Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh Tiểu học thông qua việc hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng nhiều cách

33 
TẠP CHÍ KHOA HỌC 
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 6 (9/2016) tr 33 - 42 
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TIỂU HỌC 
THÔNG QUA VIỆC HƯỚNG DẪN HỌC SINH 
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH 
Hà Huy Hoàng 
Khoa Tiểu học - Mầm non, Trường Đại học Tây Bắc 
Tóm tắt: Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh tiểu học theo hướng tiếp cận năng lực là một vấn đề 
đã và đang được quan tâm trong đổi mới giáo dục hiện nay. Trong khuôn khổ của bài báo, chúng tôi đề xuất biện 
pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh tiểu học thông qua việc hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng 
nhiều cách. 
Từ khóa: Bồi dưỡng năng lực giải toán, giải bài toán bằng nhiều cách, học sinh tiểu học . 
1. Đặt vấn đề 
Bồi dưỡng năng lực giải toán (NLGT) có vai trò quan trọng trong việc phát triển năng lực 
trí tuệ của học sinh tiểu học (HSTH). Hoạt động giải toán là một hoạt động chủ đạo trong dạy 
học toán ở tiểu học. Để giải một bài toán bằng nhiều cách HSTH phải tư duy, chuyển đổi ngôn 
ngữ, biến đổi bài toán về nhiều dạng khác nhau qua các thao tác tư duy và hoạt động trí tuệ (phân 
tích, tổng hợp, tương tự, khái quát hóa, quy lạ về quen ....). Qua hoạt động giải một bài toán bằng 
nhiều cách như vậy, HSTH sẽ tự làm thay đổi vốn kiến thức kỹ năng kinh nghiệm giải toán của 
bản thân và nâng cao được NLGT. 
Theo quan điểm hoạt động việc đi sâu tìm nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán có 
vai trò to lớn trong việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, rèn luyện trí thông minh, khả năng 
và tư duy sáng tạo cho HSTH. Từ đó, vấn đề đặt ra là làm thế nào để bồi dưỡng NLGT cho 
HSTH, để khi đứng trước một bài toán họ có thể tự mình tìm ra lời giải hợp lý nhất và những 
cách giải khác cho bài toán, từ đó tránh lối tư duy máy móc thiếu sáng tạo. Trong bài viết, chúng 
tôi nghiên cứu việc bồi dưỡng NLGT cho HSTH thông qua việc hướng dẫn học sinh giải bài toán 
bằng nhiều cách. 
2. Nội dung nghiên cứu 
2.1. Khái niệm năng lực giải toán 
 Khái niệm năng lực đã được định nghĩa dưới nhiều góc độ khác nhau, trong bài viết này 
chúng tôi sử dụng định nghĩa năng lực và năng lực toán học của nhà tâm lí học V.A. Cruchetxki 
như sau: “Năng lực được hiểu như là: một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người 
Ngày nhận bài: 22/5/2016. Ngày nhận đăng: 25/9/2016 
Liên lạc: Hà Huy Hoàng, e - mail: huyhoangdhtb@gmail.com 
34 
đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt 
động đó”. 
 Năng lực toán học được hiểu theo hai ý nghĩa, hai mức độ: 
 Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc học toán, đối với 
việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắm một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ 
năng, kỹ xảo tương ứng. 
 Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt động sáng tạo Toán 
học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối với xã hội loài người. 
 Trên cơ sở định nghĩa về năng lực và năng lực toán học trên chúng tôi cho rằng: 
 Năng lực giải toán (NLGT) là một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân thực hiện một 
hệ thống hành động, sử dụng có kết quả cao kiến thức, kỹ năng và phương pháp khi giải các 
bài tập toán. 
Năng lực giải toán là một năng lực thành phần của năng lực toán học. Các cá nhân khác 
nhau có NLGT ở các cấp độ khác nhau. Về bản chất NLGT gồm các kĩ năng là thuộc tính kĩ 
thuật của hành động, luôn có sự kiểm soát của ý thức, phản ánh mức độ thực hiện một hành động 
cụ thể khi giải bài toán nào đó. 
