Bội chung nhỏ nhất của các ma trận

Nguyễn Thị Khánh Hòa Bội chung nhỏ nhất của các ma trận 
 198 
BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CỦA CÁC MA TRẬN 
Nguyễn Thị Khánh Hòa(1) 
(1) Trường Đại học Thủ Dầu Một 
Ngày nhận 29/12/2016; Chấp nhận đăng 29/01/2017; Email: hoanguyenthikhanh@gmail.com 
Tóm tắt 
Dựa trên những kiến thức đã có về bội chung nhỏ nhất của các số nguyên, kết hợp với 
khái niệm bội chung nhỏ nhất của các ma trận đã được Éugene Cahen định nghĩa trong [1] và 
sử dụng một số kết quả về môđun tự do, các phép toán đối với ma trận, các phép biến đổi sơ 
cấp trên ma trận, cách xác định nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên miền 
chính. Bài viết làm rõ định nghĩa bội chung nhỏ nhất của các ma trận thông qua các ví dụ và 
tính chất. Bài viết cũng chứng minh sự tồn tại và phương pháp tìm bội chung nhỏ nhất của các 
ma trận vuông cùng cấp và của các ma trận chỉ có cùng số dòng trên miền chính. Bài viết cũng 
trình bày chi tiết hơn về thuật toán tìm bội chung nhỏ nhất của các ma trận trên vành số 
nguyên. 
Từ khóa: bội của ma trận, bội chung nhỏ nhất của các ma trận, ma trận trên miền chính. 
Abstract 
LEAST COMMON MULTIPLE OF MATRICES 
Based on existing knowledge about the least common multiple of integers, in combination 
with the definition of least common multiple of matrices that Éugene Cahen definite in [1] and 
used some results of free modules, matrix calculators, the matrix operations and how to 
determine solution of a homogeneous system of equations over the main domain. The article 
clarifies definition of least common multiple of matrices by examples and properties. The 
article also proves the existence and how to find least common multiple of square matrices 
which have same size and least common multiple of matrices which have same numbers of rows 
on the main domain. The article also presents more detail about how to find least common 
multiple of matrices with elements as integers. 
1. Giới thiệu 
 Khái niệm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các ma trận đã được Éugene Cahen định 
nghĩa trong [1]. Khái niệm này được định nghĩa tương tự như BCNN của các số nguyên. Tuy 
nhiên, giữa vành số nguyên ¢ và vành các ma trận m nM R với R là vành tùy ý, là có sự 
khác biệt. Chẳng hạn: phép nhân các số nguyên có tính giao hoán nhưng phép nhân các ma trận 
thì không. Hay ta luôn thực hiện được phép nhân trong vành ¢ nhưng đối với vành m nM R 
thì không phải lúc nào cũng thực hiện được. Do đó, khi R là vành tùy ý thì sự tồn tại BCNN của 
các ma trận không được đảm bảo và phương pháp tìm BCNN của các ma trận cũng không thể 
làm tương tự như trong vành số nguyên được. Trong [1], Éugene Cahen cũng đã đề cập đến 
Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 1(32)-2017 
 199 
phương pháp tìm BCNN của các ma trận, tuy nhiên chúng ngắn gọn và gần như chỉ là sự hướng 
dẫn. Vì vậy, để góp phần làm sáng tỏ vấn đề trên, trong bài viết này, tác giả sẽ đưa ra điều kiện 
để BCNN của các ma trận trên vành R tồn tại và trình bày chi tiết phương pháp tìm BCNN của 
hai ma trận vuông với các phần tử là số nguyên. 
2. Kiến thức chuẩn bị 
2.1. Bổ đề 1 (Định lý 5.3, [4]): Cho R là miền nguyên và ( )m nA M R . Khi đó hệ phương 
trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi rank(A) < n. 
2.2. Bổ đề 2: Cho R là một vành giao hoán và ( ) m nA M R . Tập nghiệm N của hệ 
phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 (1) là R-môđun con của R-môđun 
nR . 
Chứng minh 
 Vì (1) luôn nhận X = 0 làm một nghiệm nên N . 
 1 2, ; ,  R X X N  ta có 1 2 0 AX AX nên 
 1 2 1 2 0 A X X AX AX   
Điều này có nghĩa là 
1 2 X X  cũng là một nghiệm của (1), tức là 1 2 X X N  . 
Vậy N là R-môđun con của R-môđun 
nR . 
