Dạy học khám phá khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ với sựu giúp của phần mềm dạy học Maple

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 12 (37) - Thaùng 2/2016 
101 
Dạy học khám phá khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức 
hữu tỉ với sự trợ giúp của phần mềm dạy học Maple 
To sketch graphs of rational fractional functions with the help of software in 
teaching mathematics Maple according to teaching and learning discovery 
TS. Phan Anh Tài, 
Trường Đại học Sài Gòn 
ThS. Nguyễn Ngọc Giang, 
Thành phố Hồ Chí Minh 
Ph.D. Phan Anh Tai, 
Sai Gon University 
M.S. Nguyen Ngoc Giang, 
Ho Chi Minh City 
Tóm tắt 
Bài viết đưa ra một số quan điểm về dạy học khám phá cũng như quy trình dạy học khám phá giải toán 
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với sự trợ giúp của Maple. 
Từ khóa: phần mềm dạy học Maple, dạy học khám phá, hàm phân thức hữu tỉ. 
Abstract 
The article gives some points of view on the method of teaching and learning discovery as well as the 
process of sketching graphs of rational fractional functions with the help of Maple according to 
discovery learning. 
Keywords: software in teaching mathematics Maple, teaching and learning discovery, rational 
fractional function 
1. Đặt vấn đề 
Dạy học khám phá là phương pháp 
dạy học lấy học sinh làm trung tâm. Thông 
qua dạy học khám phá, người học không 
chỉ lĩnh hội được các kiến thức mà còn xây 
dựng được hướng đi riêng cho mình. Dạy 
học khám phá là phương pháp dạy học hỗ 
trợ việc phát triển năng lực nhận thức riêng 
của người học. Với phương tiện dạy học là 
bảng đen phấn trắng thì học sinh rất hạn 
chế trong việc dự đoán kiến thức, tính toán 
những phép tính phức tạp, kiểm chứng bài 
toán,  Việc sử dụng phần mềm dạy học 
với các chức năng phương tiện khắc phục 
được các nhược điểm này. Trong bài viết, 
chúng tôi sẽ đề cập đến những điều vừa nói 
qua việc dạy học khám phá khảo sát và vẽ 
đồ thị hàm phân thức hữu tỉ với sự trợ giúp 
của phần mềm Maple. 
2. Nội dung 
2.1. Dạy học khám phá 
Theo Bùi Văn Nghị [1, tr.159]: “Khám 
102 
phá là quá trình hoạt động và tư duy, có thể 
bao gồm quan sát, phân tích, nhận định, 
đánh giá, nêu giả thiết, suy luận,  nhằm 
đưa ra những khái niệm, phát hiện ra những 
tính chất, quy luật, .. trong các sự vật, hiện 
tượng và các mối liên hệ giữa chúng.” 
Thực hiện đổi mới phương pháp dạy 
học theo định hướng hoạt động hóa người 
học. Hoạt động dạy học, trong đó người 
dạy tổ chức và người học tiến hành hoạt 
động học tập tự giác, tích cực, chủ động và 
sáng tạo. Phương pháp dạy học khám phá 
[1, tr.160], “trong đó dưới sự hướng dẫn 
của giáo viên, thông qua các hoạt động, 
học sinh khám phá ra một tri thức nào đấy 
trong chương trình môn học”, đáp ứng 
được đòi hỏi của việc đổi mới phương 
pháp dạy học. 
Trong phân loại dạy học khám phá, 
người ta đã thống nhất là có ba loại khám phá: 
1. Khám phá dẫn dắt: Vấn đề và đáp án 
do giáo viên đưa ra, học sinh tìm cách lí giải. 
2. Khám phá hỗ trợ: Vấn đề do giáo 
viên đưa ra và học sinh tìm đáp án trả lời. 
3. Khám phá tự do: Vấn đề và đáp án 
do học sinh tự khám phá. 
