Exciton loại 2 trong hệ hai chấm lượng tử

27 
EXCITON LOẠI 2 TRONG HỆ HAI CHẤM LƯỢNG TỬ 
Võ Thị Hoa1 
Tóm tắt: Khái niệm exciton được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1931 bởi Frenkel, sau 
đó bởi Pieirls, Wannier, Elliot, Knox ... Do tương tác Coulomb giữa một điện tử trong vùng 
dẫn và một lỗ trống trong vùng hóa trị mà hình thành trạng thái liên kết cặp điện tử - lỗ 
trống được gọi là giả hạt exciton... Tùy thuộc vào sự phân bố của cặp điện tử - lỗ trống 
trong không gian pha mà người ta chia exciton thành hai loại: exciton loại 1 và exciton 
loại 2. Có rất nhiều kết quả nghiên cứu trên thế giới về exciton loại 1. Đối với exciton loại 
2, đây là một tổ hợp mới hầu như chưa được nghiên cứu nhiều. Bài viết này trình bày 
những kết quả chính nghiên cứu về năng lượng liên kết của exciton loại 2 trong hệ hai 
chấm lượng tử. 
Từ khóa: Exciton, Chấm lượng tử (QD), Năng lượng liên kết. 
1. Mở đầu 
Khái niệm exciton đầu tiên được đưa ra năm 1931 bởi Frenkel, sau đó là Pieirls, 
Wannier, Elliot, Knox Khi chiếu chùm tia sáng vào bán dẫn thì một số điện tử ở vùng 
hóa trị (Valence band-VB) hấp thụ ánh sáng nhảy lên vùng dẫn (Conduction band-CB), để 
lại VB các lỗ trống mang điện tích dương. Do tương tác Coulomb giữa lỗ trống ở VB và 
điện tử ở CB mà hình thành trạng thái liên kết cặp điện tử - lỗ trống được gọi là giả hạt 
exciton. Tùy thuộc vào sự phân bố của cặp điện tử - lỗ trống trong không gian pha mà 
người ta chia exciton làm hai loại: Exciton loại 1 và exciton loại 2. 
* Exciton loại 1 (exciton thẳng, exciton truyền thống): được hình thành bởi liên kết 
cặp điện tử và lỗ trống, trong đó không gian pha của điện tử hoàn toàn trùng 
với không gian pha của lỗ trống, ở đây là xung lượng và toạ độ của điện 
tử, là xung lượng và toạ độ của lỗ trống [0, 0]. 
* Exciton loại 2 (exciton xiên): giả hạt này được hình thành cũng từ liên kết cặp của 
điện tử và lỗ trống. Tuy nhiên, không gian pha của điện tử và lỗ trống không hoàn toàn 
trùng nhau [0, 0, 0, 0]. Chính vì vậy, người ta còn gọi exciton loại 2 là exciton xiên. Sự 
không trùng nhau trong không gian pha có thể ở không gian (xiên theo tọa độ), hoặc 
trong không gian (xiên theo xung lượng), hoặc trong cả hai. 
Hiện nay, có nhiều kết quả nghiên cứu trên thế giới về exciton loại 1. Đối với 
exciton loại 2, đây là tổ hợp rất mới hầu như chưa được nghiên cứu nhiều và là mục tiêu 
nghiên cứu của bài viết này. 
2. Nội dung 
2.1. Mô hình exciton loại 2 trong hai chấm lượng tử 
 Chấm lượng tử (Quantum dot – QD) là một hạt nhỏ (bán dẫn, kim loại, polime), có 
bán kính một hoặc vài nanomet. Một hạt như vậy có thể chứa từ điện tử. Người 
1 TS, Phòng QLKH & HTQT, trường Đại học Quảng Nam. 
VÕ THỊ HOA 
 28 
ta có thể điều khiển cấu tạo, kích thước, hình dáng của QD, số lượng các điện tử bên trong 
cũng như điều khiển sự tương tác giữa các chấm một cách chính xác nhờ sử dụng các kỹ 
thuật tiên tiến. Trong chấm, điện tử được giam giữ theo cả 3D gần giống như các nguyên 
tử nên QD còn được gọi là nguyên tử nhân tạo. 
