Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO 
TRƯỜNG ðAỊ HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI 
PGS. TS. NGUYỄN HẢI THANH 
CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH TẾ 
Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin 
HÀ NỘI, 2008 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..2 
MỤC LỤC 
Trang 
LỚI NÓI ðẦU 7 
CHƯƠNG I. MỞ ðẦU 11 
1. CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH TẾ TRONG KINH TẾ TOÁN 11 
 1.1. Khái niệm về kinh tế toán 11 
 1.2. Phân loại các phương pháp toán kinh tế 12 
 1.3. So sánh kinh tế toán với kinh tế lượng 13 
2. CÁC YẾU TỐ CỦA MÔ HÌNH KINH TẾ TOÁN 14 
 2.1. Khái niệm về mô hình kinh tế 14 
 2.2. Biến, hằng số và tham số 15 
 2.3. Các loại phương trình 16 
CHƯƠNG II. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TĨNH 18 
1. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TRONG KINH TẾ 18 
 1.1. Khái niệm về trạng thái cân bằng 18 
 1.2. Một số ví dụ về phân tích cân bằng tĩnh 19 
2. CÁC MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH 
CÂN BẰNG TĨNH 
21 
 2.1. Mô hình cân bằng thị trường tổng quát 21 
 2.2. Mô hình thu nhập quốc dân 23 
 2.3. Mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief 25 
BÀI TẬP CHƯƠNG II 30 
CHƯƠNG III. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH 34 
1. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH TRONG KINH TẾ 34 
 1.1. Khái niệm phân tích so sánh tĩnh 34 
 1.2. ðạo hàm và tốc ñộ biến thiên của các biến kinh tế 35 
 1.3. Phân tích so sánh tĩnh mô hình thị trường riêng 38 
 1.4. Phân tích so sánh tĩnh mô hình thu nhập quốc dân 39 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..3 
 1.5. Phân tích so sánh tĩnh mô hình cân ñối liên ngành 40 
2. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH CHO MÔ HÌNH KINH TẾ 
TỔNG QUÁT 
42 
 2.1. Hệ số co giãn 42 
2.2. Một số ví dụ tìm vi phân toàn phần và ñạo hàm hàm ẩn 44 
 2.3. Mô hình thị trường tổng quát 47 
 2.4. Mô hình thu nhập quốc dân tổng quát 54 
 2.5. Một số ñiểm hạn chế của phân tích so sánh tĩnh 57 
BÀI TẬP CHƯƠNG III 58 
CHƯƠNG IV. MỘT SỐ MÔ HÌNH TỐI ƯU TRONG KINH TẾ 61 
1. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG THÔNG QUA MÔ HÌNH 
TỐI ƯU KHÔNG RÀNG BUỘC 
61 
 1.1. Mô hình tối ưu một biến không ràng buộc 61 
 1.2. Hàm tăng trưởng và tốc ñộ tăng trưởng của biến kinh tế 65 
 1.3. Phân tích cân bằng thông qua mô hình tối ưu nhiều biến 
không ràng buộc 
68 
2. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG THÔNG QUA MÔ HÌNH 
TỐI ƯU CÓ RÀNG BUỘC 
79 
 2.1. Phương pháp nhân tử Lagrange 79 
 2.2. ðiều kiện ñạt tới trạng thái cân bằng 
2.3. Cực ñại hoá hàm thoả dụng của người tiêu dùng 
83 
85 
3. HÀM SẢN XUẤT VÀ VẤN ðỀ PHÂN BỔ ðẦU VÀO TỐI ƯU 89 
 3.1. Các tính chất của hàm ñẳng cấp 89 
 3.2. Hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas 92 
 3.3. Xác ñịnh các tổ hợp ñầu vào với chi phí tối thiểu 96 
 3.4. Hàm sản xuất dạng CES 100 
BÀI TẬP CHƯƠNG IV 104 
CHƯƠNG V. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG 107 
1. KHÁI NIỆM PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG 107 
 1.1. Một số ñịnh nghĩa 107 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..4 
 1.2. Một số ứng dụng của phép tính tích phân và phương trình 
vi phân 
108 
2. MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG DOMAR 112 
 2.1. Phát biểu mô hình 112 
 2.2. Tìm ñường cân bằng bền cho mô hình tăng trưởng Domar 113 
3. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG ðỐI VỚI GIÁ CẢ THỊ TRƯỜNG 114 
 3.1. Bổ sung về phương trình vi phân tuyến tính cấp một 114 
 3.2. Phát biểu mô hình cân bằng ñộng 115 
 3.3. Khảo sát tính ổn ñịnh ñộng của mức giá cân bằng 117 
4. MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG SOLOW 118 
 4.1. Bổ sung thêm về phương trình vi phân cấp một 118 
 4.2. Tiếp cận ñịnh tính giải phương trình vi phân phi tuyến cấp một 122 
 4.3. Phát biểu mô hình tăng trưởng Solow 
4.4. Phân tích ñịnh tính trên biểu ñồ pha 
