Điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc và áp dụng

 1 
ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ TỐI ƯU CHO NGHIỆM HỮU 
HIỆU TOÀN CỤC CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CÓ RÀNG BUỘC VÀ ÁP DỤNG 
Trần Văn Sự1 
Nguyễn Thanh Phong2 
Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn 
cục của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng quát được ký hiệu 
bởi (CVEP) trong không gian vô hạn chiều sử dụng công cụ của đạo hàm theo hướng và đạo 
hàm Gâteaux. Dưới các giả thiết phù hợp liên quan đến tính lồi tổng quát cho đạo hàm theo 
hướng của các hàm mục tiêu, các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục 
của bài toán (CVEP) được thiết lập theo ngôn ngữ của đạo hàm theo hướng. Các điều kiện 
tối ưu của (CVEP) cũng được mô tả theo ngôn ngữ đạo hàm Gâteaux. Một số ứng dụng cho 
bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc cũng được cung cấp. 
Từ khóa: Bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc, Bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến 
phân vectơ có ràng buộc; Điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục, Đạo hàm 
theo hướng, Đạo hàm Gâteaux. 
1 . Mở đầu 
Bài toán cân bằng vectơ có vai trò quan trọng trong toán học ứng dụng và đặc biệt là ứng 
dụng trong lĩnh vực điều kiện tối ưu bởi vì nó bao hàm được nhiều bài toán khác nhau như 
trường hợp đặc biệt, chẳng hạn bài toán tối ưu vectơ, bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, 
bài toán bù vectơ, bài toán điểm yên ngựa vectơ, bài toán cực tiểu phiếm hàm, bài toán điểm 
bất động, bài toán cân bằng Nash, v.v. (xem [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]). Ngày nay điều kiện 
tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ và áp dụng nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của 
các tác giả trong và ngoài nước. Sử dụng tính lồi tổng quát của các hàm mục tiêu, Gong [1] 
đã thiết lập điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu 
toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc cùng với áp dụng kết 
quả nhận được cho bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến phân vectơ có cùng ràng 
buộc. Sử dụng tính khả vi Gâteaux và Fréchet cho các hàm mục tiêu, Gong [2] đã nhận được 
kết quả về điều kiện cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng 
vectơ có ràng buộc tập và ứng dụng. Về điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu 
hiệu Henig và siêu hữu hiệu dùng công cụ của giải tích lồi liên quan đến sự tách các tập lồi 
và giải tích không trơn liên quan đến tính khả vi của các hàm ràng buộc của các bài toán 
cân bằng vectơ được nghiên cứu khá chi tiết bởi Gong [3], Wei và Gong [5]. Gần đây nhất, 
Sự [6], Hằng và cộng sự [7] đã thiết lập các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu 
yếu, nghiệm hữu hiệu Henig và nghiệm siêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ có 
ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng quát sử dụng công cụ của đạo hàm theo hướng. Tuy 
nhiên, trường hợp điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán cân 
bằng vectơ có ràng buộc thiết lập dựa theo ngôn ngữ của đạo hàm theo hướng và đạo hàm 
Gâteaux là chưa được nghiên cứu. 
1 . TS, Khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam 
2 . ThS, Khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam 
TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG 
2 
Mục đích của chúng tôi trong bài báo này là nghiên cứu điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm 
hữu hiệu toàn cục của các bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng 
quát trong không gian Banach dựa theo ngôn ngữ của đạo hàm theo hướng và đạo hàm 
Gâteaux cùng với áp dụng kết quả thu được cho bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến 
phân vectơ có ràng buộc. Các kết quả nhận được của chúng tôi trong bài báo này là hoàn 
toàn mới và chưa từng được nghiên cứu trước đây. 2 . Kiến thức chuẩn bị 
Tiểu mục này trình bày các quy ước chung, các khái niệm liên quan đến đạo hàm theo hướng, 
đạo hàm Gâteaux, hàm lồi theo nón và xây dựng nghiệm hữu hiệu toàn cục cho bài toán cân 
bằng vectơ có ràng buộc (CVEP) và hai trường hợp đặc biệt của nó là bài toán tối ưu vectơ 
có ràng buộc (CVOP) và bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (CVVI). Xuyên 
suốt bài báo này, ta quy ước X, Y, Z và W là các không gian tôpô tuyến tính thực, trong đó Y 
và Z được sắp thứ tự bởi một nón lồi đóng nhọn có phần trong khác rỗng C và K, tương ứng. 
