Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu Henig địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc qua đạo hàm Studniarski

 ISSN: 1859-2171 
e-ISSN: 2615-9562 
TNU Journal of Science and Technology 225(06): 548 - 552 
548  Email: jst@tnu.edu.vn 
ĐIỀU KIỆN CẦN HỮU HIỆU CHO NGHIỆM HỮU HIỆU 
HENIG ĐỊA PHƯƠNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ 
CÓ RÀNG BUỘC QUA ĐẠO HÀM STUDNIARSKI 
Đinh Diệu Hằng1* , Trần Văn Sự2, Nguyễn Thùy Trang1, Phạm Văn Ngọc1 
1Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - ĐH Thái Nguyên 
2Trường Đại học Quảng Nam 
TÓM TẮT 
Bài toán cân bằng vectơ được Blum - Oettli đưa ra năm 1994. Lớp các bài toán cân bằng vectơ bao 
gồm nhiều lớp bài toán quan trọng như: bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán tối ưu 
vectơ, bài toán điểm bất động, bài toán bù vectơ, bài toán cân bằng Nash vectơ. Điều kiện tối ưu 
cho bài toán cân bằng vectơ và bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ đã được nhiều tác giả quan 
tâm nghiên cứu. Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng khái niệm đạo hàm Studniaski được đề xuất 
bởi Studniaski (M. Studniaski (1986)), thiết lập điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu 
Henig địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng quát trong 
không gian Banach. Kết quả thu được này được áp dụng trực tiếp cho nghiệm siêu hữu hiệu địa 
phương của bài toán. 
Từ khóa: điều kiện cần tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc; điều kiện cần hữu hiệu; 
nghiệm hữu hiệu Henig địa phương; nghiệm siêu hữu hiệu địa phương; đạo hàm Studniaski. 
Ngày nhận bài: 21/11/2019; Ngày hoàn thiện: 27/5/2020; Ngày đăng: 31/5/2020 
NECESSARY EFFICIENCY CONDITIONS FOR THE LOCAL HENIG 
EFFICIENT SOLUTIONS OF V ECTOR EQUILIBRIUM PROBLEMS WITH 
CONSTRAINTS IN TERMS OF S TUDNIARSKI’S DERIVATIVES 
Dinh Dieu Hang1*, Tran Van Su2, Nguyen Thuy Trang1, Pham Van Ngoc1 
1TNU - University of Information and Communication Technology 
2Quang Nam University 
ABSTRACT 
The equilibrium problem was first proposed in 1994 by Blum - Oettli which including a number of 
important problems such as vector variational inequalities, vector optimization problems, fixed 
poin problems, vector complementarity problems, vector Nash equilibrium problems. Currently, 
optimality conditions for vector equilibrium problems and vector variational inequalities are 
widely studied by many authors. In this paper, we’re using the concept of Studniaski’s derivative 
was proposed by Studniaski in the reference (M. Studniaski (1986)), we establish in this article the 
necessary efficiency conditions for local Henig efficient solution of vector equilibrium problems 
with set and generalized inequality constraints in terms of studniarski’s derivatives in Banach 
spaces. This obtained result is directly applied to local superefficient solution of the problem. 
Keywords: Necessary optimality conditions for vector equilibrium problem; necessary efficiency 
conditions; local Henig efficient solutions; local superefficient solutions; Studniarski’s derivatives. 
Received: 21/11/2019; Revised: 27/5/2020; Published: 31/5/2020 
* Corresponding author. Email: dinhhangch16tn@gmail.com
1 MÐ †U
B i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc têng qu¡t ÷ñc
thi¸t lªp v o n«m 1997 bði nhâm t¡c gi£ Bianchi, Had-
jisavvas v  Schaible [1] v  chóng giú mët vai trá quan
trång trong gi£i t½ch phi tuy¸n (xem Feng v  Qiu [2],
Gong [3],[4], Long, Huang v  Peng [5], Luu v  Hang
[6]). ¦u ti¶n nhâm t¡c gi£ [1] ch¿ · xu§t kh¡i ni»m
nghi»m húu hi»u v  nghi»m húu hi»u y¸u kiºu to n
cöc v  àa ph÷ìng cho b i to¡n v  sau â Gong [3] l¤i
x¥y düng bê sung kh¡i ni»m nghi»m húu hi»u Henig
v  si¶u húu hi»u b¶n c¤nh kh¡i ni»m húu hi»u y¸u
¢ bi¸t. B¶n c¤nh nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cho
b i to¡n c¥n b¬ng vectì, i·u ki»n tèi ÷u công ÷ñc
quan t¥m nghi¶n cùu nhi·u, xem [3],[4],[5],[2],[7]. Gong
[3],[4] thi¸t lªp i·u ki»n c¦n v  õ tèi ÷u cho nghi»m
húu hi»u y¸u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì b¬ng c¡ch væ
h÷îng hâa c¡c h m möc ti¶u v  r ng buëc vîi i·u ki»n
l  c¡c h m èi t÷ñng ph£i lçi theo nân. Long, Huang
v  Peng [5] ¢ mð rëng k¸t qu£ i·u ki»n c¦n v  õ
tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig trong [3],[4] cõa b i
to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc tªp v  b§t ¯ng thùc
têng qu¡t tø t½nh lçi theo nân sang lçi suy rëng theo
nân. H¬ng v  Sü [7] cung c§p c¡c i·u ki»n c¦n tèi
÷u cho nghi»m húu hi»u Henig v  si¶u húu hi»u cho
b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc tªp v  b§t ¯ng
thùc têng qu¡t theo ngæn ngú ¤o h m theo h÷îng.
Studniarski [8] · xu§t kh¡i ni»m ¤o h m Dini tr¶n
v  d÷îi theo h÷îng v  kh¡i ni»m n y ÷ñc °t l¤i t¶n
l  ¤o h m Studniarski bði nhi·u nh  nghi¶n cùu, xem
Luu [9]. Vai trá cõa ¤o h m Studniarski dòng º thi¸t
lªp i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c b i to¡n tèi ÷u vectì têng
qu¡t, v½ dö Luu [9] cung c§p i·u ki»n c¦n v  õ tèi
÷u cho cüc tiºu ch°t Pareto àa ph÷ìng cõa b i to¡n
tèi ÷u vectì theo ngæn ngú cõa ¤o h m Studniarski.
Hi»n nay theo sü hiºu bi¸t cõa chóng tæi l  ch÷a câ k¸t
qu£ nghi¶n cùu i·u ki»n c¦n v  õ tèi ÷u cho nghi»m
húu hi»u Henig v  Henig àa ph÷ìng cõa b i to¡n c¥n
b¬ng vectì câ r ng buëc tªp v  b§t ¯ng thùc têng
qu¡t sû döng cæng cö cõa ¤o h m Studniarski trong
khæng gian væ h¤n chi·u.
Möc ½ch cõa chóng tæi trong b i b¡o l  sû döng ¤o
h m Studniarski º thi¸t lªp i·u ki»n c¦n húu hi»u
cho nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng v  si¶u húu
hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì v  b§t
¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì câ r ng buëc tªp v  b§t
¯ng thùc têng qu¡t. K¸t qu£ thu ÷ñc cõa chóng tæi
l  ho n to n mîi v  ch÷a ÷ñc nghi¶n cùu tr÷îc ¥y
v  th¶m núa nâ câ thº ÷ñc ¡p döng º x¥y düng c¡c
thuªt to¡n sè cho b i to¡n c¥n b¬ng nâi chung v  b i
to¡n tèi ÷u nâi ri¶ng trong t÷ìng lai.