4.5. Phân tích ñịnh lượng 
126 
127 
129 
5. MÔ HÌNH THỊ TRƯỜNG VỚI KỲ VỌNG GIÁ ðƯỢC DỰ BÁO TRƯỚC 129 
 5.1. Bổ sung về phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 
với hệ số hằng 
5.2. Phát biểu mô hình 
5.3. Xác ñịnh ñường biến ñộng giá và ñiều kiện ổn ñịnh ñộng 
129 
133 
134 
6. MÔ HÌNH KINH TẾ VĨ MÔ VỀ LẠM PHÁT VÀ THẤT NGHIỆP 139 
6.1. Phát biểu mô hình 
6.2. Khảo sát ñường biến ñộng lạm phát, giá cả và thất nghiệp 
139 
140 
BÀI TẬP CHƯƠNG V 143 
CHƯƠNG VI. ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 
TRONG PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG 
147 
1. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 147 
 1.1. Khái niệm về phương trình sai phân 147 
 1.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một 148 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..5 
 1.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 
1.4. Khảo sát tính ổn ñịnh của nghiệm của các phương trình 
sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai 
150 
152 
2. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH 
KINH TẾ 
154 
 2.1. Mô hình Cobweb cân bằng cung cầu 154 
 2.2. Mô hình thị trường có hàng tồn kho 
2.3. Mô hình thị trường với giá trần 
155 
156 
3. MÔ HÌNH THU NHẬP QUỐC DÂN VỚI NHÂN TỬ TĂNG TỐC 
SAMUELSON 
159 
 3.1. Phát biểu mô hình 159 
 3.2. Khảo sát tính ổn ñịnh ñộng của mô hình 160 
4. MÔ HÌNH KINH TẾ VĨ MÔ VỀ LẠM PHÁT VÀ THẤT NGHIỆP 
VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC 
163 
 4.1. Phát biểu mô hình 163 
 4.2. Phân tích các ñường biến ñộng của giá cả và lạm phát 164 
5. ÁP DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN TRONG 
PHÂN TÍCH KINH TẾ 
166 
 5.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một 
5.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một 
166 
169 
 5.3. Mô hình cân ñối liên ngành ñộng 
5.4. Mô hình tương tác lạm phát và thất nghiệp 
5.5. Biểu ñồ pha hai biến và ứng dụng 
171 
176 
179 
BÀI TẬP CHƯƠNG VI 185 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 189 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..6 
LỜI NÓI ðẦU 
Những vấn ñề kinh tế trong các hoạt ñộng kinh tế thường rất ña 
dạng và phức tạp. Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho 
việc phát biểu, phân tích và giải quyết các vấn ñề như vậy một cách 
chặt chẽ và hợp lí, mang lại các lợi ích thiết thực. Việc biết cách mô tả 
các vấn ñề kinh tế dưới dạng mô hình toán học thích hợp, vận dụng các 
phương pháp toán học ñể giải quyết chúng, phân tích và chú giải cũng 
như kiểm nghiệm các kết quả ñạt ñược một cách logic luôn là một yêu 
cầu cấp thiết ñối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân tích 
kinh tế. Trong các thập kỉ gần ñây, nhiều giải Nobel kinh tế ñược trao 
cho các công trình có vận dụng một cách mạnh mẽ các lí thuyết và 
phương pháp toán học như tối ưu hóa, lí thuyết trò chơi, hệ phương 
trình vi phân và sai phân, lí thuyết xác suất và thống kê. Nhà kinh tế 
học người Na Uy Trygve Haavelmo, trong lễ nhận giải thưởng Nobel 
kinh tế năm 1989, ñã từng phát biểu: “Nếu không có toán học kinh tế 
làm trung tâm cho các nghiên cứu kinh tế học, môn khoa học kinh tế có 
thể vẫn chưa vượt quá giới hạn những bài nói chuyện chung chung 
chẳng có kết quả thực sự hữu ích nào”. 
Hiện nay, các môn học trang bị kiến thức cơ sở về kinh tế – quản lí 
nói chung và các phương pháp toán học áp dụng trong phân tích kinh tế 
nói riêng ñược ñưa vào giảng dạy trong nhiều chương trình ñào tạo ñại 
học trong và ngoài nước. ðối với sinh viên các ngành Tin học, Công 
nghệ thông tin và Toán – Tin ứng dụng, khối kiến thức về kinh tế – quản 
lí là thực sự cần thiết cho các cương vị làm việc sau này, ñặc biệt là 
cương vị CIO (Chief Information Officer – Giám ñốc Thông tin). Trong 
chương trình ñào tạo ngành Tin học của Khoa Công nghệ thông tin, 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội, khối kiến thức trên bao gồm Tối 
ưu hóa, Phân tích số liệu, Quản trị học, Vận trù học và Các phương pháp 
