Giáo trình Cơ lý thuyết 1 (Phần 2)

1 
TRƯỜNG ĐH PHẠM VĂN ĐỒNG 
KHOA KỸ THUҰT CÔNG NGHỆ 
******* 
ThS. NGUYỄN QUỐC BҦO 
BÀI GIҦNG 
 CѪ LÝ THUYẾT 2 
PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 
Quҧng Ngưi ậ 12/2015 
2 
MӨC LӨC 
PHҪNăĐӜNGăLӴCăHӐC 
LӠIăNịI ĐҪUă................... 3 
MӢ ĐҪUă.................... 4 
Chѭѫng 1. CÁC ÐӎNH LUҰT CӪA NEWTON VÀ PHѬѪNG TRÌNH VI 
 PHÂN CHUYӆN ĐӜNG 
1.1. Các khái niệm ................. 5 
1.2. Các định luật động lực học của Newton ............... 6 
1.3. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm ................. 8 
1.4. Hai bài toán cơ bản của động lực học ............ 9 
Chѭѫng 2.ăăăăăăăăăăCÁCăợӎNHăLụăTӘNGăQUÁTăCӪAăĐӜNGăLӴCăHӐC 
2.1. Định lý biến thiên động lượng ......... 18 
2.2. Định lý chuyển động khối tâm ............. 25 
2.3. Định lý biến thiên momen động lượng ............ 29 
2.4. Định lý biến thiên động nĕng ............... 35 
Chѭѫngă3.ăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăNGUYểNăLụăD’ALEMBERT 
3.1. Lực quán tính ............... 49 
3.2. Nguyên lý d’Alembert .............. 53 
3.3. Bài toán áp dụng nguyên lý d’Alembert .................. 55 
Chѭѫngă4. NGUYÊN LÝ DIăCHUYӆNăKHҦăDƾ 
4.1. Các khái niệm ....................................................... 63 
4.2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ ............ 66 
4.3. Bài toán áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ .............. 67 
Chѭѫngă 5. PHѬѪNGă TRỊNHă D'ALEMBERT-LAGRANGE VĨă PHѬѪNGă
TRỊNHăLAGRANGEăLOҤIăII 
5.1. Phương trình d'Alembert - Lagrange................ 73 
5.2. Phương trình Lagrange loại II ...............77 
TӘNGăKӂTăPHҪNăĐӜNGăLӴCăHӐCă............... 86 
TÀI LIӊUăTHAMăKHҦO ................ 89 
3 
LỜI NÓI ĐẦU 
Cơ lý thuyết là một môn học thuộc khối kiến thức kỹ thuật cơ sở 
được giảng dạy trong các ngành kỹ thuật ở các trường đại học, cao đẳng. 
Cơ lý thuyết nghiên cứu các qui luật tổng quát về chuyển động và sự cân 
bằng chuyển động của các vật thể. 
Cơ lý thuyết trong chương trình đào tạo của Trường Đại học Phạm 
Vĕn Đồng dành cho sinh viên bậc đại học ngành Cơ khí đào tạo theo học 
chế tín chỉ được chia làm 2 phần: 
Phần I. Tĩnh học và Động học. 
Phần II. Động lực học. 
Bài giảng Cơ lý thuyết 2 (Phần Động lực học) được biên soạn gồm 
5 chương. Trong mỗi chương đều có phần Câu hỏi ôn tập giúp cho học 
viên củng cố các kiến thức đã học. Cuối tài liệu có Tổng kết Phần động 
lực học giúp sinh viên hệ thống lại toàn bộ nội dung đã học. Đi kèm với 
Bài giảng này, chúng tôi có biên soạn tài liệu Bài tập Cơ lý thuyết 2. 
Bài giảng này đã được hiệu chỉnh và bổ sung nhiều lần, tuy nhiên 
cũng không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự đóng góp của 
bạn đọc để tài liệu ngày càng được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân 
thành cảm ơn. 
 Quảng Ngãi, tháng 12/2015 
 Người biên soạn 
 Email: baoqng2006@gmail.com 
4 
MỞ ĐẦU 
Trong các phần trước chúng ta nghiên cứu về lực (xác định lực, thu 
gọn lực, hợp lực) cũng như về chuyển động (các dạng chuyển động, yếu tố 
đặc trưng chuyển động). 
Phần Động lực học (ĐLH) là phần thứ ba và là phần tổng quát nhất 
của Cơ lý thuyết. Nó nghiên cứu các qỐi lỐật chỐyển động của ốật thể 
dưới tác dụng của lực. 
Nói một cách khác: ĐLH nghiên cứu quan hệ giữa lực là nguyên 
nhân gây ra chuyển động và chuyển động của vật thể dưới tác dụng của 
lực tác dụng lên chúng. 
Trong ĐLH kh͙i lượng của các vật thể đóng một vai trò quan trọng. 
Vật thể ở đây có thể là chất điểm, hệ chất điểm (cơ hệ) và vật rắn tuyệt đối. 
PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 
5 
Chѭѫng 1. 
 CÁC ĐỊNH LUҰT CỦA NEWTON VÀ 
PHѬѪNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG 
A. MӨC TIÊU 
- Nắm được các định luật Newton của động lực học và các dạng của phương 
trình vi phân chuyển động. 
- Giải được hai bài toán cơ bản của động lực học. 
B. NỘI DUNG 
1.1. CÁCăKHÁIăNIӊM 
 1.1.1.ăChҩtăđiӇm 
Chất điểm là điểm hình học mang khối lượng. 
Vật chuyển động tịnh tiến được coi là chất điểm. Vật không chuyển động tịnh 
tiến, nhưng kích thước của nó có thể bỏ qua trong bài toán khảo sát cũng có thể coi là 
chất điểm. 
Ví dụ: Khi nghiên cứu chuyển động của quả đất quanh mặt trời, có thể coi quả đất 
như 1 chất điểm; viên đạn khi xác định tầm bắn cũng coi như là 1 chất điểm,  
Trong chuyển động chất điểm có thể ở trạng thái tự do (gọi là chất điểm tự do) 
hoặc không tự do (gọi là chất điểm không tự do hay chất điểm chịu liên kết). 