2.2. Giới thiệu về phần mềm Maple 
Phần mềm tính toán hình thức Maple là 
phần mềm do Đại học Waterloo (Canada) 
cho ra đời vào năm 1980. Kể từ thời điểm 
này, nhiều trường Đại học trên thế giới đã 
thay đổi hẳn cách dạy học toán. Song song 
với cách giải toán truyền thống là cách giải 
bằng Maple. Với hơn 2500 hàm thì phần 
mềm Maple giúp cho việc giải toán trở nên 
dễ dàng và nhanh hơn nhiều so với cách giải 
toán truyền thống. Ưu điểm của dạy học 
giải toán nhờ sự trợ giúp của Maple là tính 
chính xác cao, xử lí tốt các bài toán với tính 
toán phức tạp,  
Maple có các khái niệm cơ bản sau: 
1. Lệnh 
Giao diện trực tiếp giữa người và máy 
thông qua việc gõ các lệnh sau dấu [>. 
2. Lệnh gán 
Việc gán tên một hằng, một biến, một 
biểu thức được thông qua lệnh gán (:=). 
Khi đó hằng, biến, biểu thức vế trái được 
gán tên ở vế phải. 
Tên trong Maple được bắt đầu bằng 
một chữ cái, độ dài tối đa 496 kí tự và 
không có khoảng trống. 
Có thể đặt các tên như sau: a, a1, a2, 
A1 (khác với a1), ab, abc, xy, xyz, , 
nghiem, Nghiem_cua_da_thuc, 
3. Hàm 
Có nhiều cách xây dựng hàm. Khi sử 
dụng kí hiệu ánh xạ, việc gán giá trị cho 
hàm và việc thiết lập hàm hợp dễ hơn. 
4. Gói thủ tục 
Đối với một số lĩnh vực đặc thù, 
Maple tạo nên các gói thủ tục (package). 
Đó là một tập hợp các hàm (chương trình 
viết sẵn) dành riêng cho lĩnh vực đó. Khi 
sử dụng đến lĩnh vực nào, cần nạp gói thủ 
tục cho phần ấy bằng lệnh With(Tên gói 
thủ tục). 
2.3. Quy trình dạy học khám phá 
giải toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm 
phân thức hữu tỉ với sự trợ giúp của Maple 
Bước 1 (Giải toán bằng Maple). Giáo 
viên giải toán bằng Maple (thao tác trên 
máy tính với sự trợ giúp của phần mềm dạy 
học Maple), cho học sinh quan sát các kết 
quả trên Maple. Cho học sinh nhận xét. 
Bước 2 (Giải toán bằng phương pháp 
toán học). Từ nhận xét ở bước 1, học sinh 
giải toán bằng phương pháp toán học 
Bước 3 (So sánh các kết quả giải bằng 
Maple và kết quả giải bằng phương pháp 
toán học). So sánh kết quả cách giải toán 
bằng phương pháp toán học và cách giải 
với sự trợ giúp của phần mềm dạy học 
Maple để thấy sự chính xác của việc giải 
103 
bài toán. 
Như vậy với sự trợ giúp của phần 
mềm dạy học Maple, học sinh phát hiện 
cách giải bài toán khá dễ dàng và kết quả 
chính xác. 
2.4. Ví dụ minh họa 
Ví dụ 1 
Cho hàm số 
y = 
2(2m 1)x m
x 1
 (1) (m là tham số) 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 
của hàm số (1) ứng với m = –1. 
(Đề thi Đại học - Cao đẳng Khối D 
năm 2002) 
Bước 1. Giải toán bằng Maple 
> restart; 
with(student): 
Y:=(-3*x-1)/(x-1):#Nhập vào biểu 
thức f(x) sau dấu = 
# Nhập vào các miền giới hân của Ox và 
Oy (x từ m .. n, y từ p..q) 
m:=-5:n:=7:p:=-8:q:=4 : 
#.. NAP XONG ENTER DE CHAY 
CHUONG TRINH. 
