Bài tập Trường điện từ - Chương 3: Trường điện từ dừng - Lê Minh Cường

Problem_ch3 1
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Tụ điện phẳng , điện môi thực , có : ε = const ,
γ = 2γ0d./(x + d) , γ0 = const , tìm :
a) trong điện môi ?
b) ρ và ρlk trong điện môi thực ?
3.1:
J , E , P
→ → →
(ĐS: a) b) )02 2
2( )U2 U ;
3 3lkd d
ε εερ ρ −= =( )22UE i3d xx d
→ →= +
(ĐS: a) b) 
c) d) )
2 1ln( / )
2cd
R RR
Lπγ=2 1
U 1E i
ln(R / )
r
R r
→ →=
0 ; 0lkρ ρ= =
2
2 1
2 U
ln(R /R )J
P πγ=
Tụ điện trụ , điện môi thực , ε, γ = const , tìm :
a) trong điện môi ?
b) Dòng rò và Rcđ của tụ ?
c) Công suất tổn hao trên đơn vị dài ?
d) ρ và ρlk trong điện môi thực ?
3.2:
J , E , D , ϕ→ → →
Problem_ch3 2
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Tụ phẳng , diện tích cốt tụ S, khoảng cách d. Cốt tụ nối 
đất tại x = 0 , tại x = d có thế điện U. Giữa 2 cốt tụ lấp đầy 
điện môi thực có γ = γ0 , ε = 3ε0d/(x + d) , với γ0 = const. 
Tìm :
a) ρ và ρlk trong điện môi thực ?
b) Công suất tổn hao nhiệt PJ ?
3.3:
(ĐS: a) b) )( )
0
2
3 U ; lkx d
ερ ρ ρ= = −+
2
0
U SP
dJ
γ=
Tụ phẳng , điện môi thực , ε = 4ε0 , γ = γ0.(1 + kx) , với γ0 = 
10-10 (S/m); k = 20 (m-1), tụ đặt dưới điện áp U = 200 (V), 
khoảng cách d = 0,5 (cm), tìm :
a) Thế điện trong điện môi thực ?
b) Mật độ điện tích tự do ρ trong điện môi thực ?
3.4:
(ĐS: a) b) )( )
3
2
29,7 ( / )
1 20
C m
x
ρ µ= +( )2098, 4. ln 1 20 xϕ = +
Problem_ch3 3
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Tụ phẳng , diện tích cốt tụ S, khoảng cách d, hiệu thế U, 
điện môi thực , ε = ε0.(a + bx) ; γ = γ0.(a + bx) , (γ0, a, b = 
const) , tìm :
a) Vectơ cường độ trường điện ?
b) Mật độ khối điện tích tự do và liên kết ?
3.5:
(ĐS: a) b) )( )
2
0
2
U 10 ;
ln
lk
b
a bd a bx
a
ερ ρ −= = +  +  
( )
bU 1E i
a+bdln
a
x
a bx
→ →= +   
Cáp đồng trục , bán kính lõi R1 = 1 cm, vỏ R2 = 4 cm, chiều 
dài L, hiệu thế U = 1 kV, điện môi thực , có ε = 4ε0 ; γ = k.r , 
với k = 10-10 (S/cm2) , tìm :
a) trong điện môi ?
b) Dòng rò I0 trên đơn vị dài ?
3.6:
E , D , , lkρ ρ
→ →
(ĐS: a) b) )
12 12
3 3
3 3
471,9.10 354.10( / ) ; ( / )lkC cm C cmr r
ρ ρ
− −
=− =
12
2
2 2
1333 471,9.10E i ( / ); D i ( / )r rV cm C cm
r r
−→ → → →= =
I 0,84( / )ro A cmµ=
Problem_ch3 4
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Cho phiến dẫn có hình 1/4 vành khăn, tiết diện chữ nhật
, độ dày là h, độ dẫn điện : γ = k/r, (k = const) , hiệu thế
điện giữa 2 điện cực 1 và 2 là U . Tìm :
a) Cường độ dòng điện I ?
b) Mật độ công suất tiêu tán trung bình theo thể tích ? 
Áp dụng : a = 8 mm; b = 10 mm; h = 0,3 mm; k = 5600 S; 
và U = 10 V. 
3.7 :
(ĐS: a) 
b) )
2hkU 1 1I - 267, 4 ( )
a b
Aπ
 = =  
2
11 3
J 2 2
1 4 2kU 1 1p 3,15.10 ( / )
(b -a )J
p dV W m
V a bπ π
 = = − =  ∫
Problem_ch3 5
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Tụ phẳng , diện tích cốt tụ S, hiệu thế U, lấp đầy 2 lớp 
điện môi thực (ε1, γ1) , (ε2, γ2) , với ε1, ε2, γ1, γ2 = const , bỏ
qua hiệu ứng mép, tìm :
a) Hiệu thế điện trên mỗi lớp điện môi ?
b) Mật độ điện tích mặt tự do trên mặt phân cách đmôi ? 
c) Điện trở cách điện của tụ ?
3.8 :
(ĐS: a) 
b) c) )
1 2 2 1
1 2
1 2 2 1 1 2 2 1
d γ U d γ UU ; U
(d γ +d γ ) (d γ +d γ )= =
2 1 1 2
1 2 2 1
( γ - γ )U
(d γ +d γ )
ε εσ = 1 2 2 1
1 2
(d γ +d γ )
γ γ ScdR =
Problem_ch3 6
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
(ĐS: a) 
b) 
c) d) )
2
1
2 1
U 1; E i
ln ln
r
c b r
a c
γ
γ γ
→ →=  +  
1 2
1 2
2 1
U 1J J i
ln ln
r
c b r
a c
γ γ
γ γ
→ → →= =  +  
1
2
2 1
U 1; E i
ln ln
r
c b r
a c
γ
γ γ
→ →=  +  
1
2
2 1
U ln
ln ln
b
c b r
a c
γϕ
γ γ
=  +  
1
2
2 1
U ln
ln ln
bU
c b c
a c
γ
γ γ
=  +  
2 1
1 2
ln ln
2cd
c b
a cR
L
γ γ
π γ γ
 +  =
Tụ điện trụ , dài L, gồm 2 lớp điện môi thực , có 
ε1 ,ε2 ,γ1 , γ2 = const , tìm :
a) trong các lớp điện môi ?
b) Thế điện trong mỗi lớp điện môi ?
c) Hiệu thế điện trên mỗi lớp điện môi ?
d) Điện trở cách điện của tụ ?
3.9:
J , E
→ →
Problem_ch3 7
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Tụ điện trụ , bán kính cốt trong R1 và cốt ngoài R2, chiều 
dài L, đặt dưới hiệu thế điện U, điện môi thực , có γ = γ0 = 
const , ε = ε0(R2/r) , tìm : điện trở cách điện, mật độ công 
suất tiêu tán, mật độ điện tích tự do và liên kết (ρ, ρlk) 
trong điện môi ?
3.10:
(ĐS: 
)
2
0 1
1 RR ln
2 L Rcd πγ=
2
0
2 2
2 1
U; p
ln (R /R )tt r
γ=
0 2
3
2 1
R U
ln(R /R )r
ερ = − ; lkρ ρ=−
Problem_ch3 8
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Tụ điện cầu , bán kính cốt trong a = 1 cm, bán kính cốt 
ngoài b = 5 cm, giữa 2 cốt tụ là điện môi thực có γ = k/r , 
với k = 10-4 S. Dòng điện rò chảy qua điện môi có cường độ
I = 0,2 A, tìm :
a) Phân bố thế điện trong điện môi ?
b) Hiệu thế điện U giữa 2 cốt tụ ?
c) Điện dẫn rò của tụ ?
3.11:
(ĐS: a) b) 256,15 V c) 7,81.10-4 S )
25.10159ln
r
ϕ
−
=
Điện cực nối đất hình bán cầu , bán kính a. Dòng điện 
chạy vào điện cực có I = 105 A. Độ dẫn điện của đất γ
= 5.10-2 (S/m). Tìm :
a) Bán kính a của bán cầu để điện áp bước (UAB) cực 
đại có Umax ≤ 50 V (độ dài bước chân AB = 0,8 m) ?
b) Tính điện trở nối đất ứng với câu a) ?
3.12:
(ĐS: a) 
b) )
max2
I 1E i 1,95
2
r ABU U a mrπγ
→ →= ⇒ ≤ ⇒ ≥
1,63Ω
Problem_ch3 9
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Tính vectơ cảm ứng từ tại O biết µ = µ0 ? 3.13:
(ĐS: )( )0IB 2 i
4 a
z
µ ππ
→ →= +
Tính vectơ cảm ứng từ tại O ? 
( biết µ = µ0 ; R = 5 cm 
I = 10 A ; α = 2π/3 )
3.14:
(ĐS: a)
b) )
58B 10 i ( )
3
z T
π→ →−=
B 0
→ =
Problem_ch3 10
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Lõi trụ đặc , dài vô hạn, bán kính a = 2 mm, mang dòng với vectơ mật độ khối : 
a) Tìm vectơ cường độ trường từ bên trong và ngoài lõi ?
b) Tính ở cả 2 miền ?
2J 6.r. i (A/m )z
→ →=
rotH
→
( r: bán kính hướng trục)
3.16:
(ĐS: )0
2
IIrB i [ ] ; i [ ];0 [ ]
2 a 2 r
r a a r b r bφ φ
µµ
π π
→ → →= 
(ĐS: a) )
3
2 2H 2 i [ ]; i [ ]
r
ar r a r aφ φ
→ → →= 
Lõi cáp là trụ đặc , bán kính a, mang dòng 
I phân bố đều theo tiết diện , và vỏ trụ , 
bán kính b , mang dòng –I phân bố đều 
theo chu vi vỏ. Tính vectơ cảm ứng từ tại 
các miền ? 
( biết µ = độ thẩm từ của lõi )
3.15:
Problem_ch3 11
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Dòng điện phân bố không đều với mật độ dòng với J0 = const 
theo thiết diện tròn bán kính a của vật dẫn đặc hình trụ rất dài và chảy về 
theo hướng ngược lại trên một mặt trụ dẫn bán kính b (b > a) , đồng trục với 
hình trụ dẫn đặc. Xác định phân bố của cường độ trường từ trong từng miền ?
3.17: r-a z0J J e i
→ →=
(ĐS: r < a : 
a < r < b : 
r > b : )
a
r0J eH 1 (r 1)e i
r
φ
−→ → = + − 
-a0JH a 1 e i
r
φ
→ → = − + 
H 0
→ =
Problem_ch3 12
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Môi trường µ = µ0 và vectơ mật độ
dòng khối cho trong hệ trụ :
Tìm vectơ cảm ứng từ trong mỗi 
miền ?
0
0 0
J J i
0
z
r a
a r b
b r
→ →
< <= < < <
3.18:
Mặt phẳng tại z = 0 mang dòng với vectơ mật độ mặt :
Mặt phẳng tại z = 0,2 m mang dòng với vectơ mật độ mặt :
Tìm vectơ cường độ trường từ trong 3 miền ?
3.19: 1J 3. i ( A/m)x µ→ →=
2J 3. i ( A/m)x µ→ →= −
(ĐS: )
0 0
H 3 i 0 0 , 2 (µ A /m )
0 0 , 2
y
z
z m
z m
→ →

(ĐS: )
2
0 0
2 2
0 0
0
B i
2
( ) i
2
r a
J ar a r b
r
J b a r b
r
φ
φ
µ
µ
→ →
→
 
Problem_ch3 13
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Cáp đồng trục, bán kính lõi là a, bán kính trong 
của vỏ là c. Giữa lõi và vỏ là 2 lớp từ môi (có độ 
dẫn điện bằng 0) , tiếp giáp nhau theo mặt trụ 
bán kính b . Độ thẩm từ lớp thứ nhất (a < r < b) 
là µ1 = const , độ thẩm từ lớp thứ hai (b < r < c) 
là µ2 = const. Dòng điện chạy trong lõi và vỏ
cùng cường độ I nhưng ngược chiều. 
a) Tìm vectơ cảm ứng từ, thế vectơ trong mỗi 
lớp từ môi ? (Chọn thế vectơ bằng 0 trên bề 
mặt lõi) .
3.20*:
b) Tính NL trường từ , điện cảm trên đơn vị dài của cáp ? (Bỏ qua phần 
năng lượng trong lõi và vỏ) . 
(ĐS: a) 
b) 
)
1
1
2
2
IB
2
IB
2
r
r
µ
π
µ
π
 = =
1
1
2 1
2
I aA ln
2
I b I bA ln ln
2 2 a
r
r
µ
π
µ µ
π π
 = = −
2
0 1 2
0 1 2
I b cW ln ln
4 a b
1 b cL ln ln
2 a b
m µ µπ
µ µπ
  = +      = +   
B = B i
A = A i z
φ
→ →
→ →

Problem_ch3 14
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
(ĐS: 
)
0Nb d+aln
d-a
M µπ=
m( ) MI sin( )u t tω ω=
(ĐS: 4,7 (µWb) )
3.21: Tìm Φm gởi qua 1 m chiều dài đường 
dây điện thoại do dòng điện I = 100 A 
tạo ra ? 
(biết µ = µ0 )
3.22: Tìm hỗ cảm M giữa 2 dây dẫn mang dòng I ngược 
chiều và khung dây N vòng ? Tìm sđđ cảm ứng u(t) 
nếu I = Imcos(ωt) ? (biết µ = µ0 )
Problem_ch3 15
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Cáp đồng trục, bán kính lõi là a, bán kính vỏ là b. Giữa lõi và vỏ là lớp điện 
môi đồng nhất (γ = 0, ε = const, µ = const) . Hiệu thế điện giữa lõi và vỏ là U, 
dòng điện chạy trong cáp có cường độ I. Tìm:
3.23:
a) Điện dung C0 , điện cảm L0 của 1 m cáp ?
b) Công suất điện từ truyền qua tiết diện (a < r < b) của cáp đồng trục ? 
(ĐS: a) b) )0 0
2C ; L ln(b/a)
ln(b/a) 2
πε µ
π= = P=UI
3.24: Hai mặt trụ đồng trục , kích thước như hình vẽ, mang 
dòng I ngược chiều. Tìm :
a) Năng lượng trường từ , điện cảm trên đơn vị dài ?
b) Lực từ tác dụng lên đơn vị dài mặt trụ ngoài ?
(ĐS: a) 
b) )
2I
F
4 b
0b
µ
π= >
2
0 0
I
W L
4 2
ln ; lnm
b b
a a
µ µ
π π= =
Problem_ch3 16
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Ống trụ 2 lớp kim loại : γ1 = 30.106 (S/m) , γ2 = 
57.106 (S/m) , đồng trục với : a = 3 mm, b = 6 mm , 
c = 9 mm .
Tìm cường độ trường từ trong các miền ?
(HD: Có J1, J2 = const và J1/γ1 = J2/γ2 ) 
3.25*:
(ĐS: 
)
10 : H 0r a< < =
2
4
2: H 28, 45.10 ( )a r b
a Ar
r m
< < =  −  
4 2 2
3: H
[7,68 53,75.10 ( )] ( )b r c r b A
r m
< < = + −
4: H
31,83 ( )c r A
r m
< =
Problem_ch3 17
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
(ĐS: a) b) 
)
2
0 3
0_ng
2
I RW ln
4 R
µ
π=
1 3
2 2
1
1 22 2
2 1
2 3
H =
0 0 &
I(r -R )
2 r(R -R )
I
2 r
r R r R
R r R
R r R
π
π
  < < < <
( )
2 4 4
2 2 2 40 r 2 1 2
0_tr 1 2 1 122 2
12 1
I R -R RW R (R -R ) R ln
4 R4 R -R
µ µ
π
 = − +  
3.26*: Cho ống trụ và mặt trụ đồng trục dài vô hạn, điện 
môi giữa ống trụ và mặt trụ có độ thẩm từ µ0 , ống trụ
có độ thẩm từ µ0µr. Dòng điện không đổi cường độ I 
chạy ngược chiều trên ống trụ và mặt trụ và phân bố
đều . Tìm :
a) Cường độ trường từ trong toàn không gian ?
b) Năng lượng trường từ tích lũy trong ống trụ và
trong điện môi trên đơn vị dài ?
c) Điện cảm trong và ngoài trên đơn vị dài ?