Công thức Stokes

Công thức Stokes: Tóm tắt bài giảng
Huỳnh Quang Vũ
Ngày 15 tháng 10 năm 2017
∫
M
dω =
∫
∂M
ω
2Đây khởi đầu là bài giảng cho môn cao học “Giải tích trên đa tạp” dựa trên bài giảng của R.
Sjamaar [Sja15]. Tham gia đánh máy một phần bản đầu trong các năm 2015, 2016 có Phan Đình
Hiếu (học viên cao học Toán Giải tích khóa 2014), Lê Chiêu Hoàng Nguyên (sinh viên ngành Toán
khóa 2012), Phan Văn Phương (học viên cao học Toán Giải tích khóa 2012).
Bài giảng đang được xây dựng để phục vụ cho sinh viên đại học năm cuối và học viên cao học,
nhằm trình bày đề tài dạng vi phân một cách tương đối đơn giản, ngắn gọn, và đi kèm với ứng dụng.
Tài liệu này có trên web ở địa chỉ:
∼hqvu/Stokes.pdf
Huỳnh Quang Vũ, Khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
Thành phố Hồ Chí Minh, email: hqvu@hcmus.edu.vn
Mục lục
1 Dạng vi phân trong không gian Euclid 7
1.1 Định nghĩa dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Không gian Euclid và đạo hàm trong không gian Euclid . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Những dạng vi phân cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Dạng vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Tính chất và phép toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Tính đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Phép nhân của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Đạo hàm của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Đổi biến trên dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.5 Tích phân của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.6 Mối quan hệ giữa thể tích và định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Dạng vi phân và tích phân trên đa tạp 21
2.1 Đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Không gian tiếp xúc và đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Đa tạp có biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Dạng vi phân trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Phiếm hàm đa tuyến tính trên không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Định thức trên không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3 Dạng vi phân trên đa tạp và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.4 Dạng thể tích của đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Tích phân trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Định nghĩa địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Định nghĩa toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Công thức Stokes cho đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Ứng dụng 45
3.1 Ứng dụng trong Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 Miền với biên trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.2 Các công thức Green và tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.3 Ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Dạng khớp và dạng đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.1 Bổ đề Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3
4 MỤC LỤC
Mở đầu
Trong phép tính vi tích phân hàm nhiều biến ta xét những tích phân như
∬
D
x2y3dxdy hay
∬
D
x2ydA.
Ở đó dxdy hay dA được gọi là “phần tử diện tích”. Chúng ta cũng thấy những biểu thức như
∫
γ
xdy+
ydx hay
∫
γ
ds với ds là “phần tử chiều dài”, hay
∬
S
dS với dS là “phần tử diện tích mặt”. Chúng chưa
được định nghĩa rõ ràng.
Các dạng vi phân mà ta đã thấy dx, dxdy, dxdydz, dA, dV , ds, dS không tách rời các tích phân.
Các dạng này khi nằm cạnh các hàm thực chỉ loại tích phân có thể lấy. Chúng đều liên quan tới việc
lấy tích phân và đo thể tích. Chẳng hạn, nếu D là một tập con của R2 thì hệ thức sau phải được thỏa∬
D
1dxdy = diện tích(D).
Lý thuyết về dạng vi phân nhằm đưa ra một cách hiểu và các cách làm việc thống nhất và tổng
quát cao trên các đối tượng này.
Các công thức Newton–Leibniz, Green, Stokes, Gauss–Ostrogradsky trong phép tính vi tích phân
hàm nhiều biến được xây dựng cho không gian 1, 2, hay 3 chiều, gồm đường và mặt. Khóa học này
nhằm thảo luận việc tổng quát hóa các công thức này lên không gian nhiều chiều. Chúng ta sẽ khảo
sát dạng vi phân, đa tạp – tổng quát hóa của đường và mặt, và tích phân trên đó.
Chúng ta sẽ xét vài ứng dụng, như ứng dụng trong Phương trình đạo hàm riêng, và đối đồng điều
de Rham trong Tôpô.
5
6 MỤC LỤC
Chương 1 Dạng vi phân trong không gian
Euclid
1.1 Định nghĩa dạng vi phân
1.1.1 Không gian Euclid và đạo hàm trong không gian Euclid
Người đọc có thể xem lại nội dung này trong môn Vi tích phân hàm nhiều biến, hoặc [Lan97]. Trong
môn này khi nói đến không gian Rn, n ∈ Z+, thì ta dùng cấu trúc tuyến tính, chuẩn, khoảng cách, và
tích trong Euclid, cụ thể nếu x = (x1, x2, . . ., xn) ∈ Rn thì chuẩn (tức chiều dài) của x là
‖x‖ = (x21 + x22 + · · ·+ x2n)1/2,
khoảng cách giữa x và y = (y1, y2, . . ., yn) ∈ Rn là
‖x− y‖ =
(
(x1− y1)2 + (x2− y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2
)1/2
,
và tích trong giữa x và y là
〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn.
Cho D là một tập con của Rn, x là một điểm trong của D. Nhắc lại kí hiệu e1 = (1,0,0, . . .,0),
e2 = (0,1,0, . . .,0), . . ., en = (0, . . .,0,1) là các vectơ tạo thành cơ sở tuyến tính chuẩn tắc của Rn. Đạo
hàm riêng của f : D→ R theo biến thứ i tại x được định nghĩa là số thực
∂ f
∂xi
(x) = lim
h→0
f (x+ hei)− f (x)
h
.
Đây chính là đạo hàm một biến của hàm f khi xem f chỉ là hàm theo biến xi , là tỉ lệ, hay tốc độ thay
đổi của giá trị của hàm so với giá trị của biến thứ i tại điểm đang xét.
