Giáo trình Đại số tuyến tính

BÀI GIẢNG
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ĐẠI HỌC THĂNG LONG
Học kỳ I, năm học 2005 - 2006
MỤC LỤC
Trang
Bài 1 Khái niệm trường 1
1.1 Các tính chất cơ bản của số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Định nghĩa trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Một số tính chất của trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Trường số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Trường các số nguyên modulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Bài 2 Không gian vectơ và không gian con 8
2.1 Định nghĩa không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Ví dụ về không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Một số tính chất của không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Không gian vectơ con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Giao của một số không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Tổng hai không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7 Tổ hợp tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8 Không gian con sinh bởi một số vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Bài 3 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 20
3.1 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Một số tính chất độc lập và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . 21
3.3 Khái niệm cơ sở của một không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Sự tồn tại cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Khái niệm số chiều của không gian vectơ hữu hạn sinh . . . . . . . 26
3.6 Cơ sở trong không gian vectơ n chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7 Tọa độ của một vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.8 Số chiều của không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
i
MỤC LỤC ii
3.9 Hạng của một hệ vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Bài 4 Ánh xạ tuyến tính 38
4.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Ví dụ về ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Một số tính chất của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 Ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Bài 5 Định thức 45
5.1 Phép thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Khái niệm định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Các tính chất cơ bản của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Các tính chất của định thức suy ra từ các tính chất cơ bản . . . . . . 53
5.5 Tính định thức bằng cách đưa về dạng tam giác . . . . . . . . . . . 55
5.6 Khai triển định thức theo một dòng hoặc cột . . . . . . . . . . . . . 57
5.7 Định lý Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Bài 6 Ma trận 65
6.1 Các phép toán ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Tính chất của các phép toán ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3 Định thức của tích hai ma trận vuông cùng cấp . . . . . . . . . . . 67
6.4 Nghịch đảo của ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.5 Một ứng dụng vui: mã hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.6 Hạng của một ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.7 Ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.8 Tính chất của ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 78
Bài 7 Hệ phương trình tuyến tính 84
7.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2 Tiêu chuẩn có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.3 Hệ Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.4 Phương pháp Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.5 Biện luận về số nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.6 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.7 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . 91
MỤC LỤC iii
7.8 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết . . . . . . . . . . . . 93
Tài liệu tham khảo 99
Chỉ mục 100
Bài 1
Khái niệm trường
1.1 Các tính chất cơ bản của số thực
Tập các số thực được ký hiệu là R . Ta đã biết hai phép toán cộng (+) và nhân (.)
thông thường trên R có các tính chất sau:
• Phép cộng có tính chất kết hợp: (a+ b) + c = a+ (b+ c), ∀a, b, c ∈ R ,
• Có số 0 ∈ R sao cho: 0 + a = a+ 0 = a, ∀a ∈ R ,
• Với mỗi số thực a có số thực đối của a là −a sao cho: a + (−a) =
(−a) + a = 0,
• Phép cộng có tính chất giao hoán: a+ b = b+ a, ∀a, b ∈ R ,
• Phép nhân có tính chất kết hợp: (a.b).c = a.(b.c), ∀a, b, c ∈ R ,
• Phép nhân có tính chất giao hoán: a.b = b.a, ∀a, b ∈ R ,
• Có số 1 sao cho với mọi số thực a ta có: a.1 = 1.a = a,
• Với mỗi số thực a ̸= 0 luôn có số thực 1
a
sao cho a.
1
a
= 1,
• Phép nhân phân phối đối với phép cộng: a.(b+c) = a.b+a.c và (b+c).a =
b.a+ c.a với mọi a, b, c ∈ R .
Tập các số thực với hai phép toán có các tính chất nói trên đủ để cho phép ta tiến
hành các tính toán trong thực tế và nhìn chung, một tập hợp nào đó được trang bị hai
phép toán thỏa mãn các tính chất nói trên có thể coi là "đủ mạnh" để chúng ta xem
xét một cách cụ thể.
1.2. Định nghĩa trường 2
1.2 Định nghĩa trường
Định nghĩa 1.2.1
Cho tập hợp K có ít nhất hai phần tử. Trên K có hai phép toán là phép cộng (ký
hiệu là +) và phép nhân (ký hiệu là . hoặc×). K cùng với hai phép toán đó được
gọi là một trường nếu thỏa mãn 9 tính chất sau:
1. Phép cộng có tính chất kết hợp: (a+ b) + c = a+ (b+ c), ∀a, b, c ∈ K .
2. Có phần tử 0 ∈ K sao cho: 0+ a = a+0 = a, ∀a ∈ K . Phần tử 0 được
gọi là phần tử trung lập.