Xét bài toán cặp điện tử - lỗ trống nằm trong hai QD (exciton loại 2), ta chọn các QD 
có dạng hình cầu, thế giam giữ đặt lên hai chấm có dạng thế parabolic và thế tương tác 
giữa chúng là thế “central-cell”. Để đơn giản, ta xét hai chấm có cùng bán kính và nằm 
cách nhau một khoảng (0). 
Mô hình hệ điện tử - lỗ trống trong hai QD cầu (exciton loại 2) có thể được mô tả 
như sau: 
Hình 1. Mô hình cặp điện tử-lỗ trống trong hai chấm lượng tử (exciton loại 2) 
Hamiltonian của cặp điện tử - lỗ trống nằm trong hai QD có dạng như sau: 
 (1) 
trong đó là thế năng tương tác giữa điện tử và lỗ trống, , là khối 
lượng hiệu dụng của điện tử và lỗ trống, là thế cầm tù của QD đối với lỗ 
trống, là thế cầm tù của QD đối với điện tử. 
Thế cầm tù có dạng parabolic: 
 (2) 
Thế tương tác Coulomb giữa hai hạt có dạng: 
 , (3) 
với là độ lớn điện tích của điện tử, là hằng số điện thẩm chân không, là hằng 
số điện môi tương đối. 
EXCITON LOẠI 2 TRONG HỆ HAI CHẤM LƯỢNG TỬ 
 29 
Lý thuyết khối lượng hiệu dụng cung cấp mô hình đơn giản để tính toán năng lượng 
liên kết của exciton trong chấm lượng tử. Tuy nhiên trong chấm lượng tử nhỏ, năng lượng 
liên kết của exciton tính theo phương pháp trên lại cho sai lệch khá lớn [0]. Nguyên nhân 
là do thế tương tác Coulomb không còn chính xác khi , bởi lẽ hằng số 
điện môi được sử dụng là hàm phụ thuộc vào tọa độ tương đối giữa điện tử và lỗ trống. 
 Gần đây một số tác giả đã nghiên cứu bổ chính central-cell đối với Donor trong bán 
dẫn nhằm lý giải cho các vấn đề của Donor. Dựa trên lý thuyết khối lượng hiệu dụng, thay 
cho thế Coulomb người ta đưa vào thế dạng Coulomb có phạm vi ngắn với hai số hạng 
điều khiển là độ rộng và phạm vi tác động của Donor. Đó chính là bổ chính central-cell 
cho Donor [0]. Vì các bài toán Donor và exciton cùng qua tương tác Coulomb nên có thể 
mở rộng ý tưởng trên cho trường hợp exciton. Thế central-cell có dạng như sau: 
 , (4) 
trong đó và là các tham số đặc trưng cho cường độ và phạm vi của thế trong 
vùng central-cell. 
Từ các nhận xét đó, đề xuất mô hình thế central-cell cho trường hợp bài toán exciton 
trong hai QD (exciton loại 2): 
 (5) 
với là độ lớn điện tích của điện tử, là hằng số điện thẩm chân không, là hằng 
số điện môi của vật liệu, và là các tham số đặc trưng cho cường độ và phạm vi của 
thế trong vùng central-cell. 
Biểu diễn và qua 2 tọa độ, tọa độ khối tâm và tọa độ tương đối : 
 (6) 
Khi đó Hamiltonian của cặp điện tử - lỗ trống trong hai chấm sẽ là: 
 , (7) 
trong đó: (khoảng cách giữa 2 QD) và 
thế tương tác central-cell được viết lại: 
 , (8) 
 Phương trình Schrödinger cho phần chuyển động khối tâm có dạng: 
 , (9) 
VÕ THỊ HOA 
 30 
và phần chuyển động tương đối có dạng: 
 . (10) 
 Hàm sóng của hệ điện tử - lỗ trống (exciton) được biểu diễn là tích của hai hàm 
sóng: hàm sóng khối tâm và hàm sóng tương đối . Năng lượng toàn phần của 
exciton sẽ là tổng của hai năng lượng và . 
 Giải phương trình (9), ta thu được biểu thức của hàm sóng và năng lượng 
của exciton ở trạng thái cơ bản (Ground state - GS): 
 (11) 
với : là bán kính hiệu dụng của chuyển động khối tâm. 
 Phương trình (10) của chuyển động tương đối không thể giải chính xác. Ta dùng 
phương pháp nhiễu loạn để xác định năng lượng của phần chuyển động tương đối của 
exciton trong hai QD ở GS. 
