Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 7: Thiết kế bộ lọc số

Chương 7: 
Thiết kế bộ lọc số 
Xử lý số tín hiệu 
1. Các bước thực hiện bộ lọc số. 
 hệ thống thực hiện hiệu chỉnh tín hiệu ở một 
số thành phần tần số nào đó. 
 Bộ lọc chọn lọc tần số: cho qua một số thành phần 
tần số của tín hiệu và loại bỏ tất cả các thành phần 
còn lại. 
 3 bước thiết kế bộ lọc số: 
Phụ thuộc vào ứng dụng 
Phụ thuộc vào phần cứng 
Bộ lọc:
Yêu cầu của bộ lọc 
Thiết kế bộ lọc 
Thực hiện trên phần cứng 
1. Các bước thực hiện bộ lọc số (tt) 
Mục đích của thiết kế bộ lọc số: 
 Đối với bộ lọc IIR: 
→Xác định các vector tham số tử số b=[b0,b1,,bM1] 
và mẫu số a=[1,a1,,aM2] 
 Đối với bộ lọc FIR: 
→ Xác định vector b=[b0,b1,,bM1], đây cũng chính là 
đáp ứng xung của bộ lọc 
iM
i i
iM
i i
za
zb
zH


2
1
0
1
)(
1
Xác định hàm truyền H(z) 
iM
i i
zbzH 
  
1
0
)(
2. Các yêu cầu của bộ lọc. 
2. Các yêu cầu của bộ lọc. 
ωp: Cạnh dải thông. 
ω s: Cạnh dải chắn. 
δp1, δp2: độ gợn dải thông. 
δs: độ gợn (suy hao) dải chắn. 
3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương 
pháp cửa sổ. 
 Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương pháp cửa sổ dựa 
trên nguyên tắc xấp xỉ đáp ứng xung của bộ lọc 
mong muốn. 
 Giả sử ta có bộ lọc có đáp ứng tần số mong muốn: 
 Đáp ứng xung mong muốn: 
 VD: tìm đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý 
tưởng: 
cH  ,1)(

n
nj
dd enhH
 )()(
 
deHnh njdd )(
2
1
)(
3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương 
pháp cửa sổ. (tt) 
Đáp ứng xung của một số bộ lọc thông dụng: 
 Thông thấp: 
 Thông cao: 
 Thông dải: 
 Chắn dải: 
Nhận xét: 
 Các bộ lọc lý tưởng có đáp ứng tần số thay đổi đột 
ngột giữa dải thông và dải chắn → đáp ứng xung 
dài vô hạn và không nhân quả. 
n
n
nh cd
 )sin(
)( 
n
n
nnh cd


)sin(
)()( 
n
nn
nh abd
 )sin()sin(
)(
n
nn
nnh abd


)sin()sin(
)()(
3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương 
pháp cửa sổ. (tt) 
 Để xấp xỉ đáp ứng xung của các bộ lọc lý tưởng 
này, cách đơn giản nhất là xén bớt từ đáp ứng 
xung lý tưởng này. 
 Giả sử cần thiết kế bộ lọc bậc M(M chẵn), đáp ứng 
xung của hệ thống xấp xỉ: 
 Hay ta có thể viết cách khác: 
 Với 
khác 0
22
1
)(
n
M
n
M
nw
2
M
2
M
- ),()( nnhnh d
)()()( nwnhnh d 
3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương 
pháp cửa sổ. (tt) 
 Do h(n) sau khi nhân với hàm cửa sổ là không 
nhân quả, ta cần làm trễ đi M/2 mẫu để có đáp 
ứng xung nhân quả. 
 h(n-M/2)=hd(n-M/2)w(n-M/2) 
3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương 
pháp cửa sổ. (tt) 
VD: Dùng phương pháp cửa số chữ nhật xác định đáp 
ứng xung nhân quả của bộ lọc thông thấp FIR bậc 
10 có tần số cắt là ωc= /4 
Giải: 
Đáp ứng xung nhân quả: 
55 ,
)sin(
)( n
n
n
nh c

 10
2
,0,
6
2
,
2
1
,
2
2
,
4
1
,
2
2
,
2
1
,
6
2
,0,
10
2
)(nh
 10
2
,0,
6
2
,
2
1
,
2
2
,
4
1
,
2
2
,
2
1
,
6
2
,0,
10
2
)5(nh
3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương 
pháp cửa sổ. (tt) 
Tìm lại đáp ứng tần số từ đáp ứng xung này: 
 
4
1
)cos(
1
)3cos(
3
2
)5cos(
5
2
)()( 5
5
5
5 


  j
n
njj eenheH
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/ 
|H
( 
)|
4
1
)cos(
1
)3cos(
3
2
)5cos(
5
2
)( 


H
 5)( H :pha tuyến tính. 
Nhận xét: 
_ Bộ lọc kết quả có độ dốc giữa dải thông và 
dải chắn lài. 
_ Đáp ứng biên độ của bộ lọc kết quả có 
những gợn trong cả dải thông và dải chắn. 
3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương 
pháp cửa sổ. (tt) 
 Hiện tượng Gibbs 


dWHH d )()(2
1
)(
 
)2/sin(
2/)1(sin
)(
2/
2/ 

 
  
 MeW
M
Mn
nj
3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương 
pháp cửa sổ. (tt) 
 Thay đổi chiều dài cửa sổ: 
 Tăng chiều dài cửa sổ: độ rộng búp chính của hàm cửa sổ 
giảm → khoảng chuyển tiếp nhỏ. Tuy nhiên, tần số các 
gợn biên tăng lên. 
 Giảm chiều dài cửa sổ: khoảng chuyển tiếp lớn. 
3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương 
pháp cửa sổ. (tt) 
 Để giảm bớt hiện tượng Gibbs cần thay đổi hình 
dạng cửa sổ: tránh thay đổi đột ngột tại cạnh hàm 
cửa sổ. 
 Cửa sổ Bartlett (cửa sổ tam giác) 
 Cửa sổ Hann: 
 Cửa sổ Hamming: 
 Cửa sổ Blackman: 
even ,
2//22
2/0/2
)( M
MnMMn
MnMn
nw
MnMnnw 0 ),/2cos(5.05.0)( 
MnMnnw 0 ),/2cos(46.054.0)( 
MnMnMnnw 0 ),/4cos(08.0)/2cos(5.042.0)( 
3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương 
pháp cửa sổ. (tt) 
3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương 
pháp cửa sổ. (tt) 
Ví dụ: Bộ lọc thông thấp dùng cửa sổ chữ nhật và cửa 
sổ Hamming với cùng chiều dài N=81. 
3. Thiết kế bộ lọc FIR dùng phương 
pháp cửa sổ. (tt) 
 Thiết kế bộ lọc FIR bằng cửa sổ Kaiser: 
 Với 
 𝛼: hệ số hình dạng. 
 I0(x): hàm Bessel sửa đổi loại 1 bậc 0. 
 Cửa sổ Bessel có 2 tham số giúp bù trừ độ rộng 
búp chính (độ rộng khoảng chuyển tiếp) và độ cao 
búp chính (tăng/giảm hiện tượng Gibbs) qua hệ 
số hình dạng và chiều dài bộ lọc ->linh động hơn 
khi thiết kế. 
Mn
I
M
Mn
I
nw 
 0 ,
)(
2/
2/
1
)(
0
2
0
4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời 
gian liên tục 
 Đối với bộ lọc IIR thì các phương pháp thiết kế 
thường bắt đầu bằng thiết kế bộ lọc tương tự, sau 
đó dùng các phép biến đổi để chuyển thành bộ lọc 
số. 
 Các phương pháp thiết kế bộ lọc IIR tương tự đã rất 
phát triển. 
 Các bộ lọc tương tự thường được xác định bằng các 
công thức cụ thể -> đơn giản hoá việc thiết kế. 
 Các phương pháp xấp xỉ toán học khi áp dụng cho 
bộ lọc số IIR thường rất phức tạp. 
4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời 
gian liên tục (tt) 
 Biến đổi bộ lọc tương tự thành bộ lọc số: 
 H(s) → H(z) 
 Các yêu cầu của phép biến đổi: 
 Miền s Miền z 
 js  jrez 
   
0  1 r
Trục tần số 
Tính ổn định 
4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời 
gian liên tục (tt) 
 Phép biến đổi song tuyến tính: 
 Kiểm tra các yêu cầu của phép biến đổi: 
 Chứng minh cho : 
Mối liên hệ giữa Ω và ω: 
Như vậy: hay 
1
1
1
1
z
z
s
jej  
 
 
j
j
s
s
z


1
1
1
1
 js
jezz
j
j
z 
 
 
 :1||
1
1
  
2
tan
1
1 


j
e
e
js
j
j
 
2
tan
  arctan2
4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời 
gian liên tục (tt) 
 Chứng minh 
Dễ thấy: 
 Nếu σ<0: tử số nhỏ hơn mẫu số →|z|<1 
 Nếu σ>0: tử số lớn hơn mẫu số →|z|>1 
10  r
 
 
j
j
s
s
z


1
1
1
1
4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời 
gian liên tục (tt) 
Ví dụ: Cho các tiêu chuẩn thiết kế của một bộ lọc số 
như sau: 
a) Thiết kế bộ lọc tương tự Butterworth thoả các 
điều kiện trên biết: 
b) Sử dụng phép biến đổi song tuyến tính tìm hàm 
truyền của bộ lọc IIR tương ứng. 
  2.00 ,1)(89125.0 H
N
c
H
2
2
1
1
)(


 
   3.0 ,17783.0)(H
4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời 
gian liên tục (tt) 
Nhận xét: 
 ánh xạ trục tần số 
vô hạn vào vòng 
tròn đơn vị hữu hạn 
dẫn đến các tần số 
được ánh xạ không 
tuyến tính -> không 
áp dụng được cho 
bộ lọc có đáp ứng 
biên độ hay pha 
tuyến tính. 
 
2
tan

4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời 
gian liên tục (tt) 
Bộ lọc 1 cực: 
Hàm truyền chuẩn hoá trong miền s: 
Yêu cầu: thiết kế bộ lọc thông thấp với đáp ứng tần số 
tại ωc là Gc
2 
1
1
1
10
1
)(
za
zbb
zH
s
sHa )(
4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời 
gian liên tục (tt) 
 Ta có: 
 Tại : 
 Nếu Gc
2=1/2 thì 𝛼=Ωc 
 Suy ra hàm truyền trong miền z: 
 Với , 
22
2
2
)()(
 
  
 
  aa H
j
H
)2/tan( cc  
c
c
c
c
c
ca
G
G
GH 
 
 
2
2
22
2
2
1
)( 
1
1
1
11
1
1
1
)()(
1
1
1
1
az
z
b
s
sHzH
z
z
sz
z
sa 
1
1
a
1
b
4. Thiết kế bộ lọc IIR từ các bộ lọc thời 
gian liên tục (tt) 
Ví dụ: Thiết kế bộ lọc thông thấp 1 cực với tần số cắt 
3dB là 0.2 sử dụng phép biến đổi song tuyến tính 
áp dụng cho bộ lọc tương tự sau: 
Giải: 
 Ωc =tan(0.1 )=0.325 
 Do |Ha(Ωc)|
2=1/2, 𝛼= Ωc 
 Hàm truyền trong miền s: 
 Hàm truyền trong miền z: 
 Tại ω=0.2 , |H(ω)|0.707 
s
sH )(
325.0
325.0
)(
s
sH



j
j
e
e
H
z
z
zH
509.01
1
245.0)(
509.01
1
245.0)(
1
1
5. Bộ lọc có pha tuyến tính 
 Người ta chứng minh được rẳng bộ lọc có pha 
tuyến tính nếu đáp ứng xung của nó thoả điều 
kiện đối xứng hoặc phản đối xứng: 
 Đối với bộ lọc FIR: đáp ứng xung của các bộ lọc 
chọn lọc tần số và các hàm cửa sổ sẵn có dạng đối 
xứng -> pha tuyến tính có thể đạt được dễ dàng. 
 Đối với bộ lọc IIR: Từ phương trình của H(z), các 
cực xuất hiện thành cặp nghịch đảo. Nếu bộ lọc có 
1 cực nằm trong vòng tròn đơn vị thì cũng có 1 
cực nằm ngoài → không ổn định 
)()()()( 1  zHzzHnMhnh M
6. Ưu/khuyết điểm của bộ lọc IIR so 
với bộ lọc FIR 
 FIR 
Ưu điểm: 
 Pha tuyến tính 
 Ổn định (không có các cực) 
Nhược điểm: 
 Chi phí tính toán lớn do để 
có cùng một đáp ứng biên độ 
giống nhau thì bộ lọc FIR 
luôn có bậc lớn hơn 
IIR 
Ưu điểm: 
 Bậc thấp → chi phí tính toán 
thấp. 
 Dễ thiết kế. 
Nhược điểm: 
 Dễ trở nên bất ổn nếu quá 
trình lượng tử tham số làm 
cho các cực bị đẩy ra khỏi 
vòng tròn đơn vị 
 Không thể đạt pha tuyến tính 
trên toàn khoảng Nyquist