 1.1.2.ăCѫăhӋ 
Cơ hệ là tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các chất điểm chuyển động phụ thuộc lẫn 
nhau. 
Ví dụ: Coi các hành tinh là các chất điểm thì hệ mặt trời là 1 cơ hệ. 
Cơ hệ gồm cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do. Cơ hệ không tự do có thể được 
khảo sát như cơ hệ tự do nhờ thay thế liên kết. 
Vật rắn là 1 trường hợp đặc biệt của cơ hệ với vô hạn các chất điểm mà khỏang 
cách giữa 2 điểm bất kỳ thuộc nó không đổi. 
 1.1.3.ăLӵc 
Lực là số đo của tác dụng tương hỗ giữa các vật thể. Trong ĐLH, lực là đại lượng 
biến đổi theo vị trí r , vận tốc v và thời gian t. 
),,( tvrFF
 . 
6 
Khi tác dụng lên cơ hệ, lực được phân theo 2 cách: 
- Ngoại lực ekF và nội lực ikF . 
- Lực hoạt động akF và phản lực liên kết kN . 
 1.1.4.ăHӋăquiăchiӃuăquánătính 
Hệ qui chiếu là hệ toạ độ gắn với vật làm mốc (vật chuẩn) để xác định chuyển 
động của chất điểm (hoặc hệ chất điểm). 
Hệ qui chiếu quán tính là hệ qui chiếu, trong đó định luật quán tính của Newton 
được nghiệm đúng. 
Trong kỹ thuật, quả đất và các vật rắn chuyển động thẳng đều đối với quả đất 
được xem là hệ qui chiếu quán tính. 
 1.1.5.ăHӋăđѫnăvӏ 
Theo hệ đơn vị quốc tế (SI), ta có các đại lượng: 
Các đại lượng cơ bản của cơ học: 
- Độ dài: m. 
- Khối lượng: kg. 
- Thời gian: s. 
Các đại lượng dẫn xuất từ các đại lượng cơ bản: như lực (F = mw) thì đơn vị là 
2kgms N . 
1.2.ăCÁCăĐӎNHăLUҰTăĐӜNGăLӴCăHӐCăCӪAăNEWTON 
 1.2.1.ăĐӏnhăluұtăquánătínhă(Đӏnhăluұtă1) 
Chất điểm không chịu tác dụng của lực nào sẽ đứng yên hoặc chuyển động thẳng 
đều. 
0 F 0 v hoặc v = const. 
Trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều của chất điểm được gọi là 
trạng thái quán tính của nó. 
Như vậy nếu không có lực tác dụng lên chất điểm thì nó có trạng thái quán tính. 
Do đó lực là nguyên nhân làm biến đổi trạng thái chuyển động. 
Hệ qui chiếu thoả mãn Định luật 1 gọi là hệ qui chiếu quán tính. 
 1.2.2.ăĐӏnhăluұtăcѫăbҧnă(Đӏnhăluұt 2) 
Định luật: Dưới tác dụng của lực, chất điểm chuyển động với gia tốc cùng hướng 
với hướng của lực và có giá trị tỉ lệ với trị số của lực. 
7 
Biểu thức: Ta có biểu thức: 
Fwm . (1.1) 
Trong đó: 
+ m: hệ số tỉ lệ có giá trị không đổi, là số đo quán tính của chất điểm được gọi 
là khối lượng của chất điểm. 
+ w : gia tốc của chất điểm. 
Biểu thức (1.1) được gọi là phương trình cơ bản của động lực học. 
* Chú ý: 
1. Nếu 0F thì 0w (bao gồm cả trường hợp 0v ), tức là chất điểm ở trạng 
thái quán tính. Do đó, lực là nguyên nhân gây chuyển động có gia tốc. 
2. Nếu CteF , chất điểm có khối lượng m lớn thì gia tốc w bé (v thay đổi ít) 
m cản trở sự thay đổi vận tốc. 
3. Khi v < < c, ta xem khối lượng m là hằng số. 
4. Khi chất điểm rơi tự do trong trọng trường, ta có trọng lượng là: 
P = mg (1.2) 
Trong đó: g gọi là gia tốc trọng trường (gia tốc của rơi tự do), g thay đổi theo vĩ 
độ và độ cao, thường lấy g = 9,81 m/ 2s 
Biểu thức (1.2) cho ta quan hệ giữa khối lượng và trọng lượng chất điểm. 
Do vậy, vật có khối lượng m= 1kg thì có trọng lượng là 9,81 N. 
 1.2.3. ĐӏnhăluұtălӵcătácădөngăvƠălӵcăphҧnătácădөngă(Đӏnhăluұtă3) 
Hai lực tác dụng tương hỗ giữa 2 chất điểm sẽ có cùng đường tác dụng (giá), 
cùng cường độ và ngược chiều nhau. 
Định luật này là cơ sở để nghiên cứu bài toán cơ hệ trong động lực học. 
* Chú ý: Lực tác dụng và lực phản tác dụng không phải là cặp lực cân bằng vì chúng 
đặt lên 2 chất điểm khác nhau. 
 1.2.4. Đӏnhăluұtăđӝcălұpătácădөngă(Đӏnhăluұt 4) 
Một chất điểm chịu tác dụng đồng thời nhiều lực sẽ có gia tốc bằng tổng hình 
học các gia tốc do từng lực riêng rẽ sinh ra. 
 kww 
8 
Trường hợp chất điểm chịu tác dụng đồng thời của hệ lực 1 2, ,..., nF F F , thì biểu 
thức (1.1) trở thành: 
 kFwm. (1.3) 
1.3.ăPHѬѪNGăTRỊNHăVIăPHỂNăCHUYӆNăĐӜNG CӪAăCHҨTăĐIӆM 
Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm chịu tác dụng của hệ lực là 
dạng của biểu thức (1.3) và các phương trình hình chiếu của nó lên các trục toạ độ. Ta 
thường dùng 3 dạng sau: 
 1.3.1.ăDҥngăvector 
Xét chất điểm khối lượng m chịu tác dụng của hệ lực 1 2, ,..., nF F F . Gọi r là bán 
kính vector (vector định vị) của chất điểm. Từ (1.3), ta có:  kFwm. . 
Mà: 
2
2w
d r
r
dt
Ta được: 
. km r F  (1.4) 
Biểu thức (1.4) là phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng vector. 
 1.3.2.ăDҥngătӑaăđӝăDescartes 
Chọn hệ trục toạ độ Descartes gắn vào hệ qui chiếu quán tính. Khi chiếu (1.4) lên 
các trục toạ độ, ta được: 
.
.
.
k
k
k
m x X
m y Y
m z Z



 (1.5) 
Trong đó: .,, zyxr  ;  , , .F X Y Z 
Các phương trình (1.5) là phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng toạ 
độ Descartes. 
* Chú ý: Khi chất điểm chuyển động trong mặt phẳng hoặc trên đường thẳng thì số 
phương trình giảm xuống còn tương ứng 2 hoặc 1. 
 1.3.3.ăDҥngătoҥăđӝătӵănhiên 
Chọn hệ toạ độ tự nhiên Mtnb (H. 1.1). Chiếu biểu thức (1.4) lên 3 trục: tiếp 
tuyến, pháp tuyến chính và trùng pháp tuyến, ta có: 
9 
.
.
.
t tk
n nk
b bk
m w F
m w F
m w F



Theo phần động học, ta có: 2 2w ; w ; w 0.t n bv sv s 
Do đó: 
2
.
.
0
tk
nk
bk
m s F
s
m F
F



 (1.6) 
Trong đó:  , , 0tk nk bkF F F F 
Các phương trình (1.6) là phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng toạ 
độ tự nhiên. 
Hình 1.1 
* Chú ý: Phương trình này thường được áp dụng khi ta biết quĩ đạo chuyển động của 
chất điểm. 
1.4.ăHAIăBĨIăTOÁNăCѪăBҦNăCӪAăĐӜNGăLӴCăHӐC 
Ta có sơ đồ biểu diễn mối quan hệ của 2 bài toán cơ bản như sau: 
Mo (+) n 
M 
b 
t 
CHUYỂN 
ĐỘNG 
BƠi toán thuұn 
m.w = ∑Fek 
Bài toán ngѭӧc 
LỰC 
10 
 1.4.1.ăBƠiătoánăthuұn 
a) Bài toán 
Biết: Chuyển động của chất điểm (phương trình chuyển động, hoặc vận tốc, hoặc 
gia tốc) Xác định: Lực tác dụng lên chất điểm. 
b) Phương pháp giải 
Ta xác định gia tốc của chất điểm rồi thay vào phương trình vi phân chuyển động 
thích hợp, ta sẽ tìm được lực tác dụng. 
c) Trình tự giải 
1. Xác định vật thể khảo sát dưới dạng 1 chất điểm. 
2. Đặt các lực tác dụng lên chất điểm: các lực hoạt động và các phản lực liên kết. 
3. Chọn hệ trục toạ độ thích hợp và viết phương trình vi phân chuyển động. 
4. Tìm gia tốc: bằng cách tính đạo hàm hoặc hình chiếu của vectỏ gia tốc lên trục 
toạ độ. 
5. Tìm lực: bằng cách thay gia tốc vào các phương trình đã có. 
 1.4.2.ăBƠiătoánăngѭӧc 
a) Bài toán 
Biết: các lực tác dụng lên chất điểm và các điều kiện ban đầu của chuyển động. 
 Xác định: Chuyển động của chất điểm (phương trình chuyển động, hoặc vận tốc, 
hoặc gia tốc, hoặc thời gian chuyển động). 
b) Phương pháp giải 
Khi biết các lực, ta lập các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm, đây 
là các phương trình vi phân cấp 2 và giải phương trình vi phân ta xác định được các 
yêu cầu. 
c) Trình tự giải 
1. Khảo sát chất điểm ở vị trí bất kỳ. 
2. Đặt các lực tác dụng lên nó. 
3. Chọn hệ trục toạ độ thích hợp, viết phương trình vi phân chuyển động và các 
điều kiện đầu có dạng: 
 . , ,km r F t r v  (a) 
11 
. , ,
. , ,
. , ,
k
k
k
m x X t x x
m y Y t y y
m z Z t z z