Tổng quát hơn xét hàm f : D→ Rm. Nếu tất cả các đạo hàm riêng của các hàm thành phần của
f tồn tại và liên tục tại x thì ta nói f khả vi liên tục (continuously differentiable) hay trơn (smooth)
tại x. Ma trận các đạo hàm riêng của f tại x được gọi là ma trận Jacobi của f tại x, kí hiệu là
Jf (x) =
(
∂ fi
∂x j
(x)
)
1≤i≤m, 1≤ j≤n
.
Ví dụ 1.1.1. Khi m = 1 ma trận Jacobi Jf (x) chính là vectơ gradient
∇ f (x) =
( ∂ f
∂x1
(x), . . ., ∂ f
∂xn
(x)
)
.
Nếu có một hàm tuyến tính f ′(x) : Rn → Rm sao cho có một quả cầu B(x, ) ⊂ D và một hàm
r : B(x, ) → Rm thỏa mãn:
f (x+ h) = f (x)+ f ′(x)(h)+ r(h), ∀h ∈ B(x, )
và limh→0 r(h)|h | = 0, thì ánh xạ f
′(x) (còn được kí hiệu là df (x)) được gọi là đạo hàm (derivative -
dẫn xuất) của f tại x. Vậy đạo hàm cho một xấp xỉ tuyến tính của hàm:
f (x+ h) ≈ f (x)+ f ′(x)(h).
7
8 CHƯƠNG 1. DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID
Rõ ràng nếu hàm có đạo hàm (khả vi) thì nó liên tục.
Nếu f khả vi liên tục tại x thì f có đạo hàm tại x, và ánh xạ tuyến tính f ′(x) có thể biểu diễn
trong cơ sở tuyến tính chuẩn tắc của Rn bởi ma trận Jacobi Jf (x), tức là f ′(x)(h) = Jf (x) · h, trong
đó phép nhân bên vế phải là phép nhân ma trận.
Cần nhấn mạnh rằng theo quan điểm tổng quát thì đạo hàm tại một điểm là một ánh xạ tuyến
tính chứ không phải là một số thực hay một ma trận.
Nếu v là một vectơ đơn vị (tức vectơ có chiều dài bằng 1) thì ta suy ra ngay
f ′(x)(v) = lim
t→0
f (x+ tv)− f (x)
t
.
Vậy f ′(x)(v) là đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v, đo tỉ lệ thay đổi của f theo hướng v
tại x.
ChoU, V ,W là tập mở của Rk , Rl , Rp theo thứ tự đó, cho f :U→V and g :V→W có đạo hàm
khi đó ta có công thức đạo hàm hàm hợp
(g ◦ f )′(x) = g′( f (x)) ◦ f ′(x).
Nếu viết theo ma trận biểu diễn thì công thức này cho
Jg◦ f (x) = Jg( f (x)) · Jf (x).
1.1.2 Những dạng vi phân cơ sở
Dạng vi phân gắn bó chặt chẽ với đạo hàm và tích phân. Các tính chất của dạng vi phân và sự quan
trọng của nó là từ điều này.
Với hàm thực f : Rn→ R thì một đại diện cho dạng vi phân là df phải liên quan khắng khít với
đạo hàm của f . Nhắc lại tại mỗi điểm x ∈ Rn thì đạo hàm của f tại x được kí hiệu là df (x) là một
ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R:
df (x) : Rn→ R
v 7→ df (x)(v) = ∇ f (x) · v.
dx là gì?
Trên R xét ánh xạ đồng nhất. Nếu gọi x là tên biến thì đây là ánh xạ x 7→ x. Nếu đặt luôn tên hàm
này là x thì dx chính là ánh xạ đạo hàm của hàm này. Ở đây d chính là toán tử đạo hàm.
Vì đạo hàm của ánh xạ đồng nhất tại mỗi điểm là ánh xạ đồng nhất, nên tại mỗi x ∈ R thì
(dx)(x) : R→ R
v 7→ v.
Vì lẽ đó với bất kì tên biến nào khác như y, u, t, thì dy, du, dt là cùng một ánh xạ: mang mỗi số thực
thành ánh xạ đồng nhất trên tập hợp các số thực.
dxi là gì?
Trên Rn, lấy tên biến là x = (x1, x2, . . ., xn), và gọi luôn xi là ánh xạ tương ứng mỗi điểm x với thành
phần xi , tức là
xi : Rn→ R
(x1, x2, . . ., xn) 7→ xi
thì dxi là đạo hàm của ánh xạ này, như đã xét trong đạo hàm của hàm nhiều biến.
Vì ∇xi = ei nên dxi là ánh xạ từ Rn vào (Rn)∗ sao cho với mỗi x ∈ Rn thì dxi(x) = e∗i trong
đó e∗i là ánh xạ tuyến tính từ R
n vào R được biễu diễn bởi ei , tức là với v = (v1,v2, . . .,vn) thì
e∗i ((v1,v2, . . .,vn)) = ei · v = vi . Tóm lại với mỗi x ∈ Rn:
dxi(x) : Rn→ R
v = (v1,v2, . . .,vn) 7→ dxi(x)(v) = (∇xi) (x) · v = ei · v = e∗i (v) = vi .
Như vậy dxi là một ánh xạ cho tương ứng mỗi điểm với một phiếm hàm tuyến tính.
1.1. ĐỊNH NGHĨA DẠNG VI PHÂN 9
dxi1dxi2 · · ·dxik là gì?
Định nghĩa 1.1.2. TrênRn thì dxi1dxi2 · · ·dxik cho tương ứng x ∈Rn với phiếm hàm dxi1dxi2 · · ·dxik (x)
xác định trên (Rn)k bởi
dxi1dxi2 · · ·dxik (x)(v1,v2, . . .,vk) = det
©­­­­«
vi1,1 vi1,2 . . . vi1,k
vi2,1 vi2,2 . . . vi2,k
...
...
...
...
vik,1 vik,2 . . . vik,k
ª®®®®¬
. (1.1.3)
Ở đây mỗi vectơ vi được viết trong cơ sở như vi =
∑n
j=1 vj,iej . Viết cách khác:
dxi1dxi2 · · ·dxik (x)(v1,v2, . . .,vk) = det
(
vi j,l
)
1≤ j≤k,1≤l≤k
= det
(
dxi j (x)(vl)
)
1≤ j≤k,1≤l≤k
= det
(
e∗i j (vl)
)
1≤ j≤k,1≤l≤k
.
Ghi chú 1.1.4. Vì giá trị của dạng dxi1dxi2 · · ·dxik không phụ thuộc vào điểm x nên để kí hiệu giống
như truyền thống đôi khi ta sẽ bỏ qua điểm x trong kí hiệu.
Ví dụ 1.1.5. Trong R2 thì dxdy là ánh xạ cho tương ứng mỗi (x0, y0) ∈ R2 với ánh xạ
dxdy(x0, y0) : R2×R2→ R
(v,w) 7→ dxdy(x0, y0)(v,w) = det
(
dx(x0, y0)(v) dx(x0, y0)(w)
dy(x0, y0)(v) dy(x0, y0)(w)
)
= det
(
v1 w1
v2 w2
)
= det(v,w).
Ngắn gọn hơn:
∀(x, y) ∈ R2,dxdy(x, y) = det .
Hay gọn hơn nữa: dxdy = det.
Ví dụ 1.1.6. Tương tự trên Rn thì
dx1dx2 · · ·dxn(x)(v1,v2, . . .,vn) = det(v1,v2, . . .,vn).
Ngắn gọn hơn:
dx1dx2 · · ·dxn = det .
Ví dụ 1.1.7. Trong R3 thì
dxdy(x, y, z)(v,w) = det
(
dx(x, y, z)(v) dx(x, y, z)(w)
dy(x, y, z)(v) dy(x, y, z)(w)
)
= det
(
v1 w1
v2 w2
)
.
1.1.3 Dạng vi phân tổng quát
Định nghĩa 1.1.8. Cho U là một tập mở trong Rn. Trong Rn với x = (x1, ..., xn). Khi đó với k ∈ Z+
thì
dxi1dxi2 · · ·dxik , 1 ≤ i1, i2, · · · , ik ≤ n
là một dạng bậc k. Một tổ hợp tuyến tính của các dạng này là một ánh xạ α cho bởi một tổng hữu
hạn
x 7→ α(x) =
∑
(i1,i2,...,ik )∈{1,2,...,n}k
f(i1,i2,...,ik )(x)dxi1dxi2 · · ·dxik (x)
trong đó f(i1,i2,...,ik )(x) là một số thực, do đó f(i1,i2,...,ik ) là một hàm thực trên U.
10 CHƯƠNG 1. DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID
Có thể viết tắt một dạng α bất kì là ∑
f dxi1dxi2 · · ·dxik
Ở đây để kí hiệu đơn giản hơn ta ngầm hiểu tổng được lấy trên mọi bộ (i1, i2, . . ., ik) ∈ {1,2, . . .,n}k ,
với f phụ thuộc vào bộ này có thể có giá trị 0. Tại mỗi x tổng này là tổng của hữu hạn hàm giá trị
thực, nên được xác định.
Ta nói α là một dạng vi phân hay một dạng trơn nếu mỗi hàm f là một hàm trơn. Nhắc lại, cho
U ⊂ Rk một tập mở, một ánh xạ f từU vào R được gọi là trơn nếu nếu tất cả các đạo hàm riêng mọi
cấp tồn tại và liên tục (do đó bản thân f cũng liên tục). Vì ta sẽ chỉ làm việc với dạng trơn nên về sau
ta có thể chỉ gọi tắt là dạng.
Dạng bậc không (0-dạng) là một hàm thực f : U ⊂ Rn→ R.
Với mỗi bậc k có một dạng 0 là dạng mà giá trị tại mỗi điểm là hàm hằng bằng số thực 0.
Tập hợp tất cả các dạng vi phân bậc k trên U với k ∈ N được kí hiệu là Ωk(U).
Ví dụ 1.1.9. Trong R2 một dạng bậc 1 được cho bởi Pdx +Qdy trong đó P,Q : U ⊂ R2→ R. Còn
Pdxdy+Qdydx là một dạng bậc 2.
Ví dụ 1.1.10. Trong R3 thì xdxdy+ (xy+1)dxdz là một dạng bậc 2.
Ví dụ 1.1.11. Trong Rn thì dx1,dx2, . . .,dxn, 2dx1 +3dx2, x21 x2dx1 + x3dx4 là các dạng bậc 1.
Ta có thể cộng dạng và nhân số thực với dạng như các phép toán quen thuộc trên hàm thực. Cụ
thể hơn nếu ω1 và ω2 là hai dạng cùng bậc trên cùng một tập con của Rn và c là một số thực thì ta
định nghĩa các phép toán:
(ω1 +ω2)(x) = ω1(x)+ω2(x),
(cω)(x) = c(ω(x)).
Với mỗi k ≥ 0 tập hợp Ωk(U) tất cả các dạng vi phân bậc k trên U là một không gian vectơ trên
trường số thực.