Cho X0 là một tập con khác rỗng của không gian X; một song hàm F : X0 × X0 → Y thỏa mãn 
điều kiện cân bằng F(x0, x0) = 0 ∀x0 ∈X0, và các hàm ràng buộc g : X0 → Z, h: X0 → W . Đặt 
S∈={x X0 :∈g(x) -K, =h(x) 0}. Tập S được gọi là chấp nhận được của các bài toán (CVEP), 
(CVOP) và (CVVI). Gọi Y* và Z* lần lượt là các không gian đối ngẫu tôpô của Y và Z. Nón 
đối ngẫu của C và K được định nghĩa tương ứng bởi 
C* ={ξ Y∈*: ξ0≥ c∀ C}∈ và K* {=η Z* :∈η, k≥k ∀K}.∈ 
Tựa phần trong của C* được ký hiệu bởi C≠ và được định nghĩa bởi 
 C≠ ={ξ C∈*: ξ>0 c∀ C\{0}}.∈ 
Bao nón, bao đóng và phần trong của một tập con không rỗng D⊂Y được ký hiệu tương ứng 
bởi cone(D) ={td : d D∈, t 0≥}, cl(D) và int D. 
Định nghĩa 2.1 ([1, 2, 3, 5]) Một tập con B khác rỗng của một nón lồi C được gọi là một cơ 
sở của nón C nếu B lồi, 0∉cl(B) và C =cone(B). 
Ta dễ dàng kiểm tra tựa phần trong C≠ ≠φ nếu và chỉ nếu nón lồi C có một cơ sở B. 
Khái niệm nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc (CVEP), bài 
toán tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP) và bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng 
buộc (CVVI) do Xun-Hua Gong [1, 2] đề xuất và được định nghĩa lần lượt như sau. 
Định nghĩa 2.2 ([1, 2]) Xét bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc(CVEP). Một vectơ x∈S 
được gọi là nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVEP) nếu tồn tại một nón lồi và nhọn 
H trong Y với C \{0}⊂ intH thỏa mãn F(x, S)∩((−H) \{0})=φ. Ở đây, F(x,S) = y∈S F(x, y). 
Để dễ nhìn, ta xét Y = và C =+ [0, = ). Bằng cách chọn nón lồi và nhọn H trùng với nón C, 
lúc này mô hình toán học của bài toán (CVEP) có dạng: 
x∈ X0 F(x, x) với mọi x∈X thỏa mãn min 
 g(x)∈−K (H1) 
h(x) = 0 
Vectơ x∈S là nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVEP) nếu min F(x, x)= 0 với mọi 
x∈X thỏa mãn hệ ràng buộc ( H1). 
TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG 
3 
Hai trường hợp đặc biệt của bài toán (CVEP) là bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP) 
và bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (CVVI) được mô tả lại trong bài báo 
này dưới dạng. 
Định nghĩa 2.3 ([1, 2]) Cho trước một ánh xạ f : X → Y. Nếu song hàm 
F(x, y):= f (y) −f (x) x∀, y S∈ và x∈S là nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán cân bằng vectơ 
có ràng buộc (CVEP) thì x∈S được gọi là nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán tối ưu vectơ 
có ràng buộc (CVOP). 
Trường hợp Y = và C =+ [0, = ), một mô hình toán học của bài toán (CVOP) có dạng: 
x∈ X0 f ( x) với mọi x∈X thỏa mãn min 
 g(x)∈−K (H2) 
h(x) = 0 
Vectơ x∈S là nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVOP) nếu min f (x)= f (x) với mọi 
x∈X thỏa mãn hệ ràng buộc ( H2). 
Ký hiệu L(X, Y) là không gian các ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X vào Y. Cho trước một ánh 
xạ T : X → L(X, Y), khi đó với mỗi x∈ X, Tx là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn từ X vào Y. 
Ta có khái niệm sau. 
