Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwar

1 
Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức 
Cauchy-Schwar 
Trần Thị Minh Ngọc 
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên 
Luận văn ThS Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp; Mã số: 60 46 
Người hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Vũ Lương 
Năm bảo vệ: 2011 
Abstract: Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi 
quốc gia, quốc tế. Nghiên cứu về dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức 
Cauchy-Schwarz . Tìm hiểu về dạng hằng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với 
bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để được các kết quả mới và các áp dụng 
của nó trong đại số và lượng giác. Trình bày từ dạng hằng đẳng thức thứ 
hai, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để được các kết quả mới 
và một số áp dụng của nó trong đại số và lượng giác. Giới thiệu bất đẳng 
thức trong đề thi IMO tại IRAN năm 1998 và một số đề mở rộng. 
 Keywords: Toán sơ cấp; Hằng đẳng thức; Bất đẳng thức 
Content 
Bất đẳng thức là một nội dung lâu đời và quan trọng của Toán học. Ngay từ 
đầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quan trọng, chúng có 
sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả 
những bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo. Bất 
đẳng thức còn có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác và trong thực tế. 
Ngày nay, bất đẳng thức vẫn luôn chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thường xuất 
hiện trong các kì thi quốc gia, quốc tế. Một trong những bất đẳng thức cổ điển quan 
trọng là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và các ứng dụng của nó. Bất đẳng thức 
Cauchy-Schwarz từ khi ra đời đến nay đã luôn được các nhà toán học lỗi lạc nghiên 
cứu và phát triển. 
Chúng ta đã gặp nhiều sự kết hợp của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với các 
bất đẳng thức khác hoặc trong hình học. Trong luận văn này, tác giả xin trình bày 
2 
một hướng tiếp cận mới của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: “Dạng hằng đẳng 
thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz” . Từ các hằng đẳng thức quen thuộc, khi 
kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta sẽ thu được nhiều dạng bất đẳng thức 
mới và lạ. Từ đó, ta sẽ xây dựng được rất nhiều bất đẳng thức có ứng dụng trong đại 
số hoặc lượng giác. 
Luận văn gồm 2 phần: 
Phần 1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế. 
Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . 
Trong phần 2, tác giả đã phân chia thành ba bài. 
Bài 1: Từ dạng hằng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-
Schwarz để được các kết quả mới và các áp dụng của nó trong đại số và lượng giác. 
Bài 2: Từ dạng hằng đẳng thức thứ hai, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-
Schwarz để được các kết quả mới và một số áp dụng của nó trong đại số và lượng 
giác. 
Bài 3: Giới thiệu bất đẳng thức trong đề thi IMO tại IRAN năm 1998 và một 
số mở rộng. 
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên các 
vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi thiếu 
sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn. 
3 
Phần 1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế. 
1.1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. 
Với ,i ia R b R ( 1, )i n , chứng minh rằng 
2
2 2
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
a b a b
   
Chứng minh. 
Cách 1. (Sử dụng đẳng thức Lagrange). 
Từ đẳng thức 
2
2 2 2
1 1 1 1
( )
n n n
i i i i i j j i
i i i i j n
a b a b a b a b
    
Suy ra 
2
2 2
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
a b a b
   
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
1 2
1 2
... n
n
a a a
b b b
Cách 2. (Sử dụng tính chất của hàm bậc 2). 
Xét hàm số 
22 2 2
1 1 1 1
2
n n n n
i i i i i i
i i i i
f x x a x a b b a x b
    
Ta có 0f x với mọi giá trị của x 
Nếu 
2
1
0
n
i
i
a
  ia =0 1,i n thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. 
Áp dụng tính chất của hàm bậc 2 khi 
2
1
0
n
i
i
a
  suy ra 
4 
2
2 2
1 1 1
' 0
n n n
i i i i
i i i
a b a b
   
2
2 2
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
a b a b
   
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
1 2
1 2
... n
n
a a a
b b b
Cách 3. (Áp dụng bất đẳng thức trung bình). 
Ta có 2 2
1
2
k k k kx y x y 1,k n 
Cộng tất cả các bất đẳng thức ta thu được 
 2 2
1 1
1
2
n n
k k k k
k k
x y x y
   
