Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 6: Các hàm truyền

Chương 6: 
Các hàm truyền 
Xử lý số tín hiệu 
1 
1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc 
số 
Xử lý khối 
Xử lý mẫu 
Các PP thiết 
kế bộ lọc 
Các tiêu 
chuẩn 
thiết kế 2 
1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc 
số (tt) 
Ví dụ: Xét một bộ lọc nhân quả có hàm truyền 
Từ hàm truyền này hãy dẫn ra 
a.Đáp ứng xung h(n) 
b.Đáp ứng tần số H(ω) 
c.Phương trình vi phân I/O 
d.Phương trình tích chập 
e.Sơ đồ cực/zero và đáp ứng biên độ | H(ω) | 
f.Lưu đồ giải thuật 
1
1
5.01
5.21
)(
z
z
zH
3 
1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc 
số (tt) 
Giải: 
a.Đáp ứng xung h(n) 
h(n) được tính từ biến đổi Z ngược: 
Do bộ lọc là nhân quả nên ROC: |z|>0.5 
Suy ra: h(n)=-5δ(n)+6(0.5)nu(n) 
b.Đáp ứng tần số H(ω) 
15.01
6
5)(
z
zH


 j
j
ez e
e
zHH j 
5.01
5.21
)()(
4 
1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc 
số (tt) 
c. Phương trình vi phân I/O: 
d. Phương trình tích chập: 
1
1
5.01
5.21
)(
)(
)(
z
z
zH
zX
zY
)1(5.0)1(5.2)()(
)1(5.2)()1(5.0)(
)()5.21()()5.01( 11
nynxnxny
nxnxnyny
zXzzYz
...)2(5.06)1(5.06)( 
)()()(
2 
 
nxnxnx
mnxnhny
5 
1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc 
số (tt) 
e. Sơ đồ cực/zero và đáp ứng biên độ |H(ω)| 
H(z) có 1 cực tại p=0.5 và 1 zero tại z=-2.5 
Đáp ứng biên độ: 
Tổng quát: 



cos5.01
cos55.21
|)(|
2
2
 H


cos21||
1
2 aa)N(
a.e)N( -jω
6 
1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc 
số (tt) 
f. Lưu đồ giải thuật: 
 Dạng trực tiếp: 
Từ phương trình vi phân I/O ta vẽ được lưu đồ giải 
thuật theo dạng trực tiếp: 
 )1(5.0)1(5.2)()( nynxnxny
Giải thuật xử lý mẫu: 
)()1(
)()1(
)()(
)(5.0)(5.2)()(
)()(
01
01
0
1100
0
nvnv
nwnw
nvny
nvnwnwnv
nxnw
7 
1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc 
số (tt) 
 Dạng chính tắc: 
Giải thuật xử lý mẫu: 
)()1(
)(5.2)()(
)(5.0)()(
01
10
10
nwnw
nwnwny
nwnxnw
8 
1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc 
số (tt) 
 Tổng quát: 
2
2
1
1
2
2
1
10
1
)( 
zaza
zbzbb
zH
+
z-1
b1-a1
x(n) y(n)
+
z-1
b2-a2
b0
Dạng trực tiếp: Dạng chính tắc: 
9 
1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc 
số (tt) 
 Dạng Cascade: hàm truyền được biến đổi thành tích 
các thành phần bậc 2: 


k
kk
k
k
k
kk
k
k
zdzdzc
zgzgzf
AzH
)1)(1()1(
)1)(1()1(
)( 
1*11
1*11
10 
1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc 
số (tt) 
 Dạng Parallel: hàm truyền được biến đổi thành tổng 
các thành phần bậc 2: 


k kk
kk
k k
k
k
k
k
zdzd
zeB
zc
A
zCzH
)1)(1(
)1(
1
)(
1*1
1
1
11 
2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha 
 Đáp ứng trạng thái ổn định 
 Tín hiệu vào: sine phức, tần số ω0, dài vô hạn 
 Ngõ ra có thể xác định bằng 2 cách: 
 Chập trong miền thời gian 
 Phương pháp miền tần số 
 Phổ tín hiệu vào: X() = 2 ( - 0) + (các phiên bản) 
 Phổ tín hiệu ra: Y() = H()X() = 2 H(0)( - 0) 
 DTFT ngược: 
 Tổng quát: H() là số phức 
nj
enx 0)(
 

 njeHmnxmhny 0)()()()( 0

12 
 
njnj eHdeYny 0)()(
2
1
)( 0
 0arg00
 HjeHH 
 000 arg0
  HjnjHnj eHe  
12 
2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha 
 Tín hiệu vào gồm 2 tín hiệu sine tần số 1 và 2 kết 
hợp tuyến tính & bộ lọc tuyến tính: 
 Với tín hiệu vào tổng quát: phân tích Fourier thành 
các thành phần sine rồi tính ngõ ra. 
 ))(arg(222
))(arg(
111
222
111




Hnjnj
HnjHnj
eHAeA
eHAeA
 
13 
13 
2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha 
 Xét hệ thống: 
 Ngõ ra: 
 Y(ω) có biên độ: 
 Y(ω) có pha: 
 |H(ω)| được gọi là đáp ứng biên độ của bộ lọc. 
 được gọi là đáp ứng pha của bộ lọc 
 Độ trễ pha: 
 Độ trễ nhóm: 
)()()(  XHY 
|)(||)(||)(|  XHY 
)()()(  XHY   
)(H ))((   H



)(
)(
H
d




d
Hd
dg
)(
)(

14 
2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha (tt) 
 Ảnh hưởng của đáp ứng biên độ và đáp ứng pha lên 
tín hiệu ngõ ra: 
 Xét tín hiệu vào có dạng: 
 Tín hiệu ra: 
 Ảnh hưởng của đáp ứng biên độ: 
 
njnj
eenx 21)(
 
))((
2
))((
1
)(
2
)(
1
2211
2211
|)(||)(| 
|)(||)(|)(




dnjdnj
HjnjHjnj
eHeH
eeHeeHny

H(ω) 
Chọn lọc tần số 
15 
2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha (tt) 
 Ảnh hưởng của đáp ứng pha: 
 Giả sử |H(ω1)| = |H(ω2)| =1 
 Nếu độ trễ pha d(ω) thay đổi theo ω: các thành phần 
tần số khác nhau sẽ bị trễ một lượng khác nhau. 
))(())(( 2211)(
 dnjdnj
eeny
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-1
0
1
x
1
(n)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-1
0
1
x
2
(n)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2
0
2
x(n)=x
1
(n)+x
2
(n)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-1
0
1
y
1
(n)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-1
0
1
y
2
(n)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2
0
2
y(n)=y
1
(n)+y
2
(n)
Biến dạng tín hiệu 
H(ω) 
16 
2. Đáp ứng biên độ, đáp ứng pha (tt) 
 Để các thành phần tần số khác nhau sau khi qua bộ 
lọc bị trễ pha bằng nhau: 
 Lúc đó: (hệ thống có pha tuyến tính). 
 Trong ví dụ trên, giả sử hệ thống có pha tuyến tính 
thì: 
constD
d
Hd
dg 




)(
)(
 DH  )(
)()( 21)(
DnjDnj
eeny
 
17 
3. Đáp ứng hình sine (tt) 
 Đáp ứng quá độ: Tín hiệu vào: sine, bắt đầu tại t=0 
 với ROC: 
 Giả sử bộ lọc có hàm truyền H(z): 
 Ngõ ra: Y(z) = H(z).X(z) 
10
0
1
1
)()(
   
ze
zXnuenx
j
Znj


10 jez
 11211 1...11 
zpzpzp
zN
zH
M
18 
 112111 1...111 0 
zpzpzpze
zN
zY
M
j
18 
3. Đáp ứng hình sine (tt) 
 Giả sử bậc của N(z) nhỏ hơn M+1, khai triển phân 
số từng phần: 
 với ROC: |z|>1 
 Biến đổi ngược: 
Giả sử bộ lọc ổn định: 
11
1
1
1
0
111 0 
zp
B
zp
B
ze
H
zY
M
M
j



19 
 0 n , )( 110 0 
n
MM
nnj pBpBeHny 
Mipi ,1, 1 
M1, i , 0   nnip
 njn eHny 00)(
  19 
3. Đáp ứng hình sine (tt) 
 Nếu x(n)=ejωn, -∞<n<∞ thì y(n)=H(ω) ejωn 
 Tuy nhiên, nếu x(n)=ejωn u(n) thì 
 Để bộ lọc ổn định thì , 
 với điều kiện ổn định: 
nj
nk
kjnj
k
kj
nj
n
k
kj
n
k
knj
eekheekh
eekhekhny




10
00
)(
)()( 
)()()(
0)(   nt ny
 
 0
|)(|
k
kh
  

)(
1
)(
)()()(
ny
nj
nk
kj
ny
nj
t
ss
eekheHny  
 
20 
3. Đáp ứng hình sine (tt) 
 Bộ lọc ổn định nghiêm ngặt, các hệ số 
 Cực có biên độ lớn nhất pI thì hệ số tương ứng sẽ 
tiến về 0 chậm nhất. 
 Ký hiệu: . 
 Hằng số thời gian hiệu quả neff là thời gian tại đó 
 với  là mức độ nhỏ mong muốn, ví dụ 1% 
0  nnip
i
i
pmax 
 eff
n


1
ln
1
ln
ln
ln
effn
21 
21 
3. Đáp ứng hình sine (tt) 
 Đáp ứng unit step: tín hiệu vào x(n)=u(n) 
 Trường hợp đặc biệt của với 0 = 0 (z = 1) 
 H(0) coi như đáp ứng DC của bộ lọc. 
 Độ lợi DC: 
)(0 nue
nj
 0n ,...0)( 2211 
n
MM
nn pBpBpBHny
 