Định nghĩa 2.4 ([1, 2]) Nếu F(x, y):= ∀ x, y∈ S và x∈S là nghiệm hữu hiệu toàn cục 
của bài toán bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc (CVEP) thì x∈S được gọi là nghiệm hữu 
hiệu toàn cục của bài toán bất đẳng thức biến phân có ràng buộc (CVVI). 
Tương tự như trên, một mô hình toán học của bài toán (CVVI) có dạng: 
x∈ X0 với mọi x∈X thỏa mãn min 
 g(x)∈−K (H3) 
h(x) = 0 
Vectơ x∈S là nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVVI) nếu min = 
với mọi x∈X thỏa mãn hệ ràng buộc ( H3). 
Các định nghĩa sau được lấy trong giải tích không trơn và là công cụ chính để thiết lập điều 
kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVEP) cùng với các trường hợp đặc 
biệt của nó là các bài toán (CVOP) và (CVVI). 
Định nghĩa 2.5 ([4]) Cho X và Y là các không gian tôpô tuyến tính; X0 ⊆ X là một tập con khác 
rỗng; f : X0 →Y là một ánh xạ và một điểm x∈ X0. 
(a) Với mỗi h∈X , nếu giới hạn sau: 
f (x+th) − f (x) 
 Df (x)(h) = lim 
t→0+ t 
tồn tại thì ta nói Df (x)(h) là đạo hàm theo hướng của f tại điểm x theo hướng 
TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG 
4 
h. Nếu giới hạn này tồn tại với mọi h∈ X, thì f được gọi là khả vi theo hướng tại x. 
(b) Với mỗi x∈ X0 và mọi h∈X , nếu giới hạn sau: f (x+th) − f (x) 
DG f (x)(h) = lim 
t→0 t 
tồn tại và DG f (x): X →Y là một ánh xạ tuyến tính liên tục, thì DG f (x) gọi là đạo hàm Gâteaux 
của f tại điểm x. Trong trường hợp này, hàm f được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x. 
Nhận xét 2.6 Dễ dàng thấy rằng nếu hàm f khả vi Gâteaux tại điểm x thì nó khả vi theo 
hướng tại điểm đó. Tuy nhiên, chiều ngược lại sẽ không còn đúng bằng cách xét hàm số thực 
f tại điểm x=0 , ở đây f : → 
2 . x f (x) = sin(x ) arcsin(+x ) 
Cuối cùng, định nghĩa tính lồi tổng quát (hay còn được gọi là lồi theo nón) sau làm cơ sở cho 
việc đề xuất giả thiết 3.1 (xem tiểu mục 3) làm nền tảng để nghiên cứu điều kiện kiện tối ưu 
cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVEP). 
Định nghĩa 2.7 ([1, 2]) Cho X0 ⊆ X là một tập lồi khác rỗng. Một hàm f : X0 →Y được gọi là C-
lồi trên X0 , nếu với mọi x, y X , t [0, 1] ta có tf (x)+(1−t) f (y)∈ f (tx+(1−t)y)+C. 
3. Kết quả mới của bài báo 
Đầu tiên chúng tôi cung cấp giả thiết sau làm cơ sở cho việc phát biểu điều kiện cần và đủ tối 
ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của các bài toán (CVEP), (CVOP) và (CVVI) dựa theo ngôn 
ngữ của đạo hàm theo hướng. 
Giả thiết 3.1 x∈ X0, Fx (.) = F(x, .), h ≡0 và F(x, x) = 0; các hàm mục tiêu 
Fx , g khả vi theo hướng tại x với các đạo hàm theo hướng DFx (x): X →Y là C-lồi 
trên tập lồi X0, Dg(x): X →Z là K-lồi trên tập lồi X0, và điều kiện chính quy sau thỏa mãn: 
(CQ): Tồn tại vectơ x0 ∈S sao cho Dg(x)(x0 − x)∈−int K. 
Chú ý rằng tính lồi theo nón của các đạo hàm theo hướng luôn được xác định trong trường 
hợp hàm được xem xét là lồi theo nón trên tập lồi X0. Ngoài ra, nếu giả thiết 3.1 được thỏa 
mãn, các nón Q và K lồi thì ta luôn có câc tập sau lồi: 
 (DFx(x)(X0 − x)+Q) và (Dg(x)(X0 − x)+ g(x)+ K). 
Tiếp theo là các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của các bài toán 
cân bằng vectơ có ràng buộc tập và nón được phát biểu dưới đây như sau. 
TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG 
5 
Định lí 3.2 Giả sử X, Y và Z là các không gian Banach thực, x∈S thỏa mãn Giả thiết 3.1 và 
các nón C và K là lồi đóng và nhọn với các phần trong của chúng khác rỗng trong Y và Z 
tương ứng. Giả sử thêm rằng nón C có một cơ sở B. Khi 
đó, nếu vectơ x là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVEP) thì tồn tại (y*, z*)∈Y*×Z* 
\{(0, 0} thỏa mãn 
 * ≠ * * 
y ∈C , z ∈K , 
 * 
 = 0 , 
 * * 
minx∈X0 +< z , Dg(x)(x− x 0. 
Nếu thêm các hàm mục tiêu Fx và g lần lượt là C-lồi và K-lồi trên tập lồi X0, khi đó điều kiện 
cần tối ưu sẽ trở thành điều kiện đủ tối ưu. 
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử vectơ x là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán 
(CVEP). Theo Định nghĩa 2.2, tồn tại một nón lồi và nhọn H trong Y với 
C \{0}⊂ intH thỏa mãn F(x, S)∩((−H) \{0})=φ.Do đó, F(x, S)∩(−int H)=φ. 
Điều này kéo theo 
F(x, S)∩(−intQ)=φ. (3.1) 
Ở đây Q:= cl H là nón lồi đóng và nhọn trong không gian Banach Y. Ta thấy rằng 
(DFx(x)(X0 − x)+Q)×(Dg(x)(X0 − x)+ g(x)+ K) (−intQ)×(−int K)=φ. 
(3.2) 
Thật vậy, nếu điều kiện (3.3) sai, khi đó tồn tại x0 ∈ X0, q∈Q và k ∈K sao cho 
(DFx(x)(x0 − x), Dg(x)(x0 − x)+ g(x))∈(−intQ−q)×(−int K −k). 
Do các nón Q và K là lồi và có phần trong khác rỗng, ta luôn có các đẳng thức đúng: intQ+Q 
= intQ, int K K int K+, suy ra quan hệ sau đúng: 
TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG 
6 
(DFx(x)(x0 − x), Dg(x)(x0 − x)+ g(x))∈(−intQ)×(−int K). 
Điều này tương đương với hệ sau 
Vì intC và intK là các tập mở nên tồn tại t0 ∈(0, 1) thỏa mãn hệ 
Hệ trên cùng với tập X0 lồi suy ra 
 x+t0(x0 − x) = t0x0 (1+ t−0)x ∈X0, 
g(x+t0(x0 − x))∈(1−t0)g(x)−int K ⊂−int K ⊂−K. 
Do đó, x+t0(x0 − x)∈S. Mặt khác, ta cũng có Fx (x+t0(x0 − x))∈−intQ. Điều này mâu thuẩn với 
điều kiện (3.1). Vậy điều kiện (3.2) đúng. Từ giả 
thiết 3.1 ta có (DFx(x)(X0 − x)+Q) và (Dg(x)(X0 − x)+ g(x)+ K) là các tập lồi trong Y và Z tương 
ứng nên tích của chúng cũng là một tập lồi trong không gian Banach tích Y×Z . Sử dụng 
một định lí tách các tập lồi rời nhau 
(DFx(x)(X0 − x)+Q)×(Dg(x)(X0 − x)+ g(x)+ K) và (−intQ)×(−int K), ta tìm được phiếm hàm tuyến 
tính liên tục (y*, z*)∈Y*×Z* với (y*, z*)≠(0, 0) sao cho 
+≤ + 
x 
) ( 
( ) 
0 
0 
0 
0 
) ( ) ( 
lim int 
. 
) ( ( ) 
lim ) ( int 
x x 
t 
t 
F x F x x t x 
Q 
t 
t x x g g x x 
g x K 
t 
→ + 
→ + 
 − − + 
 ∈− 
+ − − 
+ ∈− 
( ) 
( ) 
0 0 
0 
0 0 0 
0 
( ) ) ( 
int 
. 