Xuất phát từ đặc điểm tâm lý và nhận thức của học sinh tiểu học, trong bài viết chúng tôi 
xác định một số năng lực thành phần trong NLGT của HSTH là: năng lực nhìn nhận bài toán 
dưới nhiều góc độ khác nhau, năng lực giải và diễn đạt bài toán theo những cách khác nhau; 
năng lực quy lạ về quen; năng lực suy luận logic; năng lực khái quát hóa; năng lực thực hành 
giải; năng lực ngôn ngữ; năng lực trình bày, biểu diễn. 
Bồi dưỡng NLGT cho HSTH có thể thông qua bồi dưỡng một số năng lực thành phần. 
Trọng tâm của bài viết là Bồi dưỡng NLGT cho HSTH thông qua hướng dẫn giải bài toán bằng 
nhiều cách. 
 2.2. Biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh tiểu học thông qua hướng dẫn 
giải bài toán bằng nhiều cách 
 Đứng trước một bài toán thông thường nhiều HSTH chỉ xác định tìm ra một cách giải. Đây 
là một hạn chế đối với việc bồi dưỡng NLGT của học sinh, vì một bài toán thường có nhiều kiến 
thức, kỹ năng liên quan. Do vậy khi HSTH biết sử dụng những kiến thức, kỹ năng khác nhau sẽ 
dẫn đến những cách giải bài toán khác nhau. Cụ thể với một bài toán ở tiểu học giáo viên (GV) 
có thể hướng dẫn HSTH sử dụng hoặc kết hợp những phương pháp cơ bản khác nhau để giải 
như: phương pháp sơ đồ đoạn thẳng; phương pháp rút về đơn vị; phương pháp tỷ số; phương 
pháp thử chọn; phương pháp giả thiết tạm; có những bài toán đồng thời có thể giải được bằng các 
phương pháp tính ngược từ cuối, ứng dụng sơ đồ đoạn thẳng và dùng chữ thay số; những bài 
toán suy luận có thể giải bằng giả thiết tạm có thể kết hợp với sơ đồ, kẻ bảng Ngoài một số 
35 
cách biến đổi thường gặp như trên còn một số cách biến đổi khác có thể hướng dẫn cho học sinh 
thực hiện. 
 Như vậy, để bồi dưỡng NLGT cho HSTH mà chỉ yêu cầu các em tìm ra một cách giải là 
chưa đủ. Sau khi học sinh giải xong một bài toán GV cần hướng dẫn HSTH xem xét bài toán 
dưới nhiều góc độ khác nhau để từ đó tìm ra cách giải khác. Qua đó góp phần bồi dưỡng cho các 
em một số năng lực thành phần của NLGT. 
Biện pháp 2.1: Giải bài toán bằng cách đưa về một biểu thức toán học 
 Sau khi giải xong bài toán GV có thể hướng dẫn học sinh lập biểu thức từ các giá trị đã cho 
để từ biểu thức này có thể thấy nhiều cách tính khác nhau, từ đó tìm ra cách giải khác nhau và 
chọn lấy cho mình cách giải hay nhất. 
 Tác dụng của biện pháp: Học sinh nhớ lại tái hiện lại các phương pháp biến đổi biểu thức 
toán học mới dựa trên các phép toán đã học, giúp nâng cao nhận thức về các phép toán và tìm 
được các cách giải khác từ biểu thức mới. 
Ví dụ 2.1. Năm người đi chợ, mỗi người mua 4 gói kẹo, phải trả tổng số tiền 200000 đồng. Hỏi 
nếu có 10 người, mỗi người mua 13 gói kẹo cùng loại thì số tiền phải trả là bao nhiêu? 
