+1) = f(x2n + c) = f(xn), ∀0, 1, 2, ..., .
Suy ra
f(x) = f(x1) = f(x2) = · · · = f(xn),
và f(x) liên tục trên R. Suy ra lim
n→∞ f(xn) = f(x).
8.5. Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm 212
Ta chứng minh (xn)∞1 : limn→∞ xn = α. Suy ra lim f(xn) = f(α) vì f(x) liên
tục trên R, hay là f(x) = f(α), với mọi x ∈ [0, α], hay f(x) = c, với c là một
hằng số.
a) Chứng minh lim
n→∞ = α với (xn)
∞
1 xác định bởi (8.32).
Ta có (xn)∞1 là dãy số tăng. Xét g(x) = x
2 + c, g′(x) = 2x > 0 với x ∈ [0, α].
Suy ra g(x) đồng biến trên [0, α]. Do đó, g(x1) > g(x0), tương tự với x2 > x1 ta
có g(x2) > g(x1). Vậy (xn)∞1 là dãy số tăng.
b) Chứng minh (xn)∞1 bị chặn bởi α (bằng phương pháp quy nạp). Với x0 =
x < α. Giả sử (8.32) đúng với n = k: xk < α. Suy ra xk+1 = x2k+ c < α
2+ c = α
vì α là nghiệm của (8.31). Suy ra (8.32) đúng với n = k + 1.
Từ a) và b) suy ra lim
n→∞ xn = α.
Trường hợp 2. Xét x ∈ [α, β], xét dãy số
x0 = x, xn+1 = x2n + c. (8.33)
Chứng minh tương tự như trường hợp 1, (xn)∞1 là dãy số giảm., xn > α, suy ra
lim
n→∞ xn = α.
Suy ra
f(x) = f(α), ∀x ∈ [α, β].
Trường hợp 3. x ∈ [β,+∞), xét dãy số xác định bởi
x = x0, xn+1 =
√
xn − c với xn = x2n+1 + c. (8.34)
Chứng minh rằng lim
n→∞ xn = β.
Xét g(x) =
√
x− c. Tính đạo hàm cho ta
g′(x) =
1
2
√
x − c > 0, với x ∈ [β,+∞).
Suy ra g(x) đồng biến trên [β,+∞).
Ta có x1 =
√
x0 − c 0 luôn đúng do x0 ∈ [β,+∞).
Nếu x1 < x0 thì dãy số (xn)∞1 giảm.
Ta chứng minh (xn)∞1 bị chặn dưới bởi β bằng phương pháp quy nạp. Nếu
x0 = x > β, giả sử xk > β, xk+1 =
√
xk + c >
√
β − c = β. Điều này luôn đúng
vì β là một nghiệm của β2− β+ c = 0. Suy ra tồn tại lim
n→∞ xn = l (l > β). Từ đó
lim
n→∞ xn = β. (8.35)
Từ dãy số (8.32) suy ra f(xn) = f(x2n+1 + c) = f(xn+1). Lấy
f(x0) = f(x1) = · · · = f(xn).
8.5. Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm 213
f(x) liên tục trên [β,+∞). Do đó
lim
n→∞ f(xn) = f(β),
hay là f(x) = f(β) = c, với c là hằng số.
Phép chứng minh hoàn tất.
Bài toán 8.58. Chứng minh rằng không tồn tại hàm số f : (0,→∞)→ (0,+∞)
thoả mãn điều kiện
1. f(x) là hàm số tăng: ∀x > y > 0 thì f(x) > f(y).
2. f
(
x+ 1
f(x)
)
> 2f(x).
Giải. Giả sử f(x) tồn tại, ta cố định x0 > 0. Xét dãy số xác định bởi
x0 = x (8.36)
xn+1 = xn +
1
f(xn)
. (8.37)
Điều kiện thứ nhất trong đề bài cho ta
f(xn+1) > 2f(xn) > 2(2f(xn−1)) = 22f(xn−1) > 22.2f(xn−2)
> · · ·> 2nf(x1) > 2n+1f(x0).
Vậy ta có
f(xk) > 2kf(x0) với mọi k = 0, 1, 2, ... (8.38)
x1 = x0 +
1
f(x0)
,
x2 = x1 +
1
f(x1)
,
x3 = x2 +
1
f(x2)
,
...
xn = xn−1 +
1
f(xn−1)
,
Suy ra
xn = x0 +
n∑
k=0
1
f(xk)
.
8.5. Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm 214
Từ (8.38) suy ra
1
f(xk)
6 1
2kf(x0)
.