2 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ
2.1 Mët sè kþ hi»u
Xuy¶n suèt b i b¡o chóng tæi quy ÷îc X;Y v  Z l 
c¡c khæng gian Banach thüc v  khæng gian èi ng¨u
tæpæ cõa Y v  Z theo thù tü ÷ñc kþ hi»u l  Y  v  Z:
Cho A l  mët tªp kh¡c réng cõa X. Ph¦n trong v  bao
âng cõa A ÷ñc kþ hi»u t÷ìng ùng bði intA v  clA:
Cho x 2 X v   > 0; h¼nh c¦u mð t¥m x b¡n k½nh  l 
tªp B(x; ) = fx 2 X : kxxk < g: Quy ÷îc tn ! 0+
l  mët d¢y sè d÷ìng (tn)n1 hëi tö v· 0. Gåi C v  K
l  c¡c nân lçi, âng v  câ ph¦n trong kh¡c réng x¡c
ành mët thù tü bë phªn trong c¡c khæng gian Y v 
Z t÷ìng ùng. C¡c nân èi ng¨u cõa C v  K ÷ñc kþ
hi»u theo thù tü bði C+ v  K+ l  lçi v  âng y¸u v 
÷ñc ành ngh¾a
C+ = f 2 Y  : h; ci  0 (8 c 2 C)g;
K+ = f 2 Z : h; di  0 (8 d 2 K)g:
Tüa ph¦n trong cõa nân C+ l  tªp hñp
C] = f 2 C+ : h; ci > 0 (8 c 2 C; c 6= 0)g:
Cho tªp lçi B  Y l  cì sð cõa nân C; ngh¾a l  0 62 clB
v  C = coneB := ftb : t  0; b 2 Bg: V¼ 0 62 clB; dòng
mët ành lþ t¡ch trong gi£i t½ch lçi (xem Rockafellar
[11]), tçn t¤i y 2 Y  n f0g sao cho
r = inffhy; bi : b 2 Bg > hy; 0i = 0:
Kþ hi»u
C
(B) = f 2 C] : 9t > 0; h; bi  t (8 b 2 B)g:
X²t mët l¥n cªn lçi mð c¥n èi VB cõa gèc O trong Y;
trong â
VB = fy 2 Y : j hy; yi j < r
2
g:
Cho tr÷îc mët l¥n cªn lçi U cõa O vîi U  VB , ta câ
cone(U+B) l  nân lçi v  nhån thäa m¢n 0 62 cl(U+B)
v  sü bao h m C n f0g  intcone(U +B) óng.
2.2 Nghi»m húu hi»u Henig v  si¶u
húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng
vectì câ r ng buëc
X²t b i to¡n (CVEP): T¼m x 2 K sao cho
Fx(x) 62 intcone(U +B) 8x 2 S: (2.1)
Trong â, song h m F : A  A ! Y thäa m¢n
F (x0; x0) = 0 vîi måi x0 2 A: Vîi tªp ch§p nhªn
÷ñc S = fx 2 A : g(x) 2 Kg; g : A ! Z l  h m
r ng buëc cõa (CVEP). Méi x 2 X; °t
Fx(S) = F (x; S) =
[
x2S
F (x; x):
225(06): 548 - 552
 Email: jst@tnu.edu.vn 549
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTNĐinh Diệu Hằng và Đtg 
 Mët vectì x thäa m¢n i·u ki»n (2.1) ÷ñc gåi l 
nghi»m húu hi»u Henig cõa b i to¡n (CVEP).
 N¸u tçn t¤i  > 0 sao cho (2.1) óng vîi måi
x 2 S \ B(x; ) th¼ x ÷ñc gåi l  nghi»m húu hi»u
Henig àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP).
 N¸u vîi méi l¥n cªn V cõa 0, tçn t¤i mët l¥n cªn U
cõa 0 v   > 0 thäa m¢n
cone(Fx(S \B(x; )))) \ (U  C)  V;
th¼ x 2 S l  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i
to¡n (CVEP).
M»nh · 2.2.1 Cho B l  cì sð cõa nân C:
(i) N¸u x 2 S l  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa
b i to¡n (CVEP) th¼ nâ công l  nghi»m húu hi»u Henig
àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP).
(ii) N¸u B âng v  bà ch°n th¼ mët nghi»m húu hi»u
Henig àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP) công l  nghi»m
si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP). Ngo i
ra,
intC+ = C
(B):
Chùng minh. °t K1 := K \ B(x; ) v  ¡p döng k¸t
qu£ cõa Long et al. [5] ta nhªn ÷ñc k¸t luªn. 
Ti¸p theo chóng tæi nh­c l¤i kh¡i ni»m ¤o h m Stud-
niarski trong [8].
ành ngh¾a 2.2.1 ([8]) Cho m 2 N; m  1; x; v 2 X
v  ¡nh x¤ f : X ! Y: ¤o h m Studniarski c§p m cõa
f t¤i (x; v) ÷ñc kþ hi»u dmS f(x; v) v  ÷ñc ành ngh¾a
nh÷ sau:
dmS f(x; v) = lim
t!0+
u!v
f(x+ tu) f(x)
tm
;
n¸u giîi h¤n tçn t¤i. Trong tr÷íng hñp m = 1; ta vi¸t
dSf(x; v) thay cho d
1
Sf(x; v):
Kh¡i ni»m c¡c nân ti¸p li¶n sau l m cì sð cho vi»c thi¸t
lªp i·u ki»n c¦n húu hi»u cho nghi»m húu hi»u Henig
àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP).
ành ngh¾a 2.2.2 ([9]) Nân ti¸p li¶n cõa tªp A t¤i
x 2 cl A ÷ñc ành ngh¾a bði
TA(x) = fv 2 X : 9 tn > 0; 9xn 2 A; xn ! x
sao cho tn(xn  x)! vg:
ành ngh¾a 2.2.3 ([9]) Nân ti¸p li¶n ph¦n trong cõa
tªp A t¤i x 2 cl A ÷ñc ành ngh¾a bði
ITA(x) = fv 2 X : 9 tn ! 0+ sao cho8 vn ! v;
x+ tnvn 2 A; 8n õ lîng:
M»nh · 2.2.2 ([10]) Nân ti¸p li¶n cõa tªp A t¤i
x 2 cl A ÷ñc ph¡t biºu ð d¤ng t÷ìng ÷ìng sau
TA(x) =fv 2 X : 9xn 2 A n fxg; xn ! x
sao cho lim
n!+1
xn  x
kxn  xk =
v
kvkg [ f0g:
Ti¸p theo chóng tæi giîi thi»u nân ti¸p li¶n trung gian
sau:

TA(x) = fv 2 X : 9 tn ! 0+ sao cho
x+ tnv 2 A; 8n õ lîng:
D¹ d ng kiºm tra ÷ñc r¬ng
ITA(x) 

TA(x)  TA(x):
Cho T : X ! L(X;Y ) l  ¡nh x¤ gi¡ trà vectì, ð ¥y
L(X;Y ) khæng gian c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh bà ch°n tøX
v o Y: B i to¡n (CVEP) bao gçm b§t ¯ng thùc bi¸n
ph¥n vectì (CVVI) nh÷ tr÷íng hñp °c bi»t, ngh¾a l 
song h m F ÷ñc x¡c ành bði
F (x; y) = hTx; y  xi ; 8x; y 2 X:
ành ngh¾a 2.2.4N¸u F (x; y) = hTx; y  xi ; 8x; y 2
X; v  n¸u x 2 S l  mët nghi»m húu hi»u Henig àa
ph÷ìng hay mët nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa
b i to¡n (CVEP) th¼ x 2 S l  mët nghi»m húu hi»u
Henig àa ph÷ìng hay mët nghi»m si¶u húu hi»u àa
ph÷ìng cõa b i to¡n (CVVI) t÷ìng ùng.