2.3. Bổ đề 3 (Định lí 6.1, [3]): Cho R là miền chính và M là môđun con của R -môđun 
nR . Khi đó M là môđun tự do với hạng không vượt quá n . 
2.4. Bổ đề 4 (Bổ đề 2, [5]): Cho R là miền chính. I là iđêan phải (trái) của Mn(R). Khi đó 
I là iđêan phải (trái) chính của Mn(R). 
2.5. Bổ đề 5 (định lý 3, [5]): Xét trên vành ( )m nM ¢ . Bằng cách sử dụng hai phép biến 
đổi sơ cấp trên dòng (đổi chỗ 2 dòng; Cộng vào 1 dòng một bội của dòng khác) ta luôn đưa 
được một ma trận C bất kỳ về dạng bậc thang H và tồn tại một ma trận khả nghịch V sao cho 
VC H . 
3. Nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất 
Trong phần này ta luôn giả sử R là miền chính. 
3.1. Mệnh đề 1: Cho ( ) m nA M R . Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 
AX = 0. (1). Khi đó tập nghiệm của hệ (1) là một môđun tự do. 
Chứng minh: Từ Bổ đề 2 và Bổ đề 3 ta suy ra điều phải chứng minh. Các mệnh đề sau 
đây ta xét trong trường hợp R ¢ . Cho ij D d ( )m nM ¢ là ma trận có tính chất 
 0, 1,  iid i r r m và các phần tử khác bằng 0. D được kí hiệu là D = diag(d1,, dr, 
0,,0) với di = dii, với mọi i = 1,,r. Đặt s = n - r. 
3.2. Mệnh đề 2: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất DX = 0 có vô số nghiệm được 
xác định bằng công thức  
1
0
i s
s
X
I
. 
Với 0 là ma trận không cấp r s . sI là ma trận đơn vị cấp s. 1,i i s  là các tham 
số thuộc ¢ . 
Nguyễn Thị Khánh Hòa Bội chung nhỏ nhất của các ma trận 
 200 
Chứng minh 
Vì D = diag(d1,, dr, 0,,0) nên hệ phương trình đã cho có dạng 
1 1
2 2
 0
 0
 0r r
d x
d x
d x
O
Vì 0 1,id i r  nên ta suy ra 1 ... 0rx x . Do đó hệ có vô số nghiệm xác 
định bằng công thức: 1 1,..., 0,...,0, ,...,n r nx x   
với 1,i i r n  là các tham số tùy ý thuộc ¢ . 
Ta đặt 1 1,...,r s n   . Khi đó công thức xác định nghiệm được viết lại: 
 1 1 2,..., 0,...,0,1,0...,0 0,...,0,0,1,...,0 ... 0,...,0,...,0,1n sx x 
Vậy  
1
0
i s
s
X
I
. 
3.3. Mệnh đề 3: Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0. Khi đó luôn tồn tại 
các ma trận khả nghịch ;m nL M R M ¢ ¢ sao cho 
i) ([2]) LAR = D = diag(d1,, dr, 0,,0). 
ii) Hệ phương trình thuần nhất AX = 0 luôn có nghiệm xác định bằng công thức 
  
1
0
i s
s
X R
I
. 
Chứng minh 
i) Theo Bổ đề 5, bằng cách sử dụng 2 phép biến đổi trên dòng, luôn tồn tại một ma trận 
khả nghịch L sao cho LA = H với H có dạng bậc thang. Hoàn toàn tương tự, bằng cách sử dụng 
2 phép biến đổi sơ cấp trên cột đối với H, luôn tồn tại ma trận khả nghịch R sao cho HR = D 
với D = diag(d1,, dr, 0,,0). 
ii) Vì R khả nghịch nên ta có thể đặt X = RY và vì L khả nghịch nên 
0 0 0 0AX LAX LARY DY . 
Theo Mệnh đề 2, hệ phương trình DY = 0 luôn có nghiệm xác định bằng công thức 
 
1
0
i s
s
Y
I
. Do đó nghiệm của hệ AX = 0 được xác định bằng công thức: 
 
1
0
i s
s
X RY R
I
. 
4. Bội chung nhỏ nhất của các ma trận 
 Trong phần này, ta luôn giả sử R là vành có đơn vị. 
4.1. Các định nghĩa 
Các định nghĩa dưới đây là của Éugene Cahen định nghĩa trong [1]. 
Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 1(32)-2017 
 201 
4.1.1. Bội của ma trận 
Định nghĩa: Giả sử ( )m nA M R . Ta nói ( )m pM M R là bội bên trái của ma trận 
A, nếu tồn tại ( )n pQ M R sao cho M = AQ. Ta nói ( )p nM M R là bội bên phải của ma 
trận A, nếu tồn tại ( )p mQ M R sao cho M = QA. 
Ví dụ: Trong ( )nM R , ma trận 0 là bội bên phải và bên trái của mọi ma trận A vì 0 = 0.A 
= A.0. 
Tính chất: 
 i) Mọi ma trận đều là bội (bên phải và bên trái ) của chính nó. 
 ii) Nếu A là bội bên phải (trái) của B và B là bội bên phải (trái) của C thì A là bội bên 
phải (trái) của C. 
4.1.2. Bội chung của các ma trận 
Định nghĩa: Cho các ma trận A1, A2,, An. Ma trận M được gọi là bội chung bên trái 
(phải) của các ma trận A1, A2,, An nếu M là bội bên trái đồng thời của mỗi ma trận đó. 
Ví dụ: Xét vành số nguyên ¢ . 
0 1 2
0 0 0
M
 là bội chung của bên trái của 
1 1
0 0
A
 và 
1 2 0
.
0 0 0
B
Vì tồn tại các ma trận 
1 1 2
1 0 0
P
, 
0 1 0
0 0 1
0 0 0
Q
 để M = AP = BQ. 
Nhận xét: Ta biết rằng phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận 
đứng trước bằng số dòng của ma trận đứng sau. Do đó khái niệm bội chung bên trái (phải) của 
các ma trận A1, A2,, An chỉ tồn tại khi chúng có cùng số dòng (cột). Vì vậy nếu không có gì 
gây nhầm lẫn và để cho gọn, từ giờ ta chỉ xét trong các trường hợp mà phép nhân ma trận là 
thực hiện được. 
4.1.3. Bội chung nhỏ nhất của các ma trận 
Định nghĩa: Giả sử M là bội chung bên trái (phải) của các ma trận A1, A2,, An. Nếu mọi 
bội chung bên trái (phải) của A1, A2,, An đều là bội bên trái (phải) của M thì M được gọi là 
BCNN bên trái (phải) của các ma trận đó. 
Nhận xét: Nếu trong các ma trận A1, A2,, An có một ma trận 0 thì 0 là bội chung duy 
nhất của chúng và do đó 0 cũng sẽ là BCNN của các ma trận đó. Vì vậy, sau đây ta chỉ xét 
BCNN của các ma trận khác không và cũng chỉ xét BCNN bên trái, gọi tắt là BCNN và viết tắt 
BCNN của A1,A2,,An là 1 2, ,..., nBCNN A A A . 
Ví dụ: Trên 2( )M ¢ , cho 
1 2
0 1
A ,
1 3
.
0 1
B Khi đó, 
1 0
0 1
I là BCNN(A,B). 
 Thật vậy, ta có: 
1 1 I AA BB với 1
1 2
0 1
A , 1
1 3
0 1
B nên I là bội 
chung bên trái của A và B. Hơn nữa, nếu M là một bội chung khác của A và B thì ta luôn có M 
= IM. Điều này có nghĩa M cũng là bội chung bên trái của I. Vậy I là BCNN(A,B). 
Nguyễn Thị Khánh Hòa Bội chung nhỏ nhất của các ma trận 
 202 
Chú ý: 1) Nếu M và 'M là BCNN(A1, A2,, An) thì M và 'M sai khác nhau một ma trận. 
Chứng minh: 
Giả sử A1, A2,, An ( )m nM R và ( ), ( )m p m qM M R M M R . 
Vì M, 'M là 1 2, ,..., nBCNN A A A nên M là bội của 'M và 'M là bội của M. Do đó 
tồn tại P ( )p qM R , Q ( )q pM R để 'M MP và 'M M Q . 
2) Giả thiết thêm R là miền nguyên và M, 'M là các ma trận vuông khác 0 cùng cấp có 
định thức khác 0 thì M và 'M sai khác nhau một ma trận khả nghịch. 
Chứng minh: Theo trên ta có 'M M Q MPQ . Suy ra det det .det .det .M M P Q 
Vì R là miền nguyên nên det .det 1P Q . Suy ra P, Q khả nghịch. 
3) Nếu các ma trận A1, A2,, An 0 có BCNN là 0 thì 0 là BCNN duy nhất của chúng. 
 Chứng minh: 
Giả sử M 0 là một BCNN của các ma trận A1, A2,, An 0 . Theo nhận xét 1, tồn tại 
một ma trận P sao cho M = 0.P. Điều này là vô lý. Do đó 0 là BCNN duy nhất. 
4) Theo chú ý 1 và 3, ta có thể kết luận nếu các ma trận A1, A2,, An có BCNN khác 0 thì 
BCNN của chúng là không duy nhất. 
4.2. Sự tồn tại và phương pháp tìm bội chung nhỏ nhất của các ma trận 
Trước tiên, tác giả xin trình bày định lý về sự tồn tại BCNN của các ma trận vuông khác 
0 với điều kiện R là miền chính và BCNN này cũng sẽ có cùng cấp với các ma trận đó. 
4.2.1. Định lí 1: Giả sử R là miền chính. Khi đó, luôn tồn tại BCNN của các ma trận 
vuông khác 0 thuộc ( ).nS M R 
Chứng minh: Giả sử A1, A2, , An là các ma trận khác 0 tùy ý thuộc Mn(R), ta sẽ chứng 
minh luôn tồn tại BCNN(A1, A2, , An). 
Xét 1 2 ... I I I nI AS A S A S . 
* Ta thấy I là iđêan phải của S. Theo bổ đề 4, vì R là miền chính nên mọi iđêan phải của S 
đều là iđêan phải chính. Suy ra tồn tại M S sao cho: . | I MS M K K S . 
* Vì M I nên tồn tại 1 2, ,..., nQ Q Q S sao cho 1 1 2 2 ... n nM AQ A Q A Q . 
Như vậy M là bội chung của A1, A2, , An. (1) 
Giả sử N S cũng là một bội chung của A1, A2, , An. Khi đó N I . Tức là tồn tại 
 K S sao cho N = MK. Như vậy N cũng là một bội của M. (2) 
Từ (1) và (2) suy ra M là 1 2, ,..., nBCNN A A A . 
Đối với hai ma trận khác 0 có cùng số dòng, BCNN của chúng cũng luôn tồn tại với điều 
kiện R là miền chính và định lý sau cho ta cách tìm BCNN của chúng. 
4.2.2. Định lý 2: Giả sử R là miền chính. Khi đó luôn tồn tại BCNN của hai ma trận khác 
0 có cùng số dòng. 
Chứng minh: Giả sử A m nM R , B m pM R , , 0A B . Ta sẽ tìm BCNN(A, B). 
* Nếu M là bội chung của A và B thì tồn tại hai ma trận P, Q sao cho 
M = AP = BQ. 
Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 1(32)-2017 
 203 
Đặt   C A B là ma trận cấp m n p . 
Khi đó mỗi vectơ cột của 
P
Q
 sẽ là một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần 
nhất CX = 0. (1) 
* Theo Bổ đề 1 và Mệnh đề 1, nếu 
+ rank(C) = n + p thì hệ (1) chỉ có nghiệm tầm thường. Khi đó ma trận 0 là bội chung 
duy nhất và do đó là BCNN(A, B). 
+ rank(C) < n + p thì hệ (1) có tập nghiệm là một môđun tự do với cơ sở S gồm k vectơ 
 1 k n p . Khi đó các nghiệm của hệ (1) được xác định bằng công thức: 
 0
0
i
A
X
B
 với  i là ma trận cột các tham số cấp 1k . 
0
0
A
B
là ma trận gồm các 
cột tọa độ của các vectơ trong cơ sở S và A0, B0 lần lượt là các ma trận cấp n k và p k . 
Vì mỗi vectơ cột của 
0
0
A
B
 cũng là một nghiệm của (1) nên 
  0 0 0
0
0
A
A B AA BB
B
Như vậy M = AA0 chính là bội chung của A và B. 
* Giả sử m qN M R là một bội chung khác của A và B, tức là 1 1N AA BB với 
 1 1;n q p qA M R B M R . 
Rõ ràng mỗi vectơ cột của ma trận 
1
1
A
B
 cũng là một nghiệm của hệ (1). Do đó tồn tại 
các giá trị ij 1, ; 1,R i k j q sao cho 
01
01
ij k q
AA
BB

Tức là 1 0 ij k q
A A 
 . Vì vậy 1 0 ij ijk q k q
N AA AA M 
 . 
Điều này có nghĩa N là một bội của M. Vậy M là BCNN(A, B). 
4.2.3. Phương pháp tìm bội chung nhỏ nhất của nhiều ma trận 
Cho 1 2, ,..., nA A A là các ma trận khác 0 có cùng số dòng trên miền chính R. 