Ghi chú 1.1.12. Ta không thể cộng trừ hai dạng khác bậc, vì tại mỗi điểm chúng là những hàm có
miền xác định khác nhau. Chẳng hạn ta không thể xét một biểu thức như Pdx+Qdy+Rdxdy, vì nó
không có nghĩa.
1.2 Tính chất và phép toán cơ bản
1.2.1 Tính đan dấu
Từ định nghĩa (1.1.3) ta thấy ngay nếu đổi chổ hai thành phần dxir và dxis bất kì thì dạng bị đổi dấu:
dxi1 · · ·dxir · · ·dxis · · ·dxik = −dxi1 · · ·dxis · · ·dxir · · ·dxik .
Người ta gọi đây là tính chất đan dấu hay phản đối xứng (alternating, skew-symmetric, anti-
commutative), thể hiện tóm tắt bởi công thức
dxdy = −dydx.
Ví dụ 1.2.1. Trong R2 thì dxdy = −dydx. Một hệ quả là dxdx = −dxdx, nên dxdx = 0.
Ví dụ 1.2.2. Trong R3:
dxdydz = −dxdzdy = dydzdx,
dxdzdx = −dxdxdz = 0.
Một hệ quả đơn giản của tính đan dấu là mọi k-dạng với k > n đều bằng dạng 0. Vì vậy ta chỉ
quan tâm tới dạng bậc k ≤ n.
1.2. TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TOÁN CƠ BẢN 11
1.2.2 Phép nhân của dạng
Người ta định nghĩa được một phép nhân trên các dạng vi phân, thường được kí hiệu bởi ∧ (wedge -
chèn, nêm) và được gọi là phép nhân ngoài, nhưng ở đây ta bỏ qua kí hiệu đó cho đơn giản hơn.
Định nghĩa 1.2.3. Cho α =
∑
f dxi1dxi2 · · ·dxik là một k-dạng, β =
∑
gdxj1dxj2 · · ·dxjl là một
l-dạng. Ta định nghĩa tích của α với β, kí hiệu αβ là
∑
f gdxi1dxi2 · · ·dxik dxj1dxj2 · · ·dxjl , là một
(k + l)-dạng.(∑
f dxi1dxi2 · · ·dxik
) (∑
gdxj1dxj2 · · ·dxjl
)
=
∑
f gdxi1dxi2 · · ·dxik dxj1dxj2 · · ·dxjl .
Ví dụ 1.2.4. Giờ ta có thể hiểu dxdy = (dx)(dy).
Ví dụ 1.2.5. Trong R3, ω1 = dx là một 1-dạng; ω2 = dydz là một 2-dạng, và ω1ω2 = (dx)(dydz) =
dxdydz là một 3-dạng.
Rõ ràng phép nhân có những tính chất sau:
• Phép nhân của dạng rõ ràng có tính kết hợp: (ω1ω2)ω3 = ω1(ω2ω3) = ω1ω2ω3.
• Phép nhân có phần tử không, chính là hàm hằng bằng số thực 0: ω0 = 0ω = 0.
• Phép nhân của dạng rõ ràng cũng có tính phân phối: (ω1 +ω2)ω3 = ω1ω3 +ω2ω3.
Ví dụ 1.2.6. dx(dy+ dz) = dxdy+ dxdz.
Mệnh đề 1.2.7. Nếu ω1 là một k-dạng và ω2 là một l-dạng thì
ω1ω2 = (−1)klω2ω1.
Chứng minh. Với
ω1 =
∑
f dxi1dxi2 · · ·dxik
và
ω2 =
∑
gdxj1dxj2 · · ·dxjl
thì
ω1ω2 =
∑
( f dxi1dxi2 · · ·dxik )(gdxj1dxj2 · · ·dxjl )
=
∑
f g(−1)kdxj1 (dxi1dxi2 ... ∇ ·∇ f =∑ni=1 ∂2 f∂x2i thì ∫
Ω
∆ f dx =
∫
∂Ω
∂ f
∂n
dS. (3.1.13)
(d) ∫
Ω
∇ f · ∇g dx =
∫
∂Ω
f
∂g
∂n
dS−
∫
Ω
f∆g dx. (3.1.14)
(e) ∫
Ω
( f∆g−g∆ f ) dx =
∫
∂Ω
(
f
∂g
∂n
−g ∂ f
∂n
)
dS. (3.1.15)
3.1.3 Ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng
Trong phần này chúng ta minh họa ứng dụng trong môn phương trình đạo hàm riêng. Một trong
những loại phương trình đạo hàm riêng quan trọng là phương trình Poisson −∆u = f , với phương
trình Laplace ∆u = 0 là một trường hợp riêng. Trong nhiều trường hợp người ta có thể xây dựng được
nghiệm của phương trình Poisson. Ở đây ta dùng công thức Green để xét sự duy nhất nghiệm của
phương trình với điều kiện biên.
Mệnh đề 3.1.16. Cho Ω là tập mở bị chặn liên thông với biên ∂Ω trơn. Khi đó phương trình{ −∆u = f trên Ω
u = g trên ∂Ω. (3.1.17)
có nhiều nhất một nghiệm trơn trên Ω.
Chứng minh. [Eva97, tr. 42] Giả sử u˜ là một nghiệm nữa và đặt w = u− u˜. Khi đó ∆w = 0 trên Ω và
w = 0 trên ∂Ω, nên công thức Green (3.1.14) cho∫
Ω
|∇w |2dx =
∫
∂Ω
w
∂w
∂n
dS−
∫
Ω
w∆w dx = 0−0 = 0.
Vậy ∇w = 0 trên Ω, và do Ω liên thông nên trên Ω thì w là hàm hằng. Vì w liên tục trên Ω và w = 0
trên ∂Ω nên w = 0 trên Ω. Vậy u = u˜ trên Ω. 
3.2 Định lý điểm bất động Brouwer
Cho M là một đa tạp và A ⊂ M . Một phép rút trơn (retraction) từ M lên A là một ánh xạ trơn
r : M→ A sao cho r |A = idA.
Mệnh đề 3.2.1. Nếu M là một đa tạp compắc định hướng được có biên khác rỗng thì không tồn tại
một phép rút trơn từ M lên biên ∂M .
3.3. DẠNG KHỚP VÀ DẠNG ĐÓNG 49
Chứng minh. Gọi m là số chiều của M ⊂ Rk . Giả sử tồn tại một phép rút trơn r từ M lên ∂M . Chọn
một định hướng cho M . Gọi β là dạng thể tích của ∂M . Đặt α = r∗β. Áp dụng công thức Stokes cho
α: ∫
M
dα =
∫
∂M
α.
Vì số chiều của ∂M là (m−1) và β là dạng bậc (m−1) trên đó nên dβ = 0. Suy ra dα = dr∗β =
r∗dβ = r∗0 = 0, do đó
∫
M
dα = 0.
Mặt khác vì α |∂M = r |∗∂M β = id|∗∂M β = β, nên∫
∂M
α =
∫
∂M
β = vol(∂M).
Một lý luận đơn giản giúp ta khẳng định thể tích của một đa tạp khác rỗng phải khác 0. Điều này dẫn
tới mâu thuẫn. 
Định lý 3.2.2 (Định lý điểm bất động Brouwer). Mọi ánh xạ trơn từ đĩa Dn vào chính nó đều có
điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử hàm trơn f : Dn → Dn không có điểm bất động, nghĩa là f (x) , x với mọi
x ∈ Dn. Đường thẳng từ f (x) tới x sẽ cắt biên ∂Dn tại một điểm g(x).
f (x)
x g(x)
Có thể kiểm được g là trơn (Bài tập 3.3.25). Ta có g |∂Dn = id∂Dn . Vậy g : Dn → ∂Dn là một
phép rút, mâu thuẫn với kết quả đã biết ở Mệnh đề 3.2.1. 
Định lý điểm bất động thường được dùng để chứng minh phương trình có nghiệm. Định lý điểm
bất động Brouwer có nhiều ứng dụng, trong đó có chẳng hạn ứng dụng vào chứng minh Định lý cơ
bản của Đại số, hay chứng minh định lý về sự tồn tại điểm cân bằng Nash trong Tối ưu, và là cơ sở
cho nhiều định lý điểm bất động khác.
3.3 Dạng khớp và dạng đóng
Dạng α được gọi là một dạng khớp (exact) nếu có dạng β sao cho dβ = α. Một dạng khớp là đạo
hàm của một dạng khác, tương tự như một hàm có nguyên hàm.
Ví dụ 3.3.1. Cho α là một dạng bậc một trên R thì α = f dx và αlà khớp khi và chỉ khi có hàm F
sao cho dF = f dx tức là F ′dx = f dx, tức là F ′ = f . Như vậy F phải là một nguyên hàm của f .
Ví dụ 3.3.2. Trong R2 xét dạng α = Pdx +Qdy. Dạng α là khớp khi và chỉ khi tồn tại hàm F sao
cho dF = α, tương đương với
∂F
∂x
dx+
∂F
∂y
dy = Pdx+Qdy ⇐⇒ ∇F = (P,Q).
Trong vi tích phân hàm nhiều biến, trường (P,Q) mà có hàm F sao cho ∇F = (P,Q) thì được gọi là
một trường bảo toàn và hàm F được gọi là một hàm thế của trường.
Nếu một dạng có đạo hàm bằng dạng 0 thì ta nói dạng là một dạng đóng (closed form).
Giả sử α là một dạng khớp thì có dạng β sao cho dβ = α, nên d(α) = d(dβ) = 0 do tính chất
d2 = 0. Vậy:
50 CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG
Mệnh đề 3.3.3. Một dạng khớp thì đóng.
Vậy đóng là điều kiện cần để khớp.
Ví dụ 3.3.4. Nếu α = Pdx +Qdy thì dα =
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dxdy. Như vậy α là đóng khi và chỉ khi
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
.
Ví dụ 3.3.5. Nếu α = Pdx+Qdy+Rdz thì
dα =
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dxdy+
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
)
dydz+
(
∂P
∂z
− ∂R
∂x
)
dzdx,
do đó dα = 0 khi và chỉ khi 
Ry = Qz
Pz = Rx
Qx = Py .
3.3.1 Bổ đề Poincaré
Một đa tạp M được gọi là là thắt được (contractible) (trơn) nếu nó đồng luân trơn với một không
gian chỉ gồm một phần tử, tức là có x0 ∈ M và có một hàm trơn
φ : M ×[0,1] → M
sao cho với mọi x ∈ M thì φ(x,0) = x, φ(x,1) = x0.
Ta có thể nghĩ tới phép đồng luân φ như một quá trình theo thời gian t, và viết φt (x) = φ(x, t) để
thể hiện điều này, khởi đầu với ánh xạ đồng nhất φ0 = id, và kết thúc bằng ánh xạ hằng φ1 = x0.
Ví dụ 3.3.6. Không gian Rn là thắt được bằng cách kéo mọi điểm về 0 qua đường thẳng, cụ thể bằng
phép đồng luân φ(x, t) = (1− t)x. Tương tự, một quả cầu trong Rn cũng là thắt được về tâm của nó.