 (b) 
4. Giải hệ phương trình vi phân: 
- Tích phân để tìm nghiệm tổng quát: ta được hàm theo thời gian có chứa các 
hằng số tích phân. 
 1 2, ,r r t C C (c) 
1x 2x
1 2
1 2
x x t, C , C
y y t, C , C
z z t, C , C
y y
z z
 (d) 
- Tìm nghiệm riêng của bài toán: dựa vào điều kiện đầu xác định các hằng số 
tích phân. 
Tại thời điểm ban đầu ta biết được vị trí và vận tốc của chất điểm là: 
 0 0 0 0;r t t r v t t v (e) 
Đạo hàm (a) ta có: 
 1 2, ,v r r t C C (f) 
Thay gía trị của (e) vào (c) và (f), ta có: 
0 0 1 2
0 0 1 2
, ,
, ,
r r t C C
v v t C C
 (g) 
Từ (g) ta xác định được các hằng số tích phân: 
1 1 0 0 0
2 2 0 0 0
, ,
, ,
C C t r v
C C t r v
 (h) 
Thay (h) vào (c), ta được phương trình chuyển động của chất điểm: 
 0 0 0, , ,r r t t r v r t (i) 
x x , , ,
y y , , ,
z z , , ,
o o o
o o o
o o o
t t x x x t
t t y y y t
t t z z z t
 (j) 
Ví dụ 1.1: Một thang máy trọng lượng P đi lên với gia tốc w. 
12 
Xác định sức cĕng T của dây cáp (H. 1.2). 
Giải: (Bài toán thuận) 
Thang máy chuyển động tịnh tiến nên có thể coi như 1 chất điểm chuyển động 
thẳng đứng dưới tác dụng của trọng lực P và sức cĕng T . 
Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm theo trục z: 
m.w = - P + T T = m.w + P = )1(.
g
wPPw
g
P . 
Kết quả: T = 
g
wP 1 . 
Hình 1.2 
* Nhận xét: 
- Khi thang máy đứng yên, hoặc chuyển động thẳng đều (w = 0) thì: T = P. 
- Khi thang máy đi xuống thì: )1(
g
wPT < P. 
- Đặc biệt, khi thang đi xuống với với w = g thì T = 0. 
Ví dụ 1.2: Một vật nặng có trọng luợng P treo vào đầu sợi dây dài L và buộc vào 
điểm O. Vật nặng quay quanh trục thẳng đứng và vạch nên 1 vòng tròn trong mặt 
phẳng nằm ngang, dây treo tạo với đường thẳng đứng 1 góc (H. 1.3). 
Xác định vận tốc v của vật nặng và sức cĕng của dây. 
Giải:(Bài toán thuận) 
Vật khảo sát: vật nặng coi như chất điểm. 
Hệ lực tác dụng: P và sức cĕng dây T . 
Chọn hệ trục toạ độ tự nhiên tnbM như hình vẽ (H. 1.3) 
Ta có phương trình: 
T 
w 
P 
z 
13 
TPw
g
P . 
Chiếu phương trình trên lên hệ trục toạ độ tự nhiên, ta được: 
PT
Tw
g
P
w
g
P
n

cos0
sin..
0.
PT
T
R
v
g
P
v
g
P
cos0
sin..
0.
2

Với: R = L.sin . 
Vậy: ; sin .
cos cos
P LgT v const 
Hình 1.3 
Ví dụ 1.3: Một quả cầu khối lượng m rơi thẳng đứng từ điểm O, không vận tốc 
đầu, duới tác dụng của trọng lực và sức cản không khí kmFc (k là hằng số) (H. 1.4). 
Tìm qui luật chuyển động của quả cầu. 
Giải:(Bài toán ngược) 
Xem quả cầu như 1 chất điểm chuyển động theo phương thẳng đứng hướng 
xuống. 
Lập phương trình vi phân chuyển động của quả cầu theo trục z là: 
 kgmkmmgFPzm c . 
kgz  
O 
R 
l 
b 
n 
M t 
v 
P 
α 
L 
14 
Do đó: dtkgzdkg
dt
zd
z  
Hình 1.4 
Giải phương trình ta được: 
 1z g k t C (a) 
 1 1dz g k t C dz g k t C dtdt 
Vậy: 2 1 212z g k t C t C (b) 
Thay điều kiện ban đầu: t = 0, z = 0, z = 0 vào (a) và (b), ta được: 021 CC . 
Kết quả: 21
2
z g k t . 
* Chú ý: Trong trường hợp có lực cản là 1 hàm theo z: cF z , thì phương trình vi 
phân chuyển động của quả cầu là: . . .m z m g z gmzzm ...   . 
Ví dụ 1.4: Một viên đạn có khối lượng m được bắn ra với vận tốc ban đầu 0v 
nghiêng 1 góc so với phương ngang (H. 1.5). 
Viết phương trình chuyển động của viên đạn. Bỏ qua sức cản của không khí. 
Giải: 
- Coi viên đạn như 1 chất điểm, có khối lượng m. 
- Lực tác dụng: trọng lực P . 
- Chọn hệ trục Oxy, phương trình chuyển động: 
 PFrm . 
Chiếu biểu thức lên 2 trục tọa độ: 
z 
O 
Fc 
z 
m 
P 
15 
mgPym
xm


.
0.
gy
x

 0
 (a) 
Hình 1.5 
Điều kiện ban đầu: 
00
0)0(
y
x
 (b) và: 
sin.0
cos.)0(
o
o
vy
vx


 (c) 
Tích phân (a): 
1
2
x C
y gt C
Theo điều kiện (c), ta được: 
sin.
cos.
2
1
o
o
vC
vC
sin.
cos.
o
o
vgty
vx


