Điều khiển robot mềm trên cơ sở nội suy hàm dạng kết hợp bù kép

Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san FEE, 08 - 2018 219
ĐIỀU KHIỂN ROBOT MỀM 
TRÊN CƠ SỞ NỘI SUY HÀM DẠNG KẾT HỢP BÙ KÉP 
Phạm Thành Long*, Lê Thị Thu Thủy, Dương Quốc Khánh 
Tóm tắt: Robot mềm là một hướng nghiên cứu rất mới trong những năm gần đây 
[1], vì cơ cấu chấp hành của nó không đủ cứng để mang tải nên gây ra sai số vị trí 
điểm cuối do biến dạng đàn hồi [1, 2]. Tuy nhiên, vì khả năng công tác của robot có 
thể điểu chỉnh được bằng phần mềm nên việc bù lại những thiếu sót của phần cứng là 
có thể làm được [10]. Trong hầu hết các phương pháp đã có, việc phải xử lý lượng dữ 
liệu lớn là không tránh khỏi [3, 4, 5], điều này làm cản trở việc đẩy nhanh ứng dụng 
này vào thực tiễn. Trong bài báo này chúng tôi trình bày một phương pháp điều khiển 
sai số vị trí của robot mềm, đồng thời với việc rút ngắn thời gian chuẩn bị dữ liệu 
bằng cách sử dụng hàm dạng trong quá trình nội suy [8, 9]. Cách làm này có chi phí 
tính toán nhỏ hơn cách xây dựng dữ liệu trực tiếp, tuy nhiên cần khống chế được sai 
số phát sinh trong bước này. Kết quả của nghiên cứu là hết sức khả quan, sai số sau 
khi nội suy nhanh hơn nhưng sai số giảm từ 2,6 đến 13 lần so với không bù. Kỹ thuật 
này có thể ứng dụng thực tế cho các loại robot mềm khác nhau. 
Từ khóa: Robot mềm; Nội suy; Bù kép; Động học ngược; Sai số vị trí. 
1. MỞ ĐẦU 
Khi muốn nâng cao năng suất lao động, cách dễ nhất là nâng cao tốc độ tác động của 
các robot. Bên cạnh đó robot là thiết bị cơ điện tử nên chức năng của nó quyết định phần 
lớn bởi phần mềm, việc giảm bớt mật độ vật liệu và tăng tầm với làm giảm năng lượng 
tiêu hao, tăng tỉ số công suất/ khối lượng nhưng dẫn đến hệ quả làm robot biến dạng đàn 
hồi nhiều hơn. Các kỹ thuật chủ động nhằm ngăn ngừa các sai số này rất đa dạng, nhưng 
tựu chung đều thuộc các nhóm quan điểm chính gồm tìm ra ứng xử động lực học của cơ 
cấu để bù lực suy rộng [1, 2]. Nhóm các quan điểm bù sai số động học để từ đó điều chỉnh 
lực suy rộng cho phù hợp [3, 4], các bài toán này thường xây dựng trên cơ sở nghiên cứu 
ứng xử của các robot một khâu [4, 6], sau đó, mở rộng cho hệ tổng quát [5]. Các điều kiện 
biên về tính liên tục, về các chuyển vị cưỡng bức được vận dụng để tạo ra các cấu trúc 
toán có nghiệm duy nhất nhằm xác định lời giải luôn được quan tâm. Đặc điểm chung của 
các kỹ thuật này là chúng có quy trình phức tạp, chi phí tính toán cao [7], mất nhiều thời 
gian thực thi. 
Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng một kỹ thuật bù kép được phát triển độc lập với 
các kỹ thuật hiện có [10] để tính ra giá trị điều chỉnh biến khớp tại các vị trí được chỉ định. 
Sau đó căn cứ vào các giá trị này phát triển một thuật toán nội suy để tìm các giá trị khác 
trong vùng làm việc với chi phí nhỏ hơn. Khi hai kỹ thuật này đi cùng nhau, nó làm cho 
bài toán điều khiển robot mềm vẫn giữ được độ chính xác cần thiết trong khi giảm được 
thời gian tính toán. 
2. MÔ HÌNH NỘI SUY HÀM DẠNG 
Có thể thấy khi robot chuyển động liên tục giữa các tư thế, quá trình biến dạng gây nên 
sai số vị trí điểm cuối của nó là một quá trình liên tục. Chúng tôi giả thiết rằng các sai số 
vị trí và hướng của robot  = ( , , , , , )x y z x y zd d d    có tính liên tục và nội suy được bằng 
phương pháp hàm dạng. 
Giả sử trong không gian làm việc của robot đã khảo sát sai số vị trí điểm cuối ở một 
mạng gồm n điểm cực, với Ni là hệ số ảnh hưởng của sai số ở điểm cực thứ i tới điểm khảo 
Cơ học – Cơ khí động lực 
 P. T. Long, L. T. T. Thủy, D. Q. Khánh, “Điều khiển robot mềm  dạng kết hợp bù kép.” 220 
sát Pi thuộc không gian đó. Tiến hành lấy mẫu sai số tại một số vị trí cực để làm chuẩn quy 
chiếu, sau đó tìm ra hàm dạng để nội suy sai số tại các điểm khác. 
Hình 1. Trọng số ảnh hưởng sai số của các điểm quy chiếu tới điểm khảo sát. 
Gọi i và pi lần lượt làsai số đánh giá được tại điểm cựcthứ ivà tại điểm khảo sát 
pi
( )( , , , , , ) ii x y z x y zd d d    và 
( )( , , , , , ) pipi x y z x y zd d d    . Khi đó tích số 
( . )i iN  diễn tả giá trị sai số định lượng ảnh hưởng của nguồn tham chiếu Ni tới điểm pi 
đang xét. Nếu tham chiếu ảnh hưởng của tất cả n điểm cực đã khảo sáttới điểm pi, giả thiết 
sai số mắc phải tại pi được tính theo công thức: 
( ) ( ) ( )
1 1 2 2. . ... .
i i i
pi n nN N N    
(1) 
Trong đó Ni là giá trị dừng của hàm dạng nguồn thứ i,với 1i n  . 
Tức là có quan hệ sau tại điểm pi: 
1 1( , , )
( , , )
pi
n pi n
f x y z N
f x y z N

với 1i n  (2) 
Các hàm fi(x,y,z) ở vế trái của (2) được gọi chung là hàm dạng, Ni là giá trị dừng của 
hàm này tính cho các điểm khảo sát pi khác nhau. Nó có ý nghĩa như hệ số ảnh hưởng của 
một điểm quy chiếu nào đó đến giá trị sai số tại điểm khảo sát pi cụ thể mà Ni chỉ là giá trị 
dừng của hàm khi tính tại điểm pi. 
Theo hình 1, khảo sát một điểm pi nằm bên trong của trường n điểm cực biết trước sai 
số 1 2( , ,..., )n   kể cảsai số điểm khảo sát pi .Quan tâm đến các thành phần sai số của 
robot có thể mắc phải tại điểm khảo sát pi gồm 
( )( , , , , , ) ippi x y z x y zd d d    , sai số này 
có thể biểu diễn theo sai số của các điểm cực đã biết (3): 
(1) (2) ( )
1 2
(1) (2) ( )
1 2
. . ... .
. . ... .
pi n
x x x n x
pi n
z z z n z
d N d N d N d
N N N   

(3) 
Từ đây, xác định được giá trị dừng của hàm dạng đối với điểm pi: 
1(1) ( )
1
(1) ( )
.
pin
xx x
n pi
n z z zpi
dN d d
N   

    

(4) 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san FEE, 08 - 2018 221
Một bộ giá trị dừng duy nhất theo (4) không đủ để xác định được hàm dạng tổng quát, 
cần tiếp tục khảo các điểm khác nữa, chẳng hạn khảo sát các điểm từ 1 mp p để có được: 
1 1 1
1 2
; ;...;
n n np p pm
N N N
N N N
  
(5) 
Như vậy luật hồi quy cho phép xác định được hàm dạng tổng quát ở nguồn thứ i như sau: 
( ) ( ) ( )
1 2( , ,..., ) ( , , )
i i i
p p pm iN N N f x y z 
(6) 
Việc ứng dụng hàm dạng này cho quá trình thuận, tức là suy ra các biến dạng ở mục 
(3), các biến dạng này thay vì tính FEM sẽ đẩy tốc độ tính toán lên thay vì tính (3) qua các 
quan hệ cơ học. 
3. TÍNH TOÁN MINH HỌA TRÊN ROBOT BA KHÂU PHẲNG 
3.1. Xây dựng dữ liệu bù kép cho các điểm cực 
Xét một robot ba khâu phẳng như hình 2, chiều dài khâu: a1 = 250,a2=250, a3=165 mm 
tay máy mang một tải trọng thường trực p=1000(N) ở tâm bàn tay, luôn hướng theo 
phương trọng lực. 
Mô hình FEM trên Catia Mô tả cơ tính vật liệu 
Hình 2. Kết cấu và vật liệu chế tạo. 
Xét một mạng gồm 6 điểm cực trong mặt phẳng làm việc của tay máy có tương quan 
với nó như mô tả trên hình 3. 
Hình 3. Tọa độ các điểm cực dùng làm chuẩn quy chiếu khi nội suy. 
Sử dụng phần mềm Catia để xác định dữ liệu bù kép và sai số khi điều khiển robot đến 
đúng 6 điểm cực từ p1 đến p6. Kết quả của việc tính toán điểm bù tinh thể hiện trong bảng 
1 dưới đây: 
Cơ học – Cơ khí động lực 
 P. T. Long, L. T. T. Thủy, D. Q. Khánh, “Điều khiển robot mềm  dạng kết hợp bù kép.” 222 
Bảng 1. Vị trí khi có biến dạng của 13 điểm đánh dấu 
trên hình 3 (theo Catia), lực đặt 1000(N). 
Vị trí mong muốn Vị trí khi không bù Vị trí sau khi bù thô Vị trí sau khi bù tinh 
Điểm x(mm) y(mm) x(mm) y(mm) x(mm) y(mm) x(mm) y(mm) 
p1 529.59330 282.10280 529.83416 282.01378 529.59318 282.10266 529.59327 282.10284 
p2 379.59330 282.10280 379.66451 281.27562 379.59518 282.10165 379.59331 282.10290 
p3 304.59330 152.19900 304.45956 151.72419 304.59378 152.19844 304.59336 152.19888 
p4 379.59330 22.29520 379.32029 21.81854 379.59330 22.29394 379.59330 22.29520 
p5 529.59330 22.29520 529.26068 21.37315 529.59287 22.29028 529.59333 22.29526 
p6 604.59330 152.19900 604.58838 150.84940 604.59684 152.19803 604.59331 152.19907 
p7 454.59330 152.23034 454.48289 151.20534 454.59555 152.23149 454.59329 152.23039 
p8 492.07300 217.13137 492.14745 215.98845 492.07586 217.13095 492.072982 217.13141 
p9 417.10450 217.14700 417.12453 216.13581 417.10691 217.14549 417.104469 217.1471 
p10 379.59330 152.19900 379.45133 151.33733 379.59621 152.20093 379.59337 152.19919 
p11 417.07750 87.26550 416.82165 86.41739 417.07892 87.26365 417.07753 87.26542 
p12 492.10001 87.28228 491.85328 86.28828 492.10199 87.28046 492.1 87.28229 
p13 529.55721 152.19896 529.47967 151.03608 529.56004 152.19795 529.557222 152.19895 
Các vị trí trong bảng 1 là các vị trí khi tay robot đã biến dạng dưới tác dụng ngoại lực, 
tuy nhiên khi chưa biến dạng, nó được điều khiển đến một vị trí hoàn toàn khác. Các vị trí 
trước khi biến dạng này xác định theo [10]. Đây mới là dữ liệu để đưa vào tính toán biến 
khớp điều khiển tay máy (bảng 2). 
Bảng 2. Các vị trí khác nhau của 13 điểm đánh dấu trên hình 2. 