3 K˜T QUƒ MÎI CÕA B€I BO
Chóng tæi thi¸t lªp i·u ki»n c¦n cho nghi»m Henig
àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP) theo ngæn ngú ¤o
h m Studniarski trong khæng gian Banach v  mët sè
¡p döng cõa chóng.
ành l½ 3.1 Cho x 2 S v  B l  cì sð cõa C: Gi£
sû c¡c ¤o h m Studniarski dSFx(x; v) v  dSg(x; v)
tçn t¤i theo måi ph÷ìng v 2 X: Khi â, n¸u x l 
mët nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng cõa b i to¡n
(CVEP) th¼ 8 v 2 TA(x) thäa m¢n dSg(x; v) 2 intK;
tçn t¤i (; ) 2 (Y  Z) sao cho
 2 C
(B);  2 K+; (3.1)
h; dSFx(x; v)i+ h; dSg(x; v)i  0: (3.2)
Chùng minh. Gi£ sû x 2 S l  mët nghi»m húu hi»u
Henig àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP). Khi â vîi
l¥n cªn lçi c¥n èi U cõa 0 vîi U  VB (xem Möc 2.1)
tçn t¤i mët sè thüc  > 0 thäa m¢n
coneFx(S) \ (intcone(U)) = ;; (3.3)
ð ¥y S := S \ B(x; )); U := U + B: X²t mët nân
lçi nhån v  âng D = cl cone(U): Ta câ D thäa m¢n
quan h» bao h m C n f0g  intD: Tø (3.3) v  ¯ng
thùc intcone(U) = int clcone(U); ta câ
cone(Fx(S \B(x; ))) \ (intD) = ;: (3.4)
Theo Bê · 2.1 ([5], tr. 720), ta câ
[cone(U +B)]+ n f0g  C
(B):
225(06): 548 - 552
 Email: jst@tnu.edu.vn550
Đinh Diệu Hằng và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN
º ho n th nh chùng minh ành l½, ta ch¿ ra r¬ng tçn
t¤i  2 [cone(U +B)]+ n f0g v   2 S+ thäa m¢n (3.2)
l  õ. º l m i·u n y tr÷îc ti¶n ta ph£i kiºm tra i·u
ki»n
dSFx(x; v) 62 intD (3.5)
8 v 2 TA(x) \ fu 2 X : dSg(x;u) 2 intKg:
Gi£ sû (3.5) khæng óng, khi â tçn t¤i mët ph÷ìng
v 2 TA(x) n f0g sao cho dSg(x; v) 2 intK v 
dSFx(x; v) 2 intD: Theo M»nh · 2.2.2, tçn t¤i mët
d¢y (xn)n1  A n fxg vîi xn ! x thäa m¢n
lim
n!+1
xn  x
kxn  xk =
v
kvk :
Chån c¡c d¢y tn =
kxnxk
kvk v  vn =
xnx
tn
: Khi â,
tn ! 0+; vn ! v v 
xn = x+ tnvn 2 A 8n  1: (3.6)
Theo ành ngh¾a ¤o h m Studniarski:
lim
n!+1
g(x+ tnvn) g(x)
tn
= dSg(x; v) 2 intK:
Lóc n y tçn t¤i N1 > 0 sao cho 8n  N1;
g(x+ tnvn) g(x) 2 intK; hay
g(x+ tnvn) 2 g(x) intK 8n  N1:
Khæng khâ º kiºm tra r¬ng
g(x+ tnvn) 2 K 8n  N1: (3.7)
K¸t hñp (3.6)-(3.7) ta k¸t luªn
x+ tnvn 2 S 8n  N1: (3.8)
Do x+ tnvn ! x 2 B(x; ); tçn t¤i N2 > 0 vîi
x+ tnvn 2 S \B(x; ) 8n  maxfN1; N2g:
°t N3 = maxfN1; N2g; ta thu ÷ñc k¸t qu£
x+ tnvn 2 S \B(x; ) 8n  N3: (3.9)
Ta câ
lim
n!+1
Fx(x+ tnvn) Fx(x)
tn
= dSFx(x; v) 2 intD;
n¶n tçn t¤i N4 > 0 sao cho 8n  N4;
Fx(x+ tnvn) Fx(x) 2 intD hay
Fx(x+ tnvn) 2 intD 8n  N4:
Chån N = maxfN3; N4g; v  tø (3.9) suy ra
x+ tnvn 2 S \B(x; ) 8n  N; (3.10)
Fx(x+ tnvn) 2 intD 8n  N: (3.11)
K¸t hñp (3.10)-(3.11) m¥u thu¨n vîi i·u ki»n (3.4).