3. Với mỗi phần tử a ∈ K luôn tồn tại một phần tử a′ ∈ K sao cho: a+(a′) =
(a′) + a = 0. Phần tử a′ được gọi là phần tử đối của a và được ký hiệu là
−a.
4. Phép cộng có tính chất giao hoán: a+ b = b+ a, ∀a, b ∈ K .
5. Phép nhân có tính chất kết hợp: (a.b).c = a.(b.c), ∀a, b, c ∈ K .
6. Có phần tử 1 ∈ K sao cho với mọi phần tử a ta có: a.1 = 1.a = a. Phần
tử 1 được gọi là phần tử đơn vị của phép nhân trên K .
7. Với mỗi phần tử a ̸= 0 luôn có phần tử a′ ∈ K sao cho a.a′ = a′.a = 1.
Phần tử a′ được gọi là phần tử nghịch đảo của a và được ký hiệu là a−1.
8. Phép nhân có tính chất giao hoán: a.b = b.a, ∀a, b ∈ K .
9. Phép nhân phân phối đối với phép cộng: a.(b+c) = a.b+a.c và (b+c).a =
b.a+ c.a, ∀a, b, c ∈ K .
Các tính chất trên còn được gọi là các tiên đề của trường.
Ví dụ:
• Tập hợp các số thực R với phép toán cộng và nhân thông thường là
một trường.
Xét các tập hợp số N ,Z ,Q cùng hai phép toán cộng và nhân thông
thường.
• Phần tử 4 ∈ N nhưng không có phần tử a ∈ N sao cho 4 + a = 0
nên tập số tự nhiênN không phải là một trường (tiên đề 3 không được
thoả mãn).
• Số nguyên 2 ̸= 0 nhưng không có một số nguyên x nào thỏa mãn
2.x = 1, do đó tập số nguyên Z không phải là một trường (tiên đề 7
không được thoả mãn).
1.3.Một số tính chất của trường 3
• Tập hợp số hữu tỷ Q với các phép toán cộng và nhân thông thường
là một trường vì nó thỏa mãn cả 9 tiên đề của trường. Số 0 chính là
phần tử trung lập, số 1 chính là phần tử đơn vị của trường Q . Nếu
a ∈ Q thì đối của a là−a, nghịch đảo của a ̸= 0 là 1
a
.
1.3 Một số tính chất của trường
Cho K là một trường, a, b, c ∈ K , khi đó:
Tính chất 1.3.1 (Luật giản ước đối với phép cộng)
Nếu a+ b = a+ c (1) thì b = c.
Chứng minh: DoK là một trường, a ∈ K nên a có đối là−a ∈ K . Cộng về phía
bên trái của đẳng thức (1) với−a, ta được:
(−a) + (a+ b) = (−a) + (a+ c)
⇒ [(−a) + a] + b = [(−a) + a] + c (theo tiên đề 1)
⇒ 0 + b = 0 + c (theo tiên đề 3)
⇒ b = c (theo tiên đề 2).
2
Tính chất 1.3.2 (Quy tắc chuyển vế)
Định nghĩa a− b = a+ (−b). Khi đó nếu a+ b = c (2) thì a = c− b.
Chứng minh: Cộng cả hai vế của (2) với−b, ta được:
(a+ b) + (−b) = c+ (−b)
⇒ a+ [b+ (−b)] = c+ (−b) (theo tiên đề 1)
⇒ a+ 0 = c+ (−b) (theo tiên đề 3)
⇒ a = c+ (−b) (theo tiên đề 2)
⇒ a = c− b (theo định nghĩa).
2
Tính chất 1.3.3
a.0 = 0.a = 0.
Chứng minh: Ta có: a.0 = a.(0+ 0) = a.0+ a.0. Mặt khác: a.0 = a.0+ 0.
Do đó: a.0 + a.0 = a.0 + 0. Giản ước cho a.0 ta được a.0 = 0. Tương tự ta
được: 0.a = 0. 2
1.3.Một số tính chất của trường 4
Tính chất 1.3.4
Nếu a.b = 0 thì a = 0 hoặc b = 0.
Chứng minh: Giả sử a.b = 0 (3) và a ̸= 0. Ta sẽ chứng minh b = 0. Thật vậy,
từ a ̸= 0, nhân hai vế của (3) với a−1, ta được:
a−1.(a.b) = a−1.0
⇒ [a−1.a].b = a−1.0 (theo tiên đề 5)
⇒ 1.b = a−1.0 (theo tiên đề 7)
⇒ b = a−1.0 (theo tiên đề 6)
⇒ b = 0 (theo tính chất 1.3.3).
2
Tính chất 1.3.5
a.(−b) = (−a).b = −(a.b).
Chứng minh: Ta có: a.(−b) + a.b = a.[(−b) + b] = a.0 = 0 và (−a).b +
a.b = [(−a) + a].b = 0.b = 0. Do đó: a.(−b) = (−a).b = −(a.b). 2
Tính chất 1.3.6
a(b− c) = ab− ac.
Chứng minh: Ta có a.(b − c) = a.[b + (−c)] = a.b + a.(−c) = a.b +
[−(ac)] = a.b− a.c. 2
Tính chất 1.3.7
Nếu a.b = a.c và a ̸= 0 thì b = c.
Chứng minh: Từ a ̸= 0, ta nhân hai vế của biểu thức a.b = a.c với a−1, ta được:
⇒ a−1.(a.b) = a−1.(a.c)
⇒ (a−1.a).b = (a−1.a).c (theo tiên đề 5)
⇒ 1.b = 1.c (theo tiên đề 7)
⇒ b = c (theo tiên đề 6).
2
1.4. Trường số hữu tỷ 5
1.4 Trường số hữu tỷ
Định nghĩa 1.4.1
Số thực r được gọi là một số hữu tỷ nếu tồn tại hai số nguyên m,n(n ̸= 0) sao
cho r =
m
n
.
Nhận xét: Một số hữu tỷ có thể biểu diễn dưới dạng một số thập phân hữu hạn hoặc
số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Ví dụ:
• 23
8
= 2, 875.
• 40
13
= 3, 0769230769230... (được viết gọn lại thành 3, 076923).
Ngược lại, một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn có thể viết được dưới
dạng một phân số.
• Trường hợp số thập phân hữu hạn: nếu phần thập phân của số đó có k chữ số
thì nhân và chia số đó với 10k.
Ví dụ:
x = 15, 723 =
15723
1000
.
• Trường hợp số thập phân vô hạn tuần hoàn:
Ví dụ:
a. x = 12, 357. Ta có 1000x = 12357, 357, nên
1000x− x = 999x = 12345. Vậy x = 12345
999
=
4115
333
.
b. y = 7, 26. Ta có 100y = 726, 6 và 10y = 72, 6 nên 90y =
654.
Vậy y =
654
90
=
109
15
.
1.5 Trường các số nguyên modulo p
Cho p là một số nguyên. Đặt Z p = {1, 2, 3, . . . , p − 1}. Trên Z p xác định hai
phép toán cộng (+) và nhân (. hoặc×) như sau:
a+ b = (a+ b) mod p,
a.b = (a.b) mod p.
1.5. Trường các số nguyên modulo p 6
Ví dụ:
Phép cộng và nhân trong Z 7 được cho trong bảng sau:
+ 0 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6 0
2 2 3 4 5 6 0 1
3 3 4 5 6 0 1 2
4 4 5 6 0 1 2 3
5 5 6 0 1 2 3 4
6 6 0 1 2 3 4 5
. 0 1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6
2 0 2 4 6 1 3 5
3 0 3 6 2 5 1 4
4 0 4 1 5 2 6 3
5 0 5 3 1 6 4 2
6 0 6 5 4 3 2 1
Mệnh đề 1.5.1
Z p là một trường khi và chỉ khi p là số nguyên tố.
Việc chứng minh mệnh đề trên coi như bài tập dành cho các bạn sinh viên. Phần tử
trung lập của phép cộng là 0 và phần tử đơn vị của phép nhân là 1. Đối của 0 là 0,
nếu 0 < a < p thì đối của a là−a = p− a. Nếu 0 < a < p thì nghịch đảo của
a là phần tử b (0 < b < p) sao cho a.b ≡ 1 (mod p).
Ví dụ:
• Trong Z 7 ta có: 1−1 = 1, 2−1 = 4, 3−1 = 5, 4−1 = 2, 5−1 = 3,
6−1 = 6.
• Trường Z 29 là một trường hữu hạn quan trọng thường được sử dụng
trong việc mã hóa (29 là số nguyên tố nhỏ nhất không nhỏ hơn số chữ
cái trong bảng chữ cái tiếng Anh (26 chữ)).