 (d) 
Tích phân (d): 
4
2
3
sin..
2
cos..
Ctvgty
Ctvx
o
o
Theo điều kiện (b), ta được: 043 CC . 
sin..
2
cos..
2
tv
gty
tvx
o
o
Khử t ta được: 
y 
O 
vo 
α 
r 
M  ... 
Áp dụng nguyên lý d’Alembert – Lagrange: 
0..... 21   qtOBqtBAqtABA MsFsFsPsP 
 0........ 2121 
r
s
w
g
Qr
sw
g
P
sw
g
P
sPsP  
 gQPP
PP
w .
21
21
 ɁSA 
O
 Q
ε
Moqt 
 ɁSB 
B
A
 P2 
 P1 
 FAqt 
w
 FBqt 
76 
* Chú ý: Bài toán ở ví dụ 5.1 có thể giải bằng định lý biến thiên momen động lượng: 
  kzz FmdtdL . 
Với: vQPP
g
r
r
v
r
g
Q
rv
g
P
rv
g
PLLLL Cz
B
z
A
zz .......
.
21
221 . 
 wQPP
g
r
dt
dLz
.21 
Và: 1 2z km F P P r  
Vậy: gQPP
PP
w .
21
21
Ví dụ 5.2: Con lĕn A chuyển động lĕn không trượt trên mặt phẳng nghiêng với 
phương ngang 1 góc để nâng vật nặng C có trọng lượng P nhờ sợi dây không co 
dãn, không trọng lượng vắt qua ròng rọc cố định B. Con lĕn A và ròng rọc B được coi 
như những đĩa tròn đồng chất có cùng bán kính r, cùng trọng lượng Q (H. 5.2). 
Tìm gia tốc tâm O của con lĕn A. 
Giải: 
- Hệ khảo sát: Con lĕn A + ròng rọc B + vật C. Hệ 1 bậc tự do có liên kết lý 
tưởng. 
- Hệ lực tác dụng: 
+ Lực hoạt động: QQP ,, . 
+ Lực quán tính: qtBqtAqtCqtA MMFF ,,, với giả thiết gia tốc ,, Cww có chiều như 
hình vẽ và: 
r
w
wwC , . 
w
g
QF qtA . , wg
P
w
g
PF C
qt
C .. , wg
Qr
r
w
r
g
QJMM OqtBqtA .2..2.
2  . 
- Cho 1 DCKD: con lĕn A đi xuống s , vật C sẽ đi lên 1 ssC  , con lĕn A và 
ròng rọc B sẽ quay 1 góc 
r
s . 
- Áp dụng nguyên lý d’Alembert – Lagrange cho cơ hệ: 
 sin . . 0qt qt qt qtA A B CQ F s M M P F s     
Thay các giá trị của lực quán tính và quan hệ giữa các di chuyển khả dĩ, ta có: 
77 
0..
2
2.sin 
 sw
g
PP
r
s
w
g
Qr
sw
g
QQ  
 PQPQ
g
w sin2 
Vậy gia tốc tâm con lĕn: g
PQ
PQ
w .
2
sin
Hình 5.2 
* Chú ý: 
1. Bài toán ở ví dụ 5.2 có thể giải bằng định lý động nĕng. 
Áp dụng định lý động nĕng:  ekAT1 
Với: 21 .2
2
CCBA vg
QPTTTT 
Và: sPQAek .sin 
 sPQv
g
QP
C .sin.2
2 2 
Đạo hàm 2 vế: CCC vPQvwg
QP
.sin.2.
2
2 
 g
PQ
PQ
w .
2
sin
2. Bài toán lĕn không trượt luôn tồn tại lực ma sát, nhưng lực ma sát không sinh 
công trong mọi DCKD của con lĕn nên liên kết này là liên kết lý tưởng. 
5.2.ăPHѬѪNGăTRỊNHăLAGRANGEăLOҤIăII 
 5.2.1.ăCácăkháiăniӋmămӣărӝngăăăăăă 
 FAqt 
MAqt 
A
O
 ɁS w 
 Q
 Q
 N
 Fms α
MBqt 
B
 ɁS 
C
P
 FCqt 
78 
 5.2.1.1. Toạ độ sỐy rộng 
- Định nghĩa: Toạ độ suy rộng là các thông số độc lập đủ để xác định vị trí của cơ 
hệ trong 1 hệ qui chiếu xác định 
- Kí hiệu: kn qqqq ,...,, 21 . 
* Chú ý: 
1. Tọa độ suy rộng có thể là đoạn thẳng, các cung, các góc, các diện tích,  
không kể có thứ nguyên, có ý nghĩa hình học hoặc ý nghĩa 
2. Số thông số độc lập đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ, nên việc chọn tọa độ 
suy rộng gắn liền với việc xác định số bậc tự do của cơ hệ. 
- Ví dụ: Con lắc phẳng (H. 5.3) có 1 bậc tự do (s = 1), nên vị trí của nó đựợc xác 
định bằng 1 toạ độ suy rộng q. 
Ta có thể lấy góc , độ dài cung s hoặc diện tích quạt S (nhưng phải chọn chiều 
dương). Nếu ta chỉ chọn tung độ y làm toạ độ suy rông sẽ không xác định vị trí của 
điểm M vì có 2 vị trí cùng tung độ y. 
Nếu ta lấy góc làm toạ độ suy rộng và cho 1 DCKD  , có thể biểu diễn của 
điểm M trong toạ độ Descartes: sin.;cos. lylx (l = OM). Khi đó, ta có biểu 
thức: )( rr . 
Hình 5.3 
 5.2.1.2. Lực sỐy rộng 
O 
xM 
x 
yM 
A s 
y 
M 
79 
 a) Định nghĩa: Nếu thực hiện một di chuyển khả dĩ sao cho mọi toạ độ suy rộng 
dều biến thiên đồng thời thì biểu thức tổng công nguyên tố của các lực hoạt động trên 
di chuyển khả dĩ ấy viết dưới dạng: 
nn
F
k qQqQqQA  ...... 2211  (5.4). 
Các hệ số của các biến thiên toạ độ suy rộng trong biểu thức (12.1) trên được gọi 
là những lực suy rộng của hệ. 
Lực suy rộng jQ tương ứng với toạ độ suy rộng jq là: 
j
j
jjjj q
AQqQA 
 . (5.5) 
* Chú ý: 
1. Thứ nguyên của lực suy rộng jQ bằng thứ nguyên của công chia cho thứ 
nguyên của tọa độ suy rộng. 
2. Trường hợp hệ là các lực thế kkk zyxUU ,, và U  , lực suy rộng đựơc 
xác định: 
),...,2,1( ; sj
q
Q
j
j 
 (5.6) 
b) Tính các lực suy rộng 
Ta tiến hành theo công thức (5.2) và qui về việc tính công khả dĩ. Ta tiến hành 
như sau: 
1. Xác định số bậc tự do của cơ hệ. 
2. Xác định hệ tác dụng gồm lực hoạt động và lực ma sát (nếu sinh công). 
3. Chọn các toạ độ suy rộng rồi đặt các lực tác dụng lên sơ đồ. 
4. Cho 1 DCKD 1q chỉ toạ độ 1q thay đổi, rồi tính công cho DCKD này. 
5. Xác định đại lượng 1Q là hệ số thuộc 1q trong biểu thức này. 
Tiếp tục làm tương tự cho các lực ,..., 32 QQ 
Ví dụ 5.3: Tính lực suy rộng của cơ hệ như hình vẽ (H.5.4), trong đó vật A trọng 
lượng P chuyển động trên mặt phẳng nghiêng nhẵn một góc , vật B trọng lượng Q 
chuyển động trên mặt ngang có hệ số ma sát f . Cả 2 vật được nối với nhau bằng 1 sợi 
dây vắt qua ròng rọc O. Bỏ qua trọng lường ròng rọc và dây. 
Giải: 
- Hệ có 1 bậc tự do. 
80 
- Hệ lực tác dụng: , , msP Q F 
- Vị trí đựợc xác định bằng toạ độ xq 1 . 
Hình 5.4 
- Cho 1 DCKD x , công khả dĩ: 
xfQPxFPAAAA
msxmsQP    )sin.(.sin. . 
Vậy: QfPQ .sin.1 
 5.2.2.ăPhѭѫngătrình Lagrange loҥiăII 
 5.2.2.1. Trường hợp chỐng 
Cơ hệ liên kết lý tưởng có s bậc tự do tương ứng s tọa độ suy rộng thì phương 
trình tổng quát động lực học của hệ được viết thành s phương trình và gọi là những 
phương trình Lagrange của hệ: 
s)1,2,...,(j 
 


