Bài tập Toán cao cấp 2

NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
NGUYỄN PHƯƠNG
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2
Tp. Hồ Chí Minh - 2014
Mục lục
1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐMỘT BIẾN SỐ 3
2 ĐẠO HÀMVÀ VI PHÂN HÀM SỐMỘT BIẾN SỐ 5
3 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 8
4 TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐMỘT BIẾN SỐ 10
5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 13
6 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ 15
Tài liệu tham khảo 16
2
Chương 1
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM
SỐMỘT BIẾN SỐ
Bài 1.1. Tìm giới hạn:
a) lim
x→0
√
1+x−1
3√1+x−1
c) lim
x→0
ln(a+x)−ln a
x
e) lim
x→1
xx−1
x ln x
g) lim
x→0
e2x−1
ln(1−4x)
k) lim
x→0
ln cos x
ln(1+x2)
b) lim
x→0
√
1+2x−1
tan 3x
d) lim
x→e
ln x−1
1−e
e) lim
x→1
xx−1
x ln x
g) lim
x→0
e2x−1
ln(1−4x)
k) lim
x→0
ln cos x
ln(1+x2)
Bài 1.2. Tìm giới hạn:
a) lim
x→∞
( x − 1
x2 − 1
)x+1
c) lim
x→∞
( x
x + 2
)x
e) lim
x→0
(
1 + x2
)cot2x
g) lim
x→∞
(
sin
1
x
+ cos
1
x
)cot 1x
k) lim
x→0
(cos x)
1
x2
b) lim
x→∞
( 1
x2
) 2x
3x+1
d) lim
x→∞
(x − 1
x + 3
)x+2
f) lim
x→1
(1 + sinpix)cotpix
h) lim
x→0
(1 + tan x
1 + sin x
) 1
sin x
l) lim
x→0
x√1 − 2x
Bài 1.3. Cho hàm số f (x) =
1
x
sin
1
x
.
Tìm lim
x→−∞ f (x), limx→+∞ f (x). Cho biết limx→0 f (x) có tồn tại hay không?
Bài 1.4. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên miền xác định:
a) f (x) =
{
x2 nếu 0 ≤ x ≤ 1
2 − x2 nếu 1 < x ≤ 2
3
b) f (x) =
{
sinpix
x−1 nếu x , 1−pi nếu x = 1
c) f (x) =

ln(1+2x)
−1+e3x nếu x > − 12
2
3 nếu x ≤ −12
d) f (x) =

1 − x nếu x < −1
cos pix2 nếu − 1 ≤ x ≤ 1
x − 1 nếu x > 1
e) f (x) =

1+cos x
(x−pi)2 nếu x , pi
1
2 nếu x = pi
Bài 1.5. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên miền xác định:
a) f (x) =
 x
3 − 3x2 + 4x
x − 1 nếu x , 1
2m + 1 nếu x = 1
b) f (x) =
{
2x2 + 3x − 1 nếu x < 2
2mx + 8 nếu x ≥ 2
c) f (x) =

2x + a nếu x < −1
2x2 + ax − b nếu − 1 ≤ x ≤ 2
x + 3b nếu x > 2
d) f (x) =
 1 − x cos 1x nếu x , 02m + 1 nếu x = 0
e) f (x) =
 ln(1 + x) − ln(1 − x)x nếu x , 0m nếu x = 0
f) f (x) =
{
ex nếu x < 2
x + k nếu x ≥ 2
4
Chương 2
ĐẠO HÀMVÀ VI PHÂN HÀM SỐ
MỘT BIẾN SỐ
Bài 2.1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại x = 0:
a) f (x) =
 1 − cos 2xx nếu x , 00 nếu x = 0
c) f (x) =
{
x2 + 2x nếu x , 0
0 nếu x = 0
b) f (x) =
x
2 + |x|
d) f (x) =
{
e2x nếu x ≥ 0
1 + x + x2 nếu x < 0
Bài 2.2. Tìm giá trị của tham số m để hàm số có đạo hàm tại x = 0:
a) f (x) =
{
x2 + x + 1 nếu x , 0
m nếu x = 0
c) f (x) =
 x sin 1x nếu x , 0m nếu x = 0
b) f (x) =
{
e2x nếu x ≥ 0
1 +mx + x3 nếu x < 0
d) f (x) =
 x2 sin 1x nếu x , 0m nếu x = 0
Bài 2.3. Tính đạo hàm và vi phân của các hàm số sau:
a) y = 3cos2x + 2sin3x
c) y = ln(x +
√
x2 + 3)
e) y =
√
1 + 3cos2x
g) y =
ln x + 1
ln x − 1
k) y = x2 ln(
√
x2 + 4)
m) y = logcos x sin x
o) y = ex2 .x4. sin 3x
b) y = cot(x2 + 2x)
d) y = (1 + tan x)3
f) y =
sin x + cos x
sin x − cos x
h) y = (sin x + cos x)ex
l) y = (x2 + 1)x
n) y = xln x
p) y = xx.2x.x2
Bài 2.4. Tìm đạo hàm cấp 2 và vi phân cấp 2 của các hàm số:
5
a) y =
x2 − 1
x2 + 2
c) y = ex2
e) y =
x3
ex
g) y = ln(x2+1)(x + 2)
b) y = ln(x2 + 1)
d) y = x3(ln x − 1)
f) y = sin 2x + cos 3x
h) y = (1 + x2) arctan x
Bài 2.5. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số:
a) y = xex
c) y = ln(ax + b)
b) y =
1
x + 1
d) y = 5 − 3cos2x
Bài 2.6. Cho hàm số: f (x) =

1
x
− 1
ex − 1 nếu x , 0
2m nếu x = 0
.
a) Tìm m để hàm số f (x) liên tục tại x = 0.
b) Với m vừa tìm được, hãy cho biết hàm số f (x) có khả vi tại x = 0 hay không?
Bài 2.7. Cho hàm số: f (x) =
 x2 nếu x ≤ 12ax + b nếu x > 1 .
Hãy xác định a và b để hàm số liên tục và khả vi tại x = 1.
Bài 2.8. Tìm giới hạn:
a) lim
x→1
x3 − 2x2 − x + 2
x3 − 7x + 6
c) lim
x→+∞
ln x
3
√
x
e) lim
x→0
x2 sin 1x
sin x
g) lim
x→0
√
1 + x − 3√1 + x
x
k) lim
x→0
( 1
x2
− cot2x
)
m) lim
x→0(1 − cos x) cot x
o) lim
x→1
( x
x − 1 −
1
ln x
)
b) lim
x→0
x cos x − sin x
x3
d) lim
x→1+
ln x. ln(x − 1)
f) lim
x→∞
x − sin x
x + sin x
h) lim
x→0
( 1
sin2x
− 1
x
)
l) lim
x→0+ x
α ln x
n) lim
x→0
x3
sin x − x
p) lim
x→2
( 1
x − 2 −
2
x2 − 5x + 6
)
Bài 2.9. Tìm giới hạn:
6
a) lim
x→0+ x
sin x
c) lim
x→0
(
1 + x2
) 1
ex−1−x
e) lim
x→0
(cos 4x)
1
x2
g) lim
x→0
(ex + x)
1
x
k) lim
x→0
(ln(e + x))
1
x
b) lim
x→0
(
1 + x2
) 1
x
d) lim
x→0+
(cot x)
2
ln x
f) lim
x→0+
(sin x)x
2
h) lim
x→+∞ (e
x + x)
1
x
l) lim
x→0
(sin x
x
) 1
x2
Bài 2.10. Tìm khai triển Mac-Laurin của các hàm số sau:
a) y =
1
1 − sin x đến số hạng x
5.
b) y = cos (sin 2x) đến số hạng x6.
c) y = arctan (sin 3x) đến số hạng x5.
d) y = ln (cos 2x) đến số hạng x6.
e) y = arctan (1 − cos x) đến số hạng x6.
Bài 2.11. Tìm khai triển Taylor tại x0 của các hàm số sau đến số hạng (x − x0)5:
a) y = x sin x; x0 = pi6
c) y = x3ex; x0 = 1
e) y = x4 ln x; x0 = 1
b) y = x2 cos x; x0 = pi3
d) y =
x
ex
; x0 = 1
f) y =
x + 1
x2 + 2x − 3; x0 = 2
Bài 2.12. Tìm giá trị gần đúng của:
a) arctan 1, 05 b) ln 1, 03
Bài 2.13. Tìm giá trị gần đúng của:
a) 3
√
1, 02 b) sin 290
7
Chương 3
HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
Bài 3.1. Tìm đạo hàm riêng cấp 1 và vi phân toàn phần cấp 1 của các hàm số sau:
a) z = x3 + y3 − 3xy
c) z = cos(x + 2y2)
e) z = ex(cos y + x sin y)
g) w = 3x2y + yz
b) z = ln(2x2 + 3y3)
d) z = ysin x
f) z =
√
x2 + 2y2
h) w = xyz
Bài 3.2. Tìm đạo hàm riêng cấp 2 và vi phân toàn phần cấp 2 của các hàm số sau:
a) z = 4x3 + 3x2y + 3xy2 − y3
c) z = ln
x + y
1 − xy
e) z =
1
2
ln(x2 + y2)
b) z = xy + sin(x + y)
d) z = ex sin y
f) z = cos(x + y)
Bài 3.3. Tính các đạo hàm riêng:
a)
∂3u
∂x2∂y
với u = x2y + sin(2x + y)
c)
∂3u
∂x∂y∂x
với u = arctan
x
y + 1
e)
∂3u
∂y2∂x
với u = ln(x2 + 2 sin y)
b)
∂3u
∂x2∂y
với u = e2x2+y
d)
∂3u
∂x2∂y
với u = sin(2x + sin y)
f)
∂3u
∂x2∂y
với u =
√
x + 2y
Bài 3.4. Tìm ∂u∂x biết:
a) u = x3 + y3, y = x2
c) u = x2 + y2 + z2, z = 4x + y
e) u = wts,w = x, t = x2, y = xz
g) u = ln(2x − 3y), y = ex
k) u = x ln y, y = 2x2 + x
b) u = x2 + 2x + y2, y = 1x
d) u = 3x2y + yz, z = x2 + xy + y2
f) u = e3x+2y, y = 2x2
h) u = x2 + y2, y = xz
Bài 3.5. Tìm ∂u∂t ,
∂u
∂s ,
∂2u
∂2t2 ,
∂2u
∂t∂s ,
∂2u
∂2s2 với:
8
a) u = x3 + y3, x = t2 − s2, y = t2 + s2
c) u = x2 + y2, x = t cos s, y = t sin s
e) u = 3x2y + yz, x = t2 − s2, y =
t, z = s2
g) u = x2y−3xy, x = 2ts−s, y = t−3ts
k) u = f (z), z = ts + ts
b) u = x2y − xy2, x = t2s, y = ts2
d) u = arctan xy , x = t sin s, y = t cos s
f) u = x2y − xy + 3y2, x =
t2 + 2s2, y = 2t2 − s2
h) u = ln(x2 − 3y), x = t2, y = tes
Bài 3.6. a) u = ev, v = sin(xyz). Tìm ∂
2u
∂t∂s
b) Tìm ∂
2
∂x∂y f (x
2 − y, x + y2)
Bài 3.7. Tìm dydx biết:
a) x2y − x + 2y = 0
c) tan y = xy
b) x3 + x2y + y2 = 0
d) arctan yx =
1
2 ln(x
2 + y2)
Bài 3.8. Tìm ∂z∂x ,
∂z
∂y biết:
a) xy − yz + xz = 0
c) ln xz + z ln x = y
b) xy + yz − xz = 2
d) z = xz + zy
Bài 3.9. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) z = x2 + xy + y2 − 3x − 6y
c) z = x +
y2
4x
+
1
y
+ 2
e) z = x3 + y2
g) z = xy +
50
x
+
20
y
(x > 0, y > 0)
b) z =
1
2
xy + (47 − x − y)
(x
3
+
y
4
)
d) z = x3 + y3 − 18xy
f) z = x4 + 4y2
h) z = x + y − yex
Bài 3.10. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau:
a) z = 2x + y với x2 + y2 = 5.
b) z = x2 + y2 − xy + x + y − 4 với x + y + 3 = 0.
c) z = xy với 2x + y = 6.
d) z =
1
x
+
1
y
với
1
x2
+
1
y2
=
1
4
Bài 3.11. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm:
a) z = x2−xy+y2−4x trong miền đóng giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, 2x+3y−12 = 0.
b) z = xy trong hình tròn x2 + y2 ≤ 1.
c) z = x2 − y2 trong hình tròn x2 + y2 ≤ 4.
d) z = x2y(4 − x − y) trong tam giác giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x + y = 6.
9
Chương 4
TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐMỘT
BIẾN SỐ
Bài 4.1. Sử dụng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:
a) I =
∫
4x(2x − 1)5dx
c) I =
∫
6x3√
3−x4dx
e) I =
∫
ex
√
ex − 1dx
g) I =
∫
3
xln3x
dx
k) I =
∫
cot x
sin4x
dx
b) I =
∫
6x−3
x2−x+5dx
d) I =
∫
3xex2dx
f) I =
∫
sin xcos5xdx
h) I =
∫
cos x
sin2x
dx
Bài 4.2. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau:
a) I =
∫
xarc sin xdx
c) I =
∫ √
x ln xdx
e) I =
∫
x2e−xdx
g) I =
∫
ex cos xdx
k) I =
∫
x2e2xdx
b) I =
∫
x2arctanxdx
d) I =
∫
x2 sin 3xdx
f) I =
∫
sin(ln x)dx
h) I =
∫
x cos 3xdx
Bài 4.3. Tích tích phân các hàm hữu tỉ sau:
a) I =
∫
x2+2x+6
(x−1)(x−2)(x−4)dx
c) I =
∫
x
x4+6x2+5dx
e) I =
∫
x3+2
x3−xdx
g) I =
∫
x
(x−1)(x+1)2dx
b) I =
∫
x2+2x−1
(x−1)(x2+1)dx
d) I =
∫
1
x(x−1)dx
f) I =
∫
2x
(1+x)(1+x2)2
dx
Bài 4.4. Tích tích phân các hàm lượng giác sau:
10
a) I =
∫
sin 2x cos 5xdx
c) I =
∫
sin x+sin3x
cos2x dx
e) I =
∫
sin3x
cos x 3
√
cos x
dx
g) I =
∫
sin4xdx
k) I =
∫
sin3x cos xdx
b) I =
∫
1
4 sin x+3 cos x+5dx
d) I =
∫
sin4xcos5xdx
f) I =
∫
cos4xdx
h) I =
∫
1
sin x+1dx
Bài 4.5. Sử dụng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:
a) I =
1∫
0
√
1 − x2dx
c) I =
pi
2∫
0
cos5xdx
e) I =
pi
2∫
0
1
1+cosxdx
g) I =
1∫
0
√
ex√
ex+e−x
dx
b) I =
2∫
−1
(3x + 1)4dx
d) I =
pi
2∫
0
cos x
(1+sin x)4
dx
f) I =
ln 2∫
0
√
ex − 1dx
h) I =
a∫
0
x2
√
a2 − x2dx
Bài 4.6. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau:
a) I =
pi
2∫
0
x cos xdx
c) I =
1∫
0
x ln(1 + x2)dx
e) I =
2∫
1
cos(ln x)dx
g) I =
pi
4∫
0
x+sinx
1+cos xdx
b) I =
1∫
0
x2e−xdx
d) I =
pi
3∫
pi
3
x
sin2x
dx
f) I =
1∫
−1
x arctan xdx
h) I =
pi
3∫
0
xsinx
cos2xdx
Bài 4.7. Tính:
a)
d
dx
x∫
1
cos t sin t
t2
dt
c)
d
dx
x3∫
x2
√
1 + t2dt
b)
d
dx
x2∫
0
sin t2dt
d) lim
x→0
x∫
0
cos t2dt
x
Bài 4.8. Xét sự hội tụ và tính tích phân nếu nó hội tụ:
11
a) I1 =
+∞∫
0
cos xdx
c) I3 =
+∞∫
0
xe−x2dx
e) I5 =
+∞∫
1
ln(1 + x)
1 + x
dx
b) I2 =
−1∫
−∞
dx
x2
d) I4 =
+∞∫
−∞
dx
x2 + x + 1
f) I =
+∞∫
0
arctan x
x2 + 1
dx
Bài 4.9. Xét sự hội tụ của các tích phân sau:
a) I1 =
+∞∫
1
sin x
x2
dx
c) I3 =
+∞∫
0
xp
1 + x3
dx
e) I5 =
+∞∫
1
ln(1 + x)
x
dx
g) I7 =
+∞∫
−∞
|sin x|
x2 + 3x + 1
dx
k) I9 =
+∞∫
0
e−x3 ln xdx
b) I2 =
+∞∫
−∞
dx
(x2 + 1)2
d) I4 =
+∞∫
−∞
dx
(x2 + x + 1)2
f) I6 =
+∞∫
1
x arctan x√
1 + x3
dx
h) I8 =
+∞∫
0
x3/2
1 + x3
dx
l) I10 =
+∞∫
1
(
1 − cos 2
x
)
dx
12
Chương 5
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài 5.1. Giải các phương trình đưa về biến số phân li:
a) x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = 0
c) x(y − 3)dy = 4ydx
e) y′ =
x − y + 1
x − y + 2
g) y′ =
x + y − 1
2x − y + 1
k) xy′y = y2 + 2x2
b) y′ cos x = y
d) y′ =
1
2x + y
f) y′ =
√
2x + y − 3
h) y′ =
x + y
x − y
l) (x2 + 2xy)dx + xydy = 0
Bài 5.2. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1:
a) y′ + 2xy = 4x
c) y′ +
y
x
= 3x với y(1) = 1
e) (x + y2)dy = ydx
b) xy′ = y + x3 + 3x2 − 2x
d) y′ + 2xy = xe−x2
f) 2x(y + x2)dx = dy
Bài 5.3. Giải các phương trình Bernoulli sau:
a) y′ − 2xy = 3x2y2
c) y′ +
y
x
= x2y4
b) y′ − y
x
=
1
y
d) y′ + y = ex/2
√
y
Bài 5.4. Giải các phương trình vi phân toàn phần sau:
a) (x2 + y2 + 2x)dx + 2xydy = 0
c) (x + y2)dx − 2xydy = 0
b) (x3−3xy2+2)dx−(3x2y−y2)dy = 0
d) y(1 + xy)dx − xdy = 0
Bài 5.5. Giải các phương trình sau bằng cách hạ cấp:
a) y′′ = x2 + xex + 1
b) y′′ = x − y
′
x
c) y′′(1 + x2) = 2xy′ với y(0) = 1 và y′(0) = 3
d) y.y′′ − (y′)2 = 0
13
Bài 5.6. Giải phương trình vi phân cấp 2 sau:
a) y′′ − 2y′ + y = 0 với y(0) = 2, y′(0) = 1
b) y′′ + 4y = 0 với y(0) = 0, y′(0) = 2
c) y′′ + 3y′ = 0 với y(0) = 0, y(3) = 0
d) y′′ + 3y′ + 2y = 0 với y(0) = 1, y′(0) = −1
Bài 5.7. Giải phương trình vi phân cấp 2 sau:
a) y′′ − 4y′ + 3y = e2x
c) y′′ + 5y′ + 4y = 3 − 2x
e) y′′ + y = sin 2x
g) y′′ + y = x sin x
b) y′′ − 3y′ + 2y = ex
d) y′′ + y′ − 2y = 3xex
f) y′′ − 9y = e3x. cos x
h) y′′ − 3y′ + 2y = 3e2x + 2x2
14
Chương 6
ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Bài 6.1. Tìm giá trị cận biên của các hàm sau:
a) C = 0, 1Q2 + 3Q + 2 tại Q = 3
b) C = 0, 04Q3 − 0, 5Q2 + 4, 4Q + 7500 tại Q = 5
c) R = 250Q + 45Q2 −Q3 tại Q = 5
Bài 6.2. Giả sử hàm tiêu dùng của một quốc gia cho bởi phương trìnhC =
10
√
I + 0, 7
√
I3 − 0, 2I√
I
với đơn vị của I và C là tỉ đô la. Tìm xu hướng tiết kiệm biên nếu thu nhập là 25 tỉ đô la.
Bài 6.3. Bà Cẩm có thu nhập hàng tháng là 1 triệu đồng để mua 2 hàng hóa là thịt và khoai
tây.Hàm hữu dụng là TU = (M − 2)P vớiM là thịt và P là khoai.
a) Giả sử giá thịt là 20 ngàn đồng/kg, giá khoai tây là 5 ngàn đồng/kg. Phối hợp nào giữa
thịt và khoai tây mà bà Cẩm cần mua để tối đa hóa hữu dụng.
b) Nếu giá khoai tây tăng đến 10 ngàn đồng/kg thì phối hợp nào giữa thịt và khoai tây để
tối đa hóa hữu dụng?
Bài 6.4. Một người tiêu dùng có thu nhập I = 3500 để mua hai sản phẩmX và Y với giá tương
ứng PX = 500,PY = 200. Sở thích của người này được biểu thị qua hàm số:
TUX = −Q2X + 26QX
TUY = −52Q
2
Y + 58QY
Xác định phương án tiêu dùng tối ưu và tính tổng hữu dụng tối đa có thể đạt được.
Bài 6.5. Một nhà sản xuất cần 2 yếu tố K và L để sản xuất sản phẩm X. Biết người này đã
chi ra một khoản tiền là TC = 15.000 để mua 2 yếu tố này với giá tương ứng là PK = 600 và
PL = 300. Hàm sản xuất được chọn là Q = 2K(L − 2).
a) Xác định hàm năng suất biên (MP) của các yếu tố K và L.
b) Tìm phương án sản xuất tối ưu và sản lượng tối đa đạt được.
c) Nếu xí nghiệp muốn sản xuất 900 đơn vị, tìm phương án sản xuất tối ưu với chi phí sản
xuất tối thiểu.
15
Bài 6.6. Cho biết hàm tổng chi phí để sản xuất một loại sản phẩm là C(Q) = Q2+2000Q+
500
Q
.
a) Tìm chi phí biên.
b) Xác định Q để chi phí trung bình bé nhất. So sánh chi phí biên tế và chi phí trung bình
tại điểm trên.
Bài 6.7. Biết hệ số co dãn của hàm cầu là εD =
−P
500 − P . Hãy tìm hàm cầu QD = D(P) biết
Q = 900 nếu P = 50.
Bài 6.8. Biết hệ số co dãn của hàm cầu là εD =
−2P2 + 5P
Q
. Hãy tìm hàm cầu QD = D(P) biết
Q = 500 nếu P = 10.
Bài 6.9. Hàm của một loại hàng theo giá có phương trình QD = 400 − 2P. Tại điểm P = 40
nếu giá tăng, doanh thu giảm hay tăng? Tìm mức giá để loại hàng trên không co dãn.
Bài 6.10. a) ChoMR = 1000 −Q, tìm R(Q).
b) ChoMC = 12Q + 3, tìm C(Q) biết FC = 100.
c) ChoMpi = 3Q + 700 và nếu chỉ bán được 60 (đơn vị) thì bị lỗ 7500 (đơn vị tiền). Tính
pi(Q).
Bài 6.11. Một doanh nghiệp cóMR = −0, 01Q + 20
a) Tìm R nếu số lượng sản phẩm bán được Q = 300.
b) Hỏi doanh thu thêm là bao nhiêu nếu họ bán sản phẩm từ đơn vị 200 đến đơn vị thứ 300.
Bài 6.12. Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh một loại sản phẩm, biết hàm
cầu của sản phẩm đó trên thị trường là QD = 656 − 12P và hàm chi phí là C = Q3 − −77Q2 +
1000Q + 100. Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận đạt cực đại.
Bài 6.13. Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng, biết hàm cầu
của loại hàng đó trên thị trường là QD = 2640 − P và hàm chi phí là C = Q2 + 1000Q + 100.
a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để thu được của doanh nghiệp nhiều
thuế nhất.
b) Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận đạt cực đại.
Bài 6.14. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai
loại sản phẩm trên là QD1 = 800 − 2P1 + P2 và QD2 = 960 + P1 − P2, hàm tổng chi phí là
C = 160Q1 + 240Q2 + 150.
a) Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp có lọi nhuận tối đa.
b) Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp có lọi nhuận tối đa với điều
kiện hạn chế về chi phí C = 41750.
Bài 6.15. Giả sử một doanh nghiệp có hàm sản xuất Cobb - Douglas như sau:Q = L
1
2K
1
2 .
Biết rằng w = 1, r = 3,P = 9, tìm lượng vốn và lượng lao động doanh nghiệp cần sử dụng để
đạt lợi nhuận cực đại.
16
Tài liệu tham khảo
[1] Lê Sĩ Đồng, Toán cao cấp - Giải tích, NXB Giáo dục, 2008.
[2] Bộ môn Toán - ĐH Ngân Hàng, Bài tập Toán cao cấp - Giải tích, Lưu hành nội bộ.
[3] Phạm Hồng Danh (chủ biên), Toán cao cấp - Giải tích, NXB Thống kê, 2008.
[4] Bộ môn Toán - ĐH Kinh Tế, Bài tập Toán cao cấp, NXB Thống kê, 2008.
[5] Nguyễn Quốc Hưng, Toán cao cấp 1 và một số ứng dụng trong kinh doanh, NXB ĐH
QG TP.HCM,2009.
[6] Lê Bảo Lâm (chủ biên), Kinh tế vi mô, NXB Thống kê, 2010.
[7] Trương Thị Hạnh (chủ biên), Kinh tế vi mô, NXB Thống kê, 2010.
[8] Nguyễn Như Ý (chủ biên), Câu hỏi – Bài tập – Trắc nghiệm Kinh tế Vi mô, NXB Thống
kê, 2010.
17