Ta có:
20 + 13 = (20 + 33) mod 29 = 33 mod 29 = 4.
20.13 = (20.13) mod 29 = 260 mod 29 = 28.
−7 = 22, −12 = 17.
Ta có nghịch đảo của một số phần tử trong Z 29 như sau:
1−1 = 1 vì 1.1 = 1 mod 29 = 1,
2−1 = 15 vì 2.15 = 30 mod 29 = 1.
Tương tự 3−1 = 10, 4−1 = 22, 12−1 = 17.
1.5. Trường các số nguyên modulo p 7
BÀI TẬP I
I.1. Chứng minh Z p là một trường khi và chỉ khi p là một số nguyên tố.
I.2. Lập bảng cộng và nhân trong trường Z 5.
I.3. Tìm phần tử đối và phần tử nghịch đảo của các phần tử khác 0 trong trường Z 29.
I.4. Cho K là một trường, n ∈ N ∗, ta định nghĩa an = a.a. . . . .a| {z }
n lần
. Quy ước
a0 = 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a. (a+ b)n =
nX
k=0
C kna
n−kbk,
b. an − bn = (a− b)(an−1 + an−2.b+ . . .+ a.bn−2 + an−1).
I.5. Chuyển những phân số sau về số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn
a. x =
125
8
,
b. y =
379
110
,
c. z =
462
13
.
I.6. Chuyển những số thập phân sau về phân số:
a. x = 17, 522,
b. y = 12, 536,
c. z = 23, 67.
Bài 2
Không gian vectơ và không gian con
2.1 Định nghĩa không gian vectơ
Định nghĩa 2.1.1
Cho V là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu là: α, β, γ . . . , K là một
trường mà các phần tử được ký hiệu là a, b, c, x, y, z . . .. Trên V ta có hai phép
toán
• Phép cộng hai phần tử của V :
+ : V × V → V
(α, β) 7→ α+ β
• Phép nhân một phần tử của V với một phần tử của K :
. : K × V → V
(x, α) 7→ x.α
Giả sử đối với mọi α, β, γ ∈ V , mọi x, y ∈ K các điều kiện sau được thỏa mãn:
1. (α+ β) + γ = α+ (β + γ),
2. Tồn tại vectơ θ sao cho θ + α = α+ θ = α,
3. Với mỗi α có một phần tử α′ sao cho α+ α′ = α′ + α = θ,
4. α+ β = β + α,
5. x.(α+ β) = x.α+ x.β,
6. (x+ y).α = x.α+ y.α,
7. (xy).α = x.(y.α),
8. 1.α = α, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K .
2.2. Ví dụ về không gian vectơ 9
Khi đó ta nói rằng V là một không gian vectơ trên trườngK (hoặc V làK− không
gian vectơ). Ta cũng nói V là không gian tuyến tính trên trường K .
Chú ý:
• Các phần tử củaV được gọi là các vectơ. Phần tử θ được gọi là vectơ không,α′
được gọi là phần tử đối của α và được ký hiệu là (−α). Ta sẽ viết α+ (−β)
là α− β và gọi là hiệu của hai vectơ α, β.
• Khi K = R (tương ứng K = C ) ta nói V là không gian vectơ thực (tương
ứng không gian vectơ phức).
• Khi ta nói V là một không gian vectơ, ta ngầm hiểu rằng ta đang nói đến V
cùng với hai phép toán là phép cộng hai phần tử của V và phép nhân một phần
tử của V với một phần tử của K .
• Để đơn giản trong cách viết, từ đây trở đi ta sẽ ký hiệu phép nhân một phần tử
x thuộc trường K với một vectơ α thuộc V là xα thay vì viết x.α.
2.2 Ví dụ về không gian vectơ
1. Trong không gian cho trước một điểm O cố định. Tập tất cả các vectơ hình
học trong không gian, có gốc tạiO cùng với phép cộng các vectơ và phép nhân
một số thực với một vectơ là một không gian vectơ thực. Không gian vectơ này
được gọi là không gian vectơ hình học và được ký hiệu là E3.
2. Xét trường số thực R và trường số hữu tỷ Q . Đối với R , tổng của hai số thực
là một số thực và nếu x ∈ Q , α ∈ R thì xα ∈ R . Tám điều kiện trong
định nghĩa một không gian vectơ chính là các tính chất quen thuộc của số thực.
Vì vậy R là một không gian vectơ trên Q . Tuy nhiên Q không là không gian
vectơ trên R vì x ∈ R , α ∈ Q thì nói chung xα /∈ Q .