Kí hiệu 2 2
1 1
,
n n
k k
k k
A a B b
   
Chọn k
k
a
x
A
 , kk
b
y
B
 ta có 2 2
1 1
1
n n
k k
k k
x y
   
Và thu được 
1
1
n
k k
k
x y
AB 
  
2
2 2 2 2
1 1 1
n n n
k k k k
k k k
a b A B a b
   
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi kk k
k
a A
x y
b B
 k . 
1.2. Bất đẳng thức AM-GM. 
Trong luận văn này, ta cũng hay sử dụng bất đẳng thức quen thuộc AM-GM (bất 
đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân) sau: 
5 
Với 1 2, ,..., na a a là các số thực không âm, ta luôn có: 
1
1 1
1 nn n
i i
i i
a a
n 
  . 
Ở đây ta ký hiệu 1 2
1
. ...
n
i n
i
a a a a
  . 
Chứng minh. 
Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức AM – GM, trong đó cách chứng minh 
quen thuộc nhất như sau: 
Cách 1: 
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n số không âm thì sẽ đúng với 2n 
số không âm. 
2
1 1 1
1 1 1 1
2 2
n n n
i i n i
i i i
a a a
n n n
   . 
1 1
2
1 1 1
1 1 1
2 2 2
n nn n n
i i i n
i i i
a a a
n
   . 
1
22 2
1 1
1
2
nn n
i i
i i
a a
n 
  . 
Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng với 2kn . Bất đẳng thức AM – GM sẽ được 
chứng minh nếu chúng ta chứng minh khẳng định sau đây: 
Nếu bất đẳng thức đúng với n k thì cũng đúng với 1n k . 
Thật vậy: 
1
11 1
1 1
1
1
kk k
i i
i i
a a
k
  . 
1 1
1 11 1 1
1 1 1
k kk k k
i i i
i i i
a a k a
   . 
Áp dụng giả thiết quy nạp suy ra: 
6 
1
1 1
1 1 11 1 1
1 1 1 1
.
k
k k kk k k
i i i i
i i i i
a a k a a
    . 
1 1
1 11 1 1
1 1 1
k kk k k
i i i
i i i
a a k a
   . (đpcm) 
Cách 2: 
Nếu n = 1, n = 2 thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng. 
Giả sử bất đẳng thức đúng với 2n k , ta chứng minh bất đẳng thức đúng với 
1n k . 
Ta có: 
1 11
1
1
1
1
1 1
k
k i ki
k i
i
k a a
kS a
k k

 . 
Theo giả thiết quy nạp ta thu được: 
1
11
1
1
k k
i ki
k
k a a
S
k

. 
Để chứng minh bất đẳng thức đúng khi 1n k ta cần chứng minh: 
1
1
1 111
11
k k
k ki ki
i
i
k a a
a
k

 . 
Ký hiệu: 
1
1 1
1
1
,
k k
k k
i k
i
a a  
 . 
Ta thu được: 
 1 1 1 .k k kk k   
 0k k kk    . 
 1 2 3 2 1... 0k k k k kk      . 
7 
 1 1... 0k k k k k k     . 
 2 1 2 1 2 3 2 1... ... ... 0k k k k k k k      
 Bất đẳng thức đúng vì , 0  . 
Các trường hợp riêng: 
1. 
2 2
2
0
2
a b
ab a b
 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 
2. 
2
, 0 :
2
a b
a b ab a b
 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ 
khi a b . 
3. 
3
, , :
3
a b c
a b c abc
 
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
a b c . 
4. 
3 3 3
, , :
3
a b c
a b c abc
 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
a b c . 
1.3. Một số bài toán trong các đề thi quốc gia, quốc tế. 
Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 
Bài 1: Dạng hằng đẳng thức thứ nhất 
1.1. Các định lý 
Bổ đề 1.1. Với mọi số thực x, y, z ta luôn có kết quả sau: 
 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 9x y z y z x z x y x y z 
Chứng minh 
Biến đổi vế trái, ta có 
2 2 2 22 2 4 4 8 4 4x y z x y z xy xz yz 
8 
2 2 2 22 2 4 4 8 4 4y z x y z x yz xy zx 
2 2 2 22 2 4 4 8 4 4z x y z x y xz zy xy 
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh. 
Định lý 1.1 Cho , , , , ,a b c x y z là những số thực dương tùy ý. Khi đó ta luôn có 
 2 2 2 2 2 2
2
3
ax by cz a b c x y z a b c x y z 
Chứng minh 
Ta có 
(2 2 ) (2 2 ) (2 2 )c x y z a y z x b z x y 
(2 2 2 3 ) (2 2 2 3 ) (2 2 2 3 )c x y z z a y z x x b z x y y 
2( )( ) 3( )a b c x y z ax by cz 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 
  
2
(2 2 ) (2 2 ) (2 2 )c x y z a y z x b z x y 
2 2 2 2 2 2( )[(2 2 ) (2 2 ) (2 2 ) ]a b c x y z y z x z x y 
Suy ra 
2 2 2 2 2 2 22( )( ) 3( ) 9( )( )a b c x y z ax by cz a b c x y z 
 (sử dụng Bổ đề 1.1) 
Từ đó 
2 2 2 2 2 22( )( ) 3( ) 3 ( )( )a b c x y z ax by cz a b c x y z 
2 2 2 2 2 22( )( ) 3 ( )( ) 3( )a b c x y z a b c x y z ax by cz 
2 2 2 2 2 22 ( )( ) ( )( ) ( )
3
a b c x y z a b c x y z ax by cz . 
9 
Bổ đề 1.2. Chứng minh rằng với mọi số thực , , ,x y z t ta có 
2 2 2 2
x y z t y z t x z t x y t x y z 
 2 2 2 24 x y z t 
Chứng minh 
Ta có: 
22 2( ) 2x y z t x y z t t x y z 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y z t xy yz zx tx ty tz 
Tương tự ta có: 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2y z t x x y z t yz zt ty xy xz xt 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2z t x y x y z t zt tx xz yx yz yt 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2t x y z x y z t tx xy yt zx zy zt 
Cộng từng vế bốn đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh. 
Định lý 1.2. Cho a, b, c, d, x, y, z, t là các số thực dương tùy ý. Khi đó ta luôn có 
 2 2 2 2 2 2 2 2ax by cz dt a b c d x y z t 
1
2
a b c d x y z t 
Chứng minh 
Đặt P d x y z t a y z t x b z t x y c t x y z 
 2 2P d x y z t t a x y z t x 
 2 2b z t x y y c t x y z z 
 2P a b c d x y z t ax by cz dt 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có 
10 
 2 2 2 2 2 2 2 2 24P a b c d x y z t 
Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 22P a b c d x y z t 
Vậy 2a b c d x y z t ax by cz dt 
 2 2 2 2 2 2 2 22 a b c d x y z t 
 2 2 2 2 2 2 2 2a b c d x y z t ax by cz dt 
1
2
a b c d x y z t (đpcm) 
Bổ đề 1.3. Chứng minh rằng với mọi số thực 1 2, ,..., nx x x , ta luôn có 
2
2
2
1 1 12 4
n n n
j i i
i j i
n n
x x x
   
Chứng minh 
Đặt 
1
n
j
j
S x
  , ta xét 
2 2
2 2. . 1..
2 4
i i i
n n
S x S S n x x i n
  
Vậy 
2 2
2 2
1 1 1
. .
2 4
n n n
i i i
i i i
n n
S x nS n S x x
   
2 2
2 2 2 2
1 14 4
n n
i i
i i
n n
nS nS x x
   (Đpcm) 
Định lý 1.3. Cho 1 2, ,..., nx x x , 1 2, ,..., ny y y là những số thực dương tùy ý. Khi đó, 
 ta có 
2 2
1 1 1 1 12
n n n n n
i i i i i i
i i i i i
n
x y x y x y
     
Chứng minh 
Đặt 
1
n
j
j
S x
  
11 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có 
2 2
2
1 1 12 2
n n n
i i i i
i i i
n n
S x y S x y
   (a) 
Theo đẳng thức (1.5), ta có 
2 2
2
1 12 4
n n
i i
i i
n n
S x x
  
Mà 
1 1 1 1 1 12 2 2
i
n n n n n n
i i i i i i i i
i i i i i i
n n n
S x y S y x y x y x y
      
Thay vào (a) ta có 
2
2
2 2
1 1 1 1 12 4
n n n n n
i i i i i i
i i i i i
n n
x y x y x y
     
Khai căn 2 vế, ta có 
2 2
1 1 1 1 12 2
n n n n n
i i i i i i
i i i i i
n n
x y x y x y
     
Vậy 
2 2
1 1 1 1 12
n n n n n
i i i i i i
i i i i i
n
x y x y x y
     
Bổ đề 1.4. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có kết quả sau
 2 2 2 2 2 24 4 4 9 ( ) ( ) ( )x y z y z x z x y x y y z z x 
Chứng minh 
Ta có 
2 2 2 24 16 8 8 2x y z x y z xy xz yz 
2 2 2 24 16 8 8 2y z x y x z xy yz xz 
2 2 2 24 16 8 8 2z y x z x z zy xz xy 
Cộng từng vế ta được 
 2 2 2 2 2 24 4 4 18x y z y z x z x y x y z xy yz zx 
Lại có 
12 
 2 2 2 2 2 29 ( ) ( ) ( ) 18x y y z z x x y z xy yz zx 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
Định lý 1.4. Cho , , , , ,a b c x y z là những số thực dương. Khi đó ta có
 2 2 2 2 2 23 ( ) ( ) ( ) ( )x y z a b c a b c x y y z z x ax by cz 
Chứng minh 
Ta có 
4 4 4
3 3 3
3
a x y z b y x z c z y z
a x y z x b x y z y c x y z z
a b c x y z ax by cz
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có 
2
2 2 22 2 2
4 4 4
4 4 4
a x y z b y x z c z y z
a b c x y z y z x z x y
 4 4 4a x y z b y x z c z y z 
 2 2 22 2 2 4 4 4a b c x y z y z x z x y 
 3a b c x y z ax by cz 
 2 2 22 2 2 4 4 4a b c x y z y z x z x y 
Theo (1.7) 
 3a b c x y z ax by cz 
 2 2 2 2 2 23 ( ) ( ) ( )a b c x y y z z x (đpcm) 
13 
1.2. Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ nhất của bất đẳng thức Cauchy-
Schwarz trong đại số. 
Bài 1. Cho , ,a b c là những số thực dương. Chứng minh rằng: 
 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 1 1
3
3
a b c a b c
a b c a b c
Chứng minh 
Áp dụng Định lý 1.1 với 
1
x
a
 , 
1
y
b
 , 
1
z
c
 ta có điều phải chứng minh. 
Bài 2. Cho ,a b là những số thực dương. Chứng minh rằng 
 2 2
1 4
2 2 1 2 1 1 2 1
4 3
a b a a b
b
Chứng minh 
Áp dụng Định lý 1.1 với 
1,
2 , 1
a b c a
x b y z
 ta có điều phải chứng minh. 
Bài 3. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
3
x y z xy yz zx x y z x y z xy yz zx 
Chứng minh 
Áp dụng Định lý 1.1 với 
, ,
2 2 2
, ,
x y y z z x
a b c
x z y x z y
Ta được 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y y z z x x y y z z x
z x y z x y
22
3
x y z 
14 
2 2 2
22 2 2 2
2 3
x y z xy yz zx
x y z x y z xy yz zx
2 2 2
2 2 2 2 2 21 2 2 2
2 3
x y z xy yz zx
x y z x y z xy yz zx
 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
3
x y z xy yz zx x y z x y z xy yz zx 
 (đpcm) 
1.3. Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ nhất của bất đẳng thức Cauchy-
Schwarz trong lượng giác. 
Ta có thể sử dụng dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để sáng 
tạo và chứng minh một số bất đẳng thức trong lượng giác. 
Trong phần này, ta luôn giả sử tam giác ABC có: 
 ; ;AB c BC a CA b 
 S là diện tích tam giác, 
2
a b c
p
 là nửa chu vi 
 ; ;a b cm m m lần lượt là độ dài đường trung tuyến kẻ từ A; B; C 
 ; ;a b ch h h lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ A; B; C 
Bài 1. Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c và độ dài 3 trung tuyến tương 
ứng là , ,a b cm m m . Chứng minh rằng: 
 2 2 2
3 2
. .
2 3
a b c a b ca b c a b c m m m am b m cm 
Chứng minh 
Áp dụng Định lý 1.1 với , ,a b cx m y m z m ta có 
 2 2 2 2 2 2
2
. .
3
a b c a b c a b ca m b m cm a b c m m m a b c m m m 
 (1) 
15 
Ta có 
2 2 2
2
2 4
a
b c a
m
2 2 2
2
2 4
b
a c b
m
2 2 2
2
2 4
c
b a c
m
Cộng từng vế 3 đẳng thức trên, ta được: 2 2 2 2 2 2
3
4
a b cm m m a b c 
Thay vào bất đẳng thức (1) ta được điều phải chứng minh. 
Bài 2. Cho tam giác ABC, chứng minh rằng 
 2 2 2 2 2 2
2
6
3
a b c a b ca b c h h h a b c h h h S 
Chứng minh 
Áp dụng Định lý 1.1 với , ,a b cx h y h z h , ta được 
 2 2 2 2 2 2
2
. .
3
a b c a b c a b ca h b h ch a b c h h h a b c h h h 
Mà . . 2a b ca h b h ch S , từ đó có điều phải chứng minh. 
Bài 2. Dạng hằng đẳng thức thứ 2 
2.1. Các định lý. 
Bổ đề 2.1. Cho , ,x y z R . Chứng minh rằng: 
9( )( )( ) 8( )( )x y y z z x x y z xy yz zx 
Chứng minh 
Ta có: 
2( )( )x y y z xy xz yz y 
16 
2( )( )( ) ( )( )x y y z z x xy xz yz y z x 
2 2 2 2 2 2xyz x y xz x z yz xyz y z y x 
2 2 2 2 2 2 2x y x z y x y z z x z y xyz 
Mặt khác: 
( )( )x y z xy yz zx 
2 2 2 2 2 2x y xyz x z xy y z xyz xyz yz xz 
2 2 2 2 2 2 3x y x z y x y z z x z y xyz 
Mà 
2 2 2 3x y y z z x xyz 
2 2 2 3x z z y y x xyz 
2 2 2 2 2 2 6x y x z y x y z z x z y xyz 
 2 2 2 2 2 29 2x y x z y x y z z x z y xyz 
 2 2 2 2 2 28 3x y x z y x y z z x z y xyz 
9( )( )( ) 8( )( )x y y z z x x y z xy yz zx (đpcm) 
Định lý 2.1. Cho , , 0x y z . Khi đó ta luôn có: 
2 2 2
1 1 1 9
162 2 2 xy yz zxx y z x y z x y z
Chứng minh 
Ta có: 2 ( ) ( ) 2 ( )( )x y z x y x z x y x z 
2
1 1
4( )( )2 x y x zx y z
Tương tự ta có: 
2
1 1
4( )( )2 y z y xx y z
17 
2
1 1
4( )( )2 x z y zx y z
2 2 2
1 1 1
2 2 2x y z x y z x y z
1 1 1
4( )( ) 4( )( ) 4( )( )x y x z x y x z x z y z
 2( )( )( )
x y z
x y y z z x
Mà theo kết quả Bổ đề 2.1 ta có: 
8
( )( )( ) ( )( )
9
x y y z z x x y z xy yz zx 
2 2 2
1 1 1 9
16( )2 2 2 xy yz zxx y z x y z x y z
(đpcm) 
Hệ quả 2.1. Cho , , 0x y z và 1x y z . Chứng minh rằng: 
2 2 2
1 1 1 9
161 1 1 xy yz zxx y z
Chứng minh 
Áp dụng Định lý 2.1 với 1x y z ta có điều phải chứng minh. 
Định lý 2.2: Cho , , 0x y z . Khi đó ta luôn có: 
3
2 2 2 4
yz xyzx
x y z x y z x y z
Chứng minh 
2
2 2 2
yz xyzx
x y z x y z x y z
2 2 2
1 1 1
2 2 2
yz zx xy
x y z x y z x y z
18 
Mà theo Định lý 2.1 
2 2 2
1 1 1 9
162 2 2 yz zx xyx y z x y z x y z
2
9 9
2 2 2 16 16
yz xyzx
yz zx xy
x y z x y z x y z yz zx xy
3
2 2 2 4
yz xyzx
x y z x y z x y z
 (Đpcm) 
Bổ đề 2.2. Cho 4 số thực , , ,x y z t . Chứng minh rằng: 
( )( )( )( ) ( )( )x y y z z t t x x y z t xyz yzt ztx txy . 
 Chứng minh 
Ta có: 
2 2( )( )( )( ) ( )( )x y y z z t t x xy yz zx y zt zx tx t 
2 2 2 2 2 2 2 2x yz x zt x yt y xz y xt y zt z xy z xt 
2 2 2 2 2 2 2 2 2z yt t xy t yz t xz x z y t xyzt . 
Mặt khác: 
( )( )x y z t xyz yzt ztx txy 
2 2 2 2 2 2 2x yz x zt x yt y xz y xt y zt z xy 
2 2 2 2 2 4z xt z yt t xy t yz t xz xyzt . 
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM: 
2 2 2 2 2x z y t xyzt . 
Vậy ( )( )( )( ) ( )( )x y y z z t t x x y z t xyz yzt ztx txy . 
Bổ đề 2.3: Cho 4 số thực dương , , ,x y z t . Chứng minh rằng: 
19 
3 3 3 3
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2x y z t x y z t x y z t x y z t
2
27( )xyz yzt ztx txy
. 
Chứng minh 
Ta có: 
 33 ( )( )( )x y y z z t x y y z z t 
32 2 3 ( )( )( )x y z t x y y z z t 
3
2 2 27( )( )( )x y z t x y y z z t 
3
1 1
27( )( )( )2 2 x y y z z tx y z t
Tương tự ta có: 
3
1 1
27( )( )( )2 2 y z z t t xx y z t
3
1 1
27( )( )( )2 2 z t t x x yx y z t
3
1 1
27( )( )( )2 2 t x x y y zx y z t
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được: 
3 3 3 3
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2x y z t x y z t x y z t x y z t
1 2( )
.
27 ( )( )( )( )
x y z t
x y y z z t t x
Theo Bổ đề 2.2, ta có 
( )( )( )( ) ( )( )x y y z z t t x x y z t xyz yzt ztx txy 
20 
3 3 3 3
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2x y z t x y z t x y z t x y z t
2
27( )xyz yzt ztx txy
Định lý 2.3: , , , 0x y z t ta luôn có: 
33 3 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2 3
xyz yzt txyztx
x y z t y z t x z t x y t x y z
. 
Chứng minh 
Áp dụng định lý: 
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4a bc a b c a b c a b c a a a a b b b b c c c c 
Ta có: 
3
33 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
xyz yzt txyztx
x y z t y z t x z t x y t x y z
 3 3 3 31 1 1 1 .xyz yzt ztx txy 
3 3 3 3
1 1 1 1
.
2 2 2 2 2 2 2 2x y z t y z t x z t x y t x y z
Theo Bổ đề 2.3 ta có: 
3 3 3 3
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2x y z t y z t x z t x y t x y z
2
27( )xyz yzt ztx txy
. 
Thay kết quả này vào bất phương trình đầu tiên ta có: 
3
33 3 3 4.2
2 2 2 2 2 2 2 2 27
xyz yzt txyztx
x y z t y z t x z t x y t x y z
33 3 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2 3
xyz yzt txyztx
x y z t x y z t x y z t x y z t
21 
(đpcm). 
Hệ quả 2.2: Cho , , , 0x y z t và 1x y z t . Chứng minh rằng: 
33 3 3 2
1 1 1 1 3
xyz yzt txyztx
x y y z z t t x
. 
Chứng minh 
Áp dụng Định lý 2.3 với 1x y z t ta có điều phải chứng minh. 
Hệ quả 2.3: cho , , , 0x y z t và 1xyzt . Chứng minh rằng: 
 33 3 3
1 1 1 1 2
32 2 2 2 2 2 2 2t x y z t x x y z t y x y z t z x y z t
Chứng minh 
Áp dụng Định lý 2.3 với 1xyzt ta có điều phải chứng minh. 
22 
Bài 3. Một số ví dụ mở rộng 
Bài 1. (Iran 1998). 
Cho , , 1x y z và 
1 1 1
2
x y z
 . Chứng minh rằng: 
1 1 1x y z x y z . 
Chứng minh 
Ta có: 
2
2 11 1
1 1 1
yx z
x y z x y z
x y z
1 1 1x y z
x y z
x y z
1 1 1
3 x y z
x y z
 x y z 
Vậy ta có: 1 1 1x y z x y z (đpcm). 
Bài 2. Cho 1ix , 1..i n và 
1
1
1
n
i i
n
x 
  . Chứng minh rằng: 
1 1
1
n n
i i
i i
x x
   
Chứng minh 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có 
22 2
2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 1 1
1 1 ... 1 ... ...nn n
n
x x x
x x x x x x
x x x
23 
2
1 2 1 2
1 2
1 1 1
1 1 ... 1 ... ...n n
n
x x x n x x x
x x x
1 2 1 21 1 ... 1 ...n nx x x x x x 
(đpcm) 
Nhận xét: Bài toán này là trường hợp tổng quát cho bài toán bất đẳng thức trong 
đề thi IMO - IRAN 1998. Từ bài toán này, áp dụng dạng hằng đẳng thức của bất 
đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có bài toán rất hay sau. 
Bài 3. Cho 0ix , 0..i n và 
1
1
1
n
i i
n
x 
  . Chứng minh rằng: 
1 1 1 1
1
1 1
2
n n n n
i i i
i i i ii
n
x x x
x 
    
Chứng minh 
Áp dụng Định lý 1.3 với 
1i
i
i
x
x
x
 ; i iy x , ta có 
1 1 1 1 1
1 1 1
. .
2
n n n n n
i i i
i i i
i i i i ii i i
n x x x
x x x
x x x 
     
Mà 
1 1
1 1
1
n n
i
i ii i
x
n
x x 
   (theo giả thiết) 
Nên ta có 
1 1 1 1
1
1 1
2
n n n n
i i i
i i i ii
n
x x x
x 
    (đpcm) 
Từ một bất đẳng thức quen thuộc, kết hợp với các bất đẳng thức mới được xây dựng 
trong bài ta có thể tiếp tục xây dựng được các bất đẳng thức mới hay và khó. Tác 
giả hy vọng rằng qua ba bất đẳng thức ở trên, độc giả sẽ tiếp tục xây dựng được 
các bất đẳng thức hay hơn nữa. 
24 
References 
Tiếng việt 
1. Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh (2010), “Sử dụng phương pháp Cauchy-
Schwarz để chứng minh bất đẳng thức”, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. 
2. Nguyễn Văn Hiến (2000), “Bất đẳng thức trong tam giác”, NXB Hải Phòng, Hải 
Phòng. 
3. Phạm Kim Hùng (2007), “Sáng tạo bất đẳng thức”, NXB Hà Nội, Hà Nội. 
4. Phan Huy Khải (1997), “500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức”, NXB Hà Nội, 
Hà Nội. 
5. Phan Huy Khải (2001), “10.000 bài toán sơ cấp”, NXB Hà Nội, Hà Nội. 
6. Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2009), “Các bài giảng về 
bất đẳng thức Bunhiacopxki”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội. 
7. Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2008), 
“Các bài giảng về bất đẳng thức Côsi”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà 
Nội. 
8. Nguyễn Thượng Võ (2000), “Tuyển tập 300 bài toán chọn lọc về hệ thức lượng 
trong tam giác”, NXB Trẻ, TP. Hồ Chí Minh. 
9. Tủ sách toán học và tuổi trẻ (2007), “Các bài thi Olympic toán”, NXB Giáo Dục, 
Hà Nội. 
Tiếng Anh. 
1. IMO Shorlist, 1990 – 2004. 
2. Jose A.G.O., Radmila E, Mircea B. (1997), “Inequalities A Mathematical 
Olympiad Approach”, Basel – Boston – Berlin, Germany. 
3. Mihai B., Bogdan E., Mircae B. (1997), “The Romanian Society of 
Mathematical Sciences”, “Romanian Mathematical Competitions”, Romania. 
Danh sách Website. 
1. www.diendantoanhoc.net. 
25 
2. www.math.vn 
3. www.mathlinks.ro. 
4. www.mathscope.org. 
5. www.mathnfriend.net. 
26