Bài tập Trường điện từ - Chương 2: Trường điện tĩnh - Lê Minh Cường

Problem_ch2 1
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
(ĐS: )
r2
0
E aR i
r
r R
r R
→
→

a
aR
r
r R
r R
ϕ

Thế điện của trường điện tĩnh phân bố trong hệ cầu : 
(biết a, R = const) 
Tìm vectơ cường độ trường điện ?
2.1:
(ĐS: )6a cos
0
r R
r R
ε φρ 
3
a(3R-2r).r.cos
aR cos
r
r R
r R
φ
ϕ φ

Thế điện của trường điện tĩnh phân bố 
trong hệ trụ (biết a, b, R = const) : 
Tìm mật độ điện tích khối tự do ? 
(biết ε = const)
2.2:
Problem_ch2 2
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
(ĐS: Q = -ε0l2(3ad2 + 2bd) = 5.10-9 (C) )
Giữa 2 điện cực phẳng hình vuông , cạnh l = 0,1 m, cách nhau d = 5 mm, là môi 
trường có ε = ε0 tồn tại thế điện : ϕ = ax3 + bx2 + cx với : a = -6,28.108 (V/m3), b = -
9,24.105 (V/m2), c = -12.102 (V/m). Bỏ qua hiệu ứng mép, tìm điện tích toàn phần 
của không gian giữa 2 điện cực ?
2.4:
(ĐS: 1 V )
E i i ix y zyz zx xy
→ → → →= + +
Tìm hiệu thế điện giữa 2 điểm A(0, 22,7, 99) và B(1, 1, 1) biết cường độ trường 
điện có dạng : 
2.3:
Bằng 2 cách : 
a) Xác định biểu thức của thế điện ? 
b) Chọn đường thích hợp từ A đến B cho việc tính tích phân đường ?
Problem_ch2 3
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Tìm ϕ và tại P(z,0,0) , biết đĩa tròn tích 
điện với mật độ mặt σ ? (biết ε = ε0 trong toàn 
không gian)
E
→
2.6:
(ĐS:
)
2 2
02
a z zσϕ ε  = + − 
2 2
0
zE i 1 i
2
z z
d
dz a z
ϕ σ
ε
→ → → = − = − + 
2.5:Tìm ϕ và tại P(x0,0,0) do đoạn dây chiều dài a, mang 
điện với mật độ dài λ tạo ra ? (biết ε = ε0 )
E
→
(ĐS: )0
0 0
ln
4
x
x a
λϕ πε= − 0 0 0; E i4 ( ) x
a
x x a
λ
πε
→ →= −
Problem_ch2 4
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
2.7: Mặt phẳng rộng vô hạn tích điện với mật độ mặt σ = 
const , biết ε = ε0 , tìm UMO và UNO ? 
(ĐS: )
02
MO NO
aU U σε= = −
Mặt cầu dẫn , bán kính R, mang điện tích Q. Biết ε = ε0
trong toàn không gian, tìm vectơ cường độ trường điện và 
thế điện trong và ngoài vỏ cầu bằng hai cách :
a) Dùng luật Gauss ?
b) Dùng phương trình Poisson-Laplace ? (Lưu ý xác định 
đủ các phương trình điều kiện biên , xem lý thuyết 2.4)
2.8:
(ĐS: )0
0
4
4
Q r R
r
Q r R
R
πεϕ
πε
 >=  <
2
0
i
4; E
0
r
Q r R
r
r R
πε
→
→  >=  <
Problem_ch2 5
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Quả cầu dẫn, bkính a, thế điện 3U0, đặt đồng 
tâm với vỏ cầu dẫn , bkính 2a và 3a, thế điện U0. 
Biết ε = ε0 trong toàn không gian. Chọn ϕ∞ = 0, 
xác định thế điện các miền : 
a) Miền r < a : 
b) Miền a < r < 2a : 
c) Miền 2a < r < 3a : 
d) Miền r > 3a : 
2.9:
(ĐS: a) 3U0
b) U0(4a/r – 1)
c) U0
d) 3U0/r )
Problem_ch2 6
Điện tích phân bố khối : ρ = r/(4π) (C/m3) trong hình trụ (ε = 4ε0 ) , bán kính a = 
0,5 (cm), nằm trong không khí . Chọn thế điện bằng 0 trên trục hình trụ. 
a) Tìm vectơ cường độ trường điện và thế điện trong & ngoài hình trụ ? 
b) Vị trí mặt đẳng thế có ϕ = -2 (V) ? 
2.10:
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
(ĐS: a) 
b) Mặt đẳng thế là mặt trụ : r = 2 mm )
9
3
375ln 31,25 ( )
; 10 ( )
4
a
r r a
r r a
ϕ
 − >= − <9 2
375 i ( )
E
0,75.10 i ( )
r
r
r a
r
r r a
→
→
→
 >=  <
(ĐS:
)
4
20 0
2
0 0
5
2 6 12
dx Ux x U
d d
ρ ρϕ ε ε
  = − − + − +     
; E i x
d
dx
ϕ→ →= −
2.11 : Tụ phẳng, hiệu thế U, môi trường giữa 2 cốt tụ có ε = ε0 và có 
điện tích tự do phân bố theo qui luật : ρ = ρ0(1 – x2/d2) . Giả
sử thế điện chỉ phụ thuộc tọa độ x, xác định ϕ(x) và vectơ 
cường độ trường điện giữa 2 cốt tụ ?
Problem_ch2 7
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Giữa 2 điện cực trụ đồng trục (điện cực trong có bán 
kính a và thế điện U ,điện cực ngoài có bán kính b và 
nối đất) là môi trường có ε = ε0 và có điện tích tự do 
phân bố khối với mật độ : ρ = ρ0 = const . Giả sử thế
điện chỉ phụ thuộc r, tìm thế điện ϕ(r) và vectơ cường 
độ trường điện giữa 2 điện cực ?
2.12 :
(ĐS:
)
2
0
0
Cln D
4
r rρϕ ε= − + +
0
0
CE i i
2
r r
rd
dr r
ρϕ
ε
→ → → = − = −  
( )2 20
0
U a -b
4C aln
b
ρ
ε
 +  = ( )
2
2 20 0
0 0
b ln b; D U a -b
4 ln a b 4
ρ ρ
ε ε
 = − +  
Problem_ch2 8
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Giữa 2 điện cực phẳng , cách nhau d, là môi trường có 
ε = ε0 và có điện tích tự do phân bố khối theo qui luật : ρ = ρ0.(d - x)/d , trong đó ρ0 = const . Hai điện cực đặt 
dưới hiệu thế điện U. Tìm:
a) Phân bố thế điện và cường độ trường điện ? 
b) Mật độ mặt điện tích tự do trên bề mặt mỗi điện 
cực ?
2.13 :
(ĐS: a) 
b)
)
3 2
0 0
0 0
.
6 2 3
dx x U x U
d d
ρ ρϕ ε ε
  = − + − + +     
2
0 0
0 02 3
x
dx UE x
d d
ρ ρ
ε ε
 = − + −  
0 0
0 3x
U d
d
ε ρσ = = −
0 0
6x d
U d
d
ε ρσ = = − −
Problem_ch2 9
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
2.15 : Cáp đồng trục, bkính lõi là a và vỏ là b , dài L, điện môi lý tưởng có : ε = k/r , k 
= const . Lõi cáp có thế điện U và vỏ nối đất. Xác định vectơ cường độ trường 
điện trong cách điện và điện dung trên đơn vị dài của cáp ?
(ĐS: b) 
1
1
1
1
2
2
3
( )
2
; ( )
2
( ) 0
R
R
R
R
R
λσ π
λσ π
σ
 = = − =
1
1D i
2
r
r
λ
π
→ →=
2D 0
→ =
(ĐS: ) 2;
( )
kC
b a
π= −E i( ) r
U
b a
→ →= −
Dây dẫn trụ rất dài, bán kính R1, mang điện đều mật độ λ1. Ống trụ dẫn (bán kính R2 & R3) không mang điện 
tích. Tìm ( miền R1 R3) và mật 
độ điện tích mặt σ(R1) , σ(R2) , σ(R3) trong các trường 
hợp :
a) Ống trụ cách điện với dây dẫn trụ?
b) Ống trụ nối đất ?
c) Ống trụ nối với dây dẫn trụ?
1D
→
2.14 :
2D
→
Problem_ch2 10
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Tụ điện cầu , bán kính cốt trong là a, cốt ngoài là b, 
giữa 2 cốt là 2 lớp điện môi lý tưởng có ε1, ε2 = const . 
Thế cốt trong là U, cốt ngoài bằng 0. Tìm:
2.17:
a) Cảm ứng điện , cường độ trường điện , thế điện 
trong mỗi miền ?
b) Điện dung của tụ ?
(ĐS: a)
b) ) 
1 2 r 2
abU 1E =E =E =
(b-a) r
1 22 ab( + )C=
(b-a)
π ε ε
1 2
aU b; = = 1
(b-a) r
ϕ ϕ  −  
Tụ điện trụ, dài L, bkính cốt trong là a , có thế điện U , và ngoài là b , được nối 
đất. Điện môi lý tưởng có : ε = kε0/r , k = const. Xác định : 
a) Vectơ cường độ trường điện và vectơ phân cực điện trong điện môi ? 
b) Điện dung C0 (điện dung trên đơn vị dài ) ?
c) σlk trên bề mặt điện môi (tiếp xúc cốt tụ trong và cốt tụ ngoài) ? 
2.16 :
(ĐS: a) b)
c) ) 
02
( )
kC
b a
π ε= −0E i ; P 1 i( ) ( )r r
UU k
b a r b a
ε→ → → → = = − − − 
0 0( ) 1 ; ( ) 1
( ) ( )lk lk
U Uk kr a r b
a b a b b a
ε εσ σ   = = − = = −   − −   
Problem_ch2 11
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Tụ điện phẳng , diện tích bản cực là S, hiệu thế U, giữa 
2 bản cực là điện môi lý tưởng có :
2.18:
Tìm:
a) Cảm ứng điện , cường độ trường điện , thế điện trong
mỗi miền ?
b) Điện dung của tụ ?
c) Mật độ điện tích liên kết mặt trên mặt x = d1 ?
0 1
0
1
0 x d
d d x d
x
ε
ε ε

< <
= < <
(ĐS: a)
b) 
c) ) 
0
1 2 2 2
1 1
2ε dUD =D =D=
d +2dd -d
DSC=
U
1
lk
d=D 1
d
σ  −  
Problem_ch2 12
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Tụ điện trụ dài ℓ , bán kính cốt trong là a, ngoài là c, đặt 
dưới hiệu thế U = const, cốt ngoài nối đất , giữa 2 cốt tụ 
là điện môi lý tưởng có :
2.19:
Tìm:
a) Cảm ứng điện , cường độ trường điện , thế điện trong
mỗi miền ?
b) Điện dung của tụ ?
c) Mật độ điện tích liên kết khối trong từng miền ?
0
0
b
r a r b
b r c
εε ε

< <=
< <
(ĐS: a)
b) 
c) 
) 
0
1 2 r
ε U 1D =D =D = .
b-a c+ln
b b
r   
rD .2 r.C=
U
π A
r
lk1
D=
b
ρ
lk2 =0ρ
Problem_ch2 13
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Tụ điện trụ , chiều dài là L , bán kính cốt trong là a , ngoài là b , đặt dưới hiệu 
thế U = const, cốt ngoài nối đất , giữa 2 cốt tụ là điện môi lý tưởng có độ 
thẩm điện ε = kr , với r = bán kính hướng trục , k = const, và cường độä trường 
điện chọc thủng là Ect. Xác định :
2.20 :
a) Vectơ cảm ứng điện , vectơ cường độ trường điện trong điện môi ?
b) Điện dung của tụ ?
c) Điện áp chọc thủng Uct của tụ ?
(ĐS: a)
b) 
c) ) 
2D i ; E i( ) ( )
r r
kUab Uab
b a r b a r
→ → → →= =− −
2 kLab=
b a
C π −
ct ct
aU =E a 1
b
 −  
Problem_ch2 14
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
2.21 :Tụ phẳng, hiệu thế U, giữa 2 cốt tụ là điện môi lý tưởng có : 
ε = 2ε0d/(2d - x) . Xác định vectơ cường độ trường điện và
điện dung của tụ ?
(ĐS: ) ( )22E 2 i3 x
U d x
d
→ →= − 04 S; =
3d
C ε
2.22 : Điện tích phân bố đều trong một quả cầu bán kính a, tâm ở góc tọa độ với 
mật độ điện tích khối ρ0 . Tính năng lượng trường điện gây ra bởi điện tích 
khối này ?
(ĐS: ) 
2 5
0
E
0
4 aW =
15
πρ
ε
Problem_ch2 15
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
(Các bài toán dùng ảnh điện)
Hai trục mang điện với mật độ dài ± λ, nằm trong 
không khí, cách mặt phẳng dẫn vô hạn như hình vẽ, 
tìm mật độ mặt điện tích tự do σ tại điểm M có tọa 
độ x trên mặt phẳng dẫn ?
2.23 :
2 2 2 2
h h+d
h +x (h+d) +xM
λσ π
 = −  (ĐS: )
(HD: dùng ảnh điện : 
E sin sin sin siny E E E Eλ λ λ λα β β α− −=− + + −
2 2 2 2 2 2 2 2
E
( ) ( )
y
h d h h h dE E E E
x h d x h x h x h d
λ λ λ λ− −
+ += − + + −+ + + + + +
0
Khi E
2 rλ
λ
πε=
0M y yD Eσ ε⇒ = =
Problem_ch2 16
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
(ĐS: a)
b) 
c)
) 
1
2
1 1 2
1 1 2 1
( )= .E =
2 (2 h ) ( ) 4y
F
hλ
λ ε ε λλ λ π ε ε ε π ε
−= +
1 2
P
1 1 2 1 1
( )= ln ln
2 ( ) 2
h h
r r
λ ε ε λϕ πε ε ε πε
−+ +
0 1 2
1 2 1 0 1 2 0 2 2
1 1 2
( )( ) ( )
( )lk y y y y
hP P E E
r
ε ε ελσ ε ε ε ε π ε ε ε
−= − + = − − + − = +
1 1
1
1 1
1 ( ) 1. . .
2 2 2y
h h hE
r r r r r r
λ λ λ λ
π π ε π ε
− = − =  
2
2
2
1; .
2y
hE
r r
λ
π ε
−=
2 2 2( )r x h= +
Trục mang điện với mật độ dài λ (H 2.24) , tìm :
a) Lực tác dụng lên đơn vị dài dây dẫn ?
b) Thế điện ϕ(x,y) tại P ? (biết ϕ(trục z (x = 0,y = 0)) = 0) .
c) Mật độ σlk tại x trên mặt phân cách ?
2.24 :