j
jj
Q
q
T
q
T
dt
d
 (5.7) 
Trong đó: 
ss
qqqqqqTT  ,...,,,...,, 2121 là động nĕng của hệ. 
* Chú ý: 
1. Các phương trình (5.7) là hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ 
dưới dạng toạ độ suy rộng được gọi là phương trình Lagrange loại II. 
2. Đây là hệ phương trình vi phân cấp 2 đối với toạ độ suy rộng 
s
qqq ,...,, 21 có 
số phương trình đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ. 
 5.2.2.2. Trường hợp lực hoạt động là lực thế: 
Gọi hàm thế là: ),...,,( 21 sqqq . 
O
B
A
 N
 Fms 
 Q 
P 
 α
81 
Từ biểu thức (5.7) s)1,2,...,(j 
 
 


jjj qq
T
q
T
dt
d
 . 
Do: 0 

jq
, nên có thể viết. 
s)1,2,...,(j 0 

 
 

 

jjjj qq
T
qq
T
dt
d
 (5.8) 
Đặt L = T - gọi là hàm Lagrange nên (5.8) có dạng: 
s)1,2,...,(j 0 
 


jj q
L
q
L
dt
d
 (5.9) 
 5.2.3.ăBƠiătoánăápădөngăphѭѫngătrìnhăLagrangeăloҥiăII 
 5.2.3.1. Áp dụng 
Phương trình Lagrange loại II cho ta 1 phương pháp duy nhất và khá đơn giản để 
giải bài toán động lực học. 
Dạng phương trình cũng như số phương trình không phụ thuộc vào số lượng các 
vật (hay chất điểm) của cơ hệ và cũng không phụ thuộc vào chuyển động của các vật 
đó mà nó chỉ phụ thuộc vào số bậc tự do của hệ (s). Ngoài ra các liên kết là liên kết lý 
tưởng nên trong phương trình chỉ có các lực hoạt động suy rộng mà không có phản lực 
liên kết 
Ta có số phương trình bằng số bậc tự do của hệ. 
 5.2.3.2. Trình tự giải bài toán 
1. Xác định cơ hệ khảo sát, hệ lực hoạt động tác dụng, số bậc tự do của hệ và 
chọn những toạ độ suy rộng. 
2. Xét hệ ở 1 vị trí bất kỳ, đặt các lực hoạt động kF tác dụng lên hệ. Tính động 
nĕng T của hệ, biểu diễn T theo các toạ độ suy rộng q j và jq . 
 jj qqTT , 
3. Tính lực suy rộng jQ được xác định từ biểu thức tính công. 
j
j
jjjj q
AQqQA 
 . 
4. Tính các đạo hàm rồi thay vào phương trình (5.7): 
82 
s)1,2,...,(j 
 


j
jj
Q
q
T
q
T
dt
d
 
5. Giải phương trình để tìm các các trị số cần thiết. 
Ví dụ 5.4: Thiết lập phương trình vi phân của vật rắn quay quanh trục cố định (H. 
5.5). 
Giải: 
- Hệ khảo sát: Vật rắn quay quanh trục z. 
Hệ lực tác dụng: ....,,, 21 nFFF 
Số bậc tự do: 1. 
Tọa độ suy rộng: .1 q 
Hình 5.5 
- Phương trình Lagrange loại II: 
 Q
TT
d
d 
 