toán kinh tế. Giáo trình “Các phương pháp toán kinh tế” này với thời 
lượng từ 45 tới 60 tiết ñược biên soạn lần ñầu với mục ñích cung cấp cho 
sinh viên năm thứ ba ngành Tin học một số kiến thức cơ bản về các 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..7 
phương pháp toán kinh tế (mathematical methods for economics) ñược 
ứng dụng rộng rãi trong phân tích các mô hình kinh tế (economic 
models). 
Qua giáo trình này, sinh viên cần nắm ñược một số mô hình kinh tế 
cơ bản, biết cách vận dụng các phương pháp toán kinh tế thích hợp ñể 
phân tích các mô hình ñó, biết cách rút ra các kết luận phản ảnh bản 
chất của vấn ñề kinh tế ñược xem xét. Từ ñó, sinh viên sẽ tiếp thu ñược 
các vấn ñề kinh tế cơ bản làm cơ sở cho việc tiếp tục tự hoàn thiện các 
kiến thức về kinh tế vi mô cũng như vĩ mô. Giáo trình cũng giúp cho sinh 
viên ngành Tin học, Công nghệ Thông tin, Toán – Tin ứng dụng có một 
cách tiếp cận hệ thống ñể sau này có thể xây dựng các hệ thống xử lí 
thông tin và các phần mềm tính toán trong lĩnh vực Tin học kinh tế. Như 
vậy, ưu tiên của giáo trình là tập trung trình bày một cách logic một số 
phương pháp toán kinh tế cơ bản và các ứng dụng của chúng trong việc 
phân tích các loại mô hình kinh tế (các phương pháp khác ñược trình bày 
trong các học phần còn lại của khối kiến thức về kinh tế – quản lí thuộc 
chương trình ñào tạo như ñã ñề cập trên ñây). ðây là một vấn ñề mới so 
với các giáo trình về Toán kinh tế ñã ñược biên soạn và giảng dạy tại 
một số trường ñại học trong nước. 
Chương I của giáo trình giới thiệu tổng quan và ngắn gọn về lĩnh vực 
Kinh tế toán (Mathematical Economics) và các phương pháp toán kinh tế 
cơ bản thường ñược sử dụng trong lĩnh vực này, cũng như giới thiệu về 
các yếu tố cơ bản của mô hình kinh tế toán. Chương II ñề cập tới khái 
niệm phân tích cân bằng kinh tế bao gồm cân bằng tĩnh cũng như cân 
bằng có mục ñích và phương pháp ñại số ma trận ñể phân tích một số mô 
hình cân bằng kinh tế như mô hình thị trường, mô hình thu nhập quốc dân 
và mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief (còn gọi là mô hình cân ñối liên 
ngành). Các phương pháp toán kinh tế như phép tính ñạo hàm, cũng như 
một trong các công cụ mạnh và ñẹp của toán học là ðịnh lí hàm ẩn ñược 
vận dụng trong Chương III nhằm thực hiện việc phân tích so sánh tĩnh cho 
các mô hình thị trường, mô hình cân ñối liên ngành và mô hình thu nhập 
quốc dân tổng quát (bao gồm cả thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ). 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..8 
Chương IV xem xét việc vận dụng một số phương pháp toán tối ưu cơ bản 
không ràng buộc và ràng buộc dạng ñẳng thức ñể phân tích các mô hình 
tối ưu trong kinh tế, bao gồm các mô hình thị trường ñộc quyền và phân 
biệt giá cả, mô hình cực ñại hàm thỏa dụng của người tiêu dùng, các mô 
hình phân bổ ñầu vào tối ưu với các dạng hàm sản xuất hiệu suất không 
ñổi, Cobb – Douglas, CES (Hệ số co giãn thay thế không ñổi). Các 
phương pháp giải phương trình và hệ phương trình vi phân cũng như sai 
phân ñược nghiên cứu trong Chương V và Chương VI ñể thực hiện các 
phân tích cân bằng ñộng trong các mô hình kinh tế ñộng như mô hình tăng 
trưởng Domar, mô hình tăng trưởng Solow, mô hình ổn ñịnh ñộng của giá 
cả thị trường khi không có hoặc có kỳ vọng giá ñược dự báo trước, mô 
hình cân bằng ñộng lạm phát – giá cả – thất nghiệp, mô hình thu nhập 
quốc dân Samuelson, mô hình cân ñối liên ngành ñộng. Một số nội dung 
của Chương V và Chương VI có thể ñược lược bớt tùy theo thời lượng môn 
học và trình ñộ tiếp thu của người học. 
Khi biên soạn, chúng tôi luôn có một nguyện vọng là làm sao việc 
trình bày các phương pháp toán kinh tế ñược ñề cập tới trong giáo trình 
phải cô ñọng và dễ hiểu, việc ứng dụng các phương pháp này trong phân 
tích các dạng mô hình kinh tế phải chặt chẽ và logic. Chính vì vậy, các 
phương pháp toán kinh tế luôn ñược trình bày một cách cụ thể và tương 
ñối hoàn chỉnh thông qua các ví dụ tính toán và các mô hình kinh tế từ dễ 
tới khó. Phần bài tập giúp sinh viên củng cố các kiến thức ñã học và thực 
hành áp dụng các phương toán học trong phân tích mô hình kinh tế. 
Một số tài liệu người học có thể tham khảo thêm là: Alpha C. Chiang, 
Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book 
Company, New York, 1984; Alpha C. Chiang – Kevin Wainwright, 
Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book 
Company, New York, 2005; Michael W. Klein, Mathematical methods for 
economics, Addison-Wesley Higher Education Group, 2002; Hoàng ðình 
Tuấn, Lí thuyết mô hình toán kinh tế (dành cho sinh viên ngành toán kinh 
tế và toán tài chính), Nxb. Khoa học và Kĩ thuật, 2003; Nguyễn Quang 
Dong – Ngô Văn Thứ – Hoàng ðình Tuấn, Giáo trình mô hình toán kinh 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..9 
tế (dành cho sinh viên ngành kinh tế), Nxb. Giáo dục, 2002; Tô Cẩm Tú, 
Một số phương pháp tối ưu hóa trong kinh tế, Nxb. Khoa học và Kĩ thuật, 
1997. Trong quá trình biên soạn giáo trình này, tác giả chủ yếu dựa vào 
các tài liệu tham khảo bằng tiếng Anh. Những sinh viên khá có thể tự học 
sâu thêm bằng cách thu thập tài liệu liên quan qua nhiều nguồn, ñặc biệt 
trên Internet và viết các tiểu luận. 
“Các phương pháp toán kinh tế” là một môn học về mặt lí thuyết 
ñang ñược tiếp tục phát triển, về mặt thực hành ñang ngày càng có nhiều 
ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực phân tích kinh tế, chắc 
chắn sẽ gây cho người học nhiều hứng thú tìm tòi, sáng tạo. Khi ñến 
thăm Việt Nam, nhà toán học và kinh tế học Robert Aumann, người nhận 
giải thưởng Nobel kinh tế năm 2005 ñã nói: “Có một công thức chung 
trong các hoạt ñộng kinh tế là tất cả mọi người sẽ giàu có hơn nếu mỗi 
người ñều ñược làm việc theo khả năng và sự yêu thích của mình”. 
Trong quá trình biên soạn, tuy rất cố gắng, nhưng có lẽ tác giả 
không tránh khỏi sai sót. Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến ñóng 
góp chỉnh sửa bản thảo bài giảng môn học của các ñồng nghiệp và sinh 
viên ngành Tin học các khóa K47, K48, K49 và K50 của Trường ðại học 
Nông nghiệp Hà Nội, và luôn mong tiếp tục nhận ñược nhiều góp ý của 
các giảng viên và sinh viên, ñể cho giáo trình ñược hoàn chỉnh hơn, 
chính xác hơn và sinh ñộng hơn. 
Hà Nội, ngày 19 tháng 8 năm 2008 
Tác giả 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..10 
Chương I 
MỞ ðẦU 
1. Các phương pháp toán kinh tế trong kinh tế toán 
1.1. Khái niệm về kinh tế toán 
Không giống như tài chính công hay thương mại quốc tế, kinh tế toán 
(mathematical economics) không phải là lĩnh vực riêng biệt của kinh tế. 
Có thể coi kinh tế toán là một cách tiếp cận nhằm thực hiện các phân tích 
kinh tế. Trong kinh tế toán, các nhà kinh tế sử dụng các kí hiệu toán học 
ñể phát biểu bài toán và dựa vào các ñịnh lí toán học ñể suy luận, áp dụng 
và tiếp tục phát triển các phương pháp và kĩ thuật toán học ñể mô tả và 
phân tích các vấn ñề kinh tế. Nhà kinh tế học người Mĩ Paul Samuelson 
ñược coi là người ñặt nền móng cho lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng 
kinh tế toán. 
Một số sách kinh tế học ñại cương hiện nay vẫn dùng các phương 
pháp hình học trên mặt phẳng (hay không gian hai chiều) ñể minh họa 
và rút ra các kết luận có tính chất lí thuyết. Trong khi ñó, ñể nghiên cứu 
các bài toán kinh tế với nhiều biến kinh tế cần phải có sự hiểu biết sâu 
sắc về toán học. Kinh tế toán cho phép mô tả các vấn ñề kinh tế cần 
khảo sát với các công cụ toán học ña dạng như ñại số ma trận và 
phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính, phép tính ñạo hàm và tích 
phân, phương trình vi phân và sai phân, các phương pháp tối ưu hoá, lí 
thuyết trò chơi... Trong các phân tích kinh tế, vi mô cũng như vĩ mô, 
các phương pháp toán học này còn ñược gọi là các phương pháp toán 
kinh tế (mathematical methods for economics). ... , > 0; 0 < h 1)
 = j(p ) (0 < j 1)
U U k(m p ) (k > 0).
+
+ +
α − − β + pi α β ≤

pi − pi − pi ≤

− = − −
 (6.58) 
Sau khi khử pt và sắp xếp lại chúng ta có hệ sai phân sau ñây: 
t 1 t
t 1 t
1 0 (1 j jh) j
kh 1 k U 0 1 U
+
+
pi pi− − + β      
+      
− + β −      
j( T)
k( T m)
α − 
=  α − − 
 (6.59) 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..178 
 Nếu mức cân bằng dừng tồn tại thì có thể tìm nghiệm riêng dưới 
dạng: t t 1+pi = pi = pi và t t 1U U U += = . Thay vào hệ (6.59) sẽ có: 
mpi = và 1U [ -T- (1- h)m]β= α . (6.60) 
ðặt: 
 J = 
1 0
kh 1 k
 
 
− + β 
 và K = 
(1 j jh) j
0 1
− − + β 
 
− 
. 
Lúc ñó ñể tìm nghiệm bù cần xem xét hệ phương trình: 
(bJ + K) m
n
 
 
 
 = 0 ⇔ 
b (1 j jh) j m 0
bkh b(1 k) 1 n 0
− − + β     
=     
− + β −     
. 
ðể hệ có nghiệm không tầm thường, ta phải có: 
det(bJ + K) = (1 + βk)b2 – [1 + hj + (1 – j)(1 + βk)]b + (1 – j +jh) = 0 
hay: 
b2 + a1b + a2 = 0 
với a1 = 
1 hj (1 j)(1 k)
1 k
+ + − + β
−
+ β và a2 = 
1 j(1 h)
1 k
− −
+ β . (6.61) 
Phương trình ñặc trưng (6.61) hoàn toàn giống với phương trình ñặc 
trưng ñã biết tại mục 4.2 cùng chương. Do ñó chúng ta có thể tiến hành 
khảo sát tính ổn ñịnh ñộng của mô hình tùy theo dấu của biệt thức ∆ một 
cách tương tự so với mục 4.2. 
5.5. Biểu ñồ pha hai biến và ứng dụng 
Trong các mục trước chúng ta ñã xem xét việc giải các hệ ñộng tuyến 
tính. Trong mục này chúng ta sẽ sử dụng biểu ñồ pha hai biến ñể tiến 
hành phân tích về tính ổn ñịnh ñộng của mô hình kinh tế cho bởi hệ 
phương trình vi phân phi tuyến cấp một dạng tự ñiều khiển (autonomous 
system) sau ñây: 
x (t) f (x, y)
y (t) g(x, y).
′ =

′ =
 (6.62) 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..179 
Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy, các ñường x’ = f(x, y) = 0 và y’ = g(x, 
y) = 0 ñược gọi là các ñường ranh giới. Xét chẳng hạn ñường x’ = 0. 
Trên ñường này y sẽ là hàm ẩn của x và ta dễ dàng tính ñược: 
x
yx 0
fdy f / x
,
dx f / y f
′=
∂ ∂
= − = −
∂ ∂
 với fy ≠ 0. 
Tương tự, chúng ta cũng tính ñược: 
x
yy 0
gdy g / x
,
dx g / y g
′=
∂ ∂
= − = −
∂ ∂
 với gy ≠ 0. 
Xét một trường hợp cụ thể khi biết fx 0, gx > 0 và gy < 0. 
Lúc ñó các hai ñường ranh giới ñều có các ñộ dốc dương. Nếu giả sử 
ñường x’ = 0 dốc hơn ñường y’ = 0 thì chúng ta gặp phải tình huống như 
minh họa trên hình VI.10a. Hai ñường ranh giới chia mặt phẳng tọa ñộ 
thành bốn phần I, II, III và IV. ðiểm E mà tại ñó x’ = y’ = 0 chính là 
ñiểm cân bằng liên thời của mô hình ñã cho. Tại một ñiểm (x, y) bất kì 
khác, x hoặc / và y sẽ biến thiên phụ thuộc vào t theo các hướng tăng hay 
giảm phụ thuộc vào dấu của các ñạo hàm x’ và y’. 
Trên hình VI.10a, các ñiểm thỏa mãn (6.62) nằm về bên trái của 
ñường ranh giới x’ = 0 sẽ cho x’ > 0, các ñiểm nằm bên phải cho x’ < 0. 
ðiều này là do xx / x f′∂ ∂ = < 0. Tương tự, các ñiểm thỏa mãn (6.62) 
nằm phía dưới của ñường ranh giới y’ = 0 sẽ cho y’ > 0, các ñiểm nằm 
phía trên cho y’ < 0 (do yy / y g′∂ ∂ = < 0). 
Với các giả thiết của hình VI.10a, chúng ta xuất phát từ một ñiểm (x, 
y) bất kì trên mặt phẳng tọa ñộ. Chẳng hạn từ ñiểm A thuộc phần II (xem 
hình VI.10b). Do tại góc này ñạo hàm x’ > 0 và y’ < 0, ñiểm A có 
khuynh hướng chuyển ñộng sang phải và xuống phía dưới và “hội tụ” về 
ñiểm E sau một thời gian ñủ dài (t → +∞). Toàn bộ quỹ ñạo tạo nên bởi 
chuyển ñộng của ñiểm A ñược gọi là một ñường dòng (streamline) hay 
quỹ ñạo pha ñược biểu thị bằng một ñường có mũi tên hướng về ñiểm E 
trên hình VI.10b. Phân tích một cách tương tự ta thấy: xuất phát từ các 
ñiểm khác nhau, các ñường dòng ñều “hội tụ” về E. Như vậy, nếu fx < 0, 
fy > 0, gx > 0 và gy < 0, thì mô hình (6.62) sẽ ổn ñịnh ñộng và hội tụ về 
ñiểm cân bằng liên thời E. 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..180 
Trên hình VI.10b, ñiểm E ñược gọi là nút ổn ñịnh. Bằng các phân 
tích tương tự, khi xem xét các giả thiết khác nhau về dấu của các ñạo 
hàm riêng fx, fy, gx và gy, chúng ta sẽ ñi tới các kết luận ñược minh họa 
trên các hình VI.11a, 11b, 11c và 11d. Trên các hình này ñiểm E ñược 
gọi một cách tương ứng là nút không ổn ñịnh, nút yên ngựa, nút tiêu 
ñiểm và nút trung tâm.
x’ = 0 
y’ = 0 
x 
+ – 
y 
B 
A 
O 
E 
+ – 
(I) 
– 
+ 
– 
+ 
(IV) 
(II) 
(III) 
Hình VI.10b. Các ñng qu ño 
pha vi nút n ñnh E 
y 
x’ = 0 
x x 
x x 
y’ = 0 
x 
+ – 
y 
y y 
O 
y 
+ – 
(I) – 
+ 
– 
+ 
(IV) 
(II) 
(III) 
Hình VI.10a. Các ñng ranh gii 
E 
x’ = 0 
y’ = 0 
x 
– + 
y 
O 
+ 
– 
Hình VI.11a. Các ñng qu ño 
pha vi nút không n ñnh E 
E 
y’ = 0 
x’ = 0 
x 
– + 
y 
O 
+ – 
+ 
– 
– 
+ 
Hình VI.11b. Các ñng qu ño 
pha vi nút yên ng	a E 
E 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..181 
Ví dụ 12. Sau ñây, với mục ñích minh họa một ứng dụng của biểu ñồ 
pha hai biến, chúng ta sẽ nghiên cứu mô hình tương tác giữa chính sách 
tiền tệ và lạm phát: 
s d d
s s
M M Mdp h h 1
dt M M
   
−
= = −   
   
, với ñiều kiện h > 0. (6.63) 
Mô hình này tuân theo giả thiết: tác ñộng của dư thừa mức cung tiền 
tệ so với mức cầu tiền tệ (Ms > Md) sẽ làm tăng tốc ñộ lạm phát p và 
không có tác ñộng ñến mức giá cả P. Do ñó việc loại bỏ sự dư thừa trên 
trong thị trường tiền tệ sẽ làm cho tốc ñộ lạm phát ổn ñịnh, chứ không 
làm cho giá cả ổn ñịnh. 
Nếu chúng ta giả thiết thêm rằng mức cầu về tiền tệ tỉ lệ với tổng sản 
phẩm quốc dân thì tỉ lệ cầu – cung tiền tệ Md/Ms ñược viết như sau: 
d
s s
M aPQ
M M
µ = = , với a > 0. 
Lấy ñạo hàm theo t cả hai vế, chúng ta sẽ có: 
s
s
dM / dtd / dt da / dt dP / dt dQ / dt
a P Q M
µ
= + + −
µ
 = p + q – m, (6.64) 
y y’ = 0 
x’ = 0 
x 
+ – 
O 
+ 
– 
Hình VI.11d. Các ñng qu ño 
pha vi nút trung tâm E 
E 
y’ = 0 
x’ = 0 
x 
+ – 
y 
O 
– 
+ 
Hình VI.11c. Các ñng qu ño 
pha vi nút tiêu ñi
m E 
E 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..182 
trong ñó p, q và m là các tốc ñộ lạm phát, tốc ñộ tăng trưởng (ngoại sinh) 
sản phẩm quốc dân và tốc ñộ mở rộng qui mô cung tiền tệ. Các phương 
trình (6.63) và (6.64) dẫn tới hệ phương trình sau: 
p h(1 )
(p q m) .
′ = − µ

′µ = + − µ
 (6.65) 
Do h > 0 nên p’ = 0 khi và chỉ khi 1 – µ = 0. Do µ > 0 nên µ’ = 0 khi 
và chỉ khi p + q – m = 0. Vậy các ñường ranh giới của p’ = 0 và µ’ = 0 là 
các ñường sau: 
1
p m q.
µ =
= −
 (6.66) 
Theo (6.65) ta có: 
p h 0
′∂
= − <
∂µ
 và 0.
p
′∂µ
= µ >
∂
 (6.67) 
Trường hợp 1. Giả sử m = const. Do các ñường ranh giới là các 
ñường thẳng và dấu của các ñạo hàm riêng thu ñược như trong biểu thức 
(6.67) nên chúng ta có thể áp dụng các phân tích tương tự như trên hình 
VI.11d, với p’ ñóng vai trò của x’ và µ’ ñóng vai trò của y’. Do ñường 
ranh giới µ’ = 0 phân mặt phẳng thành hai phần trái và phải với các dấu – 
và +, còn ñường p’ = 0 phân mặt phẳng thành hai phần trên và dưới với 
các dấu – và +, nên chiều mũi tên trên các quỹ ñạo pha là ngược chiều 
kim ñồng hồ. Lúc này ñiểm E có tọa ñộ p = m – q và µ = 1 chính là ñiểm 
nút trung tâm. Trên hình VI.12a, ta thấy: khi thời gian thay ñổi các ñiểm 
(p, µ) sẽ chạy vòng quanh E, tức là ñiểm cân bằng E (tại ñó p’ = 0 và µ’ 
= 0) sẽ không bao giờ xảy ra trừ khi nền kinh tế có xuất phát ñiểm tại E. 
Trường hợp 2. Giả sử m = m(p’), với m’(p’) < 0 do p’ càng tăng thì 
nhà nước sẽ ñiều chỉnh ñể m giảm (ñây là quy tắc thông thường trong 
việc ñiều chỉnh mức cung tiền tệ). Lúc này, (6.65) trở thành: 
p h(1 )
[p q m(p )] .
′ = − µ

′ ′µ = + − µ
 (6.68) 
Do ñó, các ñường ranh giới sẽ là: 
p 0 1
0 p m(p ) q.
′ = ⇔ µ =
′ ′µ = ⇔ = −
 (6.69) 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..183 
Theo (6.68) ta có: 
p h 0
′∂
= − <
∂µ
 và 0.
p
′∂µ
= µ >
∂
 (6.70) 
Từ phương trình thứ hai của (6.69), tức là trên ñường µ’ = 0, chúng ta có: 
dp dp
m (p ) m (p )( h) 0.
d d
′
′ ′ ′ ′= = − >
µ µ
Theo ñịnh lí hàm ngược, trên ñường µ’ = 0 sẽ có dµ/dp > 0. Lúc này, 
với p’ ñóng vai trò của x’ (ñường ranh giới p’ = 0 chính là ñường thẳng 
nằm ngang µ = 1), với µ’ ñóng vai trò của y’, chúng ta có thể áp dụng các 
phân tích tương tự như trên hình VI.11c. Do ñường ranh giới µ’ = 0 phân 
mặt phẳng thành hai phần trái và phải với các dấu – và +, còn ñường p’ = 
0 phân mặt phẳng thành hai phần trên và dưới với các dấu – và +, nên 
chiều mũi tên trên các quỹ ñạo pha là ngược chiều kim ñồng hồ. Lúc này 
ñiểm E có tọa ñộ p = m(0) – q (do p = m(p’) – q = m(0) –q khi p’ = 0) và 
µ = 1 chính là nút tiêu ñiểm. Trên hình VI.12b, ta thấy: khi thời gian thay 
ñổi các ñiểm (p, µ) sẽ chạy vòng quanh và cuốn vào ñiểm E, tức là ñiểm 
cân bằng E (tại ñó p’ = 0 và µ’ = 0) sẽ ñạt ñược sau một thời gian ñủ lớn. 
1 p’ = 0 
µ’= 0 
E 
m – q 
– 
+ 
– + 
Hình VI.12a 
µ’= 0 
1 E 
m(0) – q 
– 
+ 
– + 
Hình VI.12b 
p’= 0 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..184 
Chú ý. ðể phân tích ñịnh lượng mô hình (6.62), hệ (6.62) có thể ñược 
tuyến tính hóa bằng cách áp dụng khai triển Taylor cho tới vi phân toàn 
phần cấp một tại ñiểm cân bằng E( x, y ). Lúc ñó ta có hệ phương trình 
tương ñương sau ñây: 
x y x y
x y x y
x f (x, y)x f (x, y)y f (x, y)x f (x, y)y
y g (x, y)x g (x, y)y g (x, y)x g (x, y)y.
′ − − = +

′
− − = +
 (6.71) 
Bằng cách phân tích nghiệm bù của hệ (6.71) nhận ñược thông qua 
giải hệ thuần nhất 
( )
x y
x y
x,y
f fx x 0
y g g y 0
 ′     
− =      
′       
 (6.72) 
chúng ta có thể khảo sát ñược tính ổn ñịnh ñộng của nghiệm của hệ (6.62). 
Bài tập Chương VI 
Bài 1. Hãy tìm mức giá cân bằng liên thời và cho biết nó có ổn ñịnh ñộng 
không, nếu biết các hàm cung cầu trong mô hình Cobweb sau ñây: 
Qdt = 18 – 3Pt, Qst = –3 + 4Pt–1, 
Qdt = 19 – 6Pt, Qst = –5 + 6Pt–1. 
Bài 2. Xét mô hình thị trường ñược biểu diễn bởi hệ phương trình sai 
phân sau: 
dt st
dt t
st t
t t 1 t 1 t 1
Q Q
Q P ( , 0)
 Q P ( , > 0)
P P (P P ) (0 < 1).
∗
∗ ∗ ∗
− − −
=

= α − β α β >

= −γ + δ γ δ

= + η − η ≤
Trong mô hình trên: tP
∗
 là kì vọng giá tại giai ñoạn t, phương trình 
thứ tư mô tả tính “thích nghi” của kì vọng giá. 
Phát biểu ý nghĩa kinh tế của phương trình thứ tư. 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..185 
Hãy cho biết mô hình Cobweb (6.8) có phải là trường hợp riêng của 
mô hình trên hay không? 
Chứng tỏ rằng mô hình ñã cho có thể ñược biểu diễn bởi phương 
trình sai phân: ( ) ( )t 1 tP 1 / P / .+ − − η − ηδ β = η α + γ β 
 Tìm ñường quỹ ñạo thời gian của giá cả và chứng minh rằng: nếu 1 
– 2/η < –δ/β thì ñường biến ñộng giá cả có dạng dao ñộng tắt dần. 
Bài 3. Xét mô hình thị trường với hàng tồn kho: 
dt t
st t
t 1 t st dt
dt st
Q 21 2P 
Q 3 6P 
P P 0,3(Q Q ) 
Q Q .
+
= −

= − +

= − −
 =
Hãy tìm quỹ ñạo thời gian của giá cả Pt và cho biết nó có dạng hội tụ 
hay không? 
Bài 4. Xét mô hình thị trường với hàng tồn kho: 
dt t
st
t 1 t st dt
dt st
Q P (
Q k
P P (Q Q ) (
Q Q .
+
= α −β α β

