Giải pháp nâng cao tỷ lệ mã hóa của sơ đồ mật mã dựa trên mã

 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số Đặc biệt 2018 8
KHOA HỌC
GIẢI PHÁP NÂNG CAO TỶ LỆ MÃ HÓA CỦA SƠ ĐỒ MẬT MÃ 
DỰA TRÊN MÃ 
PROPOSED SOLUTIONS TO IMPROVE THE CODE RATE OF CODE-BASED CRYPTOGRAPHY 
Lê Văn Thái 
TÓM TẮT 
Bài báo đề xuất hai giải pháp cải tiến hệ mật McEliece, giải pháp sử dụng 
vector lỗi mang tin và giải pháp sử dụng mã nối tiếp thay thế mã Goppa. Các giải 
pháp đề xuất cho phép tăng tỷ lệ mã hoá đến ~0,8, đạt độ lợi mã hóa 1,7dB, 
tăng khả năng sửa lỗi, khả năng chống nhiễu của hệ thống và độ bảo mật so với 
thuật toán đề xuất gốc. 
Từ khóa: Hệ mật McEliece, sơ đồ mật dựa trên mã, mã hóa công khai, mã 
Goppa. 
ABSTRACT 
This paper is mainly to analyse the feature of the McEliece cryptosystem, in 
which it gives a variety of solutions in order to enhace the effect of the algorithm 
such as using error vector and replace Goppa code which use in the traditional by 
succeed concatenated coding. The algorithm improves the coding rate about 
~0.8, gain encoding 1.7dB and the security ability of McEliece algorithm 
improves more greatly than the traditional. 
Keywords: McEliece cryptosystem, Code based cryptosystem, Public-key 
cryptography, Goppa codes. 
Trường Đai học Công nghiệp Hà Nội 
Email: thailv@haui.edu.vn 
Ngày nhận bài: 28/5/2018 
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 30/6/2018 
Ngày chấp nhận đăng: 25/10/2018 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Hệ mật McEliece là hệ mật mã khóa công khai đầu tiên 
dựa trên lý thuyết mã hóa đại số, được giới thiệu năm 1978 
[1]. An ninh của hệ mật này dựa trên độ khó của bài toán 
giải mã theo syndrome và đã được chứng minh là bài toán 
NP đầy đủ [2]. Sơ đồ gốc ban đầu đề xuất sử dụng mã 
Goppa nhị phân và thuật toán giải mã Patterson. Ưu điểm 
nổi bật của hệ mật là tính bảo mật cao, thời gian thực hiện 
mã hoá và giải mã nhanh, yêu cầu thiết bị thực hiện đơn 
giản [3]. Trải qua 40 năm với mã Goppa chưa có thuật toán 
hiệu quả nào có thể phá vỡ được sơ đồ hệ mật McEliece với 
tham số được lựa chọn phù hợp. Vì vậy, hệ mật này được 
xếp vào nhóm mật mã sau lượng tử và những năm gần đây 
đã được cộng đồng các nhà mật mã học nghiên cứu rộng 
rãi. Tuy nhiên, hệ mật này chưa được đưa vào ứng dụng 
trong thực tế xuất phát từ nhược điểm cơ bản của nó là tỷ 
lệ mã hóa thấp (~1/2), kích thước khóa lớn (1024 524 bit 
đối với hệ mật đề xuất ban đầu) do đó đòi hỏi dung lượng 
bộ nhớ lớn. 
Nội dung bài báo này, đề xuất hai cải tiến áp dụng trên 
sơ đồ hệ mật McEliece nhằm khắc phục những điểm yếu 
trên của hệ mật gốc. Các thuật toán đề xuất mới cho phép 
tăng tỷ lệ mã hóa lên đến 0,8 mà vẫn đảm bảo độ an toàn 
của hệ mật. Phần còn lại của bài báo được tổ chức như sau: 
Trong phần 2, bài báo giới thiệu đặc điểm cơ bản của hệ 
mật mã khóa công khai McEliece, phần 3 trình bày thuật 
toán cải tiến sử dụng vector lỗi mang một phần thông tin, 
phần 4 trình bày thuật toán cải tiến sử dụng mã nối tiếp 
thay thế Goppa trong sơ đồ hệ mật gốc, cuối cùng phần kết 
luận được trình bày trong phần 5. 
2. HỆ MẬT KHÓA CÔNG KHAI MCELIECE 
Hệ mật McEliece được giới thiệu bởi R.McEliece vào 
năm 1978 [1]. Đây là sơ đồ hệ mật đầu tiên sử dụng tính 
ngẫu nhiên trong mã hóa. Thuật toán dựa trên độ khó của 
giải mã mã khối tuyến tính. Thuật toán ban đầu sử dụng 
mã nhị phân Goppa, dễ dàng trong việc giải mã nhờ thuật 
toán của Patterson [4]. Khóa công khai thu được từ khóa 
mật bằng cách che dấu từ mã đã chọn giống như một từ 
mã tuyến tính. Để thực hiện, ma trận sinh G của mã nhị 
phân được xáo trộn với hai ma trận khả nghịch ngẫu nhiên 
Q và P. 
Hình 1. Sơ đồ khối thuật toán McEliece 
Hệ mật McEliece bao gồm 3 thuật toán: thuật toán tạo 
khóa, nhằm tạo ra khóa công khai và khóa mật; thuật toán 
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số Đặc biệt 2018 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 9
mã hóa xác suất, sử dụng tính chất ngẫu nhiên trong thuật 
toán mã hóa và thuật toán giải mã. Hệ mật McEliece gốc sử 
dụng mã Goppa nhị phân, mã Goppa là một lớp con của 
mã sửa lỗi tuyến tính được dùng để sửa các lỗi ngẫu nhiên 
xảy ra khi truyền qua kênh có nhiễu. Sơ đồ khối hệ mật 
được biểu diễn trên hình 1 [5]. 
Trong đó: Bản tin nguồn được biểu diễn ở dạng một 
chuỗi thông tin số nhị phân được chia thành các khối con 
ký hiệu là m có độ dài là k bit. Các thuật toán của hệ mật 
được thực hiện như sau [1]: 
Tạo khóa: 
• Chọn một mã tuyến tính nhị phân C có khả năng sửa 
được t lỗi. Mã Goppa được đặc trưng bởi ma trận sinh G 
kích thước k×n và có khả năng sửa được một vector lỗi 
ngẫu nhiên dài n bit có trọng số nhỏ hơn hoặc bằng t. 
• Chọn một ma trận nhị phân khả nghịch Q kích thước 
k×k có nghịch đảo là Q-1. 
• Chọn một ma trận hoán vị nhị phân ngẫu nhiên P kích 
thước n×n (chỉ có một phần tử “1” trên mỗi hàng và mỗi cột). 
• Tính toán ma trận Gp = Q.G.P kích thước k×n. 
Gp = Q.G.P (1) 
• Khóa công khai là (Gp, t), khóa mật là (Q, G, P). 
Mã hóa: 
Quá trình mã hoá và giải mã một bản tin trên hệ mật 
McEliece được thực hiện như sau: Ở bên nhận muốn nhận 
được bản tin được mật hoá bằng thuật toán McEliece, sẽ 
thực hiện tính chìa khoá công khai Gp dựa trên các chìa 
khoá mật là các ma trận Q, G và P, sau đó gửi cặp khóa công 
khai (Gp, t) qua kênh truyền đến bên gửi. 
• Khi muốn gửi bản tin m tới bên nhận thông qua khóa 
công khai (Gp,t). 
• Biểu diễn bản tin m ở dạng một chuỗi nhị phân có độ 
dài k bit. 
• Tạo một vector e ngẫu nhiên có độ dài n và có trọng 
số (số phần tử “1”) w(e) ≤ t. 
• Tính toán bản mã c sau đó gửi cho bên nhận 
c = mGp + e (2) 
Giải mã: 
Sau khi nhận được từ mã c, bên nhận thực hiện giải mã 
bản tin: 
• Tính phép toán cP-1 
 1 1 1 1cP m QGP P eP mQG eP (3) 
• Sử dụng thuật toán giải mã sửa lỗi đối với CP-1 để tìm 
được mQ 
m’ = mQ (4) 
• Xác định bản tin m 
 1 1m m Q mQ Q (5) 
Ta có cP-1 = mQG + eP-1 và P là ma trận hoán vị nên eP-1 
có trọng số lớn nhất là t. Mã Goppa Gp có thể sửa được t lỗi 
và từ mã mQG có thể sửa được t lỗi nhờ thuật toán 
Patterson hoặc sử dụng các thuật toán khác. Do đó ta sẽ 
tính được từ mã m’ = mQ. Để lấy bản tin gốc ta nhân m’ với 
ma trận nghịch đảo của Q ta có m’Q-1 = m, đây chính là bản 
tin gốc ban đầu. 
Từ bản chất của các thuật toán thực hiện trong hệ mật 
McEliece ta đưa ra một số nhận xét cơ bản về thuật toán 
này như sau: 
- Hệ mật có độ bảo mật cao vì không phải thực hiện 
truyền các khóa mật (các khóa dùng để giải mã bản tin) qua 
kênh, các khóa này chỉ duy nhất bên thực hiện giải mã biết. 
- Thiết kế các thiết bị mã hoá và giải mã đơn giản vì việc 
tính toán thực hiện trong các quá trình này là các phép tính 
nhị phân, do đó ta có thể thiết kế thiết bị bằng các linh kiện 
số khá phổ biến. 
- Thời gian mã hoá và giải mã nhanh chỉ thực hiện tính 
toán trên các phép toán nhị phân, có thể đáp ứng được các 
thông tin yêu cầu thời gian thực. 
- Nhược điểm cơ bản của hệ mật là tỷ lệ mã hoá thấp 
(~1/2) vì sử dụng mã kênh là mã khối tuyến tính, thuật toán 
McEliece gốc sử dụng mã Goppa (1024, 524) với tỷ lệ mã 
hoá r k / n 1/ 2. 
- Thông thường để đảm bảo độ mật cao, thuật toán 
McEliece yêu cầu kích thước khóa lên tới 1024 bit (tương 
đương với 210), hơn nữa, để khắc phục phương án tấn công 
theo kiểu vét cạn (tính tất cả các trường hợp có thể có của 
vector tín hiệu đầu vào), thuật toán McEliece yêu cầu kích 
thước bản tin đầu vào khá lớn (k ≥ 524). Những vấn đề này 
dẫn đến việc đòi hỏi thiết bị mã hoá và giải mã phải có 
dung lượng bộ nhớ khá lớn, do đó làm chậm thời gian của 
quá trình xử lý tín hiệu. 
Nội dung tiếp theo của bào báo trình bày hai đề xuất cải 
tiến thuật toán McEliece nhằm tăng tỷ lệ mã hóa và tăng 
khả năng chống nhiễu và độ bảo mật so với thuật toán gốc. 
3. ĐỀ XUẤT TĂNG TỶ LỆ MÃ HÓA CỦA HỆ MẬT McELIECE 
SỬ DỤNG VECTOR LỖI MANG TIN 
Hình 2. Sơ đồ khối hệ mật McEliece cải tiến 
 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số Đặc biệt 2018 10
KHOA HỌC
Điểm hạn chế của hệ mật McEliece là tỷ lệ mã hóa thấp 
(khoảng 0,5 với sơ đồ gốc). Để khắc phục điểm hạn chế này 
tác giả đề xuất giải pháp đưa một phần thông tin cần 
truyền vào vector lỗi. Thuật toán đề xuất nhằm tăng tỷ lệ 
mã hóa của thuật toán McEliece đồng thời nâng cao độ bảo 
mật của hệ mật McEliece. Sơ đồ khối hệ mật McEliece cải 
tiến đề xuất được thể hiện trên hình 2. 
Giải pháp thực hiện là lấy một số bit thông tin cần 
truyền ánh xạ sang một vector lỗi trước khi được thêm vào 
từ mã. Bên nhận sau khi xác định được vector lỗi, có thể 
được khôi phục lại được phần thông tin bổ sung. Bằng cách 
sử dụng phương pháp này, tỷ lệ mã hóa cho hệ mật 
McEliece được tăng lên đến 0,8 hoặc cao hơn. Giải pháp cơ 
bản của thuật toán là tạo ra vector lỗi e có độ dài n và trọng 
lượng t từ các bit thông tin có độ dài l. Như vậy tổng số bít 
tin được gửi đi trong trường hợp này là (k+l), khi đó, tỷ lệ 
mã hoá tăng lên, (k + l)/n > k/n khi (l ≠ 0). Vấn đề cơ bản 
được đặt ra là lựa chọn độ dài của chuỗi tin bổ sung l bằng 
bao nhiêu và làm thế nào để tạo được vector lỗi thỏa mãn 
yêu cầu trên. 
Để thực hiện ý tưởng này, ta dựa trên một thuật toán 
biến đổi nhị phân, nội dung chính của thuật toán là có thể 
biến đổi một chuỗi bít nhị phân có nội dung bất kỳ với độ 
dài l (vector tin bổ sung) thành một chuỗi bít có độ dài n và 
trọng lượng t (vector lỗi e) với điều kiện ràng buộc phải 
thoả mãn theo công thức (6) [6,7]: 
t
2 nl log C . (6) 
Trong đó, tnC là tổ hợp của t trong n. Lưu đồ thuật toán 
biến đổi từ vector tin bổ sung ma sang vector lỗi e được mô 
tả trên hình 3. 
 1 ( )
0
2
0 , 0
i
a i
i
j m
w



1
t w
n
j C 

 1t wnj j C 
1, 1e w w 
'
'0e for 

 
e o 
1n t w 
'
'1e for 

 
1  
Hình 3. Lưu đồ thuật toán biến đổi từ vector tin bổ sung sang vector lỗi 
Giả thiết bản tin cần truyền là ( ) aM m m , gồm hai bản 
tin con là m và ma. Các thuật toán của hệ mật McEliece cải 
tiến được thực hiện như sau: 
Tạo khóa: 
Quá trình tạo khóa thực hiện tương tự trong thuật toán 
gốc (được trình bày trong phần 1), với khóa công khai (Gp, t) 
và khóa bí mật là ba ma trận Q, G, P. Thuật toán mã hóa và 
giải mã của sơ đồ đề xuất được thực hiện như sau: 
Mã hóa: 
Khi muốn gửi bản tin nguồn tới bên nhận thông qua 
khóa công khai GP. Bên gửi thực hiện chia bản tin thành hai 
thành phần là bàn tin chính m (nguồn tin 1) và bản tin bổ 
sung ma (nguồn tin 2) và thực hiện mã hóa như sau: 
+ Đối với bản tin chính m (nguồn tin 1) được nhân với 
khóa công khai GP (trong đó GP là ma trận tích của ba ma 
trận Q, G, P) ta được từ mã c1. 
+ Đối với phần bản tin bổ sung ma (nguồn tin 2), ở bên 
gửi thực hiện biến đổi bản tin này với độ dài l sang vector 
lỗi e có độ dài n và trọng lượng t, thực hiện theo thuật toán 
được trình bày trên hình 3; các tham số l, n, t phải thoả mãn 
công thức (6). 
+ Tính từ mã c = c1 + e = mGp + e 
Giải mã: 
Sau khi nhận được bản mã c, bên nhận thực hiện giải 
mã bản tin như sau: 
+ Xác định bản tin chính m. Thực hiện tính m1 = c.P-1 
(P-1 là ma trận nghịch đảo của P), giải mã sửa sai tương ứng 
với ma trận sinh G ta xác định được vector m2 và thực hiện 
tính m = m2Q-1. 
.
 ( )
 ( )
 ( )
1
1
1
P
1
1
m c P
mG e P
mQGP e P
mQ G eP
2 m mQ 
Từ đó ta xác định được bản tin chính 12
 m m Q . 
+ Xác nhận tin bổ sung ma, bên nhận tiến hành thực hiện 
khôi phục bản tin theo các bước sau: 
Bước 1: Thực hiện mã hoá lại, bằng cách tính: 
1 pc mG (7) 
Bước 2: Tính vector lỗi ở bên nhận theo công thức (8): 
1 e c c (8) 
Bước 3: Khôi phục phần bản tin bổ sung từ vector e 
bằng thuật toán biến đổi ngược so với bên gửi, thuật toán 
được trình bày chi tiết trên hình 4. 
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số Đặc biệt 2018 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 11
Đ
ún
g
 1
t
n tj j C
t t
 n t 
1  
Hình 4. Thuật toán biến đổi vector lỗi thành chuỗi tín hiệu bổ sung ma 
Nhận xét đặc điểm thuật toán McEliece cải tiến sử 
dụng vector lỗi mang tin: 
+ Hệ mật đề xuất khi sử dụng vector lỗi mang một phần 
thông tin đã tăng được tỷ lệ mã hóa so với đề xuất của hệ 
mật gốc (tỷ lệ mã hoá có thể đạt tới ~0,8 trong khi thuật 
toán gốc chỉ đạt tỷ lệ mã hoá ~0,5). Mặt khác thông qua 
việc bổ sung một lượng thông tin vào vector lỗi đã làm 
tăng được độ bảo mật của hệ mật, vì bên thứ ba thường chỉ 
quan tâm đến phần thông tin chính (m) nằm trong thuật 
toán gốc. 
+ Hệ mật McEliece cải tiến còn hạn chế là yêu cầu sự 
thống nhất thuật toán biến đổi phần thông tin bổ sung 
thành vector lỗi e, điều này dẫn đến sự phức tạp khi sử 
dụng hệ mật cải tiến này. 
+ Với phương pháp cải tiến sử dụng vector lỗi mang tin, 
tỷ lệ mã hóa có thể được cải thiện từ 0,51 lên 0,79 khi chọn 
các tham số theo đề xuất gốc k = 524, n = 1024 và t = 50 khi 
đó l = 284 tính theo công thức (6) (mang 284 bit thông tin 
bổ sung) và từ 0,63 lên 0,87 khi chọn k = 654, n = 1024, 
t = 37 và l = 225. 
4. ĐỀ XUẤT NÂNG CAO ĐỘ BẢO MẬT CỦA HỆ MẬT 
McELIECE SỬ DỤNG MÃ NỐI TIẾP THAY THẾ MÃ GOPPA 
TRONG SƠ ĐỒ GỐC 
Hình 5. Sơ đồ khối mã nối tiếp 
Giải pháp cơ bản của đề xuất này là sử dụng mã kênh 
nối tiếp thay thế cho mã Goppa trong thuật toán truyền 
thống nhằm tăng không gian chìa cho hệ mật McEliece, mà 
vẫn đảm bảo được độ bảo mật và tốc độ mã. Sơ đồ khối 
của mã nối tiếp được thể hiện trên hình 5 [8]. 
Cấu trúc của mã nối tiếp bao gồm một mã ngoài, một 
mã trong và bộ xáo trộn bít nằm giữa hai mã này có nhiệm 
vụ phá vỡ các lỗi cụm (lỗi dài) thành các lỗi đơn nhằm mục 
đích để tăng khả năng sửa lỗi của mã, kể cả trong trường 
hợp điều kiện kênh truyền quá xấu. 
Để áp dụng mã nối tiếp vào hệ mật McEliece, ta cần 
phải chọn các mã thành phần là các mã khối tuyến tính có 
các đa thức sinh tương ứng là G1 và G2 với các khoảng cách 
Hamming cực tiểu tương ứng là d1min và d2min. Khi đó, mã nối 
tiếp có thể sửa được một lỗi cụm có độ dài là max(n1t2, n2t1), 
trong đó ni là độ dài các từ mã thành phần và ti là khả năng 
sửa lỗi của các mã thành phần, được tính theo công thức 
(9) [8]. 
min 
i
i
d 1t
2
 với i = 1, 2 (9) 
Hoặc mã nối tiếp có thể sửa được t lỗi ở các vị trí bất kỳ 
trong từ mã với: 
min min. .
1 2d d 1t
2
 (10) 
Sơ đồ khối hệ mật McEliece khi sử dụng mã nối tiếp 
được thể hiện trong hình 6. 
Hình 6. Sơ đồ khối hệ mật McEliece cải tiến sử dụng mã nối tiếp 
Các thuật toán của hệ mật McEliece cải tiến sử dụng mã 
nối tiếp thay thế mã Goppa trong sơ đồ gốc được thực hiện 
như sau: 
Tạo khóa: 
- Khóa bí mật bao gồm các ma trận Q, G1, П, G2 và P (ở 
đây ta sử dụng bộ xáo trộn khối). 
- Khóa công khai gồm cặp (Gp, t). Trong đó: t được xác 
định theo công thức (10) và Gp được xác định theo công 
thức (11). 
1 2 ΠpG QG G P (11) 
Mã hóa và giải mã: 
Quá trình mã hoá và giải mã một bản tin của thuật toán 
cải tiến đề xuất về cơ bản tương tự như thuật toán McEliece 
 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số Đặc biệt 2018 12
KHOA HỌC
gốc. Tuy nhiên, khi giải mã kênh ta phải thực hiện qua hai 
lần giải mã các mã thành phần (mã trong và mã ngoài), 
với các ma trận kiểm tra được xác định 0 Ti iG H , trong đó, 
i = 1 ÷ 2. Đồng thời, sau khi giải mã trong ta phải thực hiện 
giải xáo trộn để sắp xếp lại vị trí các bit của từ mã trước khi 
đưa vào giải mã ngoài cho đúng với thứ tự như bên gửi. 
Nhận xét đặc điểm thuật toán McEliece cải tiến sử 
dụng mã nối tiếp: 
Thông qua việc sử dụng mã nối tiếp thay thế mã Goppa 
trong đề xuất gốc, khả năng sửa lỗi của hệ thống được cải 
thiện một cách đáng kể so với khi sử dụng các mã đơn, điều 
này thể hiện qua kết quả trên hình 7. 
Hình 7. Khả năng sửa lỗi của mã nối tiếp so với các mã đơn 
Từ kết quả hình 7 ta thấy, để đạt được xác suất lỗi bit 
Pe = 10-5 trong trường hợp sử dụng mã nối tiếp với các mã 
thành phần là mã Hamming(31, 26) và mã BCH(63, 51) cần 
tỷ lệ Eb/N0 ≈ 5,8dB, đối với trường hợp sử dụng mã đơn BCH 
(31, 21) cần Eb/N0 ≈ 7,5dB. Tỷ lệ mã hóa trong cả hai trường 
hợp là r = k/n ≈ 0,67. Như vậy độ lợi mã hoá đạt được là 1,7 
dB. Tương tự như vậy, khi sử dụng mã nối tiếp với các mã 
thành phần là mã Hamming (15,11) và mã BCH(127, 92) độ 
lợi mã hoá của hệ thống cao hơn so với trường hợp sử 
dụng mã đơn. Đây là cơ sở để cải thiện độ mật của hệ 
thống khi sử dụng thuật toán McEliece, điều này được 
chứng minh qua phương pháp tính độ bền vững của hệ 
mật cải tiến theo thuật toán tấn công tìm vector lỗi e thể 
hiện qua công thức (12) [6]. 
 tc nk C (12) 
Kết quả thuật toán McEliece cải tiến sử dụng mã nối tiếp 
thay cho mã Goppa so với thuật toán đề xuất gốc được thể 
hiện qua trong bảng 1. 
Bảng 1. So sánh thuật toán McEliece cải tiến và thuật toán gốc 
Sơ đồ hệ mật Tỷ lệ mã 
hoá 
Số lỗi có 
thể sửa 
Độ bền mật mã 
Hệ mật McEliece 
sử dụng mã 
Goppa(1024,524) 
~0,5 50 , .50 881024C 3 1 10 
Hệ mật McEliece sử 
dụng mã nối tiếp 
H(15,11)BCH(127,92) 
~0,8 91 , .91 1601905C 4 46 10 
Chi phí của thuật toán cải tiến sử dụng mã nối tiếp thay 
thế mã Goppa thường yêu cầu từ mã có độ dài lớn hơn so 
với thuật toán gốc. Do đó yêu cầu dung lượng bộ nhớ 
trong các thiết bị giải mã lớn hơn, nhưng vấn đề này không 
còn là vấn đề khó khăn trong khoa học công nghệ hiện nay. 
5. KẾT LUẬN 
Phương pháp đề xuất cải tiến hệ mật McEliece sử dụng 
vector lỗi mang một phần thông tin đã tăng được tỷ lệ mã 
hoá từ 0,5 lên đến 0,8 so với thuật toán đề xuất gốc, đồng 
thời cũng làm tăng độ phức tạp của tấn công giải mã của 
hệ mật. 
Hệ mật McEliece cải tiến sử dụng mã nối tiếp thay thế 
cho mã Goppa trong đề xuất gốc đã làm tăng được khả 
năng sửa lỗi và tăng khả năng chống nhiễu của hệ thống. 
Tỷ lệ mã hóa khi sử dụng mã nối tiếp thay thay thế mã 
Goppa là tăng 0,17 và độ lợi mã hóa đạt 1,7dB. Hai giải 
pháp cải tiến tác giả đề xuất trên đây kết hợp với những ưu 
điểm của hệ mật McEliece, giúp cho hệ mật này tăng thêm 
tính khả dụng cho các hệ thống truyền tin số. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. McEliece R. J. (1978). A Public-Key Cryptosystem Based on Algebraic 
Coding Theory, The Deep Space Network Progress Report, pp: 114-116. 
[2]. Berlekamp E., McEliece R., and Tilborg H. v. (1978), "On the Inherent 
Intractability of Certain Coding Problems", IEEE Transactions on Information 
Theory, 24(3), pp: 384-386. 
[3]. Bernstein D. J., Buchmann J., and Dahmen E. (2009), Post-quantum 
cryptography, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, pp: 95-145. 
[4]. Patterson N. J. (1975), "The Algebraic Decoding of Goppa Codes", IEEE 
Transactions on Information Theory, IT-21(2), pp: 203-207. 
[5]. Алферов А.П. Основы криптографии. М.: Гелиос АРВ, 2001. С. 321-
323. 
[6]. Hung min sun. Enhancing the security of the McEliece Public key 
Cryptosystem.Journal of inffomation science and engineering 16.2000. C 799-
812. 
[7]. C. S. Park. Improving code rate of McEliece’s public key cryptosystem. 
Electronics letters, Vol. 25, No. 21, 1989, pp. 1466-1467. 
[8]. Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. 
Методы, алгоритмы, применение. М: Техносфера, 2005.