Gọi 2M là 1 2, ,BCNN A A 3M là 2 3, ,BCNN M A , nM là 1, .n nBCNN M A 
Khi đó nM là 1 2, ,..., .nBCNN A A A 
Thật vậy, ta thấy rằng mọi bội chung của 1 2, ,..., nA A A đều là bội chung của 
2 3, ,..., nM A A và ngược lại. Vì vậy ta có 1 2 2 3, ,..., , ,...,n nBCNN A A A BCNN M A A . 
Nguyễn Thị Khánh Hòa Bội chung nhỏ nhất của các ma trận 
 204 
Lặp lại lí luận này nhiều lần, ta sẽ được 1 2 2 3, ,..., , ,...,n nBCNN A A A BCNN M A A 
 3 4, ,..., nBCNN M A A 1.... ,n nBCNN M A 
nghĩa là 
nM là 1 2, ,..., .nBCNN A A A 
Từ Mệnh đề 3 và chứng minh của Định lý 2, ta có được thuật toán tìm BCNN của các ma 
trận trên vành ¢ như sau: 
4.3. Thuật toán tìm BCNN của hai ma trận trên vành ¢ 
Giả sử cần tìm BCNN của A m nM ¢ , B m pM ¢ , , 0A B . 
Bước 1: Đặt   C A B là ma trận cấp m n p và r = rank(C). 
Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất CX = 0. (1) 
- Nếu r = n + p thì hệ (1) chỉ có nghiệm tầm thường. Do đó BCNN(A, B) là ma trận 0. 
- Nếu r < n + p thì chuyển sang bước 2. 
Bước 2: Tương tự thuật toán tìm UCLN của hai ma trận vuông trong [5], ta đưa ma trận 
C về dạng D = diag(d1,, dr, 0,,0) bằng hai phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột). Khi đó ta 
có hai ma trận khả nghịch ;mL M ¢ và n p n pR M ¢ sao cho LCR = D. 
Bước 3: Giải hệ DY = 0. Giả sử tìm được nghiệm là 
 
1
0
i s
s n p s
Y
I
. 
Với s = n + p – r. Is là ma trận đơn vị cấp s.  
1i s
 là ma trận cột các tham số. 
Bước 4: Nghiệm của hệ (1) được tính theo công thức 
 0
1
0
i s
A
X RY
B
với A0, B0 lần lượt là các ma trận cấp n s và p s . 
Bước 5: Khi đó BCNN(A, B) là M = A.A0. 
Ví dụ: Tìm BCNN của hai ma trận A và B ,biết 
1
0
0
A
 và 
1 2
2 0
1 0
B
. 
Đặt  C A B . Ta đưa ma trận C về dạng chéo bằng cách sử dụng hai phép biến đổi 
sơ cấp trên dòng, cột như sau: 
2 2 1 2 3 3 3 2 2
3 3 2 1
1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 2 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0
c c c d d d d d
c c c
C D  
    
Phép biến đổi thứ nhất tương đương với việc nhân thêm bên phải C hai ma trận sơ cấp 
Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 1(32)-2017 
 205 
1
1 1 0
0 1 0
0 0 1
R
 và 
2
1 0 2
0 1 0
0 0 1
R
 . 
Phép biến đổi thứ hai và ba tương đương với việc nhân thêm bên trái C hai ma trận sơ 
cấp 
1
1 1 0
0 0 1
0 1 0
L
 và 
2
1 0 0
0 1 0
0 2 1
L
 . 
Đặt R = R1R2 và L = L2L1. Khi đó LCR = D. 
Hệ phương trình DY = 0 có nghiệm là  
0 0
0 0
1
Y a
a
 với a ¢ là tham số. 
Khi đó hệ phương trình CX = 0 có nghiệm là  
2 2
0 0
1
a
X RY a
a
. 
Vậy ,BCNN A B là  0
1 2
. 0 . 2 0
0 0
M A A
. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Éugene Cahen, Théorie des nombres, Librairie Sciencetifique A. Hermann & Fils, 1914. 
[2] N. Jacabson, Basic Algebra I, W.H. Freeman and Co., San Francisco, 1974. 
[3] Thomas W. Hungerford, Algebra, Springer Science & Business Media, 1974. 
[4] William Brown, Matrices over commutative rings, Marcel Dekker, 1993. 
[5] Nguyễn Thị Khánh Hòa, Nguyễn Thị Kiều Trinh (2016), Ước chung lớn nhất của các ma trận 
vuông, Tạp chí khoa học Đại học Thủ Dầu Một, số 2 (27).