Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT - Phương trình nghiệm nguyên

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
PHẦN I:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1.Số 2 là số nghuyên tố chẵn duy nhất.
2.Phương trình được đưa về dạng f(x).g(x) = k với f(x) và g(x) là các đa thức hệ số nguyên. Ta phân tích k ra thừa số nguyên tố rồi giải các hệ phương trình.
 với m.n = k.
3.Phương trình đối xứng các ẩn của x, y, z.....Khi tìm nghiệm nguyên dương ta có thể giả sử 1 £ x £ y £ z £.....
4.Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.
Dạng 1: Sử dụng phép chia hết và chia có dư.
Hai vế của phương trình nghiệm nguyên khi chia cho cùng một số có số dư khác nhau thì phương trình đó không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau. (1)
Giải:
Rõ ràng x = y = 0 là nghiệm của (1).
Nếu và là nghiệm của (1). Gọi , suy ra 
Ta có: chẵn chẵn, vô lý.
Vậy phương trình (1) chỉ có nghiệm nguyên duy nhất là (0,0).
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau. (1)
Giải:
1)Nếu thì vô lý.
2)Nếu thì từ ta có vàsuy ra . Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng bình phương của ba số nguyên trong phép chia cho 8 không thể có dư là 7 từ đó suy ra phương trình không có nghiệm nguyên.
Giải:
Giả sử: mà nên suy ra 
nhưng vô lý. Vậy 
Phương trình đã cho có thể viết: Từ đó suy ra phương trình không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 4: Giải phương trình sau trên tập số nguyên: 
Giải:
1)Nếu x = 2k thì .
2)Nếu x = 2k + 1 thì vì và .
Vậy Do đó khi chia tổng cho 16 có số dư không vượt quá 7, trong khi đó . Suy ra phương trình không có nghiệm nguyên.
Dạng 2: Phương pháp phân tích.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: a( x+ y ) + b = cxy ( với a, b, c Î Z ) (1)
Ta có: (1) 
Phân tích với m, n Î Z, sau đó lần lượt giải các hệ: 
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
Giải:
Ta có: 
Giả sử: khi đó và 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có các hệ sau:
Giải các hệ trên ta được các nghiệm nguyên dương của phương trình là: ( 1, 18);
( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2);
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Giải:
Vì 105 là số lẻ nên lẻ suy ra y chẵn mà chẵn nên lẻ Þ x = 0.
Với x = 0 ta có phương trình ( 5y + 1 ) ( y + 1 ) = 21.5 Do ( 5y + 1, 5 ) =1 nên
 hoặc Thử lại ta thấy x = 0, y = - 4 là nghiệm nguyên của phương trình.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và có diện tích bằng chu vi.
Giải:
Gọi x, y, z là các cạnh của tam giác vuông : . Ta có:
Từ (1) ta có: 
 do Thay vào (2) ta được:
 vậy các cặp: 
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: với p là số nguyên tố.
Giải:
Ta có: 
Mà .Từ đó phương trình đã cho có các nghiệm nguyên là: 
Dạng 3: Phương trình đối xứng.
Để tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng ta giả sử 1 £ x £ y £ z £..... rồi chặn trên một ẩn.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Giải:
Vì x, y ,z có vai trò như nhau nên ta giả sử 1 £ x £ y £ z . Từ (1) suy ra: 
Với x = 1 ta có .
Vậy (1) có nghiệm nguyên dương ( x, y, z ) = ( 1, 2, 3 ) và các hoán vị của nó.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Giải:
Vì x, y ,z có vai trò như nhau nên ta giả sử x ³ y ³ z ³ t ³1 . Từ (1) suy ra:
*)Với ta có:
1)Với z = 1 ta có: 
Ta có các nghiệm( x, y, z, t) =( 35, 3, 1, 1 ),( 9, 5, 1, 1 ) và các hoán vị của chúng,
2) Với z = 2, z= 3, phương trình không có nghiệm nguyên dương.
*) Với , ta có: 
 vì .
Khi đó: 
Do nên , mà 265 = 53.5 Trường hợp này phương trình không có nghiệm nguyên dương.
Ví dụ 3: Một tam giác có số đo độ dài của đường cao là mhững số nguyên dương và đường tròn nội tiếp tam giác có bán kính bằng 1. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều.
Giải:
Đặt a = BC, b = CA, c = AB. Gọi độ dài các đường cao ứng với các cạnh a, b, c của tam giác.
Bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 nên x, y, z > 2. Giả sử x ³ y ³ z > 2.
Diện tích tam giác ABC: 
Mặt khác: 
Từ (1) và (2) Suy ra: 
 Thay z = 3 vào ta được:
Vậy x = y = z = 3, khi đó a = b = c. Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
Dạng 4: Phương pháp loại trừ.
Tính chất: Nếu có số nguyên m sao cho thì n không thể là số chính phương.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Giải:
 Với x ³ 5 thì x! có chữ số tận cùng là 0 nên: 
Có chữ số tận cùng là 3 nên không thể là số chinh, Vậy x ³ 5 thì phương trình đã cho không có nghiện nguyên dương.
 Với 1 £ x < 5, bằng cách thử trực tiếp x = 1, 2, 3, 4 phương trình có nghiệm (1,1) và (3,3).
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Giải:
Rõ ràng x = 0, y = ± 1 là nghiệm nguyên của phương trình.
+)Với x > 0 ta có:
 ( vô lý ).
+)Với x £ - 2 thì : ( vô lý ).
+)Với x = - 1 thì : , ( vô lý ).
Vậy phương trình đã cho có hai cặp nghiệm ( 0; 1 ); ( 0; -1 ).
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Giải:
Khai triển và rút gọn hai vế ta được:
+)Nếu x > 0 thì từ suy ra không là số chính phương nên (1) không có nghiệm nguyên.
+)Nếu x < - 1 thì từ suy ra (1) không có nghiệm nguyên.
+)Nếu x = 0 hoặc x = - 1 thì từ (1) suy ra .
Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên ( x; y ) = ( 0; 0 ); ( 0; -1 ); ( -1; 0 ); (-1; -1 );
Dạng 5: Phương pháp xuống thang.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Giải:
Giả sử là nghiệm nguyên của phương trình khi đó đặt thay vào (1) ta được: đặt khi đó:
đặt khi đó: .
Vậy cũng là nghiệm của phương trình.
Quá trình này tiếp tục thì được: là các nghiệm nguyên của (1) với mọi k điều này chỉ xảy ra khi Vậy ( 0, 0, 0 ) là nghiệm duy nhất của 
phương trình đã cho.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Giải:
Giả sử là nghiệm nguyên của phương trình khi đó:
 là số chẵn nên trong các số phải có số
 chẵn số lẻ (0; 2 hoặc 4 ).
+)Nếu đều lẻ thì , trong khi đó .
+)Nếu trong các số có hai số lẻ thì , trong khi đó . Vậy phải là các số chẵn, 
đặt ,,, phương trình trở thành:
Lý luận tương tự ta có: 
Với tiếp tục ta có: 
Là số nguyên vơi mọi n, điều này chỉ xảy ra khi Vậy ( 0, 0, 0, 0 ) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Dạng 6: Hạn chế tập hợp chứa nghiệm dựa vào điều kiện của các ẩn.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
Giải:
Ta thấy từ ta có 
Vì y nguyên nên với chỉ có thể nhận các giá trị: 0; 1; 2; 3; 4; 5. Lựa chọn k trong các số trên để thoả mãn phương trình ta được các nghiệm: .
Dạng 7: Một số dạng khác.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Giải:
Ta có: (1) Do (3, 5) = 1 nênvà 
Đặt ,Ta có: .
Do đó: . Vậy x = ± 2, y = 0.
Phương trình có hai nghiệm nguyên ( 2, 0 ); ( -2, 0 ).
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Giải:
Tac có: .
Vì: nên hoặc 
Giải các hệ phương trình trên ta được các nghiệm nguyên của phương trình là:
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Giải:
Phương trình đã cho được viết lại là: .
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: 
Do y nguyên nên .
+)Với y = 0 ta có x = 0.
+)Với y = 1 ta có x = 1.
+)Với y = 2 và y = 2 ta có không tìm được x nguyên.
Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên là ( x ; y ) = ( 0 ; 0 ); ( 1 ; 1 );
PHẦN II: BÀI TẬP
Dạng 1: Sử dụng phép chia hết và chia có dư.
Giải phương trình trên tập số nguyên.
a).	b).	c).
d).	e).	f).
Dạng 2: Phương pháp phân tích.
Giải phương trình trên tập số nguyên.
a).	b).	c).
d).	e).	e).
Dạng 3: Phương trình đối xứng.
Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình sau.
a).	b).	c).
d).	e).	f).
Dạng 4: Phương pháp loại trừ.
Giải phương trình trên tập số nguyên.
a).	b).	c). d).	e).	f). Dạng 5: Phương pháp xuống thang.
Giải phương trình trên tập số nguyên.
a).	b).	c).
Dạng 6 và Dạng 7.
Giải phương trình trên tập số nguyên.
a).	b). c).