) ( ) (1 ( ) 
int 
x x t x x F F x x 
Q 
t 
x g x t t x g x 
K 
t 
 − − + 
 ∈− 
− − − + 
∈− 
TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG 
7 
với mọi q Q, k K, x X . Bởi vì Q và K là các nón chứa gốc nên ta thu được 
hệ bất phương trình sau: 
+≥ 0 ∀q∈Q, k ∈K, 
 * * . 
+≥ 0 ∀x∈ X0 
Hệ trên dẫn đến y*∈Q* ⊂ H* (do H ⊂ Q), z*∈K*, = 0 và 
ngoài ra 
 +≥ 0 ∀x∈ X0. 
x 
Bất đẳng thức bên trên tương đương với 
 min(+)= 0. 
x∈X0 x 
Vì điều kiện chính quy (CQ) đúng nên không khó để kiểm tra được y* ≠ 0. 
Ta còn phải chứng minh y ∈C≠ Thật vậy, với mọi c∈C \{0}, ta có c∈int H, mà suy ra được < 
y*, c >> 0. Theo định nghĩa tựa phần trong của nón đối ngẫu của nón C* đối với nón C ta kết 
luận y*∈C≠. 
Điều kiện đủ. Giả sử ngược lại, vectơ x∈S không là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài 
toán (CVEP). Theo Định nghĩa 2.2, với mọi nón lồi và nhọn H trong Y với C \{0}⊂ intH ta luôn 
có Fx (S)∩((−H) \{0})≠φ.Do y*∈C≠, ta suy ra nón 
H0 ={y∈Y: > 0}∪{0} 
là lồi, nhọn và đồng thời thỏa mãn bao hàm thức sau C \{0}⊂ intH0 
. 
Tiếp theo ta lấy xoo ∈S ⇒ g(x00)∈−K sao cho Fx( x ) H \{0}, nghĩa là 
≤ 0. 
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 
+< 0. 
Sử dụng Định nghĩa 2.7 về tính lồi theo nón của các hàm mục tiêu, ta suy ra hệ sau đúng: 
Fx(x00)−DFx(x)(x00 −x)∈C, 
g(x00)−g(x)−Dg(x)(x00 −x)∈K. 
TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG 
8 
Theo định nghĩa nón đối ngẫu ta nhận được bất đẳng thức sau : 
+ ≥ min0 +< z*, Dg(x)(x− x) . 
x∈X 
Bất đẳng thức trên kéo theo bất đẳng thức chặt sau đúng: 
min0 + < 0. 
x∈X 
Vậy điều kiện cần tối ưu sẽ trở thành điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của 
bài toán (CVEP). □ 
Kết hợp Nhận xét 2.6 với Định lí 3.2, ta thu được hệ quả trực tiếp sau. 
Hệ quả 3.3 Dưới các giả thiết của Định lí 3.2 trong đó tính khả vi theo hướng của các hàm 
mục tiêu F và g tại điểm tối ưu được thay thế bởi tính khả vi Gâteaux 
x 
tại điểm tối ưu đó. Khi đó, nếu vectơ x là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán 
(CVEP) thì tồn tại (y*, z*)∈Y*×Z* \{(0, 0} thỏa mãn 
 * ≠ * * 
y ∈C , z ∈K , 
 * 
 = 0 , 
 minx∈X0 +< z*, DGg(x)(x− x 0. 
Nếu thêm các hàm mục tiêu Fx và g lần lượt là C-lồi và K-lồi trên tập lồi X0, khi đó điều kiện 
cần tối ưu sẽ trở thành điều kiện đủ tối ưu. 
Chứng minh. Bởi vì các hàm mục tiêu F và g khả vi Gâteaux tại điểm x nên 
x 
theo Nhận xét 2.6, chúng cũng khả vi theo hướng tại điểm đó. Sử dụng Định lí 3.2 chúng ta 
thu được điều phải chứng minh. 
Ứng dụng kết quả thu được từ Định lí 3.2 cho bài toán (CVOP) và (CVVI), ta cũng có được 
các phát biểu sau. 
Định lí 3.4 Giả sử rằng các điều kiện của Định lí 3.2 được thỏa mãn, 
Fx(y):= ∀ x, y∈ S với T : X → L(X, Y) là một ánh xạ. Khi đó, 
nếu vectơ x là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVVI) thì tồn tại (y*, z*)∈Y*×Z* \{(0, 
0} thỏa mãn 
 * ≠ * * 
TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG 
9 
y ∈C , z ∈K , 
 * 
 = 0 , 
 minx∈X 0 +< z*, Dg(x)(x− x 0. 