3. Cho R là trường số thực. Ký hiệu R n là tích Descartes của n bản R
R n = {(a1, a2, . . . , an) | ai ∈ R , i = 1, n}.
Với α = (a1, a2, . . . , an), β = (b1, b2, . . . , bn) là hai phần tử tùy ý thuộc
R n và x là một phần tử tùy ý thuộc R , ta định nghĩa:
α+ β = (a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn)
= (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn),
xα = x(a1, a2, . . . , an) = (xa1, xa2, . . . , xan).
2.2. Ví dụ về không gian vectơ 10
Khi đó R n cùng với phép toán cộng và nhân như trên là một không gian vectơ
thực.
4. Xét C[a, b] là tập hợp tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]. Tổng của hai
hàm số f, g ∈ C[a, b] là hàm số f + g ∈ C[a, b] được định nghĩa bởi
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
và tích ...  phương trình vô nghiệm.
- hạngA = hạngAbs = n: hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
- hạngA = hạngAbs < n: hệ phương trình có vô số nghiệm.
7.6 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Định nghĩa 7.6.1
Hệ phương trình tuyến tính trong đó các hệ số tự do đều bằng 0 được gọi là hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất. Như vậy hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
có dạng:
nX
j=1
aijxj = 0, i = 1,m (7.2)
Nhận xét: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn nhận (0, 0, . . . , 0) làm
một nghiệm. Nghiệm đó gọi là nghiệm tầm thường của hệ.
Mệnh đề 7.6.2
Điều kiện cần và đủ để hệ n phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn có nghiệm
không tầm thường là detA = 0.
Chứng minh: Hệ (7.2) có nghiệm không tầm thường tương đương hệ có vô số
nghiệm, theo phần biện luận về số nghiệm, mục 7.5. Điều này tương đương với
rankA = r < n tức là detA = 0. 2
7.7 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất
Mệnh đề 7.7.1
Gọi G là tập hợp các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (7.2). Ta có:
1. G là một không gian con của K n.
2. dimG = n− rankA.
7.7. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 92
Chứng minh:
1. Vì (7.2) luôn có nghiệm tầm thường nên G ≠ ∅.
Giả sử γ = (c1, c2, . . . , cn) và η = (d1, d2, . . . , dn) thuộc G; k, l ∈ K ;
ta chứng minh kγ + lη ∈ G.
Viết hệ (7.2) dưới dạng vectơ:
nX
i=1
xiαi = θ
Vì γ, η là nghiệm của (7.2) nên
nP
i=1
ciαi = θ và
nP
i=1
diαi = θ
Suy ra:
nP
i=1
(lci + kdi)αi =
nP
i=1
(lci)αi +
nP
i=1
(kdi)αi
= l
nP
i=1
ciαi + k
nP
i=1
diαi
= θ + θ = θ
Điều đó chứng tỏ kγ + lη là nghiệm của hệ (2), hay kγ + lη ∈ G . Và do
đó G là không gian con của K 3.
2. Xét ánh xạ tuyến tính:
ϕ : K n −→ K n
cho bởi:ϕ(x1, x2, . . . , xn) = (
nP
j=1
a1jxj,
nP
j=1
a2jxj, . . . ,
nP
j=1
anjxj) Tập
nghiệm G của hệ phương trình chính là kerϕ. Theo định lý (4.4.4) ta có:
dimG = dimK n − dim Imϕ = n− dim Imϕ.
Ta có Imϕ được sinh bởi ϕ(e1), ϕ(e2), . . . ,ϕ(en) ở đó:
e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0) , en = (0, 0, . . . , 1).
Mà ϕ(e1) = (a11, a21, . . . , am1), . . . , ϕ(en) = (a1n, a2n, . . . , amn).
Vậy dim Imϕ = rank{ϕ(e1), ϕ(e2), . . . ,ϕ(en)} rank (aij)m×n.
Suy ra dimG = n−rank (aij)m×n.
2
Định nghĩa 7.7.2
Mỗi cơ sở của không gian nghiệm G của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ đó.
Để tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, trước tiên
ta giải hệ (chẳng hạn bằng phương pháp Gauss) để tìm nghiệm tổng quát của nó. Giả
sử hạng của ma trận là r và số ẩn là n.
7.8. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết 93
Nếu r = n thì không gian nghiệm là {θ} và không có cơ sở.