Do â vîi måi v 2 TA(x) thäa m¢n dSg(x; v) 2 intK
ta câ
fdSFx(x; v)g \ (intD) = ;:
Suy ra
fdSFx(x; v); dSg(x; v)g \ (intD) (intK) = ;:
p döng ành l½ t¡ch m¤nh c¡c tªp lçi ríi nhau
fdSFx(x; v); dSg(x; v)g v  (intD)  (intK) (xem
Rockafellar [11]), tçn t¤i  2 Y  v   2 Z thäa m¢n
h; dSFx(x; v)i+ h; dSg(x; v)i > h;ci
+ h;di 8 c 2 intD; d 2 intK:
i·u n y d¨n ¸n b§t ¯ng thùc sau
h; dSFx(x; v)i+ h; dSg(x; v)i (3.12)
+ h; ci+ h; di  0 8 c 2 D; d 2 K:
Vªy h; dSFx(x; v)i + h; dSg(x; v)i  0; ngh¾a l  b§t
¯ng thùc (3.2) ÷ñc thäa m¢n. B¥y gií ta kiºm tra
(3.1). Thªt vªy, trong (3.12) ta chån t > 0 thäa m¢n
h; dSFx(x; v)i+ h; dSg(x; v)i (3.13)
+ h; tci+ h; tdi  0 8 c 2 D; d 2 K:
Chia c£ 2 v¸ (3.13) bði t > 0 ta ÷ñc
1
t
 h; dSFx(x; v)i+ h; dSg(x; v)i 
 (3.14)
+ h; ci+ h; di  0 8 c 2 D; d 2 K:
Cho t! +1 trong (3.14) ta thu ֖c
h; ci+ h; di  0 8 c 2 D; d 2 K:
¦u ti¶n chóng ta chån d = 0 2 K;  2 D+ n f0g =
[cone(U+B)]+ n f0g v  sau â chån c = 0;  2 K+:
Chó þ  6= 0 l  do gi£ thi¸t dSg(x; v) 2 intK suy ra
i·u ph£i chùng minh. 
Trong tr÷íng hñp nân C câ cì sð âng v  bà ch°n B,
ta câ
H» qu£ 3.2 Cho x 2 S v  B l  cì sð âng, bà ch°n
cõa C: Gi£ sû c¡c ¤o h m Studniarski dSFx(x; v) v 
dSg(x; v) tçn t¤i theo måi ph÷ìng v 2 X: Khi â, n¸u
x l  mët nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa (CVEP)
th¼ 8 v 2 TA(x) thäa m¢n dSg(x; v) 2 intK; tçn t¤i
(; ) 2 (Y  Z) sao cho
 2 intC+;  2 K+
h; dSFx(x; v)i+ h; dSg(x; v)i  0:
Chùng minh. p döng M»nh · 2.1 ta nhªn ÷ñc k¸t
qu£. 
Ti¸p theo chóng ta ¡p döng k¸t qu£ thu ÷ñc cho b i
to¡n (CVVI).