print(`----------------------------------`); 
print(`--------BAI GIAI-------------`); 
y=Y;print( t`ap xac dinh : )`; 
Y:=simplify(Y):a:=solve(denom(Y)=0,
x): 
if (type(denom(Y),realcons) =true) or 
(coeff(denom(Y),x^2) 0 and 
type(a[1],realcons) =false) then D = R; fi; 
if coeff(denom(Y),x^2)=0 and coeff 
(denom (Y),x) 0 then 
D={xa};fi; 
if coeff(denom(Y),x^2)0 and type 
(a[1],realcons)=true then D={xa};fi; 
print(`Dao ham cua ham so:`); 
dy/dx=factor(simplify(diff(Y,x))); 
print(`Giai phuong trinh y' = 0 ta duoc 
nghiem:`); 
z:=solve(diff(Y,x)=0,x):solve(diff(Y,x
)=0,{x}); 
print(` Ham so dong bien tren mien )`; 
solve(diff(Y,x)>0); 
print(`Ham so nghich bien tren mien:`); 
solve(diff(Y,x)<0); 
print(`Gia tri cuc dai, cuc tieu cua ham 
so:`); 
Ymax_min:=extrema(Y,{},x); 
print(`Dao ham cap hai`); z:=simplify 
(diff(Y,x$2)); 
print(`Toa do diem uon neu co:`); 
solve({z=0,Y=y},{x,y}); 
u:=limit(Y/x,x=infinity):v:=limit(Y-
u*x,x=infinity): 
print(`Tiem can hai nhanh vo tan:`); 
if u = infinity or u = -infinity then 
Limit (f(x), x=infinity)=limit(Y,x=infinity); 
Limit(f(x),x=-infinity) =limit(Y,x=-
infinity) else x=a; y=u*x+v; fi; 
print(`Cac giao diem do thi voi Ox, Oy:`); 
intercept(y=Y, y=0, {x, y});intercept 
(y=Y,x=0,{x,y}); 
104 
>plot({Y,u*x+v}, x=m..n,p..q,color=red); 
Bước 2. Giải toán bằng phương pháp 
toán học 
Khi m = –1, ta có : 
 y =
3x 1 4
3
x 1 x 1
- Tập xác định: R\{1} 
- Chiều biến thiên: 
y’ = 
2
4
0
(x 1)
x 1 
 hàm số không có cực trị. 
- Tiệm cận : 
x = 1 là tiệm cận đứng vì 
x 1
lim y
 ; 
x 1
lim
 . 
y = –3 là tiệm cận ngang vì 
x
lim y 3
- Bảng biến thiên: 
- Giao với các trục: x = 0 y = 1; y = 0 
 x = –
1
3
- Đồ thị: 
Bước 3. So sánh các cách giải bằng 
Maple và giải bằng phương pháp toán học 
cho ta kết quả giống nhau. 
Ví dụ 2 
Cho hàm số: 
y = 
2
mx x m
x 1
 (1) (m là tham số) 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 
hàm số (1) khi m = –1. 
(Đề thi Đại học – Cao đẳng Khối A 
năm 2003) 
Khác với phương pháp toán học, 
phương pháp giải bằng Maple chỉ cần thay 
đổi hàm số y ở ví dụ 2 cho ví dụ 1 là có ngay 
kết quả. Đây là lợi thế rất lớn của Maple so 
với phương pháp toán học thông thường. 
x 
– 1 + 
y’ + + 
y 
 + –3 
–3 – 
105 
Bước 1. Giải toán bằng Maple 
> restart; 
with(student): 
Y:=(-x^2+x-1)/(x-1):#Nhập vào biểu 
thức f(x) sau dấu = 
# Nhập vào các miền giới hân của Ox 
và Oy (x từ m .. n, y từ p..q) 
m:=-6:n:=6:p:=-8:q:=4 : 
#.. NAP XONG ENTER DE CHAY 
CHUONG TRINH. 
