Bài toán ứng dụng cực trị trong kinh tế

GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 1 - 
BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CỰC TRỊ TRONG KINH TẾ 
Phần 1 : Ứng dụng cực trị hàm một biến 
I . Bài toán tìm sản lượng ñể doanh nghiệp ñộc quyền có lợi nhuận cao nhất 
Giả sử một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại hàng, biết hàm cầu của doanh nghiệp ñối với mặt hàng 
ñó là )(PDQD = 
Hàm tổng chi phí )(QCC = 
Trong ñó : 
• QD : Lượng cầu về hàng hoá của doanh nghiệp (Quantity Demand) 
• P : Giá bán của hàng hoá (Price) 
• C : Chi phí của doanh nghiệp (Cost) 
• Q : Sản lượng sản phẩm ñược sản xuất trong một ñơn vị thời gian (Quantity) 
Hãy xác ñịnh mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại 
Phương pháp giải 
Gọi Q là mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại 
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì 
DQQ = 
 => )(PDQ = (Q là hàm số theo biến P) 
 => )(QPP = ( P là hàm số theo biến Q) 
Doanh thu của doanh nghiệp 
 QQPQPR ).(. == (Doanh thu là hàm số theo biến Q) 
Chi phí 
 )(QCC = (Chi phí là hàm số theo biến Q) 
Lợi nhuận 
 )().( QCQQPCR −=−=pi (Lợi nhuận là hàm số theo biến Q) 
 Bài toán trở thành tìm Q ñể hàm π ñạt cực ñại ( ðây là bài toán cực trị hàm một biến) 
 Ví dụ : Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất một loại hàng với PQD 2
1656 −= 
 Hàm chi phí 100100077)( 23 ++−= QQQQC 
 Tìm mức sản lượng Q ñể doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất 
 Giải : 
 Gọi Q là mức sản lượng cần tìm 
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì 
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 2 - 
QP
PDQQ
21312
2
1656)(
−=⇒
−==
Doanh thu của doanh nghiệp 
221312).21312(. QQQQQPR −=−== 
Chi phí 
 100100077 23 ++−= QQQC 
Lợi nhuận 
 10031275 23 −++−=−= QQQCRpi 
Bài toán trở thành tìm Q ñể hàm π ñạt cực ñại ( ðây là bài toán cực trị hàm một biến) 
3121503 2 ++−=′ QQpi 
5220 =∨=⇒=′ QQpi 
 1506 +−=′′ Qpi 
• Tại ñiểm nghi ngờ Q = 2 
01381502.6 >=+−=′′⇒ pi 
pi⇒ ñạt cực tiểu tại Q = 2 (ðây không phải là mức sản lượng cần tìm) 
• Tại ñiểm nghi ngờ Q = 52 
015052.6 <+−=′′⇒ pi 
pi⇒ ñạt cực ñại tại Q = 52 
 Vậy ñể có lợi nhuận cao nhất, doanh nghiệp phải sản xuất ở mức sản lượng Q = 52. 
II . Bài toán xác ñịnh mức thuế ñể thu ñược tổng thuế tối ña 
Giả sử một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại hàng hóa biết hàm cầu của doanh nghiệp về loại hàng 
trên là )(PDQD = và hàm tổng chi phí )(QCC = 
Hãy xác ñịnh mức thuế t ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế nhất. 
Phương pháp giải 
Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất ñể lợi 
nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại. 
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì 
DQQ = 
 => )(PDQ = (Q là hàm số theo biến P) 
 => )(QPP = ( P là hàm số theo biến Q) 
Doanh thu của doanh nghiệp 
 QQPQPR ).(. == (Doanh thu là hàm số theo biến Q) 
Chi phí 
 )(QCC = 
Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp 
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 3 - 
 QtT .= 
Lợi nhuận 
 QtQCQQPTCR .)().( −−=−−=pi 
Trước hết tìm )(tQQ = ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại 
Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế )(. tQtT = ñạt cực ñại. 
Ví dụ Cho PQD −= 2000 
 501000)( 2 ++= QQQC 
Hãy xác ñịnh mức thuế t ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế 
nhất. 
Giải 
Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất ñể lợi 
nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại. 
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì 
DQQ = 
 => PQ −= 2000 
 => QP −= 2000 
Doanh thu của doanh nghiệp 
22000).2000(. QQQQQPR −=−== 
Chi phí 
 5010002 ++= QQC 
Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp 
 QtT .= 
Lợi nhuận 
 50)1000(2 2 −−+−=−−= QtQTCRpi 
Trước hết tìm )(tQQ = ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại 
 tQ −+−=′ 10004pi 
4
10000 tQ −=⇒=′pi 
Vì 04 <−=′′pi nên 
4
1000 tQ −= là mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực 
ñại. 
Khi ñó 
4
1000
..
t
tQtT −== 
 )21000(
4
1
tT −=′ 
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 4 - 
 500
2
10000 ==⇒=′ tT 
 0
2
1
<−=′′T nên tổng thuế T sẽ ñạt cực ñại tại 500=t 
Vậy 500=t chính là mức thuế cần tìm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế nhất 
 Khi ñó doanh nghiệp sẽ sản xuất với mức sản lượng 125
2
5001000
=
−
=Q 
Lưu ý 
Nếu muốn doanh nghiệp sản xuất 200 ñơn vị sản phẩm , thì ta xác ñịnh mức thuế cần thu sao cho 
 200
4
1000
=
−
=
tQ 
 2008001000 =−=⇒ t 
III . Bài toán xác ñịnh mức thuế hàng nhập khẩu 
Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội ñịa về một mặt hàng là 
 )(
)(
PDQ
PSQ
D
S
=
=
Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp ñộc quyền nhập khẩu mặt hàng trên, biết rằng ñơn giá trên thị 
trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (chưa kể thuế) cho một ñơn vị hàng là 0P 
Hãy tính mức thuế nhập khẩu t ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu ñể tổng thuế nhập khẩu thu ñược là lớn 
nhất. 
Phương pháp giải : 
 Gọi t (t > 0) là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu 
 Và Q là lượng hàng doanh nghiệp nhập khẩu 
Khi ñó ñể tiêu thụ hết lượng hàng nhập khẩu thì 
 SD QQQ −= (Chênh lệch cầu và cung trong thị trường nội ñịa, SD QQ > ) 
 )()( PSPDQ −=⇒ ( Sản lượng là hàm số theo biến P) 
Doanh thu 
 [ ])()(. PSPQPQPR −== (Doanh thu là hàm số theo biến P) 
Chi phí 
 [ ])()(.. 00 PSPDPQPC −== 
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp 
 [ ])()(. PSPDtQtT −== 
Lợi nhuận 
 [ ]( )tPPPSPDTCR −−−=−−= 0)()(pi 
Trước hết tìm )(tPP = ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại 
Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế [ ]))(())(( tPStPDtT −= ñạt cực ñại. 
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 5 - 
 Ví dụ 
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa 
ñó trong thị trường nội ñịa là PQD −= 4200 và PQS +−= 200 
Giá bán trên thị trường quốc tế + chi phí nhập khẩu của một ñơn vị hàng là 16000 =P 
Tìm mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu ñể thu ñược nhiều thuế nhập khẩu nhất. 
Giải 
 Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu 
 Và Q là lượng hàng cần phải nhập khẩu 
 ðể tiêu thụ hết hàng nhập khẩu thì 
 PPPQQQ SD 24400)200()4200( −=+−−−=−= 
Doanh thu 
 )24400(. PPQPR −== 
Chi phí 
 )24400(1600.0 PQPC −== 
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp 
 )24400(. PtQtT −== 
Lợi nhuận 
( )tPPTCR −−−=−−= 1600)24400(pi 
 PtPtP 427600)24400()1600(2 −+=−+−−−=′pi 
 04276000 =−+⇒=′ Ptpi 
2
1900 tP +=⇒ 
 04 <−=′′pi nên pi ñạt lợi nhuận cực ñại tại mức giá 
2
1900 tP += 
 Khi ñó tổng thuế 
 )600()
2
1900(24400)24400(. ttttPtQtT −=



+−=−== 
 tT 2600 −=′ 
 3000 =⇒=′ tT 
 2−=′′T => hàm T ñạt cực ñại tại mức thuế 300=t 
 Giá bán trên thị trường nội ñịa lúc ñó sẽ là 2050
2
3001900 =+=P 
Lưu ý 
Nếu muốn bảo trợ cho hàng sản xuất nội ñịa, nhà nước phải ñánh thuế sao cho giá bán không ñược 
thấp quá. Ví dụ muốn giá bán tại thị trường nội ñịa không dưới 2100 thì mức thuế nhập khẩu là t sao 
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 6 - 
cho 4002100
2
11900 ≥⇒≥+= ttP , nghĩa là mức thuế nhập khẩu tối thiểu là 400 trên một 
ñơn vị hàng nhập khẩu. 
IV . Bài toán xác ñịnh mức thuế xuất khẩu 
Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội ñịa về một mặt hàng là 
 )(
)(
PDQ
PSQ
D
S
=
=
Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp ñộc quyền xuất khẩu mặt hàng trên, biết rằng ñơn giá trên thị 
trường quốc tế trừ ñi chi phí xuất khẩu (chưa kể thuế) cho một ñơn vị hàng là 0P 
Hãy tính mức thuế xuất khẩu t ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu ñể tổng thuế xuất khẩu thu ñược là lớn 
nhất. 
Phương pháp giải : 
 Gọi t (t > 0) là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu 
 Và Q là lượng hàng doanh nghiệp xuất khẩu 
Khi ñó lượng hàng có thể xuất khẩu là 
 DS QQQ −= (Chênh lệch cầu và cung trong thị trường nội ñịa, DS QQ > ) 
 )()( PDPSQ −=⇒ ( Sản lượng là hàm số theo biến P) 
Doanh thu 
 [ ])()(. 00 PDPSPQPR −== (Doanh thu là hàm số theo biến P) 
Chi phí 
 [ ])()(.. PDPSPQPC −== 
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp 
 [ ])()(. PDPStQtT −== 
Lợi nhuận 
 [ ]( )tPPPDPSTCR −−−=−−= 0)()(pi 
Trước hết tìm )(tPP = ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại 
Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế [ ]))(())(( tPDtPStT −= ñạt cực ñại. 
Ví dụ 
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa 
ñó trong thị trường nội ñịa là PQD −= 4200 và PQS +−= 200 
Giá bán trên thị trường quốc tế (không bao gồm chi phí xuất khẩu của một ñơn vị hàng) là 
32000 =P 
Tìm mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu ñể thu ñược nhiều thuế xuất khẩu nhất. 
Giải 
 Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu 
 Và Q là lượng hàng xuất khẩu 
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 7 - 
 P là giá doanh nghiệp thu mua mặt hàng ñó ñể xuất khẩu 
Khi ñó lượng hàng có thể xuất khẩu là 
 44002)4200(200 −=−−+−=−= PPPQQQ DS 
Doanh thu 
 )44002(3200)44002(. 00 −=−== PPPQPR 
Chi phí 
 )44002(. −== PPQPC 
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp 
 )44002(. −== PtQtT 
Lợi nhuận 
 ( )tPPTCR −−−=−−= 3200)44002(pi 
 PtPtP 4210800)44002()3200(2 −−=−−−−=′pi 
 042108000 =−−⇒=′ Ptpi 
2
2700 tP −=⇒ 
 04 <−=′′pi nên pi ñạt lợi nhuận cực ñại tại mức giá 
2
2700 tP −= 
 Khi ñó tổng thuế 
 )1000(4400)
2
2700(2)44002(. ttttPtQtT −=



−−=−== 
 tT 2100 −=′ 
 5000 =⇒=′ tT 
 2−=′′T => hàm T ñạt cực ñại tại mức thuế 500=t 
 Giá bán trên thị trường nội ñịa lúc ñó sẽ là 2450
2
5002700 =−=P 
Lưu ý 
Nếu ta muốn giá tiêu dùng tại thị trường trong nước không vượt quá 2400 thì mức thuế xuất khẩu phải là bao 
nhiêu? 
Gọi mức thuế là t thì ta có giá tiêu dùng tại thị trường nội ñịa là 6002400
2
12700 ≥⇒≤−= ttP , 
nghĩa là mức thuế xuất khẩu tối thiểu là 600 trên một sản phẩm. 
Phần 2 : Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến 
I . Bài toán tối ña hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong ñiều 
kiện cạnh tranh hoàn hảo 
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 8 - 
Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa bán trong ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo với các mức giá 
nPPP ,...,, 21 . 
Hàm chi phí ),...,,( 21 nQQQCC = với ),1( niQi = là mức sản lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất . 
Tìm các mức sản lượng 
nQQQ ,...,, 21 mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại. 
Phương pháp giải 
 Gọi nQQQ ,...,, 21 là các mức sản lượng cần tìm 
 Doanh thu 
 ∑
=
=+++=
n
i
iinn QPQPQPQPR
1
2211 ... 
 Chi phí 
 ),...,,( 21 nQQQCC = 
 Lợi nhuận 
 ),...,,( 21
1
n
n
i
ii QQQCQPCR −=−= ∑
=
pi 
 Bài toán trở thành tìm 
nQQQ ,...,, 21 ñể hàm π ñạt cực ñại. 
Ví dụ 
Cho doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng trong ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo với giá 
75;60 21 == PP . Hàm chi phí 222121 QQQQC ++= . Tìm các mức sản lượng 21,QQ doanh 
nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại. 
 Giải : 
 Gọi 21,QQ là các mức sản lượng cần tìm 
 Doanh thu : 
 212211 7560 QQQPQPR +=+= 
 Chi phí : 
2
221
2
1 QQQQC ++= 
 Lợi nhuận ; 
2
221
2
121 7560 QQQQQQCR −−−+=−=pi 
 ðiểm dừng là nghiệm của hệ : 






=
=
⇒
=−−
=−−
⇒






=
∂
∂
=
∂
∂
30
15
0275
0260
0
0
2
1
21
21
2
1
Q
Q
QQ
QQ
Q
Q
pi
pi
 Xét các ñạo hàm riêng cấp hai 
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 9 - 
2
1
2
2
2
2
12
2
21
2
2
1
2
−=
∂
∂
∂∂
∂
=−=∂∂
∂
−=
∂
∂
Q
QQQQ
Q
pi
pipi
pi
 Khi ñó ma trận Hesse 





−−
−−
=
21
12
H 
03
21
12
02
2
1
>=
−−
−−
=
<−=
H
H
 Vì nkHkk ,10)1( =∀>− nên hàm π ñạt cực ñại tại mức sản lượng 30
15
2
1
=
=
Q
Q
Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại nếu sản xuất 15 ñơn vị hàng hoá thứ nhất và 30 ñơn vị hàng 
hóa thứ 2. 
II . Bài toán tối ña hoá lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong ñiều 
kiện ñộc quyền 
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh n loại hàng hóa, biết hàm cầu của các hàng hóa trên 
là ),...,,( 21 niD PPPDQ i = với ni ,1= 
 Trong ñó . 
• 
iD
Q : lượng cầu của hàng hoá thứ i. 
• nPPP ,...,, 21 : Giá bán của n loại hàng hóa. 
• nQQQ ,...,, 21 : Sản lượng của n loại hàng hóa. 
 Hàm tổng chi phí là ),...,,( 221 QQQCC = 
Tìm mức sản lượng nQQQ ,...,, 21 mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại. 
Phương pháp giải 
Gọi nQQQ ,...,, 21 là các mức sản lượng cần tìm 
ðể doanh nghiệp bán hết hàng thì 







