Bài tập mô phỏng lần 5 (Phương trình vi phân riêng)

[BÀI TẬP MÔ PHỎNG LẦN 4 – NGÔ TRUNG KIÊN - 7141159] June 20, 2015 
1 
BÀI TẬP MÔ PHỎNG LẦN 5 (PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN RIÊNG PHẦN PDE) 
BÀI 1 (Slide 39 – Lesson8b-Phương trình Elliptic PDE) 
Đề bài: Giải phương trình vi phân riêng phần: 
2 2
2 2
u u
0
x y
 
 
Biết: 2
2
0 x 1 0 y 1
u(0, y) y u(1, y) 1
u(0,x) x u(x,1) 1
Giải 
Giải phương trình vi phân này theo 
Phương pháp chia lưới 
2 2
1, 1, , 1 , 1
2 2 2 2
2 2
0
i j ij i j i j ij i ju u u u u uu u
x y x y
  
  
Chọn Δx = Δy = 1/5 = 0,2 khi đó ta được: 
1, 1, , 1 , 1
, ( , 0, 1)
4
i j i j i j i j
ij
u u u u
u i j
2 2
0, ,0 1, ,1, , 1, 1j i j iu y u x u u 
Kết quả tính toán ta được: 
y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 
x i\j 0 1 2 3 4 5 
0 0 0 0.04 0.16 0.36 0.64 1 
0.2 1 0.04 0.1921 0.3442 0.5260 0.7466 1 
0.4 2 0.16 0.3442 0.4986 0.6532 0.8205 1 
0.6 3 0.36 0.5260 0.6532 0.7677 0.8823 1 
0.8 4 0.64 0.7466 0.8205 0.8823 0.9412 1 
1 5 1 1 1 1 1 1 
x 
y 
0,0 0,2 
0,4 0,6 0,8 1,0 
0,2 
0,4 
0,6 
0,8 
1,0 
uij ui-1,j ui+1,j 
ui,j-1 
ui,j+1 
i 
j 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
[BÀI TẬP MÔ PHỎNG LẦN 4 – NGÔ TRUNG KIÊN - 7141159] June 20, 2015 
2 
Dùng hàm mesh của matlab để vẽ nghiệm của phương trình vi phân riêng phần trên ta được 
nghiệm hình của phương trình 
X = [0 0.2 0.4 0.6 0.8 1]; 
Y = [0 0.2 0.4 0.6 0.8 1]; 
U = [0 0.04 0.16 0.36 0.64 1 
 0.04 0.1921 0.3442 0.5260 0.7466 1 
 0.16 0.3442 0.4987 0.6533 0.8206 1 
 0.36 0.5260 0.6532 0.7677 0.8823 1 
 0.64 0.7466 0.8205 0.8823 0.9412 1 
 1 1 1 1 1 1]; 
mesh(X,Y,U) 
grid on 
title('Nghiem cua phuong trinh Elliptic PDE uxx + uyy = 0') 
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('u'); 
BÀI 2 (Slide 41-Lesson8b-Phương trình Parabolic PDE) 
Đề bài: 
Giải phương trình vi phân riêng phần: 
2
2
u u
0
t x
 
 
Biết: 4u(x,0) x (0 x 1); u(0, t) 0 (0 t); u(1, t) 1 (0 t) 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
[BÀI TẬP MÔ PHỎNG LẦN 4 – NGÔ TRUNG KIÊN - 7141159] June 20, 2015 
3 
Giải: 
2
, 1 , 1, 1,
2 2
2i j i j i j ij i ju u u u uu u
t x t x
  
  
 , 1 , 1, 1,2 2i j i j i j ij i j
t
u u u u u
x
Để hệ ổn định chọn: 
2
1
2
t
x
. 
Nếu chọn: 
2
1
( 0,2 0.02)
2
t
x t
x
 ta được: 
1, 1,
, 1
4
( 0, 1; j 0)
2
(x,0) (0 1); (0, t) 0 (0 ); (1, t) 1 (0 )
i j i j
i j
u u
u i
u x x u t u t
Kết quả tính toán trên Excel ta được: 
 t 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 
x i\j 0 1 2 3 4 5 
0 0 0 0 0 0 0 0 
0.2 1 0.0016 0.0128 0.0328 0.0576 0.087 0.1049 
0.4 2 0.0256 0.0656 0.1152 0.174 0.2098 0.2514 
0.6 3 0.1296 0.2176 0.3152 0.362 0.4158 0.4454 
0.8 4 0.4096 0.5648 0.6088 0.6576 0.681 0.7079 
1 5 1 1 1 1 1 1 
Dùng hàm mesh của matlab để vẽ nghiệm của phương trình vi phân riêng phần trên ta được 
nghiệm hình của phương trình. 
X = [0 0.2 0.4 0.6 0.8 1]; 
T = [0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1]; 
U = [0 0 0 0 0 0 
 0.0016 0.0128 0.0328 0.0576 0.087 0.1049 
 0.0256 0.0656 0.1152 0.174 0.2098 0.2514 
 0.1296 0.2176 0.3152 0.362 0.4158 0.4454 
 0.4096 0.5648 0.6088 0.6576 0.681 0.7079 
 1 1 1 1 1 1]; 
mesh(X,T,U) 
grid on 
title('Nghiem cua phuong trinh Parabolic PDE ut = uxx') 
xlabel('x');ylabel('t');zlabel('u'); 
i 
j 
ui-1,j ui+1,j 
x 
t 
0 Δx 2Δx 
3Δx 
4Δx 
5Δx 
Δt 
2Δt 
3Δt 
4Δt 
5Δt 
uij 
ui,j+1 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
[BÀI TẬP MÔ PHỎNG LẦN 4 – NGÔ TRUNG KIÊN - 7141159] June 20, 2015 
4 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
[BÀI TẬP MÔ PHỎNG LẦN 4 – NGÔ TRUNG KIÊN - 7141159] June 20, 2015 
5 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt