Chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược thời gian bằng phương pháp lặp Landweber

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 10
CHỈNH HÓA BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP LANDWEBER 
Phạm Hoàng Quân*, Phan Trung Hiếu 
Lê Minh Triết, Nguyễn Quang Huy† 
1. Mở đầu 
Bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt nhằm xác định phân bố 
nhiệt độ tại thời điểm ban đầu t = 0 từ phân bố nhiệt độ đo được tại thời điểm sau 
đó, chẳng hạn tại t = 1. Bài toán này còn có thể coi như một bài toán điều khiển: 
bài toán điều khiển phân bố nhiệt độ ban đầu (t = 0) để có thể nhận được phân bố 
nhiệt độ như ý muốn tại thời điểm t = 1. Đây là một bài toán không chỉnh theo 
nghĩa là nó không luôn luôn tồn tại nghiệm và ngay cả khi nghiệm của bài toán 
tồn tại thì nó lại không phụ thuộc liên tục theo dữ kiện. Bài toán này được rất 
nhiều nhà toán học quan tâm khảo sát. Chúng ta có thể tham khảo [1], trong đó 
ngoài các tài liệu trích dẫn phong phú, tác giả còn cho ta một cái nhìn tổng quan 
về các phương pháp khảo sát cũng như chỉ ra những vấn đề còn bỏ ngỏ của bài 
toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt. Cụ thể, trong [2], các tác giả đưa ra 
nghiệm chỉnh hóa như là tổ hợp tuyến tính một số hữu hạn các hàm riêng của 
toán tử - và trong [3], tác giả chỉnh hóa bài toán trong trường hợp tổng quát 
như là một phương trình vi phân trong không gian Hilbert trừu tượng. Để ý rằng 
miền phân bố nhiệt khảo sát trong [2] và [3] là các miền bị chặn. 
Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát bài toán ngược thời gian cho phương 
trình nhiệt trên  . Bài toán sẽ được chuyển về một phương trình tích phân loại 
tích chập và được chỉnh hóa bằng phương pháp lặp Landweber cũng như đưa ra 
đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác. Cụ thể, chúng tôi 
chứng minh rằng nếu sai số giữa dữ kiện chính xác và dữ kiện nhận được do đo 
đạc là  thì sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa có bậc là 
1
1ln

 khi 0. 
*TS, Đại Học Sài Gòn. 
† Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM. 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả 
 11 
2. Phương trình tích phân và chỉnh hóa 
2.1. Bài toán thuận 
Xét phương trình nhiệt 
2
2 , ( , )
u u x t
x t
   
 
  (1) 
với điều kiện 
 u(x,0) = v(x) .x  (2) 
Bài toán thuận cho phương trình nhiệt được khảo sát là nhằm xác định 
u(x,t) thỏa hệ thống (1) - (2) với v(x) là hàm liên tục, bị chặn cho trước. 
Ta dễ dàng tìm được nghiệm của bài toán là 
 21( , ) exp ( )
42
x
u x t v d
tt

 
  
 
 
 . (3) 
2.2. Bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt 
Xét phương trình nhiệt 
2
2 , ( , )
u u x t
x t
   
 
  (4) 
với các điều kiện 
 u(x,0) = v(x) x  (5) 
 u(x,1) = g(x) .x  (6) 
Bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt được khảo sát là nhằm xác 
định ẩn hàm v sao cho hệ thống (4) - (5) - (6) có một nghiệm u với g là dữ kiện 
cho trước. 
Từ (3), thay t = 1, kết hợp với (6), ta có 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 12
21 ( )( )exp ( )
42
xv d g x 
  
 
 
 . (7) 
Đây là một phương trình tích phân loại tích chập theo ( )v  và cũng là một 
bài toán không chỉnh. Thật vậy, ta đặt 
2
( ) exp
4
xK x 
 
 
 