print(`----------------------------------`); 
print(`--------BAI GIAI-------------`); 
y=Y; print(`tap xac dinh :`); 
Y:=simplify(Y):a:=solve(denom(Y)=0,x): 
if (type(denom(Y),realcons)=true) or 
(coeff(denom(Y),x^2)0 and type(a[1], 
realcons)=false) then D = R; fi; 
if coeff(denom(Y),x^2)=0 and coeff 
(denom(Y),x) 0 then D={xa};fi; 
if coeff(denom(Y),x^2)0 and type 
(a[1],realcons)=true then D={xa};fi; 
print(`Dao ham cua ham so:`); 
dy/dx=factor(simplify(diff(Y,x))); 
print(`Giai phuong trinh y'=0 ta duoc 
nghiem:`); 
z:=solve(diff(Y,x)=0,x):solve(diff(Y,x
)=0,{x}); 
print(`Ham so dong bien tren mien`); 
solve(diff(Y,x)>0); 
print(`Ham so nghich bien tren 
mien:`); solve(diff(Y,x)<0); 
print(`Gia tri cuc dai, cuc tieu cua ham 
so:`); 
Ymax_min:=extrema(Y,{},x); 
print(`Dao ham cap hai`); 
z:=simplify(diff(Y,x$2)); 
print(`Toa do diem uon neu co:`); 
solve({z=0,Y=y},{x,y}); 
u:=limit(Y/x,x=infinity):v:=limit(Y-
u*x,x=infinity): 
print(`Tiem can hai nhanh vo tan:`); 
if u = infinity or u = -infinity then 
Limit(f(x),x=infinity) =limit(Y,x=infinity); 
Limit(f(x),x=-infinity)=limit(Y,x=-
infinity) else x=a; y=u*x+v;fi; print(`Cac 
giao diem do thi voi Ox, Oy:`); 
intercept(y=Y, y=0, {x, y});intercept 
(y=Y,x=0,{x,y}); 
>plot({Y,u*x+v}, x=m..n,p..q,color=red); 
106 
Bước 2. Giải toán bằng phương pháp 
toán học 
Khi m = –1 
x x
y x
x x
2
1 1
1 1
Tập xác định: R\{1} 
* y’ = –1 + 
2
2 2
1 x 2x
(x 1) (x 1)
; 
y’ = 0 
x
x
0
2
* 
x x
1
lim[y ( x)] lim 0
x 1 
Tiệm cận xiên của đồ thị là y = –x. 
* 
x 1
limy
 Tiệm cận đứng của 
đồ thị là x = 1. 
Bảng biến thiên: 
x – 0 1 2 + 
y’ – 0 + + 0 – 
y 
+ CT + –3 
 1 – CĐ – 
Đồ thị không cắt trục hoành. 
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1) 
Bước 3. So sánh các cách giải bằng 
Maple và giải bằng phương pháp toán học 
cho ta kết quả giống nhau. 
3. Kết luận 
Chúng ta vừa có khám phá thú vị về 
giải toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân 
thức hữu tỉ với sự trợ giúp của phần mềm 
dạy học Maple. Việc sử dụng phần mềm 
dạy học giúp người học khám phá tri thức: 
là kiến thức, kĩ năng các em cần tìm hiểu. 
Cụ thể là người học có thể dự đoán kiến 
thức, tính toán những phép tính phức tạp, 
kiểm chứng kết quả giải toán,  với sự trợ 
giúp của phần mềm dạy học. 
Bài viết này cần có trao đổi gì thêm? 
Mong được sự chia sẻ của bạn đọc. 
x 
O 
 y 
1 
 1 2 
 -1 
 -3 
107 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào 
thực tiễn dạy học môn toán ở trường phổ 
thông, Nxb Đại học sư phạm. 
2. Nguyễn Văn Quí, Nguyễn Tiến Dũng, 
Nguyễn Việt Hà (1998), Giải toán trên máy 
tính maple với các chuyên đề: Số học – Đại số 
- Giải tích – Hình Giải Tích, Nxb Đà Nẵng. 
3. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần 
Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng 
Hùng Thắng (2011), Giải tích 12 nâng cao, 
Nxb Giáo dục. 
Ngày nhận bài: 11/01/2016 Biên tập xong: 15/02/2016 Duyệt đăng: 20/02/2016