=

= − σ − σ
 =
víi , > 0)
víi > 0)
Hãy khảo sát sự biến ñộng của giá cả theo thời gian. Cần ñưa ra ñiều 
kiện nào cho tham số k ñể mô hình có ý nghĩa? 
Bài 5. Giả sử ñường pha (xem lại mục 2.3) có dạng chữ U ngược và cắt 
ñường phân giác của góc phần tư thứ nhất tại hai ñiểm phân biệt L (bên 
trái) và R (bên phải). Hãy cho biết: 
Trường hợp này có dẫn tới nhiều ñiểm cân bằng hay không? 
ðường quỹ ñạo thời gian yt có dạng như thế nào nếu giá trị ban ñầu 
y0 nằm giữa L và R? bên trái L? bên phải R? 
Có thể ñưa ra kết luận như thế nào về tính ổn ñịnh ñộng của các mức 
cân bằng tại L và tại R? 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..186 
Bài 6. Giá trị xoắn k (hoành ñộ của giao ñiểm giữa ñường giá Pt+1 = f(Pt) 
và ñường Pt+1 = ˆP ) cho phép tìm Pt+1 trong mô hình thị trường với giá 
trần như sau: 
 Pt+1 = 
t
t t
ˆP (khi P k)
P (khi P k).
≤
α + γ δ
− >β β
Hãy chứng minh rằng: ˆk P.α + γ β= −
δ δ
Bài 7. Xét mô hình tương tác với nhân tử tăng tốc Samuelson và hình 
VI.9. Hãy cho biết các cặp giá trị (α, γ) sau ñây thuộc vào vùng nào (từ 
1C cho tới 4D) và mô tả ñịnh tính các quỹ ñạo thời gian tương ứng của 
mức thu nhập quốc dân Yt: 
α = 3,5; γ = 0,8; 
α = 0,2; γ = 0,9. 
Hãy tìm phương trình các ñường quỹ ñạo thời gian với các cặp giá trị 
(α, γ) trong các câu a) và câu b). 
Bài 8. Hãy khảo sát tiếp các trường hợp 2 và 3: ∆ = 0 và ∆ < 0 khi giải 
phương trình sai phân (6.29): 
t 2 t 1 t
1 hj (1 j)(1 k ) 1 j(1 h) j kmp p p
1 k 1 k 1 k+ +
+ + − + β − − β
− + =
+ β + β + β . 
Từ ñó cho biết cần ñưa ra các ñiều kiện nào ñể mức tăng trưởng giá 
sẽ dần ổn ñịnh trong các trường hợp trên. 
Bài 9. Xét mô hình tương tác lạm phát – thất nghiệp với thời gian rời rạc 
sau ñây: 
 t t tp T U h= α − −β + pi (với α, β > 0, 0 < h ≤ 1) 
 t 1 t t tj(p )+pi − pi = − pi (với 0 < j ≤ 1) 
 t 1 t tU U k(m p )+ − = − − (với k > 0). 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..187 
Tìm phương trình sai phân ñối với pt và phân tích tính ổn ñịnh của 
nghiệm. 
Cho h = j = 1. Tìm các ñiều kiện ñể phương trình ñặc trưng rơi vào 
các trường hợp 1, 2 và 3 (tương ứng với ∆ > 0, ∆ = 0 và ∆ < 0). 
Bài 10. Xét mô hình cân ñối liên ngành ñộng hai ngành hàng “trễ một 
giai ñoạn” (6.44), với: 
A = 
1/10 4/10
3 /10 2/10
 
 
 
 và a) dt = 
t
t
(12 /10)
(12 /10)
 
 
  
 hoặc b) d(t) = 
t /10
t /10
e
2e
 
 
  
. 
Tìm các ñường quỹ ñạo thời gian với các ñiều kiện ban ñầu sau ñây: 
x1,0 = 187/39, x2,t = 72/13 (áp dụng hệ phương trình sai phân), 
x1(0) = 53/6, x2(0) = 25/6 (áp dụng hệ phương trình vi phân). 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..188 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Alpha C. Chiang, Fundamental methods of mathematical economics, 
McGraw–Hill Book Company, New York, 1984. 
2. Alpha C. Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental methods of 
mathematical economics, McGraw–Hill Book Company, New York, 2005. 
3. Michael W. Klein, Mathematical methods for economics, Addison–
Wesley Higher Education Group, 2002. 
4. Hoàng ðình Tuấn, Lí thuyết mô hình toán kinh tế (dành cho sinh viên 
ngành toán kinh tế và toán tài chính), Nxb. Khoa học và Kĩ thuật, 2003. 
5. Nguyễn Hải Thanh, Toán ứng dụng, Nxb. ðại học Sư phạm Hà Nội, 2005. 
6. Nguyễn Hải Thanh, Tối ưu hóa, Nxb. Bách khoa, ðại học Bách khoa 
Hà Nội, 2006. 
7. Nguyễn Hải Thanh, Một số vấn ñề về tính toán tối ưu trong lĩnh vực 
nông nghiệp, Tạp chí ứng dụng Toán học, Tập IV, Số 2, trang 33−50, 2006. 
8. Nguyễn Quang Dong, Ngô Văn Thứ, Hoàng ðình Tuấn, Giáo trình mô 
hình toán kinh tế (dành cho sinh viên ngành kinh tế), Nxb. Giáo dục, 2002. 
9. Tô Cẩm Tú, Một số phương pháp tối ưu hóa trong kinh tế, Nxb. 
Khoa học và Kĩ thuật, 1997.