Điều khiển trượt dừng nhanh với đạo hàm cấp phân số của tay máy đôi

CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2019 
Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 58 - 04/2019 49 
ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT DỪNG NHANH VỚI ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ 
CỦA TAY MÁY ĐÔI 
FRACTIONAL-ORDER TERMINAL SLIDING MODE CONTROL 
OF DUAL ARM MANIPULATORS 
LÊ ANH TUẤN 
Viện Cơ khí, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam 
Email liên hệ: tuanla.ck@vimaru.edu.vn 
Tóm tắt 
 Dựa trên mô hình động lực tay máy đôi tổng quát cho hệ 2n bậc tự do kể đến đàn nhớt phi 
tuyến ở các khớp, chúng tôi đề xuất một phiên bản nâng cao của điều khiển trượt sử dụng 
đạo hàm cấp phân số và ổn định dừng Lyapunov. Chất lượng và tính bền vững của bộ điều 
khiển được kiểm chứng bằng lý thuyết ổn định Mittag-Leffler và mô phỏng số. 
Từ khóa: Điều khiển trượt dừng nhanh, rô bốt tay đôi, ổn định Mittag-Leffler. 
Abstract 
On the basis of dynamic model of 2n DOFs dual arm robots considering nonlinear 
viscoelasticity at joints, we propose an advanced version of sliding mode control for dual arm 
robots using fractional derivative and terminal Lyapunov stability. The effectiveness and 
robustness of controller are investigated by utilizing Mittag-Leffler theory and numerical 
simulation. 
Keywords: Fast terminal sliding mode control, dual-arm robots, Mittag-Leffler stability. 
1. Mở đầu 
Tay máy đôi được ứng dụng rộng rãi trong công nghiệp chế tạo và lắp ráp, trong các dây 
chuyền sản xuất tự động. Nó có thể làm việc trong môi trường độc hại như nhà máy điện hạt nhân, 
các phòng thí nghiệm độc học để thay thế vai trò của con người. Là rô bốt phục vụ (servire robots), 
nó có thể ứng xử giống người, phục vụ con người trong đời sống thường nhật (daily anthropomorphic 
life). Đặc biệt, nó được sử dụng trong phẫu thuật y học, vi phẫu, và chăm sóc sức khỏe. 
Có nhiều công trình đã công bố về điều khiển tay máy đôi sử dụng các kỹ thuật khác nhau: từ 
cơ bản như hồi tiếp tuyến tính hóa [1], tựa thụ động [2], điều khiển trượt [3 & 4], cho đến các kỹ thuật 
hiện đại như logic mờ [4], mạng nơ ron [5]. Công trình này phát triển một phiên bản khác của điều 
khiển trượt. Chúng tôi kết hợp điều khiển trượt với giải tích phân số. Ở đó, cấu trúc điều khiển chứa 
đạo hàm cấp phân số của mặt trượt và tín hiệu phản hồi. Thuật toán điều khiển được thiết kế dựa 
trên mô hình toán tay máy đôi có kể đến đàn nhớt phi tuyến ở các khớp đặc trưng bởi số mũ cấp 
phân số và đạo hàm cấp phân số của chuyển vị quay. Khác với kỹ thuật trượt truyền thống, chúng 
tôi sử dụng một phiên bản nâng cao cho phép các đáp ứng hội tụ tiệm cận với thời gian hội tụ hữu 
hạn. Các kết quả mới nhất của giải tích phân số được sử dụng để phân tích ổn định hệ thống điều 
khiển như lý thuyết Mittag-Leffler, ổn định Lyapunov dừng. 
Bài báo này được cấu trúc thành năm mục. Mục 2 mô tả mô hình toán tay máy đôi dạng tổng 
quát 2n bậc tự do có kể đến đàn nhớt phi tuyến ở các khớp. Mục 3 xây dựng luật điều khiển để dẫn 
động và ổn định chuyển động tay máy dựa trên nền tảng trượt và đạo hàm cấp phân số. Phân tích 
và chứng minh ổn định của thuật toán điều khiển cũng được trình bày trong mục này. Để kiểm chứng 
chất lượng của hệ thống điều khiển, Mục 4 mô phỏng số các đáp ứng, áp dụng cho tay máy đôi 4 
bậc tự do, được lập trình và chạy trên môi trường MATLAB/Simulink. Phân tích chất lượng tín hiệu 
ra được thảo luận trong mục này. Cuối cùng, các kết luận và kiến nghị được trình bày trong Mục 5. 
2. Mô hình toán 
Sơ đồ tính tay máy đôi cho trên Hình 1, mỗi tay có n bậc tự do. Mỗi tay gồm r khâu và n khớp 
cầu. Mỗi khâu đặc trưng bởi khối lượng mi, mô men quán tính Ii, chiều dài li, và ki là khoảng cách từ 
trọng tâm của khâu đến khớp xoay tương ứng. Rô bốt mang vật khối lượng m di chuyển đến đích 
theo quỹ đạo yêu cầu. Như vậy, 2r khâu có 2n bậc tự do tương ứng với 2n tọa độ suy rộng 
  2
T n
iq q . Để quay khớp, 2n động cơ servo được trang bị ứng với tín hiệu vào là mô men 
quay ở mỗi khớp 
2
=
T n
Ti T . Phương trình vi phân mô tả chuyển động của rô bốt viết dưới 
dạng ma trận như sau: 
 , ,D D , ,Tt t+ + + = + + M q q C q q q B μ q q G q J q F q q q T D , (1) 
CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2019 
50 Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 58 - 04/2019 
với 2 2n n M q là ma trận khối lượng, T M q M q là ma trận xác định dương thỏa 
mãn 20T n  q M q q q . 2 2, n n C q q là ma trận Coriolis hướng kính. 2n G q là 
véc tơ trọng trường. 2 2n n J q là ma trận Jacobi. 2, , n F q q q là véc tơ các lực tương tác 
giữa vật thể và hai tay gắp. 
2n T là véc tơ mô men điều khiển ở các khớp. 2n D là véc tơ 
nhiễu ngoài. 2 2,D n nt B μ q là ma trận cản đàn nhớt chứa số mũ cấp phân số và đạo hàm cấp 
phân số, cụ thể:   2
T n
i μ , 0 1i là cấp số mũ, 0 1 là cấp đạo hàm, và 1 2i n 
. Mỗi thành phần cản có dạng 
i
i i
i i t i t iB b D q D q
  với 
d
d
i
i
i
i
t i
q
D q
t



 là đạo hàm cấp phân số i
của iq theo thời gian. Thành phần , , tD C q q B μ q là ma trận phản đối xứng thỏa mãn 
  22 , , 0T ntD  q M q C q q B μ q q q . 
Hình 1. Sơ đồ tính tay máy đôi 2n bậc tự do 
3. Thuật toán điều khiển 
Dựa trên bài toán động học ngược, ta xác định được góc quay yêu cầu d tq tại các khớp 
từ quỹ đạo chuyển động của tải m. Mục này đề xuất thuật toán điều khiển trượt dùng nhanh với đạo 
hàm cấp phân số (fractional-order fast terminal sliding mode control) để dẫn góc quay tq của các 
khâu tới góc quay mong muốn d tq . Tín hiệu ra tq được ổn định theo hai pha: Đầu tiên, nó 
hội tụ nhanh đến mặt trượt với thời gian hữu hạn bởi kỹ thuật trượt hội tụ nhanh (fast terminal SMC) 
[6]. Sau đó, tín hiệu ra bị đẩy đến vị trí yêu cầu trên mặt trượt theo nghĩa ổn định Mittag-Leffler [7]. 
Luật điều khiển được phát biểu thông qua định lý sau: 
Định lý 1: Cấu trúc điều khiển FO-FT-SMC: 
 