. (8) 
Ta có, với mọi x  
21 1 ( )( )( ) ( ) ( ) ( )exp
2 42
xK v x v K x d v d    
  
 
 
và (7) được viết lại thành 
 ( )( ) ( )K v x g x . (9) 
Từ (8), ta có 
21ˆ ( ) ( ) 2
2
ixK K x e dx e  
 (10) 
và lấy biến đổi Fourier hai vế của (9), ta nhận được đẳng thức 
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )K v g   . 
Xét phương trình 
ˆ ˆ( )P v g 
trong đó 2 2: ( ) ( )P L L   (11) 
 vˆ ˆˆ ˆ( )P v Kv . 
Phương trình ˆ ˆ( )P v g là không chỉnh vì không thỏa tính tồn tại. Thật vậy, 
lấy 
 ˆgˆ K , khi đó 2
ˆˆ 1 ( )ˆ
gv L
K
  . 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả 
 13 
2.3. Chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược thời gian bằng phương pháp lặp 
Landweber 
Bây giờ, gọi exv là nghiệm chính xác cần tìm của (9) ứng với dữ kiện chính 
xác exg ở vế phải và gọi g là dữ kiện bị nhiễu nhận được do đo đạc, ta được kết 
quả sau 
Định lí. Giả sử 2 ( )exv L  và 2exg g  với 2. là chuẩn trong 
2( )L  . Khi đó, tồn tại nghiệm xấp xỉ ổn định v của (9) sao cho 2 0exv v 
khi 0 . Hơn nữa, nếu 1( )exv H  , (0,1) thì 
2ex
v v 
1ln
C

với C là hằng số thỏa 
 1 24max 1, ,C E E , 
trong đó 1 2,E E là các hằng số dương sao cho 2ˆexv 1 22ˆ, exE v E , 
với ( )x x . 
Chứng minh. Từ (11), ta có 
2 2 2: ( ) ( )P L L   
trong đó 
   
22 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )P v P P v P Kv P K v K K v KKv K v . 
Ta có dãy lặp theo phương pháp lặp Landweber : 
 20 2 1 11 1 1 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 à ( ) (1 )
2 2 2 2
m m mv v v I P v Kg K v Kg
 .(12) 
Bằng cách quy nạp theo m, ta thấy rằng ˆmv có dạng như sau 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 14
 
1 2
0
1 1ˆˆ ˆ 1
2 2
km
m
k
v Kg K
 , với m = 1, 2, . (13) 
Từ (13), ứng với dữ kiện đo, ta có 
 
1 2
0
1 1ˆˆ ˆ 1
2 2
km
m
k
v Kg K  
 , với m = 1, 2, , (14) 
và ứng với dữ kiện chính xác, ta có 
 
1 2
0
1 1ˆˆ ˆ 1
2 2
km
m
ex ex
k
v Kg K
 , với m = 1, 2, . (15) 
Ta có 
2 2
ˆ ˆm mex exv v v v  2 2ˆ ˆ ˆ ˆ
m m m
ex ex exv v v v . (16) 
Trước tiên, ta chứng minh 
2
ˆ ˆ 0m mexv v khi 0 . 
Từ (14) và (15), ta có 
 
1 2
0
1 1ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) 1
2 2
km
m m
ex ex
k
v v K g g K  
 , với m = 1, 2, . (17) 
Hơn nữa, chú ý đến (10), ta có 
 2 22 2 21 10 ( ) 2 12 2K e e
  
 với mọi   , 
suy ra 
  210 1 ( ) 12 K  . (18) 
Từ (17) và (18), ta có 
2
1 2
0
1 1ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 1
2 2
km
m m
ex ex
k
v v e g g K  
 1 ˆ ˆ2 exm g g . 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả 
 15 
Vậy 
2 221ˆ ˆ ˆ ˆ
2
m m
ex exv v m g g  
 . (19) 
Hơn nữa, vì 2ˆ ˆ( ) ( )exg g L  nên 
2ˆ ˆ( ) ( )m mexv v L  . (20) 
Từ (19) và (20), ta có 
2
1ˆ ˆ
2
m m
exv v m 
 2exg g 
1
2
m
 . (21) 
Bây giờ, ta sẽ chọn ( )m  sao cho ( )m  và 1 ( ) 0
2
m  
 (khi 
0 ). 
Ta chọn ( )m  sao cho 1 1( )
2
m 
 
 . Vậy ta chọn 
2( )m 

 (22) 
trong đó 
2 

 là số nguyên lớn nhất không vượt quá 
2 

. 
Khi đó 
0
( )m


 và ( ) ( )
2
1 1ˆ ˆ0 ( )
2
m m
exv v m
 
     
 . 
Vậy 
2
ˆ ˆ 0m mexv v khi 0 . (23) 
Tiếp theo, ta chứng minh 
2
ˆ ˆ 0mex exv v khi m . 
Ta có 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 16





2 2
1 2
2 2
0
1 11 1 1 1
1 2 21 1 12 1 (1 )
2 2
m m
km
k
K K
K
K K
 . (24) 
Từ (15) kết hợp với (24), ta có 



2
2
2
11 1
1 12ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) 1 (1 )12 2
2
m
m m
ex ex ex
K
v K Kv v K
K
, (25) 
suy ra 
 2 21 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 (1 ) (1 )
2 2
m m m
ex ex ex ex exv v v K v v K 
. (26) 
Từ (26) và (18), ta có 

2
22 21ˆ ˆ ˆ ˆ1
2
m
m
ex ex ex exv v v K v 
và 
 
2
22 2 1ˆ ˆ ˆ( ) 1 0
2
m
m
ex ex exv v v K 
 khi m . 
Vì 2ˆ ( )exv L  nên theo Định lí hội tụ bị chặn, ta có 
 2ˆ ˆ ( )mex exv v L  (27) 
và 
2
ˆ ˆ 0mex exv v khi m . (28) 
Từ (16), (23), (28), ta được 
2
0m exv v khi 0 . 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả 
 17 
Đặt mv v  . Như vậy, ta đã chứng minh được 
2
0exv v khi 0 . 
Bây giờ, với giả thiết 1( )exv H  và ( )x x , ta có 
2 ( )exv L  , 
suy ra 
 2 ( )exv L  . 
Hơn nữa, ta có 
 ˆ( ) ( ),ex exv i v   
suy ra 
 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ex ex ex exv i v v v        . 
Vậy 
2ˆ ( )exv L  . 
Từ (27) và (26), ta có 
 2
2 222 2 2 2
2
1ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 1 ( ) ( ) 1
2
m m
m
ex ex ex exv v v K d v e d
    
  
 2 22 22 22 2
\
ˆ ˆ( ) 1 ( ) 1
m m
ex ex
D D
v e d v e d     

 (29) 
trong đó 
 2 2:D r  với mọi 0r , r sẽ được chọn sau . 
Với mọi D , ta có 2 2r , suy ra 
22 221 1 re e  , cho nên 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 18
 22 222 2 22ˆ ˆ( ) 1 ( ) 1 mm rex ex
D D
v e d v e d    . 
Hơn nữa, ta có 
 2 2 22 2 22 22 2 2ˆ ˆ( ) 1 1 ( ) 1m m mr r rex ex
D D
v e d e v d e      
2
2
ˆexv . 
Vậy 
 22 222 22ˆ ( ) 1 1 mm rex
D
v e d e   
2
2
ˆexv . (30) 
Mặt khác, từ (10) và (18), ta có 
 2 220 1 1me  , 
 (31) 
suy ra 
 2
22 22
\ \
ˆ ˆ( ) 1 ( )
m
ex ex
D D
v e d v d    
 
. (32) 
Hơn nữa, với mọi D thì 2 2 2( ) ,r   suy ra 2 2
1 1
r
 , cho nên 
2 2 2
2 2
\ \
1 1ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ex ex ex
D D
v d v d v d
r r 
          
  
2
2 2
1 ˆexvr
 . (33) 
Từ (32) và (33), ta được 
 2
22 22
2 2
\
1ˆ ˆ( ) 1
m
ex ex
D
v e d v
r


   

. (34) 
Từ (29), (30), (34), ta được 
 2
22 2
2
ˆ ˆ 1
m
rm
ex exv v e 
2
2
ˆexv 2
1
r
2
2
ˆexv , 
suy ra 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả 
 19 
 222ˆ ˆ 1
m
rm
ex exv v e 
2
ˆexv 2
1 ˆexvr
 . (35) 
Từ (16), (21), (35), ta được 
2
1
2
m
exv v m  
 221
m
re  
2
ˆexv 2
1 ˆexvr
 
 22 1 21 112
m
rm e E E
r



 221 1 112
m
rC m e
r



  
 
 (36) 
với C1 là hằng số thỏa 
 1 1 2max 1, ,C E E . 
Hơn nữa, ta có 
2
2 2
2
2 2
1 1
1 1
mm r
r r
e
e e

 
 m  . (37) 
Theo bất đẳng thức Bernoulli, ta có 
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
m
r r
r r
e me
e e
 
 
 m  . (38) 
Từ (37) và (38), ta được 
 2 2 2
2
2
2 2
2
1 11
11
1
m
r
r r
r
e
me me
e

 

 m  . (39) 
Từ (36) và (39), ta được 
 21 22
1 1 1
2 1
m
ex r
v v C m
rme  

 
 
 
. (40) 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 20
Với cách chọn ( )m  như (22) thì ( )m  và 1 ( ) 0
2
m  
 (khi 
0 ), ta sẽ chọn r sao cho r và 22
1 0
1 ( ) rm e  
(khi 0 ). 
Ta chọn r sao cho 
22 1
( )
re
m


 , suy ra 
ln( ( ))
2
mr

 , khi đó 
0
r


 và 2
0
2
1 1
1 ( )1 ( ) r mm e 


0. 
Như vậy, từ (40), với cách chọn 
2( )m 

, 
ln( ( ))
2
mr

 , ta 
được 
( )
12
1 2
1 ( ) ln( ( ))
m
exv v C m m

   
  
 
 (41) 
với C1 là hằng số thỏa 
 1 1 2max 1, ,C E E . 
Bây giờ, ta chứng minh với (0,1) thì ( )
2 1ln
m
ex
Cv v

, 
với 1 24max 1, ,C E E . 
Vì (0,1) nên 0 1 , suy ra 1 1

 . Ta dễ dàng có 
1 1ln
 
, (42) 
suy ra 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả 
 21 
1ln 1 

, 
vì vậy, ta được 
1
1ln


 với (0,1) . (43) 
Vì 0 2 1 nên 2 2
2 1
 
. Ta dễ dàng có 
1 2 2 21 ( )
2
m 
   
. (44) 
Từ (42) và (44), ta có 
1ln ( )m 

, 
suy ra 
1ln ( ) ( ) 1m m 

, 
vì vậy, ta được 
1 1
( ) 11ln
m 

 với (0,1) và với 2( )m 

. (45) 
Từ (44), ta có 
1ln( ( )) lnm 

, 
suy ra 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 22
 1 1ln( ( )) ln
2
m 

, 
vì vậy, ta được 
2 2
ln( ( )) 1ln
m 

 với (0,1) và 2( )m 

. (46) 
Từ (41), (43), (45), (46), ta được 
( )
12
1 1 2
1 1 1ln ln ln
m
exv v C


  
 
 
 
1ln
C

, 
trong đó 
 1 1 24 4max 1, ,C C E E . 
Như vậy, ta đã chứng minh được 
2ex
v v 
1ln
C

 với (0,1) . 
Định lí đã được chứng minh. 
2.4. Ví dụ minh họa 
Ta xét một ví dụ cụ thể minh họa cho các tính toán lý thuyết ở mục 3. 
Xét phương trình nhiệt 
2
2 , ( , )
u u x t
x t
   
 
  
với các điều kiện 
 u(x,0) = v(x) x  
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả 
 23 
 u(x,1) = g(x) .x  
Xét dữ kiện chính xác 
2
51( )
5
x
exg x e
 , 
thì 
2
1 1
2 2 2
5 4
2
1 1 5
5 5 102
x
exg e dx
 , 
và nghiệm chính xác tương ứng là 
2
( ) xexv x e
 , 
suy ra 
2
2
41 1ˆ ( ) .
2 2
x ix
exv e e dx e