Nếu thêm hàm ràng buộc g là K-lồi trên tập lồi X0, khi đó điều kiện cần tối ưu sẽ trở thành 
điều kiện đủ tối ưu. 
Chứng minh. Theo định nghĩa đạo hàm theo hướng ta có 
DFx (x)(x− x)= tlim→0+ 
= ∀x ∈X0 . 
Áp dụng Định lí 3.2 ta nhận được kết quả. 
Chú ý rằng nếu hàm g khả vi Gâteaux tại điểm x thì kết quả thu được của Định 
lí 3.4 vẫn còn đúng trong trường hợp đạo hàm theo hướng Dg(x)(x− x) được thay thế 
bởi đạo hàm Gâteaux DGg(x)(x− x). 
Định lí 3.5 Giả sử rằng các điều kiện của Định lí 3.2 được thỏa mãn, 
Fx(y) = f (y) −f (x) x∀, y S∈ với f : X →Y là một ánh xạ. Khi đó, nếu vectơ x là một nghiệm 
hữu hiệu toàn cục của bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP) thì tồn tại (y*, z*)∈Y*×Z* \{(0, 
0}thỏa mãn 
 * ≠ * * 
y ∈C , z ∈K , 
 * 
 = 0 , 
 minx∈X 0 +< z*, Dg(x)(x− x 0. 
Nếu thêm các hàm mục tiêu f và g lần lượt là C-lồi và K-lồi trên tập lồi X0, khi đó điều kiện cần 
tối ưu sẽ trở thành điều kiện đủ tối ưu. 
Chứng minh. Theo định nghĩa đạo hàm theo hướng ta có 
DF (x)(x− x)= lim 0 
( ( )) ( ) 
x x F x t x x F x 
t 
+ − − 
TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG 
10 
x t→ + 
X0 .∀ ∈ = Df (x)(x x) x− 
Thêm nữa, tính C-lồi của hàm f tương đương với tính C-lồi của hàm F và điều 
x này dẫn đến sự kết luận. 
Chú ý rằng nếu các hàm f và g khả vi Gâteaux tại điểm x thì kết quả thu được của Định lí 3.5. 
vẫn còn đúng trong trường hợp đạo hàm theo hướng Df (x)(x− x) được thay thế bởi đạo hàm 
Gâteaux DG f (x)(x− x) và đạo hàm theo hướng Dg(x)(x− x) được thay thế bởi đạo hàm 
Gâteaux DGg(x)(x− x). 
Cuối cùng chúng tôi cung cấp một ví dụ sau để mô tả cho Định lí 3.2. 
Ví dụ 3.6 Xét bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc (CVEP), trong đó 
X =Y Z= 2,=C 2+, K= 2+, X0 = (x,y) ∈[-1, 1] ×[0,1]: y ≥1 x , v à 
 2 
x = (0, 0). Ta xét các hàm Fx và g : X0 → 2 và được định nghĩa tương ứng bởi 
 1 
Fx(x, y) = x , x y −(x, y∀) X0 , ∈ 
 2 
g(x, y) =(2y−3x, −x) ∀(x, y)∈X0. 
Ta có Fx (.) và g là các hàm lồi theo nón 2+ trên tập lồi X0 , và thêm nữa, 
F (.) và g là các hàm khả vi theo hướng tại điểm x với các đạo hàm theo hướng 
x 
 1 2 
DFx(x)(x−x) x1 , x1 x2 − x (∀x1, x=2) , 
 2 2 
Dg(x)(x− x) =(2x2 3−x1, x−1) ∀x = (x1, x2) . 
Tính toán trực tiếp ta nhận được tập chấp nhận được của bài toán (CVEP) như sau 
 1 3 
 S (x, y) [0,∈1] [0, 1]:× x y ≤ x . 