1 / sgn
, , , ,
q p
d t d
T
t t
D
D D
 
T M q q q q s s K s
J q F q q q D C q q q B μ q q G q
  
 (2) 
ổn định tiệm cận tín hiệu ra của mô hình động lực tay máy đôi (1) với thời gian hội tụ hữu hạn 
với mọi ma trận hệ số điều khiển xác định dương 1 2diag , , ,n  1 2diag , , n  λ , 
 1 2diag , , nK K K đồng thời q và p là những số lẽ dương thỏa mãn q p . Mặt trượt chứa 
đạo hàm cấp phân số, xác định bởi: 
 t d dD
 s q q q q , (3) 
CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2019 
Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 58 - 04/2019 51 
với 2 ,nt s s tD
 là đạo hàm cấp phân số 0,1 theo thời gian. 
Chứng minh: Ta chứng minh hệ mạch kín tạo bởi mô hình rô bốt (1) dẫn động bởi luật điều 
khiển (2) ổn định tiệm cận dừng theo nghĩa Mittag-Leffler. Chúng tôi sẽ sử dụng các bổ đề và hệ 
quả về giải tích phân số và ổn định Lyapunov nâng cao để chứng minh định lý trên: 
 Bổ đề 1 [8]: Nếu tồn tại hàm liên tục, khả vi, xác định dương V x với nt R x x là véc 
tơ trạng thái sao cho: 
 oV V V t t
   x x x (4) 
với mọi hằng 0 1 , 0, và 0 , thì V x hội tụ tiệm cận với thời gian hội tụ hữu hạn: 
 11
ln
1
o
s
V t
t
 
  
x
 (5) 
Ở đây, to là thời điểm đầu. 
Bổ đề 2 [9]: Gọi nt x là véc tơ của các hàm thực, liên tục, khả vi. Với mọi ot t , bất 
đẳng thức sau: 
1
2
T T
t tD t t t D t
  
x x x x (6) 
thỏa mãn với mọi cấp phân số 0,1 . 
Áp dụng bổ đề 2 cho hệ vi phân cấp phân số có dạng: 
 tD t f t
 x x (7) 
với hàm Lyapunov: 
1
2
TV t t t x x x , (8) 
ta được hệ quả sau: 
Hệ quả 1 [10]: Xét hệ vi phân phân số (7) với 0,1 và nt x là véc tơ trạng thái. 
Nếu điều kiện sau thỏa mãn: 
 0T t f t x x (9) 
thì gốc x 0 của hệ (7) ổn định. Và nếu: 
 0T t f t x x (10) 
thì hệ (7) ổn định tiệm cận quanh điểm cân bằng x 0 . 
Bây giờ, ta phân tích ổn định của mặt trượt (3) bằng khảo sát hàm Lyapunov: 
2
2
1
1 1
2 2
n
T
i
i
V s
 s s (11) 
có đạo hàm: 
2
1
n
T
i i
i
V s s
 s s . (12) 
Sử dụng tính chất sau của đạo hàm cấp phân số [11]: 
 22
2t t
dq t
D q t D
dt
, (13) 
ta được đạo hàm của mặt trượt (3) theo thời gian: 
 1t d dD
 s q q q q (14) 
Thay (14) vào (12) với lưu ý (1), ta được: 
CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2019 
52 Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 58 - 04/2019 
 1
, ,
, ,
T
T
t d d
t t
+ +
V D
D D
 
  
 
J q F q q q T D
s M q q q q
C q q q B μ q q G q
 (15) 
Thay luật điều khiển (2) vào đạo hàm Lyapunov (15) dẫn tới: 
 / sgnT T q p TV s s s s s K s  (16) 
suy ra: 
2 2 2
/ 12
1 1 1
2 2 2
/ 12
min min
1 1 1
/ 1 2
2
min min
1
/ 1
2
min min
2 2
2 2
n n n
q p
i i i i i i
i i i
n n n
q p
i i i i
i i i
q p n
i i
i
q p
V s s K s
s s K s
V V K s
V V
 
 
 
 
  
  
x x
x x
 (17) 
với min 1 2min , , .n   Áp dụng Bổ đề 1 cho min2  , min2  , và 
 2 / 1q p , ta kết luận rằng mặt trượt ổn định tiệm cận tới không với thời gian hội tụ nhanh, 
hữu hạn: 
 2min min
min min
2 21
ln
1 / 2
p q
p
o
s
V t
t
q p
 
 
x
 (18) 
Khi mặt trượt (3) đã hội tụ số mũ dừng (terminal exponential stability), tín hiệu ra cũng hội tụ 
tiệm cận. Thật vậy, phương trình (3) khi mặt trượt ổn định tiệm cận dẫn đến: 
 t d dD
 q q q q 0 (19) 
Hay: 
 tD t f t t
 e e e (20) 
Áp dụng Hệ quả 1 cho t t x e và nhận thấy rằng: 
 0
T T
t f t t t e e e e (21) 
với mọi 2ndt t t e q q , ma trận xác định dương 
2 2diag n ni
 β , và 
0i . Hệ quả 1 chỉ ra rằng sai số te ổn định theo nghĩa Mittag-Leffler có dạng hội tụ: 
 0t E t e e β , (22) 
Ở đây, E z là hàm Mittag-Leffler định nghĩa bởi: 
 0 1
k
k
z
E z
k
 
 (23) 
với 0 1 , z , và  là hàm gamma. Ổn định Mittag-Leffler đồng nghĩa với ổn định 
tiệm cận. Vậy, tq tiệm cận đến d tq khi t tiến đến vô cùng. 
4. Mô phỏng và kết quả 
Để kiểm chứng chất lượng của bộ điều khiển đề xuất, chúng tôi mô phỏng hệ động lực (1) 
cho trường hợp 4 bậc tự do [4] dẫn động bởi luật điều khiển (2). Chi tiết mô hình động lực rút gọn 
cho hệ 4 bậc tự do, các tham số hệ thống, và điều kiện đầu, độc giả xem thêm ở tài liệu [4]. Các 
CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2019 
Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 58 - 04/2019 53 
thông số về cản đàn nhớt phi tuyến ở các khớp gồm 110;ib 0, 4;i 0,65i ( 1 4i ). Các 
tham số của bộ điều khiển gồm: 
1 2 3 35; 4; 4; 3;    1 2 3 4 0,05;    
1 2 3 41; 3;K K K K 2;p 4;q 0,05. 
Hình 2. Quỹ đạo yêu cầu của tay gắp 
Hình 3. Quỹ đạo thực của tay gắp 
Chúng tôi mô phỏng cho bốn trường hợp thay đổi cấp đạo hàm gồm 1; 0,6; 0,75; 0,9; 
. Ngoài ra, tính bền vững của hệ thống cũng được kiểm chứng xét đến tính bất ổn của các tham số 
(parametric uncertainties) gồm m m với  0,5 1 1,5m và 
 1 4, 1 3
T
i jb b i j b b với  10 25 15
T
 b . Kết quả mô phòng thể hiện 
trên các hình 2-7. Quỹ đạo yêu cầu cho trên Hình 2, hai tay gắp sẽ mang vật từ vị trí ban đầu 
 0,76;0,6 và 0,76;0,6 đến đích 0,525;1,4 và 0,275;1,4 theo quỹ đạo là nửa vòng 
tròn tâm 0;1,4 bán kính 0,4 m. 
Quỹ đạo thực của hai tay gắp như Hình 3, nhìn chung nó bám quỹ đạo yêu cầu và tiến đến 
đích chính xác. Chuyển động quay của 4 khâu thể hiện trên các hình từ 4 đến 7 cho thấy nó bám 
góc quay yêu cầu và đảm bảo tính bền vững mặc cho có các yếu tố bất ổn về tham số hệ động lực. 
 Hình 4. Góc quay khâu 1 Hình 5. Góc quay khâu 2 
CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2019 
54 Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 58 - 04/2019 
 Hình 6. Góc quay khâu 3 Hình 7. Góc quay khâu 4 
5. Kết luận 
Công trình này đã thiết kế thành công một bộ điều khiển bền vững áp dụng cho rô bốt tay đôi 
dạng tổng quát 2n bậc tự do. Bộ điều khiển dựa trên nền tảng kỹ thuật trượt SMC kết hợp với ổn 
định dừng Lyapupnov, ổn định Mittag-Leffler, và đạo hàm cấp phân số. Bộ điều khiển được kiểm 
chứng thông qua mô phỏng với tay máy đôi 4 bậc tự do. Kết quả cho thấy bộ điều khiển làm việc 
tốt, ổn định tiệm cận tất cả các đáp ứng, bền vững với sự biến đổi rộng các tham số hệ động lực. 
Ghi nhận tài trợ: 
Công trình này là sản phẩm của đề tài nghiên cứu khoa học cấp Trường hỗ trợ bởi Trường 
Đại học Hàng hải Việt Nam, năm học 2018-2019. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] X. Yun, V. Kumar, An approach to simultaneous control of trajectory and interaction forces in 
dual-arm configurations, IEEE Transactions on Robotics and Automation 7 (5), pp. 618-625, 
1991. 
[2] J. G. Lau, M. Arteaga, L. Munoz, V. Parra-Vega, On the control of cooperative robots without 
velocity measurements, IEEE Transactions on Control Systems Technology 12 (4), pp. 600-
608, 2004. 
[3] N. Yagiz, Y. Hacioglu, Y. Z. Arslan, Load transportation by dual arm robot using sliding mode 
control, Journal of Mechanical Science and Technology 24 (5), pp. 1177-1184, 2010. 
[4] Y. Hacioglu, Y. Z. Arslan, N. Yagiz, MIMO fuzzy sliding mode controlled dual arm robot in load 
transportation, Journal of the Franklin Institute 348 (8), pp. 1886-1902, 2011. 
[5] W. Gueaieb, F. Karray, S. Al-Sharhan, A robust hybrid intelligent position/force control scheme 
for cooperative manipulators, IEEE/ASME Transactions on Mechatronics 12 (2), pp. 109-125, 
2007. 
[6] X. Yu, Z. Man, Fast terminal sliding mode control design for nonlinear dynamical systems, 
IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications 49 (2), 
pp.261-264, 2002. 
[7] Y. Li, Y. Q. Chen, I. Podlubny, Mittag-Leffler stability of fractional order nonlinear dynamic 
systems, Automatica 45 (8), pp. 1965-1969, 2009. 
[8] S. Yu, X. Yu, B. Shirinzadeh, Z. Man, Continuous finite time control for robotic manipulators 
with terminal sliding mode, Automatica 41 (11), pp. 1957-1964, 2005. 
[9] Y. Hong, Y. Xu, J. Huang, Finite-time control for robot manipulators, Systems & Control Letters 
46 (4), pp. 243-253, 2002. 
[10] N. A.-Camacho, M. A. D.-Mermoud, J. A. Gallegos, Lyapunov functions for fractional order 
systems, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 19 (9), pp. 
29512957, 2014. 
[11] M. Chen, S. Shao,P. Shi, Robust adaptive control for fractional-order systems with 
disturbance and saturation, ASME Press and John Wiley & Sons, 2017. 
Ngày nhận bài: 23/03/2019 
Ngày nhận bản sửa: 02/04/2019 
Ngày duyệt đăng: 03/04/2019