Phương pháp tìm nhiều cách giải của bài toán trên được thực hiện qua các bước như sau: 
Bước 1: Tìm một cách giải (sau đây ta gọi là cách 1) 
Bài giải: 
Tổng số gói kẹo của 5 người mua là: 4 x 5 = 20 (gói) 
Giá tiền mỗi gói kẹo là: 200000 : 20 = 10000 (đồng) 
Tổng số gói kẹo của 10 người mua là: 13 x 10 =130 (gói) 
10 người, mỗi người mua 13 gói kẹo phải trả số tiền là: 10000 x 130 = 1300000 (đồng) 
 Đáp số: 1300000 đồng 
Bước 2: Lập biểu thức 
 Sau khi giải xong bằng cách thứ nhất GV có thể hướng dẫn học sinh lập biểu thức chứa các 
giá trị đã cho để từ biểu thức này ta biến đổi và tìm ra những biểu thức mới tạo lời giải khác nhau 
cho bài toán. Biểu thức mới được lập bằng cách thay các giá trị trong một số biểu thức bằng biểu 
thức mới hợp lý. Cụ thể HSTH có thể thực hiện có trình tự như như sau: 
Biến đổi cuối cùng là: 10000 x 130 
Thay giá trị 130 bởi biểu thức: 13 x 10 
Thay giá trị 1000 bởi biểu thức 200000 : 20 
Thay 20 trong biểu thức 200000 : 20 bởi biểu thức 4 x 5 
Thay 200000 : 20 bởi biểu thức 200000 : (4 x 5) 
Biểu thức cuối cùng của đáp số 200000 : (4 x 5) x (13 x 10) (*) 
 Như vậy, sau khi thay ta có biểu thức cuối cùng của đáp số (sau này ta gọi là biểu thức 
số) Cho học sinh nhận xét về phép toán để nhận thấy dấu hiệu có thể khai thác trong biểu thức * 
36 
(Gợi ý: Do biểu thức trên chỉ chứa các phép toán nhân và chia nên sử dụng các tính chất khác 
nhau để tìm giá trị của biểu thức) dẫn đến bước 3. 
Bước 3: Biến đối biểu thức số và trình bày cách giải tương ứng 
 GV gợi ý cho học sinh tìm các cách biểu diễn khác thể hiện kết quả trên bằng cách: thêm 
ngoặc vào vị trí thích hợp trong biểu thức (*) từ đó cho học sinh thực hiện được các cách giải 
khác nhau dựa trên thứ tự thực hiện các phép tính trong dãy hai phép tính nhân và chia. Ta có các 
biến đổi sau: 
Biến đổi 1: dùng dấu ngoặc đơn hợp lý ta có (((200000 : 5) : 4) x 13) x 10 
Đối với biến đổi có ngoặc đơn ta có cách giải thứ 2 cho bài toán như sau: 
 Bài giải: 
Số tiền mua 4 gói kẹo là: 200000 : 5 = 40000 (đồng) 
Số tiền mua mỗi gói kẹo là: 40000 : 4 = 10000 (đồng) (quy về đơn vị theo giá một gói kẹo) 
Số tiền mua 13 gói kẹo là: 10000 x 13 = 130000 (đồng) 
10 người, mỗi người mua 13 gói kẹo phải trả số tiền là:130000 x 10 = 1300000 (đồng) 
Đáp số: 1300000 đồng 
 Biến đổi biểu thức tương tự như trên ta có một số cách giải khác như sau: 
Biến đổi 2: chuyển đổi trong dấu ngoặc đơn hợp lý (((200000 : 4) x 13) : 5) x 10 
ta có cách giải 3: 
Bài giải 
5 người, mỗi người mua 13 gói kẹo phải trả số tiền là: (200000 : 4) x 13 = 650000 (đồng) 
Mỗi người mua 13 gói kẹo phải trả số tiền là: 650000 : 5 = 130000 (đồng) 
 (quy về đơn vị theo một người) 
10 người, mỗi người mua 13 gói kẹo phải trả số tiền là:130000 x 10 = 1300000 (đồng) 
Đáp số: 1300000 đồng 
Biến đổi 3: chuyển đổi dấu ngoặc đơn hợp lý (200000 : (4 x 5) x 10) x 13 ta có cách giải 4: 
Bài giải 
Tổng số gói kẹo của 5 người mua là:4 x 5 = 20 (gói) 
Giá tiền mỗi gói kẹo là:200000 : 20 = 10000 (đồng) 
10 người, mỗi người mua 1 gói kẹo phải trả số tiền là: 10000 x 10 =100000 (đồng) 
10 người, mỗi người mua 13 gói kẹo phải trả số tiền là: 100000 x 13 =1300000 (đồng) 
Đáp số: 1300000 đồng 
 Ví dụ trên cho thấy, bằng cách hướng dẫn HSTH phân tích và biến đổi biểu thức của bài 
toán theo những hướng khác nhau qua khai thác tính chất phép nhân và phép chia trong cùng dãy 
biến đổi, các em sẽ nhận thấy có nhiều cách khác nhau để giải bài toán. Tuy nhiên, tùy từng đối 
tượng HSTH mà GV có thể hướng dẫn chọn phương pháp giải phù hợp với chính năng lực của 
các em. Qua đó người GV đã góp phần bồi dưỡng cho HSTH năng lực suy luận và năng lực diễn 
37 
đạt bài toán theo những cách khác nhau. Bằng cách sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức số 
GV hướng dẫn HSTH có một cơ sở để suy luận tìm ra những cách giải khác nhau cho một bài 
toán. Từ đó giúp HSTH có thể nhìn nhận so sánh, đánh giá để tìm cho mình lời giải phù hợp. 
Biến đổi biểu thức số để tìm ra cách giải mới cho bài toán là một phương thức hữu hiệu cần được 
sử dụng trong giải toán tiểu học. 
Biện pháp 2.2: Dựa vào dấu hiệu của bài toán để sử dụng các phương pháp giải toán cơ 
bản khác nhau. 
 Ngoài phương pháp tìm nhiều lời giải bài toán bằng cách đưa về một biểu thức toán học, 
GV có thể hướng dẫn học sinh dựa vào dấu hiệu của bài toán để sử dụng các phương pháp giải 
toán cơ bản trong việc tìm lời giải cho bài toán chẳng hạn như: Nếu trong bài toán xuất hiện các 
đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch thì có thể nghĩ tới việc sử dụng phương pháp rút về 
đơn vị - phương pháp tỉ số hoặc những bài toán có thể giải được bằng phương pháp tính ngược 
từ cuối thì cũng có thể giải được bằng phương pháp đại số, phương pháp đồ thị 
 Tác dụng của biện pháp: Giúp HSTH nhanh chóng tìm ra lời giải thông qua việc xem xét 
những dấu hiệu của bài toán để từ đó lựa ra phương pháp giải phù hợp. 
Ví dụ 2.2: Nếu mỗi ca có 24 công nhân, mỗi công nhân đứng hai máy thì dệt được 720 m vải. 
Nếu mỗi ca chỉ có 12 công nhân nhưng phải dệt 1440 m vải thì mỗi công nhân phải đứng mấy 
máy? (năng suất mỗi máy như nhau và năng suất mỗi công nhân làm là như nhau). 
GV có thể hướng dẫn học sinh tóm tắt bài toán bằng lời như sau: 
 24 công nhân, mỗi công nhân đứng 2 máy thì dệt được 720 m vải. 
 12 công nhân, mỗi công nhân đứng mấy máy thì dệt được 1440 m vải. 
 GV hướng dẫn HSTH nhận thấy ngay đây là một bài toán tỉ lệ thuận kép gồm bốn đại lượng: 
số công nhân, số máy mỗi công nhân đứng và số vải dệt được. Như vậy đối với bài toán này 
HSTH có thể nghĩ ngay đến việc có thể sử dụng phương pháp rút về đơn vị hoặc tỷ số để tìm lời 
giải của bài toán. Muốn giải bài toán GV hướng dẫn HSTH chọn cố định một đại lượng và tìm 
mối quan hệ của hai đại lượng kia để giải. Từ đó HSTH có thể tìm ra nhiều hướng giải khác nhau 
cho bài toán. Chẳng hạn, HSTH có thể giải bài toán theo các hướng giải như sau: 
Hướng 1: Cố định mỗi công nhân đứng hai máy để tìm 12 công nhân dệt được bao nhiêu mét dễ 
dàng tìm được số máy mà mỗi công nhân phải đứng biết 12 công nhân muốn dệt 1440m vải (cố 
định 12 công nhân). Như vậy, GV có thể hướng dẫn HSTH viết tóm tắt các bài toán phụ như sau: 
Bài toán phụ 1: 
24 công nhân, mỗi công nhân đứng 2 máy thì dệt được 720 m vải. 
 12 công nhân, mỗi công nhân đứng 2 máy thì dệt được A m vải. 
Bài toán phụ 2: 
 12 công nhân, mỗi công nhân đứng 2 máy thì dệt được A m vải. 
 12 công nhân, mỗi công nhân đứng ? máy thì dệt được 1440 m vải. 
38 
- HSTH tìm được lời giải cho hai bài toán phụ là có được lời giải của bài toán ban đầu. 
Để giải bài toán phụ 1, HSTH có thể dùng phương pháp rút về đơn vị hoặc phương pháp tỉ số. 
Cách 1: Giải bằng phương pháp rút về đơn vị: 
Mỗi công nhân đứng hai máy dệt được số mét vải là: 720 : 24 = 30 (m vải) 
Mỗi công nhân đứng hai máy dệt thì 12 công nhân, dệt được là: 30 x 12 = 360 (m vải) 
Cách 2: Giải bằng phương pháp tỷ số: 
24 công nhân gấp 12 công nhân số lần là: 24 : 12 = 2 (lần) 
Mỗi công nhân đứng hai máy dệt, 12 công nhân dệt được số vải là: 720 : 2 = 360 (m vải) 
- Như vậy, sau khi giải xong bài toán phụ thì bài toán phụ thứ hai trở thành là: 
 12 công nhân, mỗi công nhân đứng 2 máy thì dệt được 360 m vải. 
 12 công nhân, mỗi công nhân đứng ? máy thì dệt được 1440 m vải. 
Để giải bài toán này thì HSTH có thể dùng phương pháp rút về đơn vị hoặc phương pháp tỉ số. 
Cách 1. Giải bằng phương pháp rút về đơn vị 
 Nếu mỗi công nhân đứng 1 máy thì 12 công nhân dệt được số mét vải là: 
 360 : 2 = 180 (m) 
 Để dệt 1440m vải thì mỗi công nhân phải đứng số máy là: 
 1440 : 180 = 8 (máy) 
Cách 2. Giải bằng phương pháp tỉ số 
1440m vải gấp 360m vải số lần là: 1440 : 360 = 4 (lần) 
Mỗi công nhân phải đứng số máy là: 4 x 2 = 8 (máy) 
Vậy đáp số của bài toán cần giải là 8 máy. Như vậy, với hướng phân tích thứ nhất HSTH 
giải được bài toán bằng hai cách, mỗi cách sử dụng một phương pháp. 
Hướng 2: Ở trên, đã cố định 12 công nhân. Trong hướng giải tiếp theo này cần giả sử số mét vải 
cần dệt là không thay đổi, ta đưa bài toán ban đầu về hai bài toán phụ như sau: 
Bài toán phụ 1: 
 24 công nhân, mỗi công nhân đứng 2 máy thì dệt được 720 m vải. 
 12 công nhân, mỗi công nhân đứng A máy thì dệt được 720 m vải. 
Bài toán phụ 2: 
 12 công nhân, mỗi công nhân đứng A máy thì dệt được 720 m vải. 
 12 công nhân, mỗi công nhân đứng ? máy thì dệt được 1440 m vải. 
 Với mỗi bài toán tỉ lệ thuận đơn này, học sinh lại có thể sử dụng phương pháp rút về đơn 
vị và phương pháp tỉ số để giải (2 cách) 
Bằng cách cố định một đại lượng và tìm mối quan hệ hai được lượng kia để giải người 
GV đã có thể hướng dẫn học sinh giải bằng nhiều cách đối với bài toán này. Ngoài các hướng 
trên vẫn còn có một số hướng giải khác cho bài toán này mà chúng tôi chưa đề cập đến ở đây. 
39 
Để vận dụng cách làm này vào trong quá trình dạy học thì người GV có thể thay đổi cách 
ra đề toán như sau: 
Nếu mỗi ca có 24 công nhân, mỗi công nhân đứng hai máy thì dệt được 720 m vải. Nếu 
mỗi ca chỉ có 12 công nhân nhưng phải dệt 1440 m vải thì mỗi công nhân phải đứng mấy máy? 
(năng suất mỗi máy như nhau và năng suất mỗi công nhân làm là như nhau). Hãy giải bài toán 
bằng nhiều cách khác nhau nếu có thể. 
Như vậy, bằng cách yêu cầu giải bài toán theo nhiều cách khác nhau, người GV đã góp 
phần bồi dưỡng cho HSTH một số yếu tố của năng lực giải toán như: 
- Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tượng tự: dưới sự hướng dẫn của GV các 
em HSTH đã chuyển được bài toán ban đầu chưa có phương pháp giải cụ thể về các bài toán phụ 
có phương pháp giải quen thuộc như: sử dụng phương pháp rút về đơn vị hoặc tỷ số để giải. 
Qua việc chuyển về bài toán quen thuộc như vậy các em sẽ dễ dàng hình dung ra phương pháp 
chung để giải bài tập ở dạng này. Qua đó HSTH được bồi dưỡng: 
- Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau: thể hiện qua việc phân tích bài 
toán theo những hướng khác nhau. 
- Năng lực diễn đạt bài toán theo những cách khác nhau: thể hiện qua việc tìm tòi và trình 
bày ra nhiều cách giải cho bài toán. 
- Năng lực suy luận và tư duy toán học để tìm cách diễn đạt bài toán, lập luận dưới dạng 
ngắn gọn nhất, dễ hiểu nhất. 
Ngoài ra người GV còn bồi dưỡng cho HSTH năng lực giao tiếp toán học trong suốt quá 
trình tương tác của GV và HSTH 
Biện pháp 2.3: Giải bài toán bằng phương pháp khái quát hóa bài toán cơ bản 
 Từ những bài toán đơn lẻ cùng dạng với nhau nếu có thể thì GV nên hướng dẫn học sinh 
rút ra lời giải tổng quát cho dạng toán để từ đó giúp các em có thể nhanh chóng tìm ra lời giải 
cho những bài toán tương tự khác. Thông qua đó giúp bồi dưỡng cho các em năng lực quy lạ về 
quen, năng lực khái quát hóa trong học toán và giải toán. 
Ví dụ 2.3. Trong hình sau có bao nhiêu hình tam giác? 
Với bài toán này GV có thể hướng dẫn học sinh giải bài toán theo một trong cách giải như sau: 
40 
Cách 1: (phương pháp lắp gép) 
 Để sử dụng cách giải này GV hướng dẫn HSTH đánh số vào hình như trong hình vẽ dưới: 
 Sau khi đã đánh số vào hình như trên GV hướng dẫn học sinh ghép hình theo loại tam giác 
đơn, tam giác đôi, tam giác ba, tam giác bốn. Cụ thể như sau: 
- Có 4 tam giác đơn đó là: ( ); ( ); ( ); ( )1 2 3 4 
- Có 3 tam giác được tạo từ 2 tam giác đơn đó là: ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )1 2 2 3 3 4 
- Có 2 tam giác được tạo từ 3 tam giác đơn đó là: ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 4 
- Có 1 tam giác được tạo từ 4 tam giác đơn đó là: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 
Như vậy tổng số tam giác có trong hình là: 1 2 3 4 10 (hình tam giác) 
Cách 2: (Phương pháp liệt kê theo cạnh chung) 
- Có 4 tam giác chung cạnh A B đó là các tam giác: ; ; ;A B A A B A CA BA B A1 2 3 
- Có 3 tam giác chung cạnh A A 1 đó là các tam giác: ; ;A A A A AAA A C1 2 1 3 1 
- Có 2 tam giác chung cạnh A A2 đó là các tam giác: ;A A A CA A2 3 2 
- Có 1 tam giác có cạnh A A 3 chưa liệt kê đó là: A A C3 
Như vậy tổng số tam giác có trong hình là: 1 2 3 4 10 (hình tam giác) 
Cách 3: (liệt kê theo đoạn thẳng) 
 Ta cố định điểm A sau đó ta đi liệt kê theo đoạn thẳng trên cạnh B C . Số đoạn thẳng liệt 
kê được trên cạnh B C cũng chính là số tam giác tương ứng tạo từ các đoạn thẳng đó với điểm A. 
Cụ thể như sau: 
- Có 4 đoạn thẳng đơn đó là: ; ; ;A A A A CB A A1 1 2 2 3 3 
- Có 3 đoạn thẳng được tạo từ 2 đoạn thẳng đơn đó là: ; ;A AA AB C2 1 3 2 
- Có 2 đoạn thẳng được tạo từ 3 đoạn thẳng đơn đó là: ;B A A C3 1 
- Có 1 đoạn thẳng được tạo từ 4 đoạn thẳng đơn đó là: B C 
Như vậy tổng số tam giác có trong hình là: 1 2 3 4 10 (hình tam giác) 
 Với bài toán tương tự như trên nhưng nếu trên cạnh B C có tới 1000 điểm từ A1 tới A1 0 0 0 
thì số tam giác sẽ là bao nhiêu? 
41 
 Như vậy, nếu chỉ sử dụng 3 cách giải trên thì sẽ không thể giải được bài toán trong trường 
hợp này. Vậy GV cần cho HSTH nhận ra đây là một tình huống có vấn đề và cần tìm ra phương 
án giải quyết. HSTH cần nhận thấy phải chăng để giải bài toán này chúng ta còn có một cách giải 
khác giúp giải quyết được cả 2 bài toán? 
 Lúc này GV cần hướng dẫn HSTH nhìn lại 3 cách giải của bài toán trên ta nhận thấy ở cả 3 
cách giải đều có một cái chung đó là số tam giác đều bằng: 1 2 3 4 10 . Phải chăng quy 
luật ở đây đó là nếu trên cạnh B C có n điểm thì số tam giác sẽ thu được đó là: 
( )n n1 2 3 1 
 Để kiểm chứng quy luật này GV có thể vẽ thêm một trường hợp nữa là trên cạnh B C có 4 
điểm ; ; ;A AA A1 2 3 4 khi đó ta cũng thấy số tam giác là: 
1 2 3 4 5 15 ( hình tam giác) 
 Vậy đến đây HSTH có thể giải quyết được bài toán trên cạnh B C có tới 1000 điểm thì số 
tam giác của hình lúc đó sẽ là: 
...1 2 3 1000 1001 501501 (hình tam giác) 
 Qua các hướng dẫn, GV đã góp phần bồi dưỡng một số năng lực thành phần của năng lực 
giải toán là: năng lực suy luận và năng lực quy lạ về quen; năng lực khái quát hóa toán học; năng 
lực diễn đạt bài toán theo những cách khác nhau; năng lực sử dụng ngôn ngữ. Như vậy, trong 
quá trình dạy học GV có thể nâng cao yêu cầu nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho HSTH khi 
thấy học sinh đã nắm vững kiến thức cơ bản để từ đó góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán nói 
riêng và năng lực toán học nói chung. 
3. Kết luận 
Bài viết đã trình bày ba biện pháp bồi dưỡng NLGT cho HSTH thông qua việc hướng dẫn 
học sinh giải bài toán bằng nhiều cách. Thông qua phân tích và các ví dụ minh họa giải bài toán 
bằng nhiều cách khác nhau GV có thể hướng dẫn cho cho HSTH hoạt động nhìn nhận bài toán 
dưới nhiều góc độ khác nhau và thực hiện giải, diễn đạt bài toán theo những cách khác nhau. Từ 
qua đó HSTH học được cách giải toán bằng nhiều cách. GV đã phần nào hạn chế được ở các em 
HSTH việc học máy móc lười tư duy qua đó giúp các em nắm vững kiến thức hơn để từ đó tạo 
cho các em hứng thú trong học toán và nâng cao NLGT cho bản thân. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Trần Thị Kim Cương (2016), Giải bằng nhiều cách các bài toán hình học 5, Nxb Đại học 
Quốc Gia Hà Nội. 
[2] Cruchetxki V. A. (1973), Tâm lí năng lực toán học của học sinh, Nxb Giáo dục Hà Nội. 
[3] Vũ Quốc Khánh (2012), Rèn luyện năng lực giải toán cho sinh viên đại học thông qua 
khai thác hệ thống bài tập trong môn Ðại số tuyến tính, Luận án tiến sĩ. 
42 
[4] Nguyễn Văn Nho (2008), Bồi dưỡng toán lớp 5 theo chủ đề các bài toán về hình vuông, 
hình chữ nhật và hình tam giác, Nxb Giáo dục. 
[5] Phạm Đình Thực (2004), 100 câu hỏi và đáp về việc dạy toán ở tiểu học, Nxb Giáo dục. 
DEVELOPING MATHEMATICAL SOLVING CAPACITY 
FOR STUDENTS OF PRIMARY EDUCATION THROUGH FLEXIBLE 
RESOLUTIONS 
Ha Huy Hoang 
Faculty of Kindergarten and Primary Education, Tay Bac University 
 Abstract: Developing mathematical solving capacity for students of primary educationin the relation to 
students’ ability has been a subject of concern in recent educational innovation. In this paper, we put forward 
measures in developing mathematical solving capacity for students of primary education though flexible resolutions. 
Keywords: developing mathematical solving capacity, flexible resolutions in mathematical solving students 
of primary education.