ành l½ 3.3 Cho x 2 S v  B l  cì sð cõa nân C:
Gi£ sû T : X ! L(X;Y ) l  ¡nh x¤ gi¡ trà vectì v 
dSg(x; v) tçn t¤i theo måi ph÷ìng v 2 X: N¸u x l 
nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng (t.ù. si¶u húu hi»u
àa ph÷ìng n¸u th¶m B âng v  bà ch°n) cõa (CVVI)
225(06): 548 - 552
 Email: jst@tnu.edu.vn 551
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTNĐinh Diệu Hằng và Đtg 
th¼ 8 v 2 TA(x) thäa m¢n dSg(x; v) 2 intK; tçn t¤i
(; ) 2 (Y  Z) sao cho
 2 C
(B) (t.ù.  2 intC+);  2 K+;
h; hTx; vii+ h; dSg(x; v)i  0:
Chùng minh. p döng ành l½ 3.1 v  H» qu£ 3.2 vîi
chó r¬ng dSFx(x; v) = hTx; vi ; ta nhªn ÷ñc k¸t qu£
c¦n chùng minh. 
Chó þ 3.4 Ph¡t biºu trong ành l½ 3.1, 3.3 v  H» qu£
3.2 v¨n cán óng n¸u ta thay nân ti¸p li¶n TA(x) bði
c¡c nân ti¸p li¶n ph¦n trong ITA(x) v 

TA(x) t֓ng
ùng.
4 K˜T LUŠN
B i b¡o ¢ x¥y düng ÷ñc i·u ki»n c¦n cho nghi»m
húu hi»u Henig v  si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i
to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc tªp v  b§t ¯ng thùc
têng qu¡t theo ngæn ngú ¤o h m Studniarski trong
khæng gian Banach. K¸t qu£ nhªn ÷ñc l  mîi v  ch÷a
÷ñc nghi¶n cùu tr÷îc ¥y v  th¶m núa, chóng ÷ñc
¡p döng cho b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì câ r ng
buëc.
T i li»u
[1] M. Bianchi, N. Hadjisavvas, and S. Schaible,
"Vector equilibrium problems with general-
ized monotone bifunctions", J. Optim.Theory
Appl., 92, pp.527-542, 1997.
[2] Y. Feng, and Q. Qiu, "Optimality conditions
for vector equilibrium problems with con-
straints in Banach spaces", Optim. Lett., 8,
pp.1931-1944, 2004.
[3] X. H. Gong , "Optimality conditions for vec-
tor equilibrium problems", J. Math. Anal.
Appl., 342, pp.1455-1466, 2008.
[4] X. H. Gong, "Scalarization and optimality
conditions for vector equilibrium problems",
Nonlinear Analysis, 73, pp.3598-3612, 2010.
[5] X. J. Long, Y. Q. Huang, and Z. Y. Peng,
"Optimality conditions for the Henig efficient
solution of vector equilibrium problems with
constraints", Optim. Letter, 5, pp.717-728,
2011.
[6] V. L. Do, and D. H. Dinh, "On efficiency
conditions for nonsmooth vector equilibrium
problems with equlibrium constraints", Nu-
mer. Funct. Anal. Optim., 36, pp.1622-1642,
2015.
[7] D. H. Dinh, and V. S. Tran, "On opti-
mality conditions for Henig efficient solution
and supperefficient solution of contrained vec-
tor equilibrium problems", TNU Journal of
Science and Technology, 181(5), pp.237-242,
2018.
[8] M. Studniaski, "Necessary and sufficient con-
ditions for isolated local minima of nonsmooth
functions", SIAM J. cont/optim., 24, pp.1044-
1049, 1986.
[9] V. L. Do, "Higher-order necessary and suffi-
cient conditions for strict local Pareto minima
in terms of Studniarski's derivatives", Opti-
mization, 57, pp.593-605, 2008.
[10] G. Giorgi, and A. Guerraggio, "On the no-
tion of tangent cone in mathematical pro-
gramming", Optim., 25, pp.11-23, 1992.
[11] R.T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton
University Press, Princeton, 1970.
5 Líi c£m ìn
B i b¡o n y l  s£n ph©m cõa · t i vîi m¢ sè T2019-07-01.
225(06): 548 - 552
 Email: jst@tnu.edu.vn552
Đinh Diệu Hằng và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN