Bài tập Trường điện từ - Chương 1: Các khái niệm và luật cơ bản - Lê Minh Cường

Bài tập Trường điện từ 
Người soạn: Lê Minh Cường
[lmcuong@hcmut.edu.vn]
ƒ Chương 1: Các khái niệm 
và luật cơ bản.
ƒ Chương 2: Trường điện tĩnh.
ƒ Chương 3: Trường điện từ dừng.
ƒ Chương 4: Trường điện từ 
biến thiên.
ƒ Chương 5: Bức xạ điện từ.
ƒ Chương 6: Ống dẫn sóng
- Hộp cộng hưởng.
(Năm học 2007 – 2008)
Problem_ch1 2
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trường điện từ , Ngô Nhật Ảnh – Trương Trọng Tuấn Mỹ , NXB ĐHQG TP 
HCM , 2000 . 
2. Bài Tập Trường điện từ , Ngô Nhật Ảnh – Trương Trọng Tuấn Mỹ , NXB 
ĐHQG TP HCM , 2000 . 
3. Elements of Engineering Electromagnetics (second edition) , Nannapaneni 
Narayana Rao , Prentice-Hall , 1987. 
4. Electromagnetic : concepts & applications (second edition) , Stanley V.Marshall 
& Gabriel G.Skitek , Prentice-Hall , 1987. 
5. Electromagnetics (fourth edition) , John D.Kraus , McGraw-Hill , 1991. 
6. Schaum’s Outline of Theory and Problems of Electromagnetics (second edition) , 
Joseph A.Edminister , McGraw-Hill , 1993.
7. Engineering Electromagnetics (seventh edition) , William H. Hayt, Jr. and John 
A. Buck , McGraw-Hill , 2006.
Problem_ch1 3
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
(ĐS: )1 1
3 4 32 i 3 i 2 i ; i 2 i 2 i ; 3; 2 i 2 i i ; ; 2 i 2 i ix y z x y z x y z x y z
π→ → → → → → → → → → → →   + − + − − + + ± − + +      
A i i ; B i 2 i 2 ix y x y z
→ → → → → → →= =+ + −Cho 2 vectơ : 
Tìm : A B ; i ; A .B ; A B ; :B β→ → → → → → →+ × góc nhọn hợp bởi 2 vectơ A& B→ →
n
→
: vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa A& B
→ →
1.1:
(ĐS: 4.10-2 (C) )
Tìm điện tích chứa trong quả cầu, bán kính 1/π (cm), có mật độ điện tích phân 
bố khối ρ = 1/r2 (C/m3) ?
1.2 :
Đĩa tròn , bkính a, nằm trong mặt phẳng Oxy, tâm tại gốc tọa độ , mang điện với 
mật độ mặt : σ = 4πε0/r [C/m2]. Tìm điện tích Q của đĩa ? 
1.3 :
(ĐS: 8π2ε0a )
Problem_ch1 4
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Cho hàm vô hướng U = xy , tìm vectơ đơn vị vuông góc với mặt U = xy = 2 tại 
điểm P(2,1,0) bằng 2 cách :
+ Dùng tích có hướng của 2 vectơ tiếp tuyến với mặt tại P ?
+ Dùng khái niệm gradient ?
Tìm tốc độ biến đổi cực đại của hàm U tại P ?
1.4 :
(ĐS: . Tốc độ biến đổi max = )1
5
i i 2 in x y
→ → → = ± +  
5
Cho hàm vô hướng U = r2sin(2φ) trong hệ trụ , tìm tốc độ tăng của hàm này 
theo hướng của vectơ tại điểm P(2, π/4, 0) ?
1.5 :
A i ir φ
→ → → = +   (ĐS: )2 2
) 0 ; ) cos ; ) 4 2cosa b c rφ θ+(ĐS: )
Tìm div của các trường vectơ: 1.6 : 2 2) A ( ) i 2 i 4 ix y za x y xy
→ → → → = − − +  
) A cos i sin irb r r φφ φ→ → → = −  
2) A i sin irc r r θθ→ → → = +  
(Hệ trụ)
(Hệ cầu)
Problem_ch1 5
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
) 2 i ; ) 2 (1 s in ) i ; ) i
re
z z ra b c φφ
→ → →−− + −(ĐS: )
Dùng định lý Stokes, tìm lưu số của vectơ : 
trên chu vi tam giác ABC theo chiều ABC với : A(0,0,0) ; B(0,1,0); C(0,0,1) ?
1.8 : F ( ) i ( ) i ( ) ix y zx y x z y z
→ → → → = + + − + +  
(ĐS: 1 )
Dùng định lý Divergence, tìm thông lượng của vectơ vị trí gởi qua một mặt trụ 
kín đáy tròn bán kính a, tâm tại gốc tọa độ, cao h, trục hình trụ trùng trục z ?
1.9 :
(ĐS: 3πa2h )
Tìm rot của các trường vectơ: 1.7 : ) A i ix ya y x
→ → → = −  
) A 2 cos i irb r r φφ→ → → = +  
) A i
re
rc θ
→ →− =   
(Hệ trụ)
(Hệ cầu)
Problem_ch1 6
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Trường điện có vectơ cảm ứng 
điện cho trong hệ trụ : 
1.10 : 2
3
i
D ; ,
i
r
r
kr r R
k R constkR r R
r
→
→
→
 
Tìm mật độ điện tích khối tự do ρ trong 2 miền và mật độ điện tích mặt tự do σ trên 
mặt r = R ? 
(ĐS: )
3
; ( ) 0
0
kr r R
r R
r R
ρ σ
Trường từ dừng (không thay đổi 
theo thời gian) có vectơ cường độ 
trường từ cho trong hệ trụ : 
1.11 :
2
i
H ; ,
i
gr r R
g R constgR r R
r
φ
φ
→
→
→
 
Tìm vectơ mật độ dòng khối trong 2 miền và mật độ dòng mặt trên mặt r = R ? 
(ĐS: )
s
2 iJ ; J ( ) 0
0
zg r R r R
r R
→→  
Problem_ch1 7
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Trong không gian (µ = const) tồn 
tại trường từ dừng (không thay 
đổi theo thời gian) có vectơ cảm 
ứng từ cho trong hệ trụ : 
1.12 :
2
I i
2
IB i ; I, ,
2
0
r r a
a
a r b a b const
r
b r
φ
φ
µ
π
µ
π
→
→ →
 <= < < = <
Tìm vectơ mật độ dòng khối trong 
các miền , vectơ mật độ dòng mặt 
trên các mặt r = a và r = b ? 
(ĐS:
)
2
I i
a
J 0
0
z r a
a r b
b r
π
→
→
 <= < < <
I i
; J 2 b
0
z
s
r b
r a
π
→
→  − ==  =
Problem_ch1 8
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Trong miền ε = const , µ = const , không có điện tích tự do và dòng điện dẫn , 
tồn tại một trường điện từ biến thiên tần số gốc ω có vectơ cường độ trường từ 
cho trong hệ tọa độ Descartes như sau : 
1.13 :
Tìm vectơ cường độ trường điện của trường điện từ biến thiên trên ? 
Chứng minh : 
x zH C. i C. i
a x xsin sin( z) cos cos( z)
a a
t tβ π πω β ω βπ
→ → →   = − − + −      
trong đó C , a, β là các hằng số .
2
2 2
2a
πβ ω εµ+ =
(ĐS: )
2
2
y2
0
E i
a xsin sin( z)
a a
C tπ πβ ω βωπε
→ →   = + −     
Problem_ch1 9
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Khung dây 100 vòng, hình vuông cạnh 25cm, trong mặt phẳng xOy. Tìm sức
điện động cảm ứng xuất hiện trong khung dây biết cảm ứng từ tồn tại trong 
không gian có biểu thức :
1.14 :
3t
zB 20.e Ta )) i (
−= GG
(ĐS: a) 375e-3t V b) 124,7sin(103t) kV )
Dây dẫn bằng đồng , có γ = 5,8.107 (S/m) , ε = ε0 = 8,842 (pF/m) , dạng hình trụ , 
đường kính d = 1 mm, mang dòng hình sin, biên dộ 1 A, tần số 50 Hz. Tính mật 
độ dòng dẫn và dòng dịch trong dây dẫn ? Nhận xét ? 
1.15 :
(ĐS: J = 1,27.106.sin(100πt) ; Jdịch = 6,1.10-11.cos(100πt) (A/m2) . J >> Jdịch )
3
zB 20cos( ) cos(10b )) ) i (Tx t=
GG
Problem_ch1 10
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
(ĐS: )0 22B B i i i5 4 5 ( )
Wb
x y z m
→ → → →
=  + +  
(ĐS: )4 32E i i10 15.10 ( )Vx y m
→ → →
=  +  
Biết : 1.16 :
0 21 0B B i i i2 4 5 ( ) (B const)
Wb
x y z m
→ → → →
=  + + =  
Và mặt phân cách có vectơ mật độ dòng mặt : 
0
0
BJ i i2 ( )Ax ys mµ
→ → →
=  −  
Tìm trên mặt phân cách ? 2B
→
Tại điểm P trên mặt phân cách 2 môi trường 
điện môi , về phía môi trường 1, vectơ có : 
E1x = 104 ; E1y = 5.103 (V/m) ; E1z = 0 .
Giả sử trên mặt phân cách không tồn tại điện 
tích tự do , tìm trên mặt phân cách ? 
1.17 :
1E
→
2 2E D;
→ →
Problem_ch1 11
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Cho môi trường 1 có : γ1 = γ0 , ε1 = ε0 ; môi trường 2 
có : γ2 = 3.γ0 , ε2 = 4.ε0 , với γ0 = const . Giả sử trường 
không phụ thuộc thời gian và đều trong 2 miền, và : 
1.18 :
0 21 0J J i i i2 9 ( ) ; J const
A
x y z m
→ → → →
=  + + =  
Tìm vectơ cường độ trường điện trong môi trường 2 
và mật độ điện tích tự do mặt trên mặt phân cách ? 
Hai môi trường bán vô hạn phân cách bởi mặt (S) có phương trình : 3x + 4y = 
4. Môi trường 1 chứa gốc tọa độ có ε1 = ε0 ; môi trường 2 có ε2 = 5ε0 . Cho biết 
vectơ cường độ trường điện trong môi trường 1 tại mặt S là :
1.19 :
1E i i4 2 ( )Vx y m
→ → →
=  +  
và trên mặt S có điện tích tự do phân bố với mật độ mặt σ = 4,75.ε0 (C/m2). 
Tìm vectơ cường độ trường điện trong môi trường 2 tại mặt S ? 
(ĐS: )
J0
2
0
E i i i2 3x y zγ
→ → → →
=  + +  
J0
0 0
; 3 γσ ε= −
(ĐS: )2 x yE 2, 65 i 0, 2 i (V/m)
→ → →
= +
Problem_ch1 12
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
(ĐS: P = 2πE0H0ln(b/a) )
(ĐS: )
2 2 PI I L
dt 22 a S S SI
P i ; P ; RL dtrπ γ γ γ
→ →
= − = = =
Cáp đồng trục, có bán kính lõi là a , bán kính vỏ là b. Trong không gian giữa lõi 
và vỏ tồn tại trường điện từ có các vectơ cho trong hệ trụ : 
1.20 :
0 0E i H i
E H;
r r
r φ
→ → → →
= =
Tính công suất điện từ truyền dọc cáp ?
Trên bề mặt của dây dẫn điện hình trụ tròn , trường điện từ có :1.21 :
E i H i
I I;
S 2 a
z φγ π
→ → → →
= =
Với : I, γ, S, a : cường độ dòng điện, độ dẫn điện, tiết diện và bán kính dây dẫn. 
a) Vectơ Poynting ?
b) Công suất điện từ đưa vào đoạn dây dẫn dài L, suy ra điện trở của đoạn dây ?
Xác định :