=
=
=
⇒







=
=
=
⇒







=
=
=
 ),...,,(
...
),...,,(
),...,,(
 ),...,,(
...
),...,,(
),...,,(
 .
...
21
2122
2111
21
2122
2111
2
1
2
1
nnn
n
n
nnn
n
n
Dn
D
D
QQQPP
QQQPP
QQQPP
PPPDQ
PPPDQ
PPPDQ
QQ
QQ
QQ
n
 Doanh thu 
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 10 - 
 ∑∑
==
==+++=
n
i
nii
n
i
iinn QQQPQPQPQPQPQR
1
21
1
2211 ),...,,(.... 
 Chi phí 
 ),...,,( 21 nQQQCC = 
 Lợi nhuận 
 ),...,,(),...,,(. 21
1
21 n
n
i
nii QQQCQQQPQCR −=−= ∑
=
pi 
 Bài toán trở thành tìm nQQQ ,...,, 21 ñể hàm π ñạt cực ñại. 
Ví dụ : 
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh 2 loại hàng , biết hàm cầu của 2 của 2 loại 
hàng hóa ñó như sau : 
21
21
15
240
2
1
PPQ
PPQ
D
D
−+=
+−=
Hàm chi phí 2221
2
1 QQQQC ++= 
Tìm các mức sản lượng từng loại hàng mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận của doanh nghiệp 
ñạt cực ñại. 
 Giải : 
 Gọi 21,QQ là các mức sản lượng cần tìm 
 ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng 



−−=
−−=
⇒



−+=
+−=
⇒




=
=
212
211
212
211
2
1
270
55
15
240
2
1
QQP
QQP
PPQ
PPQ
QQ
QQ
D
D
 Doanh thu 
2121
2
2
2
1
2122112211
705522
)270()55(
QQQQQQR
QQQQQQPQPQR
++−−−=⇒
−−+−−=+=
 Chi phí 
2
221
2
1 QQQQC ++= 
 Lợi nhuận 
2
221
2
121 3327055 QQQQQQCR −−−+=−=pi 
 Bài toán trở thành tìm 21,QQ ñể hàm π ñạt cực ñại 
ðiểm dừng là nghiệm của hệ : 









=
=
⇒
=−−
=−−
⇒






=
∂
∂
=
∂
∂
3
23
8
06370
03455
0
0
2
1
21
21
2
1
Q
Q
QQ
QQ
Q
Q
pi
pi
 Xét các ñạo hàm riêng cấp hai 
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 11 - 
6
3
4
2
2
2
12
2
21
2
2
1
2
−=
∂
∂
∂∂
∂
=−=∂∂
∂
−=
∂
∂
Q
QQQQ
Q
pi
pipi
pi
 Khi ñó ma trận Hesse 





−−
−−
=
63
34
H 
015
63
34
04
2
1
>=
−−
−−
=
<−=
H
H
 Vì nkHkk ,10)1( =∀>− nên hàm π ñạt cực ñại tại mức sản lượng 




=
=
3
23
8
2
1
Q
Q
Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại nếu sản xuất 8 ñơn vị hàng hoá thứ nhất và 3
23
 ñơn vị hàng 
hóa thứ 2. 
III . Bài toán tối ña hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất một mặt hàng nhưng bán 
trên nhiều thị trường 
Một công ty sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên n thị trường tách biệt. Giả sử hàm cầu trên 
n thị trường như sau 
)(
...
)(
)(
22
11
2
1
nnD
D
D
PDQ
PDQ
PDQ
n
=
=
=
 Hàm tổng chi phí : )(QCC = với nQQQQ +++= ...21 
Trong ñó : 
• Q là tổng sản lượng của doanh nghiệp. 
• iQ là lượng hàng phân phối trên thị trường thứ i ),1( ni =∀ 
 Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường ñể doanh nghiệp ñạt lợi nhuận cực ñại 
 Phương pháp giải : 
Gọi nQQQ ,...,, 21 là lượng hàng phân phối trên từng thị trường cần tìm 
ðể doanh nghiệp bán hết hàng thì 
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 12 - 







=
=
=
⇒







=
=
=
⇒







=
=
=
 )(
...
)(
)(
 )(
...
)(
)(
 .
...
222
111
222
111
2
1
2
1
nnnnnnDn
D
D
QPP
QPP
QPP
PDQ
PDQ
PDQ
QQ
QQ
QQ
n
 Doanh thu 
 ∑∑
==
==+++=
n
i
iii
n
i
iinn QPQPQPQPQPQR
11
2211 )(.... 
 Chi phí 
 ),...,,()( 21 nQQQCQCC == vì nQQQQ +++= ...21 
 Lợi nhuận 
 ),...,,()(. 21
1
n
n
i
iii QQQCQPQCR −=−= ∑
=
pi 
 Bài toán trở thành tìm 
nQQQ ,...,, 21 ñể hàm π ñạt cực ñại. 
 Ví dụ 
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng hóa bán trên 3 thị trường 
tách biệt với các hàm cầu 
2
1
31230
2840
2
1
PQ
PQ
D
D
−=
−=
 Hàm chi phí 215020 QQC ++= với 21 QQQ += 
 Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường ñể lợi nhuận cực ñại. 
 Giải : 
Gọi 21,QQ là lượng hàng phân phối trên từng thị trường cần tìm 
ðể doanh nghiệp bán hết hàng thì 






−=
−=
⇒



−=
−=
⇒




=
=
3
410
2
420
31230
2840
 3
2
1
1
22
11
2
1
2
1
QP
QP
PQ
PQ
QQ
QQ
D
D
 Doanh thu 
3
410
2
420
)
3
410()
2
420(
2
2
2
2
1
1
3
2
1
12211
QQQQR
QQQQPQPQR
−+−=⇒
−+−=+=
Chi phí 
2
221
2
121
2
2121
2
215015020
)()(1502015020
QQQQQQC
QQQQQQC
+++++=⇒
++++=++=
Lợi nhuận 
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 13 - 
 202
3
4
2
3260270 21222121 −−−−+=−= QQQQQQCRpi 
 Bài toán trở thành tìm 21,QQ ñể hàm π ñạt cực ñại. 
ðiểm dừng là nghiệm của hệ : 







=
=
⇒
=−−
=−−
⇒






=
∂
∂
=
∂
∂
60
50
02
3
8260
023270
0
0
2
1
12
21
2
1
Q
Q
QQ
QQ
Q
Q
pi
pi
 Xét các ñạo hàm riêng cấp hai 
3
8
2
3
2
2
2
12
2
21
2
2
1
2
−=
∂
∂
∂∂
∂
=−=∂∂
∂
−=
∂
∂
Q
QQQQ
Q
pi
pipi
pi
 Khi ñó ma trận Hesse 








−−
−−
=
3
82
23
H 
04
3
82
23
03
2
1
>=
−−
−−
=
<−=
H
H
 Vì nkHkk ,10)1( =∀>− nên hàm π ñạt cực ñại tại mức sản lượng 



=
=
60
50
2
1
Q
Q
Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại nếu sản xuất 50 ñơn vị hàng hoá thứ nhất và 60 ñơn vị hàng 
hóa thứ 2. 
Khi ñó tổng sản lượng của doanh nghiệp sẽ là 110605021 =+=+= QQQ 
Bài tập 
Bài 1. Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng biết hàm cầu của loại hàng ñó trên thị 
trường là PQD 2
1656 −= . Hàm chi phí 100100077 23 ++−= QQQC 
Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại. 
Bài 2. Cho biết hàm cầu về một loại hàng hóa của doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh loại hàng ñó là 
PQD −= 300 . Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là 1033319 23 ++−= QQQC 
Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể có ñược lợi nhuận tối ña. 
Bài 3. Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng biết hàm cầu của loại hàng ñó trên thị 
trường là PQD −= 2640 . Hàm chi phí 10010002 ++= QQC 
a. Hãy xác ñịnh mức thuế t trên một ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế nhất 
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 14 - 
b. Nếu ta muốn doanh nghiệp sản xuất ít nhất là 300 sản phẩm thì ta có thể ñịnh mức thuế trên một sản phẩm 
tối ña là bao nhiêu? 
Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại. 
Bài 4. Biết hàm cung và hàm cầu về một loại hàng hóa ở thị trường nội ñịa là PQs +−= 40 và PQD −= 420 
Một công ty ñược ñộc quyền nhập khẩu loại hàng hóa ñó với giá nhập khẩu(bao gồm cả chi phí nhập khẩu) là 
1800 =P . Hãy xác ñịnh mức thuế nhập khẩu ñánh trên một ñơn vị sản phẩm nhập khẩu ñể thu ñược của 
doanh nghiệp nhiều thuế nhất. 
Bài 5. Một công ty ñộc quyền nhập một loại hàng, biết hàm cung và hàm cầu của loại hàng hóa trên ở thị trường 
trong nước là PQs +−= 20 và PQD −= 880 . Biết giá bán loại hàng này trên thị trường quốc tế là 
2500 =P 
Tìm mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập ñể thu ñược của công ty nhiều thuế nhất. 
Bài 6. Một công ty ñược ñộc quyền xuất khẩu một mặt hàng biết hàm cung và hàm cầu tại thị trường nội ñịa là 
PQs +−= 20 và PQD −= 400 . Giá bán trên thị trường quốc tế là 3100 =P 
Tìm mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu ñể thu ñược của công ty nhiều thuế nhất. 
Bài 7. Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại hàng trên là 
21
21
480
2400
2
1
PPQ
PPQ
D
D
−+=
+−=
Hàm tổng chi phí 150240160 21 ++= QQC 
a. Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña 
Bài 8. Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại hàng trên là 
21
21
960
2800
2
1
PPQ
PPQ
D
D
−+=
+−=
Hàm tổng chi phí 150480320 21 ++= QQC 
Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña 
Bài 9. Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Biết hàm cầu 
trên hai thị trường là 12
1470
1
PQD −= và 26202 PQD −= 
Hàm tổng chi phí 20602 ++= QQC 
Tìm lượng hàng phân phối cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña. Từ ñó suy ra tổng sản 
lượng của doanh nghiệp. 
Bài 10. Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Biết hàm cầu 
trên hai thị trường là 13101 PQD −= và 22
1235
2
PQD −= 
Hàm tổng chi phí 20302 ++= QQC 
Tìm lượng hàng phân phối cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña. Từ ñó suy ra tổng sản 
lượng của doanh nghiệp. 
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 15 - 
Bài 11. Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên ba thị trường tách biệt. Biết hàm cầu 
trên từng thị trường như sau 13
130
1
PQD −= 
24
15,57
2
PQD −= 
35
154
3
PQD −= 
a. Tìm lượng hàng cung cấp cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña biết hàm tổng chi phí 
của doanh nghiệp là QC 3015 −= 
b. Tìm lượng hàng cung cấp cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña biết hàm tổng chi phí 
của doanh nghiệp là 15302 ++= QQC 
Bài 12. Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại hàng trên là 
)3650(
7
1
)23290(
7
1
12
21
2
1
PPQ
PPQ
D
D
+−=
+−=
a. Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể có lợi nhuận tối ña biết hàm 
tổng chi phí của doanh nghiệp là 2221
2
1 QQQQC ++= 
b. Vẫn hỏi như trên nếu thuế suất ñịnh trên mỗi sản phẩm của loại hàng thứ nhất là 261 =t và trên loại 
hàng thứ 2 là 242 =t . Hàm chi phí sản xuất là 
2
221
2
1 QQQQC ++= 
Bài 13. Cho biết hàm tổng chi phí ñể sản xuất một loại sản phẩm là 
q
qqqC 5002000)( 2 ++= 
a. Tìm chi phí biên tế 
b. Xác ñịnh q ñể chi phí trung bình nhỏ nhất. So sánh chi phí biên tế và chi phí trung bình tại ñiểm trên.