 
Ta có biểu thức tính động nĕng trong chuyển động quay: 
2
..
2
1 zJT 
Cho hệ 1 DCKD 0  , ta có: 
 kkzkkF FmMA    ..   
- Lực suy rộng là: kz FmQ  
z
O
 ω
mK 
vK 
FK 
83 
- Đạo hàm:  ...22
1
zz JJxdt
dTT
d
d 
 
 


Vậy:  kzz FmJ . 
Ví dụ 5.5: Một vật A trọng lượng P được buộc vào đầu một sợi dây không trọng 
lượng và co dãn vắt qua ròng rọc cố định O, đầu kia cuốn vào khối trụ B có trọng 
lượng Q, bán kính r (H. 5.6). Vật A có thể trượt trên mặt phẳng ngang và có hệ số ma 
sát là f. 
Tìm gia tốc vật A và gia tốc tâm C của khối trụ khi hệ chuyển động, bỏ qua khối 
lượng ròng rọc. Xem ròng rọc là vành tròn đồng chất. 
Giải: 
- Cơ hệ gồm: Vật A và vật B. Cơ hệ có 2 bậc tự do. 
Hệ lực hoạt động: 
ms
FQP ,, (coi lực ma sát là lực hoạt động) 
Chọn toạ độ suy rộng: 
xq 1 (khoảng cách từ vật A đến điểm B cố định nào đó) 
yq 2 (khoảng từ C đến điểm O cố định). 
Hình 5.6 
Phương trình Lagrange của hệ sẽ là: 
 
 


 
 


y
x
Q
y
T
Q
x
T
x
T
dt
d
y
T
dt
d


 (a) 
x
 N
 Fms 
 P 
A
 Ɂx 
O
 Ɂy 
B
y 
C 
 Q 
84 
- Biểu thức công của các lực hoạt động: 
+ Cho hệ 1 DCKD 0,0 yx  , khi đó: 
 xfPQxFxPQFAPAQAA
msms
F  )(..  
Lực suy rộng ứng với toạ độ x: fPQ 
x
Q 
+ Cho hệ 1 DCKD 0,0 yx  , tương tự: QyQAF yQ . . 
- Biểu thức động nĕng của hệ: 
A CT T T (b) 
Vật A chuyển động tịnh tiến: 22 .
2
1
2
1
x
g
P
v
g
PT AA  
Vật C chuyển động song phẳng 22
2
1
2
1 CCC Jvg
QT 
Trong đó: 
+ xvA  
+ Cv là vận tốc tâm khối trụ C bằng vận tốc tương đối (đối với dây) yvr  và 
vận tốc theo xv
e
 . Vì cả 2 lực đều có chiều đi xuống, nên yxvvv
erC  . 
+  là vận tốc góc của khối trụ: 
r
y
r
v
r
  (vật C lĕn không trượt tương đối 
so với dây, D là tâm vận tốc tức thời), khi x biến đổi thì C không quay. 
+ 2
2
1
r
g
QJC 
Thay vào (b): 
 222
2
1
2
1
2
1 yyx
g
Q
x
g
PT  = yx
g
Qy
g
Q
x
g
QP  .
4
3
2
1 22 
Do đó: 
 yx
g
Q
x.  

g
P
x
T
, yx
g
Q
x  


g
P
x
T
dt
d
 , 0 

x
T
2
1yx 
 
 y
g
Q
y
T  , 2
1yx 

 y
g
Q
y
T
dt
d  , 0 

y
T
Thế các giá trị vào (b) ta được: 
85 
 1 1
- fP
.
P Q
x x y Q
g g
P P
x y y Q
g g
gyx
gfPQyQxQP
232
)()(


Giải 2 phương trình trên ta được: 
g
PQ
fPQ
x
3
3
  và g
PQ
Pfy
3
)1(2
  
Ta suy ra gia tốc khối tâm của A và C là: 
g
PQ
fPQ
xwA 3
3
  
g
PQ
fPQyxwC 3
)2(
  . 
* Nhận xét: 
1. Ta có thể chọn toạ độ suy rộng theo nhiều cách. 
2. Để tìm qui luật chuyển động của các khối tâm ta tích phân và được kết quả là 
các chuyển động biến đổi. 
C. CÂU HỎI ÔN TҰP 
1. Phát biểu nguyên lý d’Alembert – Lagrange và phương trình tổng quát động lực 
học? 
2. Trình tự giải bài toán bằng cách áp dụng phương trình tổng quát động lực học 
3. Thế nào là toạ độ suy rộng, lực suy rộng? 
4. Phương trình Lagrange loại II? 
5. Trình tự giải bài toán bằng cách áp dụng phương trình Lagrange loại II. 
86 
TỔNG KẾT 
 PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 
ĐLH là phần lý thuyết toàn diện nhất của Cơ lý thuyết: Khảo sát chuyển động 
của các vật thể trong mối tương quan với lực. 
Những nội dung chủ yếu nhất gồm các chương: 
Chương 1. Các định luật của Newton và phương trình vi phân chuyển động 
Chương 2. Các định lý tổng quát của Động lực học 
Chương 3. Nguyên lý d’Alembert 
Chương 4. Nguyên lý di chuyển khả dĩ 
Chương 5. Phương trình d'Alembert – Lagrange và Phương trình Lagrange loại 
II. 
Giải mọi bài toán ĐLH chung qui là giải 2 bài toán cơ bản: tìm lực (theo chuyển 
động) hay tìm chuyển động (theo lực) và lý thuyết để giải các bài toán được áp dụng 
theo các quan điểm khác nhau đã học nhằm mục đích giải bài toán được hiệu quả. 
- Chѭѫngă1: 
Đây là phần lý thuyết cơ bản của ĐLH, ta lập các định luật cơ bản làm cơ sở cho 
phần ĐLH, trong đó định luật 2 nêu lên liên hệ giữa lực và chuyển động là 1 định luật 
chủ yếu. 
Phương trình vi phân suy ra từ định luật cho phép giải một cách cụ thể bằng giải 
tích 2 bài toán cơ bản. 
- Chѭѫngă2: 
Từ những định luật cơ bản, ta xây dựng hệ thống lý thuyết bằng cách lập các định 
lý tổng quát (động lượng, chuyển động khối tâm, momen động lượng và động nĕng) 
cho cơ hệ. Mỗi định lý nêu lên mối quan hệ giữa những đại lượng nhất định đặc trưng 
cho lực và đặc trưng cho vật thể chuyển động. Như thế, cơ sở để nắm vững các định lý 
đó là phải nắm được các đại lượng đặc trưng. 
Xét theo những phương diện khác nhau tác dụng của lực được biểu thị bằng các 
đại lượng như: xung lượng, momen hay công, và vật thể chuyển động được đặc trưng 
các đại lượng như: động lượng, momen động lượng hay động nĕng của nó. Đối với các 
đại lượng cần phải nắm được định nghĩa, ý nghĩa và nhất là phương pháp xác định cụ 
thể. 
87 
Cần chú ý khi xác định các đại lượng đặc trưng cho vật rắn chuyển động. Mỗi 
định lý đều có ý nghĩa và tác dụng khác nhau do các quan hệ mà nó thiết lập. Nắm 
được ý nghĩa định lý có tác dụng quan trọng trong việc vận dụng định lý đó vào các 
bài toán. Nắm được định lý cũng cần nắm các trường hợp đặc biệt (như các định luật 
bảo toàn, ); nhờ những trường hợp riêng này mà ta thấy rõ ý nghĩa và trường hợp 
nào sử dụng định lý thì có hiệu quả nhất. 
Nói chung, vận dụng các định lý tổng quát ta hoàn toàn có thể giải được một cách 
nhanh chóng, hiệu quả bài toán ĐLH. 
- Chѭѫngă3: 
Một phương pháp mới giải bài toán ĐLH theo nguyên lý d’Alembert là phương 
pháp tĩnh động. Lực quán tính là một khái niệm quan trọng, cần phải nắm vững việc 
xác định. Đối với cơ hệ, thu gọn hệ lực quán tính là một vấn đề đặt ra khá phức tạp, ta 
chỉ xét với các trường hợp đơn giản, quen thuộc. 
Phương pháp tĩnh động thường áp dụng trong các bài toán tìm lực và đặc biệt là 
tìm phản lực động lực xuất hiện ở các trục quay. 
- Chѭѫngă4: 
Nguyên lý di chuyển khả dĩ xét trong chương 4 nêu điều kiện cân bằng của cơ hệ 
không tự do (có liên kết). Những bài toán mà ta gặp trong thực tế thường là những cơ 
cấu gồm nhiều vật liên kết nhau, bằng phương pháp tĩnh động ta có thể đưa về bài toán 
cân bằng, nguyên lý DCKD cho phép giải một cách hiệu quả bài toán đó. 
- Chѭѫngă5: 
Kết hợp nguyên lý DCKD với nguyên lý d’Alembert cho phép giải mọi bài toán 
ĐLH một cách tổng quát. Chủ yếu chỉ sử dụng các nguyên lý vào mục đích giải các 
bài toán cân bằng. 
Điều kiện cân bằng nêu trong nguyên lý d’Alembert – Lagrange để nắm và vận 
dụng được nguyên lý ta cần nắm chắc các khái niệm, liên kết và di chuyển khả dĩ. 
Xác định một cơ hệ bằng tọa độ suy rộng là một phương pháp chọn lựa sâu sắc, 
giải bài toán theo phương pháp này cần chú ý đến việc tính các lực suy rộng. 
* KӃtăluұn: 
Nhìn chung, ĐLH cung cấp những kiến thức và phương pháp cần thiết để giải bài 
toán các vật thể chuyển động. Cơ hệ chuyển động là bài toán phổ biến nhất, đối với 
88 
các dạng chuyển động quen thuộc (vật tịnh tiến, quay, chuyển động song phẳng), lý 
thuyết đã giải quyết tương đối triệt để, ta cần nắm chắc và vận dụng thành thạo. 
89 
TÀI LIỆU THAM KHҦO 
[1] Phan Vĕn Cúc - Nguyễn Trọng, Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây 
dựng – Hà Nội (2003). 
[2] Khổng Doãn Điền (Chủ biên), Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây 
dựng – Hà Nội (2011). 
[3] Ninh Quang Hải, Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây dựng – Hà Nội (1999). 
[4] Nguyễn Trọng (Chủ biên), Cơ học cơ sở tập 1, Nxb. Khoa học và Kỹ 
thuật – Hà Nội (2002). 
[5] Nguyễn Trọng (Chủ biên), Cơ học cơ sở tập 2, Nxb. Khoa học và Kỹ 
thuật – Hà Nội (2002). 
[6] X. M. Targ, Giáo trình giản yếu cơ học lý thuyết (dịch), Nxb. ĐH & 
THCN – Hà Nội (1979).