Giả sử thế cầm tù là mạnh, thế tương tác giữa điện tử - lỗ trống được coi là một 
nhiễu loạn. Khi chưa tính đến thế tương tác , giải phương trình (10) ta thu được hàm 
sóng và năng lượng của exciton ở trạng thái cơ bản: 
 (12) 
với là bán kính hiệu dụng của chuyển động tương đối. 
2.2. Năng lượng liên kết của exciton loại 2 trong hai chấm lượng tử 
Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để tính yếu tố ma trận của . Đây cũng chính là 
năng lượng liên kết của cặp điện tử - lỗ trống trong hai QD (năng lượng liên kết của 
exciton loại 2). 
 . (13) 
Chuyển qua hệ tọa độ cầu: 
 . (14) 
Đưa vào hệ không thứ nguyên: 
EXCITON LOẠI 2 TRONG HỆ HAI CHẤM LƯỢNG TỬ 
 31 
 (15) 
trong đó là bán kính Borh hiệu dụng của exciton khối. 
Khi đó (13) cho kết quả như sau: 
 (16) 
Biểu thức (16) cho thấy năng lượng liên kết của exciton loại hai trong hai QD phụ 
thuộc vào khoảng cách giữa hai chấm (biểu diễn qua ), bán kính hiệu dụng của chuyển 
động tương đối (thể hiện qua ) và hằng số điện môi . 
Trong hệ đơn vị là năng lượng của exciton khối ( ), năng lượng liên kết 
của exciton loại 2 trong hai QD phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai chấm (biểu diễn 
qua ) thể hiện bằng đồ thị như trên 0. Chọn giá trị của các thông số 
. 
0 2 4 6 8 10
d
a0
1
2
3
4
5
-
Elk
E0
Hình 2. Năng lượng liên kết của exciton loại hai trong hai chấm lượng tử phụ thuộc vào khoảng 
cách ( ) giữa hai chấm 
0 cho thấy năng lượng liên kết của exciton loại 2 phụ thuộc vào khoảng cách giữa 
hai chấm ( ). Năng lượng này tăng nhanh khi khoảng cách giữa hai chấm giảm. Từ 
đồ thị cho thấy, khi tính đến giá trị tới hạn (khoảng cách giữa hai chấm dần đến 
không), một cách gần đúng có thể xem như trường hợp exciton trong một chấm lượng tử, 
giá trị của năng lượng liên kết là . Kết quả này hoàn toàn phù hợp với kết quả 
thu được của bài toán exciton trong một chấm lượng tử. 
Năng lượng liên kết của exciton loại 2 trong hai QD phụ thuộc vào hằng số điện môi 
 (bản chất của vật liệu) thể hiện qua kết quả tính số ở 0. Chọn giá trị của các thông số như 
sau: . 
VÕ THỊ HOA 
 32 
Hình 3. Năng lượng liên kết của exciton loại 2 phụ thuộc vào hằng số điện môi . 
0 cho thấy năng lượng liên kết của exciton loại 2 phụ thuộc vào hằng số điện môi . 
Giá trị này tăng khi hằng số điện môi giảm. 
Hình 4. Năng lượng liên kết của exciton loại 2 phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai chấm và 
hằng số điện môi 
Năng lượng liên kết của exciton loại hai trong hai QD phụ thuộc vào khoảng cách 
giữa hai chấm (phụ thuộc vào ) và hằng số điện môi (bản chất vật liệu) thể hiện qua kết 
quả tính số trên 0. 
Như vậy năng lượng liên kết của exciton loại 2 trong hai QD tỉ lệ nghịch với khoảng 
cách giữa hai chấm và hằng số điện môi chấm mạng. Dựa vào điều này cho thấy, có thể 
điều chỉnh cấu trúc của vật liệu thấp chiều để tăng năng lượng liên kết của exciton. 
* Nhận xét kết quả: 
Với mô hình exciton xiên theo vùng cấm, các tác giả Tomasulo và Kamakrishna [0] 
đã cho thấy năng lượng liên kết của exciton xiên phụ thuộc vào bán kính chấm lượng tử 
(0). 
EXCITON LOẠI 2 TRONG HỆ HAI CHẤM LƯỢNG TỬ 
 33 
Năng lượng liên kết exciton xiên tăng khi giảm kích thước chấm lượng tử. 