Nếu r < n thì n − r ẩn được chọn làm ẩn tự do. Cho các ẩn tự do này nhận
các bộ giá trị: (1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0) . . . , (0, 0, . . . , 1) và tính các nghiệm
γ1, γ2, . . . , γr ứng với các giá trị đó. Khi đó hệ γ1, γ2, . . . , γr là một cơ sở của
không gian nghiệm hay là một hệ nghiệm cơ bản Chú ý rằng một không gian véc
tơ có nhiều cơ sở khác nhau nên một hệ phương trình tuyến tính có thể có nhiều hệ
nghiệm cơ bản khác nhau.
Ví dụ:
Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình:8<:
x1 − x2 + x3 + 3x4 = 0
2x1 + x2 + 2x3 + 6x5 = 0
2x1 + x3 + 3x4 + 3x5 = 0
Lời giải: Đưa hệ phương trình về dạng:8<:
x1 − x2 + x3 + 3x4 = 0
x2 − 2x4 + 2x5 = 0
− x3 + x4 − x5 = 0
Chọn hai ẩn tự do x4, x5.
Cho x4 = 1, x5 = 0 ta tìm được nghiệm ε1 = (−2, 2, 1, 1, 0).
Cho x4 = 0, x5 = 1 ta tìm được nghiệm ε2 = (−1,−2,−1, 0, 1).
Ta tìm được một hệ nghiệm cơ bản của hệ đã cho là
{ε1 = (−2, 2, 1, 1, 0), ε2 = (−1,−2,−1, 0, 1)}.
7.8 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết
Định nghĩa 7.8.1
Cho hệ phương trình tuyến tính:8>>>>>>>:
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
(7.3)
7.8. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết 94
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:8>>>>>>>:
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = 0
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0
(7.4)
gọi là hệ phương trình liên kết với hệ (7.3).
Mệnh đề 7.8.2
Cho α0 là một nghiệm nào đó (cố định) của hệ (7.3). Khi đó α là nghiệm của (7.3)
khi và chỉ khi α có dạng α0 + ε ở đó ε là một nghiệm của hệ phương trình thuần
nhất liên kết (7.3).
Chứng minh: Viết hệ dưới dạng vec tơ, vì α0 = (c1, c2, . . . , cn) là một nghiệm
của (7.3) nên ta có:
nX
i=1
ciαi = β
Khi đó η = (d1, d2, . . . , dn) là một nghiệm nào đó của (7.3) khi và chỉ khi:
nX
i=1
diαi = β.
Tương đương với
nX
i=1
(di − ci)αi = θ
tức là η − α ∈ G. 2
Nhận xét: Mệnh đề trên thường được áp dụng trong hai trường hợp:
• Vì một lí do nào dó ta biết trước một nghiệm riêng của hệ (7.3).
• Cần phải giải nhiều hệ phương trình tuyến tính mà chúng có chung một hệ thuần
nhất liên kết.
BÀI TẬP VII
VII.1. Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm:
a.
8<:
2x1 + 3x2 = 5
3x1 + x2 = 4
x1 + x2 = 2
7.8. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết 95
b.
8<:
x1 − x2 + x3 − 2x4 = 1
x1 − x2 + 2x3 − x4 = 2
5x1 − 5x2 + 8x3 − 7x4 = 3
c.
½
2x1 + 2x2 − 3x3 − 4x4 = 1
2x1 − x2 + x3 − 3x4 = 3
d.
8>>>:
x1 + 2x2 − 3x3 − 4x4 = 1
2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 2
x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 1
4x1 − 4x2 − 3x3 − 3x4 = −7
e.
8>>>:
2x1 + 3x2 + 3x3 − 3x4 + x5 = 10
x1 + x2 − x3 − 5x4 + 7x5 = 1
x2 + 2x3 + 4x4 − 8x5 = 2
4x3 + x4 − x5 = 3
VII.2. Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm
a.
8>:
ax1 + x2 + x3 = 1
x1 + ax2 + x3 = 1
x1 + x2 + ax3 = 1
b.
8>:
x1 + ax2 + a
2x3 = a
3
x1 + bx2 + b
2x3 = b
3
x1 + cx2 + c
2x3 = c
3
7.8. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết 96
VII.3. Giải các hệ phương trình sau:
a.
½
3x1 + 2x2 + x3 − x4 − x5 = 7
2x1 + 3x2 + 2x3 − 2x4 − 2x5 = 8
b.
8<:
2x1 + 3x2 + x3 = 1
4x1 + 6x2 − 5x3 = 2
6x1 + 9x2 − 4x3 = 2
c.
8>>>:
3x1 + x2 − 2x3 + x4 − x5 = 1
2x1 − x2 + 7x3 − 3x4 + 5x5 = 2
x1 + 3x2 − 2x3 + 5x4 − 7x5 = 3
3x1 − 2x2 + 7x3 − 5x4 + 8x5 = 3
d.
8>>>:
x1 + x2 − x3 + x4 = 0
2x1 + 2x2 + 5x3 − 3x4 = 0
7x3 − 5x4 = −1
3x1 + 3x2 + 4x3 − 2x4 = 3
e.
8>>>>>>>:
x1 + x2 = 1
x1 + x2 + x3 = 4
x2 + x3 + x4 = −3
x3 + x4 + x5 = 2
x4 + x5 = −1
VII.4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số a:
a.
8<:
3x1 + 2x2 + x3 = −1
7x1 + 6x2 + 5x3 = a
5x1 + 4x2 + 3x3 = 2
b.
8<:
ax1 + x2 + x3 = 0
x1 + ax2 + x3 = 2
x1 + x2 + ax3 = −3
c.
8>>>:
x − 2y + 3z + t = 2
2x − 2y + 7z + t = 3
x − 2y + (a+ 3)z + 2t = 4
(a− 3)x − (2a− 6)y − 9z + (a2 − 6)t = 3a− 13
d.
8>>>:
2x + 3y + z + 2t = 3
4x + 6y + 3z + 4t = 5
6x + 9y + 5z + 6t = 7
8x + 12y + 7z + at = 9
VII.5. Tìm đa thức f(x) bậc nhỏ hơn hay bằng 4 thỏa mãn:
f(−1) = 3, f(1) = −3, f ′(1) = −3, f (2)(1) = 12, f (3)(1) = 42.
7.8. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết 97
VII.6. Tìm đa thức f(x) bậc 2 thỏa mãn: f(1) = −1, f(−1) = 9, f(2) = −3.
VII.7. Tìm đa thức f(x) bậc 3 thỏa mãn: f(−1) = 0, f(1) = 4, f(2) = 3,
f(3) = 16.
VII.8. Áp dụng định lý Cramer giải các hệ sau:
a.
8<:
2x − 2y − z = −1
y + z = 1
−x + y + z = −1
b.
8<:
3x + 2y + z = 5
2x + 3y + z = 1
2x + y + 3z = 11
VII.9. Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm không tầm thường:
a.
8<:
ax − 3y + z = 0
2x + y + z = 0
3x + 2y − 2z = 0
b.
½
(1− a)x + 2y = 0
2x + (4− a)y = 0
VII.10. Chứng minh rằng một đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng n hoàn toàn xác định nếu
biết n+ 1 giá trị yi = f(xi) với i = 0, 1, . . . , n, xi ̸= xj, ∀i ̸= j. Tức là tồn
tại đa thức duy nhất f(x) thỏa mãn
f(xi) = yi, i = 0, n
VII.11. * Giải hệ phương trình sau:
a.
8>>>>>>>:
xn + a1xn−1 + . . .+ an−11 x1 + a
n
1 = 0
xn + a2xn−1 + . . .+ an−12 x1 + a
n
2 = 0... ... . . . ... ...
xn + anxn−1 + . . .+ an−1n x1 + a
n
n = 0
(7.5)
b.
8>>>>>>>:
x1 + a1x2 + . . .+ a
n−1
1 xn = b1
x1 + a2x2 + . . .+ a
n−1
2 xn = b2
... ... . . . ...
x1 + anx2 + . . .+ a
n−1
n xn = bn
(ai đôi một khác nhau )
VII.12. Tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ véc tơ sau trongR 4:
α⃗1 = (1, 2, 0,−1); α⃗2 = (0, 1, 3,−2); α⃗3 = (−1, 0, 2, 4); α⃗4 = (1, 1, 2, 3)
VII.13. Tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm cơ bản của mỗi hệ phương trình tuyến
tính thuần nhất sau đây:
7.8. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết 98
a.
½
3x1 − 4x2 + x3 − x4 = 0
6x1 − 8x2 + 2x3 + 3x4 = 0
b.
8<:
x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = 0
x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0
4x1 − 5x2 + 8x3 + x4 = 0
c.
8>>>:
x1 + 3x2 − x3 + 4x4 − x5 = 0
x1 + 3x2 − x3 + 4x4 + x5 = 0
2x1 + 6x2 − 2x3 + x4 = 0
3x1 + 9x2 − 3x3 + x4 + x5 = 0
d.