Một tập D ⊂ Rn được gọi là một miền hình sao (star-shaped region) nếu có một điểm x0 ∈ D
sao cho với mọi điểm x ∈ D thì đoạn thẳng nối x0 và x được chứa trong D.
Ví dụ 3.3.7. Không gian Rn là một miền hình sao. Một tập con lồi của Rn là một miền hình sao.
Không khó để thấy Rn trừ đi một điểm không là miền hình sao.
Bằng lý luận như trường hợp Rn, dùng phép đồng luân kéo điểm x bất kì về tâm x0, cụ thể
φ(x, t) = (1− t)x+ t x0, ta thấy một miền hình sao là thắt được.
Định lý 3.3.8 (bổ đề Poincaré). Mọi dạng đóng bậc lớn hơn 0 trên đa tạp thắt được đều khớp.
Chứng minh. Giả sử M ⊂ Rn là một đa tạp thắt được, do đó có x0 ∈ M và có phép đồng luân
φ : M ×[0,1] → M sao cho với mọi x ∈ M thì φ0(x) = φ(x,0) = x, φ1(x) = φ(x,1) = x0. Xét hai ánh
xạ nhúng i0, i1 : M→M×[0,1] với i0(x)= (x,0) và i1(x)= (x,1), thì φ0 = φ◦i0 = id và φ1 = φ◦i1 = x0.
Xét toán tử
F :Ωk+1 (M ×[0,1]) →Ωk (M)
cho bởi: với
γ =
∑
I
fI (x, t)dxI +
∑
J
gJ (x, t)dtdxJ
trong đó I là bộ (k +1) chỉ số, J là bộ k chỉ số, k > 0, thì
Fγ =
∑
I
(∫ 1
0
gJ (x, t)dt
)
dxJ .
Ta chứng minh i∗1γ− i∗0γ = Fdγ+ dFγ, tức là
i∗1 − i∗0 = Fd+ dF . (3.3.9)
Ta chỉ chứng minh cho kéo lui thông qua tham số hóa địa phương.
3.3. DẠNG KHỚP VÀ DẠNG ĐÓNG 51
Trường hợp γ = f (x, t)dxI : Khi đó Fγ = 0 (do γ không chứa dt), nên dFγ = 0. Trong khi đó
dγ =
(
∂ f
∂t
dt
)
dxI +
(
n∑
i=1
∂ f
∂xi
dxi
)
dxI,
suy ra
Fdγ =
(∫ 1
0
∂ f
∂t
(x, t)dt
)
dxI = [ f (x,1)− f (x,0)]dxI .
Ta lại có
i∗1γ− i∗0γ = i∗1 f dxI + i∗0 f dxI = [ f ◦ i1− f ◦ i0]dϕI = [ f (x,1)− f (x,0)]dxI .
Vậy i∗1γ− i∗0γ = Fdγ+ dFγ.
Trường hợp γ = g (x, t)dtdxJ : Ta có Fγ =
(∫ 1
0 g(x, t)dt
)
dxJ , suy ra
dFγ =
(
n∑
i=1
∂
∂xi
(∫ 1
0
g(x, t)dt
)
dxi
)
dxJ =
[
n∑
i=1
(∫ 1
0
∂g
∂xi
(x, t)dt
)
dxi
]
dxJ .
Mặt khác
dγ = d (gdtdxJ ) =
(
n∑
i=1
∂g
∂xi
(x, t)dxi
)
dtdxJ = −
n∑
i=1
∂g
∂xi
(x, t)dtdxidxJ .
Suy ra
Fdγ = −
n∑
i=1
(∫ 1
0
∂g
∂xi
(x; t)dt
)
dxidxJ .
Từ đó ta có Fdγ+ dFγ = 0. Mặt khác
i∗1γ− i∗0γ = i∗1 (gdtdxJ )− i∗0 (gdtdxJ ) = 0,
do i∗1dt = i
∗
0dt = 0. Vậy i
∗
1γ− i∗0γ = Fdγ+ dFγ.
Áp dụng công thức (3.3.9) cho γ = φ∗α ta được
φ∗1α−φ∗0α = i∗1γ− i∗0γ = Fdγ+ dFγ = Fdφ∗α+ dFφ∗α = Fφ∗dα+ dFφ∗α. (3.3.10)
Đây thường được gọi làCông thức đồng luân. Chú ý dα = 0, φ∗0 = id, φ
∗
1 = 0, ta được α = d(−Fφ∗α).
Bổ đề Poincaré được chứng minh xong. 
Ví dụ 3.3.11. Trên R2, xét α = ydx+ xdy. Với phép đồng luân
φ (x, y, t) = (1− t) (x, y) = ((1− t)x, (1− t)y)
ta tính được
φ∗α = (1− t)yd ((1− t)x)+ (1− t)xd ((1− t)y) = (1− t)y (−xdt + (1− t)dx)+ (1− t)x ((1− t)dy− ydt)
= (1− t)2ydx+ (1− t)2xdy−2(1− t)xydt,
và
Fφ∗α =
∫ 1
0
−2(1− t)xydt = −xy.
Ta kiểm được ngay d(−Fφ∗α) = d(xy) = α, do đó α là khớp.
52 CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG
Bài tập
3.3.12. Giả sử có một điện tích q tại một điểm O. Theo định luật Coulomb, điện trường gây bởi điện tích q này
tại một điểm bất kì trong không gian R3 có vị trí cho bởi vectơ ®r đi từ điểm mang điện tích q tới điểm đang xét
là:
F(®r) = q
4pi0 |®r |3
®r .
Đáng chú ý là điện trường có độ lớn tỉ lệ nghịch với |®r |2, do đó định luật Coulomb thường được gọi là một luật
nghịch đảo bình phương (inverse-square law). Ta biết trọng trường cũng được cho bởi một luật nghịch đảo bình
phương:
F(®r) = −mMG|®r |3 ®r .
Chứng tỏ rằng một trường có dạng F = k ®r| ®r |m (được gọi là một trường xuyên tâm, radial) thì có div = 0 khi và
chỉ khi m = 3, tức là trường được cho bởi một luật nghịch đảo bình phương.
3.3.13. Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở với biên trơn ∂Ω. Chứng minh công thức
vol(Ω) = 1
n
n∑
i=1
(−1)i−1
∫
∂Ω
xidx1 · · ·dxi−1 d̂xidxi+1 · · ·dxn .
3.3.14 (dạng thể tích của mặt cầu). Gọi Sn(R), n ≥ 1, là mặt cầu n-chiều tâm 0 với bán kính R, biên của quả
cầu Bn+1(R) tâm 0 bán kính R. Chứng tỏ dạng thể tích của Sn(R) là
dS =
1
R
n+1∑
i=1
(−1)i−1xidx1 · · ·dxi−1 d̂xidxi+1 · · ·dxn+1.
3.3.15 (dạng góc tổng quát). Tiếp tục Bài tập 1.2.56, trên Rn \ {0} xét dạng
ω =
n∑
i=1
(−1)i−1 xi‖x‖n dx1 · · ·dxi−1 d̂xidxi+1 · · ·dxn .
Chứng tỏ dạng ω là đóng nhưng không khớp.
3.3.16 (thể tích mặt cầu). Hãy dùng (3.1.4) với F(x) = x, hoặc bài 3.3.13, tham khảo bài 2.4.16, để được công
thức thể tích n chiều của mặt cầu n chiều:
vol(Sn(R)) = n+1
R
vol(Bn+1(R)) =

2(2pi)n/2
1 ·3 · · · (n−1)R
n, n chẳn
(2pi)(n+1)/2
2 ·4 · · · (n−1)R
n, n lẻ (nếu n = 1 hiểu là không có chia)
=
2pi
n+1
2
Γ( n+12 )
Rn .
3.3.17. Dùng Công thức Stokes, hãy chứng tỏ dạng thể tích của một đa tạp không có biên, được định hướng,
compắc là đóng nhưng không khớp.
3.3.18. Dùng Bổ đề Poincaré, hãy chứng tỏ rằng đa tạp không có biên, định hướng được, compắc là không thắt
được.
3.3.19. Xét phép đổi biến
ϕ : Sn−1→ S(0,r)
x 7→ r x.
Chứng tỏ
ϕ∗(dS(0,r)) = rn−1dSn−1.
3.3.20. Chứng minh công thức sau:∫
S(0,r)
f (x)dS(0,r) =
∫
Sn−1
rn−1 f (r x)dSn−1.
3.3. DẠNG KHỚP VÀ DẠNG ĐÓNG 53
3.3.21. Cho f là hàm trơn trên quả cầu đóng B′(0,R).
(a) Đặt
ω =
(∫ 1
0
rn−1 f (r x)dr
)
dSn−1.
Tính trực tiếp để chứng tỏ
dω =
[∫ 1
0
d
dt
[
tn f (t x)] dt] dx1 · · ·dxn = f (x)dx1 · · ·dxn .
(b) Chứng minh công thức sau, còn được gọi là công thức tích phân trong tọa độ cực:∫
B(0,1)
f (x)dx1 · · ·dxn =
∫
Sn−1
(∫ 1
0
rn−1 f (r x)dr
)
dSn−1.
3.3.22. Chứng tỏ nếu u là hàm điều hòa (harmonic) nghĩa là ∆u = 0, thì
∫
∂Ω
∇u · ndS = 0, nghĩa là tổng thông
lượng của dòng của u qua một mặt biên bất kì chứa trong miền phải bằng 0.
3.3.23 (giá trị trung bình). Cho f là một hàm liên tục trên một lân cận của điểm x ∈ Rn. Gọi B(x,r) là quả
cầu đóng tâm tại x với bán kính r . Chứng tỏ:
lim
r→0
1
vol(B(x,r))
∫
B(x,r)
f dy = f (x),
và
lim
r→0
1
vol(∂B(x,r))
∫
∂B(x,r)
f dS = f (x).
3.3.24 (công thức giá trị trung bình cho hàm điều hòa). Nếu u là hàm trơn điều hòa trên Ω ⊂ Rn thì
u(x) = 1
vol(B(x,r))
∫
B(x,r)
udy =
1
vol(∂B(x,r))
∫
∂B(x,r)
udS
với mọi quả cầu B(x,r) ⊂ Ω. Ta có thể thấy điều này theo các bước sau [Eva97, tr. 25].
(a) Đổi biến z = 1r (y− x):
φ(r) = 1
vol(∂B(x,r))
∫
∂B(x,r)
u(y)dS(y) = 1
vol(∂B(x,r))
∫
∂B(0,1)
u(x+ rz)rn−1dS(z)
=
1
vol(∂B(0,1))
∫
∂B(0,1)
u(x+ rz)dS(z).
(b) Lấy đạo hàm theo r:
φ′(r) = 1
vol(∂B(0,1))
∫
∂B(0,1)
∇u(x+ rz) · zdS(z) = 1
vol(∂B(0,1))
∫
∂B(0,1)
∇u(x+ rz) · ndS(z)
=
1
vol(∂B(x,r))
∫
∂B(x,r)
∇u(y) · ndS(y).
(c) Từ Bài tập 3.3.22 kết luận φ là hàm hằng.
(d) Dùng công thức đổi biến ∫
B(x,r)
udy =
∫ r
0
(∫
∂B(x,t)
udS
)
dt .
3.3.25. Kiểm tra rằng hàm g trong chứng minh của Định lý điểm bất động Brouwer 3.2.2 là trơn.
(a) Giải phương trình giao điểm giữa tia f (x)+ t(x− f (x)), t > 0 với mặt cầu để tìm t.
(b) Chứng tỏ t là trơn theo x.
3.3.26. Cho α và β là dạng đóng. Chứng tỏ αβ cũng là dạng đóng.
3.3.27. Cho α là dạng đóng và β là dạng khớp. Chứng tỏ αβ là dạng khớp.
3.3.28 (công thức đồng luân). Cho φ : M ×[0,1] → N là một phép đồng luân từ φ0 tới φ1. Với α là một dạng
bậc (k +1) trên N thì
φ∗0α−φ∗1α = Fφ∗dα+ dFφ∗α. (3.3.29)
54 CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG
Đề tài đọc thêm
(a) Định lý điểm bất động Brouwer và Schauder (giải tích) [Eva97].
(b) Các phương trình Maxwell về điện từ viết bằng dạng vi phân (toán lý) [Sja15, tr. 30].
(c) Dạng symplectic và ứng dụng (cơ học) [Arn89, tr. 201–205].
(d) Đối đồng điều de Rham (tôpô) [Sja15], [Lee13], [GP74].
(e) Đa tạp trừu tượng và dạng vi phân trên đa tạp trừu tượng (tôpô, hình học) [Lee13].
(f) Toán tử Hodge và toán tử Laplace trên đa tạp (giải tích, tôpô, hình học) [Sja15], [Lee13],
[War83],[Jost08].
(g) Hàm điều hòa và nguyên lý cực đại (phương trình đạo hàm riêng) [Eva97].
Tài liệu tham khảo
[Arn89] V. I. Arnold. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer, 2nd edition, 1989.
[Bre11] Haim Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.
Springer, 2011.
[Eva97] Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 1997.
[GP74] Victor Guillemin and Alan Pollack. Differential Topology. Prentice-Hall, 1974.
[Jost08] Jurgen Jost, Riemannian geometry and geometric analysis, Springer, 5th edition, 2008.
[Lan97] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997, a revision of Analysis I,
Addison-Wesley, 1968.
[Lee13] John M. Lee, Introduction to smooth manifolds, 2nd ed., Springer, 2013.
[LS08] Tạ Lê Lợi và Đỗ Nguyên Sơn, Giải tích 3, Đại học Đà Lạt, 2008. Ngoài tài liệu này còn có
một số tài liệu khác bằng tiếng Việt trình bày dạng vi phân, như bản dịch các quyển sách
của H. Cartan, M. Spivak, nhưng khó tìm được.
[Rud86] Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw Hill, 3 edition, 1986.
[Sja15] Reyer Sjamaar. Manifolds and Differential Forms. 2015. Cornell University. Có bản của
tác giả để trên mạng.
[Spi65] Michael Spivak. Calculus on Manifolds. Addison-Wesley, 1965. Một giáo trình nổi tiếng
dành cho bậc đại học.
[Vugt3] Huỳnh Quang Vũ, Bài giảng Giải tích 3: Tích phân bội và Giải
tích vectơ, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh,
∼hqvu/teaching/gt3.pdf.
[Vutopo] Huỳnh Quang Vũ, Lecture notes on Topology, Ho Chi Minh City University of Science,
∼hqvu/teaching/n.pdf
[War83] Frank Warner, Foundations of Differentiable manifolds and Lie groups, Springer, 1983.
55
Chỉ mục
Định lý điểm bất động Brouwer, 49
đạo hàm, 12, 23
định hướng, 24
định hướng pháp tuyến ngoài đứng đầu, 26
đảo ngược định hướng, 25
được định hướng, 25
đa tạp
biên, 26
có biên, 26
phần trong, 26
điểm dừng, 24
điểm tới hạn, 24
bảo toàn định hướng, 25
công thức đồng luân, 51
dạng, 9
dạng đóng, 49
dạng chiều dài đường, 33
dạng diện tích mặt, 33
dạng góc, 20
dạng góc tổng quát, 52
dạng khớp, 49
dạng thể tích của đa tạp, 33
dạng trơn, 10
dạng vi phân, 10
dạng vi phân trên đa tạp, 32
giá (support), 34
giá trị dừng, 24
hình sao, 50
hàm điều hòa, 53
hàm thế, 49
hệ tọa độ địa phương, 21
kéo lui, 14, 30
không gian tiếp xúc, 23
khả vi liên tục, 7
mêtríc Riemann, 32
hệ số, 33
ma trận Jacobi, 7
miền mở với biên trơn, 45
multilinear
functional, 27
multilinear functional
alternating, 28
phép đồng luân, 50
phép đổi biến bảo toàn định hướng, 17
phép rút, 48
phép vi đồng phôi, 21
phép vi phôi, 21
phiếm hàm k-tuyến tính, 27
tích dạng, 11
tích phân của dạng trên đa tạp, 36
tích phân dạng trên đa tạp
địa phương, 34
thắt được, 50
thể tích, 36
tham số hóa địa phương, 21
trơn, 7, 10, 21
trường bảo toàn, 49
vectơ gradient, 7
vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài, 26
vector tiếp xúc, 23
56