Xét dữ kiện bị nhiễu 4 10( ) (1 ) ( )exg x g x  
 , ta có 
4
2
2
10
ex exg g g  
 4
2
10
exg 
 4 4
10
10
 
 . 
Khi đó, nghiệm chỉnh hoá là 
1 ˆ( ) ( )
2
i xv x v e d    
 , 
trong đó 
 
2
2
21 2
0
1 1 1 (1 )ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )
2 2 2
k mm
m
k
ev v K g K g
e

    
     
 , 
với 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 24
2ˆ ( ) 2K e  , m = 2 

, 
25
44
1 1 10ˆ ( ) ( ) 1
2 2
i xg g x e dx e


   
 . 
Ta tính được sai số và đánh giá sai số cho bởi bảng sau 
trong đó 
2 2
ˆ ˆex exv v v v  , 42 2 2 .C 
 m vˆ 
2 1ln
ex
Cv v

2ex
v v 
110 
7 
6 2
0
1 1ˆ ˆ 1
2 2
k
k
Kg K 
 4.1735 0.008484 
210 
25 
24 2
0
1 1ˆ ˆ 1
2 2
k
k
Kg K 
 2.9511 0.007992 
310 
79 
78 2
0
1 1ˆ ˆ 1
2 2
k
k
Kg K 
 2.4096 0.007623 
410 
250 
249 2
0
1 1ˆ ˆ 1
2 2
k
k
Kg K 
 2.0867 0.007356 
510 
792 
791 2
0
1 1ˆ ˆ 1
2 2
k
k
Kg K 
 1.8664 0.007172 
1010 
250662 

250661 2
0
1 1ˆ ˆ 1
2 2
k
k
Kg K 

1.3198 0.006813 
30010 
2.50662
8.10150 
1502.506628.10 1
0
1 1ˆ ˆ 1
2 2k
Kg K 

0.2410 0.006729 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả 
 25 
Hình vẽ biến đổi Fourier của nghiệm chính xác và biến đổi Fourier của 
nghiệm chỉnh hóa. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Dang Dinh Ang (1990), On the backward parabolic equation: A critical 
survey of some current methods, Numerical Analysis and Mathematical 
Modelling, Warsaw, 509-515. 
[2] Dang Dinh Ang and Dang Dinh Hai (1990), On the backward heat 
equation, Annales, Polomici Mathematici, LII, 29-32. 
[3] Dang Dinh Ang (1985), Stabilized approximate solutions of the inverse 
time problem for a parabolic evolution, J. Math. Anal. Appl, 1, 148-155. 
[4] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân, 
Phạm Hoàng Quân (2007), Biến đổi tích phân, NXBGD. 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 26
[5] Andreas Kirsch (1996), An Introduction to the Mathematical Theory of 
Inverse Problems, Springer. 
[6] Nguyễn Cam, Phạm Hoàng Quân (1998), Chỉnh hóa một bài toán ngược 
thời gian cho phương trình nhiệt, Tạp chí Phát triển Khoa học & Công 
nghệ, Tập 1, số 5. 
[7] P.H.Quan, T.N.Lien, D.D.Trong (2005), A discrete form of the backward 
heat problem on the plane, International Journal of evolution equations, 
Volume 1, Number 3, September. 
[8] Pham Hoang Quan, Nguyen Dung (2005), A backward nonlinear heat 
equation: regularization with error estimates, Applicable Analysis, 
Vol.84, No.4, April. 
Tóm tắt 
Chúng tôi khảo sát một bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt. 
Bài toán được quy về việc khảo sát một phương trình tích phân loại tích chập và 
được chỉnh hóa bằng phương pháp lặp Landweber với các đánh giá sai số. 
Abstract 
Regularization of an inverse time problem for the heat equation with 
Landweber method 
We consider an inverse time problem for the heat equation. The problem is 
formulated as an integral equation of the convolution type and is regularized via 
the Landweber method with error estimates.