Suy ra
xn 6 x0 +
n∑
k=0
1
2kf(x0)
= x0 +
1
f(x0)
.
n∑
k=0
1
2k
= x0 +
2
f(x0)
.
Vì
n∑
k=0
1
2k
=
1
1− 12
nên
xn 6 a
(
= x0 +
2
f(x0)
)
, ∀n.
Do f là hàm số tăng nên 2nf(x0) 6 f(x0) < f(a), với mọi a. Từ đây và (8.38)
ta suy ra f(a) > 2nf(x0) với mọi n. Suy ra f(a) > ∞, mâu thuẫn với giả thiết
rằng f(x) tồn tại. Điều mâu thuẫn này cho ta điều phải chứng minh.
Bài toán 8.59. Tìm tất cả các hàm f : R → R liên tục tại x = 0 và thoả mãn
điều kiện nf(nx) = f(x) + nx, trong đó n > 1 là số tự nhiên cố định nào đó.
Giải. Cho n = 0, từ đó thay giá trị này vào biểu thức đã cho, ta có nf(0) =
f(0) + 0, hay (n − 1)f(0) = 0. Suy ra f(0) = 0, vì n > 1. Cũng từ biểu thức đã
cho, thay x bởi x/n thì
nf
(
n
x
n
)
= f
(x
n
)
+n
x
n
,
hay
nf(x) = f
(x
n
)
+x.
Suy ra
f(x) =
1
n
.f
(x
n
)
+
x
n
. (8.39)
Trong (8.39) thay x bởi x/n, ta có
f
(x
n
)
=
1
n
( x
n2
)
+
x
n2
.
Suy ra
f(x) =
1
n
(
1
n
f
( x
n2
)
+
x
n2
)
+
x
n
=
1
n2
f
( x
n2
)
+
x
n3
+
x
n
. (8.40)
8.5. Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm 215
Trong (8.39) lại thay x bởi x/n2 thì ta có
f
( x
n2
)
=
1
n
f
( x
n3
)
+
x
n3
. (8.41)
Từ (8.40) suy ra
f(x) =
1
n3
f
( x
n3
)
+ fracxn5 +
x
n3
+
x
n
.
Từ đó, ta có thể chứng minh quy nạp theo k rằng
f(x) =
1
nk
f
( x
nk
)
+
x
n2k−1
+
x
n2k−3
+ · · ·+ x
n
. (8.42)
Ta có
Sk =
x
n2k−1
+
x
n2k−3
+ · · ·+ x
n
là tổng cấp số nhân hữu han. Suy ra
Sk =
x. 1n
1− 1n2
=
nx
n2 − 1 .
Suy ra
lim
k→∞
Sk =
nx
n2 + 1
,
và
lim
k→∞
1
nk
f
( x
nk
)
= 0.f(0),
vì f(x) liên tục tại x = 0 suy ra f(x) = nx/(n2 − 1).
Thử lại, ta được kết quả đúng. Vậy
f(x) =
nx
n2 − 1 , n > 1, n ∈ N
∗, x ∈ R.
Bài tập
Bài 8.1. Tìm tất cả các hàm f xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
f(x3)− x2f(x) = 1
x3
− x, ∀x 6= 0.
Bài 8.2. Giả sử f : R→ R liên tục và f(x+y).f(x−y) = f2(x) với mọi x, y ∈ R.
Chứng minh rằng f = 0 hoặc f không có không điểm.
8.5. Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm 216
Bài 8.3. Giả sử f : R→ R liên tục và f(x− y).f(x+ y) = f2(x).f2(y), với mọi
x, y ∈ R. Chứng minh rằng f(x) = 0 hoặc f(x) không có không điểm.
Bài 8.4. Tìm hàm liên tục thoả mãn
f(x+ y) = f(x) + f(y) + ax2 + bxy + cy2, ∀x, y ∈ R.
Bài 8.5. Tìm tất cả các hàm f : R→ R liên tục và thỏa mãn điều kiện
f(x2) + f(x) = x2 + x, ∀x ∈ R.
Bài 8.6. Giả sử a ∈ R, f(x) liên tục trên [0.1] thoả mãn điều kiện
1. f(0) = 0
2. f(1) = 1
3. f(x+y2 ) = (1− a)f(x) + af(y), với mọi x, y ∈ [0, 1], x 6 slanty.
Tìm các giá trị có thể của a.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Mậu, "Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ", NXB Giáo dục
2002.
[2] Nguyễn Văn Mậu,"Phương trình hàm", NXB Giáo Dục, 1996.
[3] B.J.Venkatachala, "Functional Equations - A problem Solving Approach",
PRISM 2002.
[4] Các tạp chí Kvant, Toán học và tuổi trẻ, tư liệu Internet.
217