 Vị trí mong muốn Điểm thay thế bù thô Điểm thay thế bù tinh Sai lệch 
Điểm x(mm) y(mm) x1(mm) y1(mm) x3(mm) y3(mm) dx=x3-x dy=y3-y 
p1 529.59330 282.10280 529.35244 282.19182 529.35256 282.19196 -0.24074 0.08916 
p2 379.59330 282.10280 379.52209 282.92998 379.52021 282.93113 -0.07309 0.82833 
p3 304.59330 152.19900 304.72704 152.67381 304.72656 152.67437 0.13326 0.47537 
p4 379.59330 22.29520 379.86631 22.77186 379.86631 22.77312 0.27301 0.47792 
p5 529.59330 22.29520 529.92592 23.21725 529.92635 23.22217 0.33305 0.92697 
p6 604.59330 152.19900 604.59822 153.54860 604.59468 153.54957 0.00138 1.35057 
p7 454.59330 152.23034 454.70371 153.25534 454.70146 153.25419 0.10816 1.02385 
p8 492.07300 217.13137 491.99855 218.27429 491.995690 218.27471 -0.07731 1.14334 
p9 417.10450 217.14700 417.08447 218.15819 417.08206 218.1597 -0.02244 1.01270 
p10 379.59330 152.19900 379.73527 153.06067 379.73236 153.05874 0.13906 0.85974 
p11 417.07750 87.26550 417.33335 88.11361 417.33193 88.11546 0.25443 0.84996 
p12 492.10001 87.28228 492.34674 88.27628 492.34476 88.2781 0.24475 0.99582 
p13 529.55721 152.19896 529.63475 153.36184 529.631919 153.36285 0.07471 1.16389 
Nhận thấy giữa cột“điểm thay thế bù tinh” và cột “vị trí mong muốn” trong bảng 2 có 
mối quan hệ với nhau thông qua cột “sai lệch” biến dạng của tay máy tại từng điểm khảo 
sát. Tuy nhiên do thuật toán xác định điểm thay thế khá phức tạp nên quan hệ giữa hai đại 
lượng này không trực tiếp là sai số biến dạng. Bỏ qua quan hệ phức tạp này, gọi lượng 
chênh lệch giữa hai vị trí này là dx và dy: 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san FEE, 08 - 2018 223
3
3
x dx x
y dy y
(7) 
Với mục tiêu là làm sao nhanh chóng có các điểm (x3,y3) để tìm ra biến khớp tương 
ứng điều khiển tay robot. Dưới đây trình bày quá trình xác định hàm dạng theo dữ liệu của 
bảng 2. 
3.2. Tìm hàm dạng và xây dựng dữ liệu nội suy 
Ngoài các điểm cực p2và p5, tại 11 điểm khảo sát còn lại viết được hai phương trình 
dạng như sau (ví dụ viết tại p1, dữ liệu từ bảng 2): 
2 5
2 5
0.24074 0.073092* 0.33305*
0.08916 0.82833* 0.92697*
N N
N N
(8) 
( 1
2
)
1)
5
( 0.735832
0.5613469p
p
N
N 
(9) 
Lặp lại cho các điểm khác và thể hiện kết quả trong bảng 3: 
Bảng 3. Giá trị dừng của hàm dạng cực p2 và p5 tại các điểm khảo sát. 
Điểm x(mm) y(mm) N2 N5 
p1 529.5933 282.1028 0.735832 -0.5613469 
p3 304.5933 152.199 0.1012553 0.4223406 
p4 379.5933 22.2952 -0.2732604 0.7597545 
p6 604.5933 152.199 1.3052643 0.2906026 
p7 454.5933 152.2303 0.7005571 0.4785025 
p8 492.073 217.1314 1.3166872 0.0568387 
p9 417.1045 217.147 1.0420533 0.1613165 
p10 379.5933 152.199 0.4581451 0.51808 
p11 417.0775 87.2666 0.137446 0.7941022 
p12 492.1 87.2823 0.3049288 0.8017931 
p13 529.5572 152.199 0.926519 0.4276582 
Hồi quy để tìm hàm dạng của N2 = f(x,y) và N5 = f(x,y), bổ sung các tích chập xy vào 
bảng như tham số độc lập trước khi hồi quy. 
N2 = -4,13 + 0,00931 x + 0,02210 y - 0,000040 x*y 
 N5 = -0,807 + 0,004400 x + 0,00946 y - 0,000032 x*y (10) 
3.3. Kiểm tra độ chính xác dữ liệu nội suy theo hai cực 
Trong bước này, sai số nội suy được sẽ đem đối chứng tại các điểm kiểm chứng ngẫu 
nhiên bằng phần mềm FEM tích hợp trên Catia. Bảy điểm ngẫu nhiên trong không gian 
làm việc P14-P20 được dùng để kiểm chứng, sai số nội suy tính được như trong bảng 4: 
Bảng 4. Dữ liệu bù tinh nội suy trực tiếp không qua bù kép. 
Pi x y N2 N5 dx dy x3 y3 
P14 400 100 0.204 0.619 0.191247 0.742774 400.1912 100.7428 
P15 420 120 0.4162 0.5634 0.157219 0.867006 420.1572 120.867 
P16 450 110 0.5105 0.6296 0.172375 1.006483 450.1724 111.0065 
Cơ học – Cơ khí động lực 
 P. T. Long, L. T. T. Thủy, D. Q. Khánh, “Điều khiển robot mềm  dạng kết hợp bù kép.” 224 
P17 470 150 0.7407 0.424 0.087074 1.006579 470.0871 151.0066 
P18 520 220 0.9972 -0.0986 -0.10573 0.734611 519.8943 220.7346 
P19 540 200 0.9974 0.005 -0.07124 0.830811 539.9288 200.8308 
P20 410 230 0.9981 0.1552 -0.02126 0.970622 409.9787 230.9706 
Sử dụng phần mềm Catia đưa robot vào vị trí (x3, y3) như trong bảng để tính toán vị trí 
thực nhằm so sánh vị trí sau biến dạng với (x, y) là vị trí mong muốn. Sử dụng các biến 
khớp như bảng 5 dưới đây để thiết lập cấu hình phục vụ kiểm tra. 
Bảng 5. Biến khớp tại vị trí kiểm tra. 
Pi x3 y3 q1(deg) q2(deg) q3(deg) 
P14 400.1912 100.7428 -42.5402 59.08108 80.25424 
P15 420.1572 120.867 -37.7476 55.10083 77.27632 
P16 450.1724 111.0065 -37.6396 52.46221 72.16085 
P17 470.0871 151.0066 -31.3507 50.52843 64.95025 
P18 519.8943 220.7346 -16.8466 40.40495 51.53175 
P19 539.9288 200.8308 -17.8009 38.73339 49.06955 
P20 409.9787 230.9706 -21.1419 51.17037 71.40266 
Kết quả của việc sử dụng dữ liệu bù nội suy cho thấy như trong bảng sau: 
Vị trí nội suy vị trí sau đặt lực1 Chuyển vị 1 
Vị trí 
mong muốn 
sai lệch kc đã bù kc chưa bù giảm (lần) 
400.19120 100.74280 399.95061 100.02514 -0.24059 -0.71766 400 100 0.04939 -0.02514 0.05542014 0.7569144 13.65775 
420.15720 120.86700 419.94523 120.06122 -0.21197 -0.80578 420 120 0.05477 -0.06122 0.08214403 0.8331943 10.14309 
450.17240 111.00650 449.94911 110.14137 -0.22329 -0.86513 450 110 0.05089 -0.14137 0.15025069 0.893481 5.94660 
470.08710 151.00660 469.94491 150.02767 -0.14219 -0.97893 470 150 0.05509 -0.02767 0.0616485 0.9892027 16.0458 
519.89430 220.73460 519.95980 219.56110 0.06550 -1.17350 520 220 0.04020 0.43890 0.44073762 1.1753263 2.66672 
539.92880 200.83080 539.96534 199.62750 0.03654 -1.20330 540 200 0.03466 0.37250 0.37410866 1.2038548 3.21792 
409.97870 230.97060 409.97103 230.06183 -0.00767 -0.90877 410 230 0.02897 -0.06183 0.06828038 0.9088024 13.30986 
Rõ ràng với hiệu quả cải thiện độ chính xác khi quy chiếu theo hai cực trong khoảng từ 
2.6 – 13.6 lần so với không bù, việc bù qua dữ liệu nội suy đã cải thiện độ chính xác điều 
khiển robot mềm đáng kể. 