 2 2 
Dễ thấy các đạo hàm theo hướng DFx (x): X →Y là C-lồi trên tập lồi X0, 
Dg(x): X →Z là K-lồi trên tập lồi X0, và điều kiện chính quy (CS) đúng, nghĩa là ta có Dg(x)(x1 
− x)∈−int K thỏa mãn tại điểm x1 = (1, 1) S. Vậy Giả thiết 3.1 luôn 
được thỏa mãn. Để ý rằng x là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVEP), các nón 
C và Klàlồi đóng và nhọn với intC = int K (0=, ) (+0,∞ ×), và chúng luôn có cơ sở B (compact) 
với nón C thỏa mãn quan hệ sau 
( ) ( ( )) 
( ( )) ( ) 
x x F x t x x x F 
t 
x t x x f f x 
t 
+ − − 
+ − − 
TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG 
11 
 C intC \{(0, 0}. 
Ta chọn y* C z 3 K thỏa mãn đẳng 
thức 
 2 
= 0 
và điều kiện cực tiểu sau: 
min +< z*, Dg(x)(x−x 
x∈X0 x 
 9 
 = min1 2 0 x∈2 4 x1 +2 x1 − x=(x , x ) X 
 1 9 
= x=(xmin1, x2 ) 0 ∈ x2 2 x1 − 2( x1 +x1 − 
X 
= 0. 
Vậy Định lí 3.2 được kiểm chứng đầy đủ. 
4 . Kết luận 
 Bài báo này đã chứng minh được kết quả về điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu 
toàn cục của bài toán cân bằng vectơ, bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến phân vectơ 
có ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng quát trong không gian Banach thực dựa theo ngôn 
ngữ của đạo hàm theo hướng và đạo hàm Gâteaux. Kết quả thu được này là hoàn toàn mới 
và được sử dụng cho việc thiết kế thuật toán tìm nghiệm tối ưu toàn cục cho bài toán cân 
bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng quát cũng như các trường hợp đặc biệt 
của nó trong tương lai. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Xun- Hua Gong (2008), “Optimality conditions for vector equilibrium problems, J. Math”. 
Anal. Appl., 342, 1455-1466. 
[2] Xun-Hua Gong (2010), “Scalarization and optimality conditions for vector equilibrium 
problems”, Nonlinear Anal., 73, 3598-3612. 
[3] Xun-Hua Gong (2001), “Efficiency and Henig efficiency for vector equilibrium problems”, 
J. Optim. Theory Appl. 108, 139-154. 
[4] J.Jahn (2011), “Theory, applications and extensions second edition vector optimization”, 
Springer-Verlag Berlin Heilelberg. 
TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG 
12 
[5] Zhen-Fe Wei, Xun-Hua Gong (2010), “Kuhn-Tucker optimality conditions for vector 
equilibrium problems”, J. Ine. Appl., Doi: 10.1155/2010/842715. 
[6] Trần Văn Sự (2018), “Một điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu kiểu Kuhn-
Tucker của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc trong không gian vô hạn chiều”, TCKH 
Trường Đại học Khoa học - Đại học Huế, 12 (1), 19-28. 
[7] Đinh Diệu Hằng, Trần Văn Sự (2018), “Về điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig 
và siêu hữu hiệu cho bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc”, TCKH Trường Đại học Thái 
Nguyên, 181 (05), 237-242. 
Title: NECESSARY AND SUFFICIENT OPTIMALITY CONDITIONS FOR 
GLOBALLY EFFICIENT SOLUTIONS OF CONSTRAINED VECTOR 
EQUILIBRIUM PROBLEMS AND APPLICATIONS 
TRAN VAN SU 
NGUYEN THANH PHONG 
Quang Nam University 
Abstract: In this article, we investigate the optimality condition for globally efficient solution of 
vector equilibrium problem with constraints which is denoted as (CVEP) using the tools of 
directionally and Gâteaux derivatives in infinite-dimensional spaces. Under the suitable 
assumptions involving the generalized convexity of the directionally derivatives of objective 
functions, the necessary and sufficient optimality conditions for globally efficient solution of 
problem (CVEP) are derived via the directionally derivatives. The optimality conditions for 
(CVEP) are also obtained by means of the Gâteaux derivatives. Some their applications to 
the vector optimization problem and the vector variational inequality problem with constraints 
are also given as well. 
Keywords: Vector equilibrium problem with constraints; Vector optimization problem and 
vector variational inequality problem with constraints; Necessary and sufficient optimality 
conditions for globally efficient solution; Directionally derivatives; Gateaux derrivatives. 
TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG 
13