8>>>:
2x1 − x2 + x3 + 3x4 = 0
x1 + x2 + 3x3 + x4 = 0
4x1 + x2 + 7x3 + 5x4 = 0
5x1 − x2 + 5x3 + 7x4 = 0
e.
8<:
3x1 + x2 + x3 − 6x4 − 12x5 + 3x6 = 0
x1 + + x3 − x4 − 5x5 = 0
x2 + x3 − 3x5 = 0
VII.14. Cho hệ vectơ trong không gian R 3
α1 = (−1, 2,−4); α2 = (2, 1, 5); α3 = (12, 1, 33)
Hãy tìm các số x1, x2, x3 sao cho x1α1 + x2α2 + x3α3 = 0.
Từ đó kết luận hệ {α1, α2, α3} có độc lập tuyến tính hay không?
VII.15. Trong không gian vectơ R 4 cho các vectơ:
α1 = (1, 1, 1, 1), α1 = (2, 2, 2, 2), α3 = (3, 0,−1, 1)
Hãy biểu thịα4 = (−12, 3, 8,−2) qua hệ vectơ đã cho.
VII.16. Chứng minh hệ phương trình sau có nghiệm khác 0:8>>>>>>>:
0x1 + 2002x2 − 2003x3 + 2004x4 − 155x5 = 0
−2002x1 + 0x2 + 324x3 − 534x4 − 723x5 = 0
2003x1 − 324x2 + 0x3 + 723x4 − 71x5 = 0
−2004x1 + 534x2 − 723x3 + 0x4 + 231x5 = 0
155x1 + 723x2 + 71x3 − 231x4 + 0x5 = 0
Tài liệu tham khảo
[1] Đoàn Quỳnh, Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn,
Giáo trình Toán Đại cương, Phần I, Đại số tuyến tính và Hình học Giải tích,
NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 6 - 1997.
[2] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học Cao cấp, Tập I,
Đại số và Hình học Giải tích, NXB Giáo Dục, 2003.
[3] Nguyễn Duy Thuận, Toán Cao cấp A1 - Phần Đại số tuyến tính, NXB Giáo
Dục, 2000.
[4] Phan Huy Phú, Nguyễn Doãn Tuấn, Bài tập Đại số tuyến tính, NXB Đại học
Quốc Gia Hà Nội, 3 - 2001.
[5] Ngô Thúc Lanh, Đại số tuyến tính, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp,
Hà Nội, 1970.
[6] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội,
2000.
[7] Hoàng Hiền Quang, Linear algebra, McGraw - Hill Book Company, 1968.
Chỉ mục
A
ánh xạ đồng nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . 42
ảnh ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
B
biểu diễn tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . .15
C
cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
D
dạng tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Đ
đơn cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
đường chéo chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
đường chéo phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
định lý Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
định thức
định thức con cấp k . . . . . . . . . . . . . 57
khai triển theo cột . . . . . . . . . . . . . . . 58
khai triển theo dòng . . . . . . . . . . . . . 58
khai triển theo nhiều dòng (cột) . . . 60
phần bù đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
định thức của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . 49
đồng cấu không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
độc lập tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
tối đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
G
giao các không gian con. . . . . . . . . . . . .14
H
hạng
cột . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
hệ vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
hệ phương trình
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 91
hệ sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 24
hệ vectơ
độc lập tuyến tính tối đại . . . . . . . . . 33
K
không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
không gian con sinh bởi một hệ vectơ 17
không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 24
hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
không gian đa thức . . . . . . . . . . . . . . 11
khai triển theo cột . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
khai triển theo dòng . . . . . . . . . . . . . . . . 58
M
ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 78
100
CHỈ MỤC 101
đường chéo chính . . . . . . . . . . . . . . . 48
đường chéo phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
cột . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
dạng tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . 76
chuyển cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . 78, 79
khả nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
ma trận hệ số của hệ phương trình . . . .85
N
nghịch thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
nghiệm của hệ phương trình . . . . . . . . . 84
nhân của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . 42
P
phép biến đổi tuyến tính. . . . . . . . . . . . .38
phép thế
đồng nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
nghịch thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
tích của hai phép thế . . . . . . . . . . . . . 45
tích của nhiều phép thế . . . . . . . . . . 46
phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
phần bù đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
phần tử đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 20
S
số chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
T
tập các ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
tọa độ của vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
tổ hợp tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
tổng hai không gian con . . . . . . . . . . . . . 15
tự đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
tiên đề
của trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
toàn cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
V
vectơ không. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9