4. KẾT LUẬN 
Bù kép là quá trình đã được chứng minh đơn điệu giảm và bị chặn dưới [10], nói cách 
khác nó luôn hội tụ. Với ứng dụng kỹ thuật như robot, độ chính xác đã đảm bảo chỉ sau hai 
lần bù như chúng tôi cho thấy ở trên. Tuy nhiên, việc làm này đẩy khối lượng tính toán lên 
rất lớn, việc tính toán cần dựa trên các đặc điểm cơ học và hình học của robot. Để việc bù 
có ý nghĩa thực tiễn hơn, kỹ thuật nội suy hàm dạng mà chúng tôi đề xuất ở đây lại có khả 
năng giảm khối lượng tính toán đi rất nhiều, nó không căn cứ nhiều vào các quan hệ cơ 
học mà chủ yếu dựa vào hàm dạng xác định được. Qua ví dụ trình bày trong bài báo cũng 
cho thấy việc kết hợp giữa kỹ thuật bù kép với kỹ thuật nội suy hàm dạng là phù hợp, độ 
chính xác điều khiển được nâng lên, trong khi khối lượng tính toán sơ cấp được duy trì 
không quá lớn. Qua đó, nhận thấy phương pháp mà chúng tôi đề xuất có khả năng ứng 
dụng thực tế trên các robot mềm hiện đang rất phổ biến. 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san FEE, 08 - 2018 225
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. A. Avello, J. Garcia de Jaln and E. Bayo, “Dynamics of flexible multibody system 
with cartesian coordinates and large deformation theory”, Internat. J. Numer. 
Methods Engrg. 32 (1991) 1543-1563. 
[2]. E. Bayo, “A finite element approach to control the end-point motion of a 
single-link flexible robot”, J. Robotic Systems 4 (1) (1987) 63-75. 
[3]. E. Bayo and H. Moulin, “An efficient computation of the inverse dynamics of 
flexible manipulators in the time domain”, 1989 IEEE Conf. on Robotics and 
Automation (1989) 710-715. 
[4]. E. Bayo, R. Movaghar and M. Medus, “Inverse dynamics of a single-link flexible 
robot: Analytical and experimental results”, Internat. J. Robotics and Automation 2 
(3) (1988) 150-157. 
[5]. E. Bayo, P. Papadopoulus, J. Stubbe and M.A. Serna, “Inverse dynamics and 
kinematics of a multi-link elastic robots: An iterative frequency domain 
approach”, Internat. J. Robotics Research 8 (6) (1989) 49-62. 
[6]. R.H. Cannon Jr. and E. Schmitz, “Initial experiments on the end-point control of a 
flexible one-link robot”, Internat. J. Robotics Research 3(3) (1984) 62-75. 
[7]. W.J. Book, Modeling, “Design and control of flexible manipulators arms: Status 
and trends”, NASA Conf. on Space Telerobotics, Vol. 3 (1989) I 1-24. 
[8]. J. B. Gao and T. M. Shih, “Interpolation methods for the construction of the shape 
function space of nonconforming finite elements. Comput. Methods” Appl. Mech. 
Eng., vol. 122, no. 1–2, pp. 93–103, 1995. 
[9]. C. R. Dohrmann and M. M. Rashid.: “Polynomial approximation of shape function 
gradients from element geometries”. Int. J. Numer. Methods Eng., vol. 53, no. 4, pp. 
945–958, 2002. 
[10]. Phạm Thành Long, Vũ Đức Bình, “Về một quan điểm điều khiển động lực học robot 
mềm”, Tạp chí khoa học công nghệ quân sự, ISSN 1859 – 1043. p 84-91, 7/2016. 
ABSTRACT 
CONTROLLING FLEXIBLE ROBOT BASED ON SHAPE FUNCTION 
INTERPOLATION COMBINED DOUBLE COMPENSATION 
 Flexible robots recently have been a new research field [1], the fact that their 
actuators are not rigid enough to carry loads causes error in endpoints due to elastic 
deformation [1, 2].However, robot can be controlled by software, their shortcomings 
is negligible [10]. Since large amounts of data is handled in most of the available 
methods [3, 4, 5], this application is hard to be practicalized. This paper presents a 
method for controlling error position of a flexible robot, simultaneously reducing the 
time required for data preparation using the interpolation function [8, 9]. This 
method is less costly than direct data construction, but the errors arising in this step 
need to be controlled. The results are very positive, the error after the interpolation 
faster and decreased from 2.6 to 13 times compared with no compensation. This 
technique can be applied to different types of flexible robots. 
Keywords: Flexible robot; Interpolation; Error position; Inverse kinematic problem; Double compensation. 
 Nhận bài ngày 01 tháng 7 năm 2018 
Hoàn thiện ngày 10 tháng 9 năm 2018 
Chấp nhận đăng ngày 20 tháng 9 năm 2018 
Địa chỉ: 1 Khoa Điện tử, trường Đại học Kỹ thuật công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. 
 * Email: kalongkc@gmail.com.