Hình 5. Năng lượng liên kết của exciton loại hai phụ thuộc tỉ lệ nghịch với kích thước chấm theo 
Tomasulo và Ramakrishna [0] 
Với mô hình exciton xiên ở các mặt tiếp giáp [0], kết quả được mô tả như trên 0. 
Hình 6. Năng lượng của exciton tiếp giáp phụ thuộc vào [0] 
Như vậy kết quả thu được cũng gần với kết quả của các tác giả khác [0, 0], ngoài 
việc cho thấy sự phụ thuộc của năng lượng liên kết của exciton loại 2 vào khoảng cách 
giữa hai chấm, kết quả còn cho thấy sự phụ thuộc của năng lượng này vào hằng số điện 
môi chấm mạng. 
3. Kết luận 
Đề xuất mô hình exciton xiên (exciton loại 2) trong hệ hai QD, từ đó nghiên cứu năng 
lượng liên kết của giả hạt này trong mô hình trên. Chọn các QD có dạng hình cầu, thế giam 
giữ đặt lên hai chấm có dạng thế parabolic và thế tương tác giữa chúng là thế central-cell. 
Để đơn giản, xét hai chấm có cùng bán kính và nằm cách nhau một khoảng . 
VÕ THỊ HOA 
 34 
Với mô hình đó, tính toán thu được biểu thức năng lượng liên kết của exciton xiên 
(exciton loại 2), năng lượng liên kết kết này phụ thuộc vào khoảng cách giữa các chấm và 
hằng số điện môi chấm mạng. 
So sánh kết quả với các nhóm tác giả khác: Tomasulo và Ramakrishna với mô hình 
exciton xiên theo vùng cấm của QD [0], mô hình exciton xiên ở các mặt tiếp giáp [0],.., 
cho thấy kết quả đạt được cũng gần với các tác giả khác, đó là sự phụ thuộc của năng 
lượng liên kết vào khoảng cách giữa chúng. Ngoài ra, kết quả còn cho thấy sự phụ thuộc 
của năng lượng liên kết exciton xiên vào hằng số điện môi chấm mạng. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Banyai, L. and S. W. Kock (1993), “Semiconductor quantum dots”, World Scientific 
Publishing Company, Singapore. 249pp. P.7-15, P.37-55, P.73-83. 
[2] Ngo Van Thanh and Nguyen Ai Viet (1998), “Simple model for interface exciton 
with an electron - hole separation”, Modern Phys. Lett. B 12, 887-893. 
[3] Nguyen Ai Viet and J. L. Birman (1995), “On the theory of interface exciton”, Solid 
State Commun, 93, No. 3, 219-223. 
[4] Nguyen Ai Viet (2002), “Excitons types I and II in semiconductor quantum dots”, 
Proc. AISAMP 5, Nara, Japan, Oct. 1-5 2002. 
[5] Nguyen Duc Long and Nguyen, ai Viet (2003), “Ekimov Ansatz and binding energy 
of exciton type II quantum dots”, Comm. Phys. 13, No. 3, 177-181. 
[6] Nguyen Manh Cuong and Nguyen Ai Viet (2004), “The binding energy of exciton 
in carbon nanotubes”, Communications in Physics 14, No. 4, 197-201. 
[7] Tomasulo, A. and M. V. Ramakrishna (1996), “Quantum confinement effects in 
semiconductor clusters II”, J. Chem. Phys. 105, No. 9, 3612-3626. 
[8] To Thi Thao and Nguyen Ai Viet (2004), “Binding energy of exciton in quantum 
dots with the central-cell correction depending on the dot size”, Communications in 
Physics 14, No. 2, 95-99. 
Title: TYPE II EXCITON IN TYPE II QUANTUM DOTS SYSTEM 
VO THI HOA 
Quang Nam University 
Abstract: Exciton concept was brought first in 1931 by Frenkel, then by Pieirls, 
Wannier, Elliot, Knox ... Due to the Coulomb interaction between an electron in CB and a 
hole in VB that forms the bound state of an electron-hole pair, called excitons. Depending 
on the distribution of an electron-hole pair in phase space, exciton can be divided into two 
types: type I exciton and type II exciton. There are many research results in the world 
about type I exciton. For type II exciton, this is a new combination which has not much 
been studied. This article presents the research results of type II exciton binding energy in 
type II quantum dots system. 
Keywords: Exciton, Quantum dot (QD), Binding energy.