0
1 )(0
n
z nhzHH
 0Hny n  
22 
22 
3. Đáp ứng hình sine (tt) 
 Đáp ứng unit step thay đổi: 
 Tín hiệu vào x(n) = (-1)nu(n) 
 Trường hợp đặc biệt của với 0 = (z =-1) 
 Độ lợi AC: 
)(0 nue
nj
 0n ,...)( 2211 
n
MM
nnnj pBpBpBeHny 
 
0
1 )()1(
n
n
z nhzHH 
 nn Hny 1   
23 
23 
3. Đáp ứng hình sine (tt) 
 Bộ lọc ổn định dự trữ (marginally stable): có cực 
nằm trên vòng tròn đơn vị. 
 Xét bộ lọc H(z) có cực trên vòng tròn đơn vị 
 Bộ lọc sẽ có cực liên hợp: 
 Và các cực khác nằm trong vòng tròn đơn vị 
 Đáp ứng quá độ 
1
1
j
ep 
1*
1
j
ep
 ...)( 22
*
110
110 nnjnjnj pBeBeBeHny 
 njnjnjn eBeBeHny 110 *110)(
   24 
24 
3. Đáp ứng hình sine (tt) 
 Nếu thì tạo ra cộng hưởng và ngõ ra 
không ổn định. 
 Ví dụ: 
 Biết: 
10  
110
01 pee
jj 
...
1)1(1
)1)...(1()1(
)(
)(
1
2
2
21
1
'
1
1
1
1
11
2
21
1
zp
B
zp
B
zp
B
zpzpzp
zN
zY
M
)()1(
)1(
1 1
21
nuan
az
nZ  
...)1()( 22
'
11
11 nnjnj pBenBeBny  25 
25 
4. Thiết kế cực/zero (tt) 
 Bộ lọc bậc nhất: 
 Khi ejω cực: |H(ω)| tăng 
 Khi ejω zero: |H(ω)| giảm 
 Ví dụ: với 0 < a, b <1 
0
|H(ω)|
ωπ
1
1
1
1
)(
az
bz
GzH
26 
4. Thiết kế cực/zero (tt) 
 Cần thêm 1 phương trình thiết kế để xác định a và b. 
a
bG
zHH
1
)1(
10
a
bG
zHH
1
)1(
1 
)1)(1(
)1)(1(
)0(
)(
ba
ab
H
H
27 
effna
/1
 
27 
4. Thiết kế cực/zero (tt) 
Ví dụ: Thiết kế bộ lọc có H( )/H(0) = 1/21 và 
neff=20 mẫu để đạt  = 1% 
 8.0)01.0( 20/1
/1
 eff
n
a 
4.0
21
1
)8.01)(1(
)8.01)(1(
b
b
b
1801
1401
z.
z.GH(z)
28 
28 
4. Thiết kế cực/zero (tt) 
 Bộ lọc cộng hưởng: để tăng 
tính chọn lọc tần số: 
 1 cực tại p1=Re
jω0 (0<R<1) 
 1 cực liên hợp tại p2=p1*=Re
-jω0 
 Đáp ứng tần số: 
 Độ rộng 3dB 
 Giải ra 2 nghiệm ω1, ω2 
)Re1)(Re1(
)(
00 

jjjj ee
G
H
2
0
2 |)(|
2
1
|)(|  HH 
)1(2|| 21 R 
29 
4. Thiết kế cực/zero (tt) 
 Các bộ cộng hưởng: Thiết kế một bộ lọc cộng hưởng 
bậc hai đơn giản, đáp ứng có một đỉnh đơn hẹp tại 
tần số 0 
1 
1/2 
|H()|2 
0 /2 0 
 
30 
30 
4. Thiết kế cực/zero (tt) 
 Để tạo 1 đỉnh tại  = 0, đặt 1 cực , 0<R<1 
và cực liên hợp 
0.
j
eRp 
0.*
j
eRp
0 
- 0 
p 
p* 
1 
2
2
1
1
11
1
.1.1
)(
00
zaza
G
zeRzeR
G
zH
jj 
2
201 ,cos2 RaRa 
31 
31 
4. Thiết kế cực/zero (tt) 
 Đáp ứng tần số: 
 Chuẩn hóa bộ lọc: 
 10 H
2
0
0
)2cos(21)1(
1
.1.1 0000
RRRG
eeReeR
G
H
jjjj



 

jjjj eeReeR
G
H
00 .1.1
32 
32 
4. Thiết kế cực/zero (tt) 
 Độ rộng 3-dB fullwidth: độ rộng tại ½ cực đại của đáp 
ứng biên độ bình phương 
 Tính theo dB: 
 Giải ra 2 nghiệm 1 và 2 =>  = 2 - 1 
 Chứng minh được: khi p nằm gần đường 
tròn (xem sách) 
 dùng xác định giá trị R dựa trên băng thông  cho 
trước. 
2
1
2
1 2
0
2
  HH
dB
H
H
3
2
1
log10log20 10
0
10 


33 
 R 12
33 
4. Thiết kế cực/zero (tt) 
Ví dụ: thiết kế bộ lọc cộng hưởng 2 cực, đỉnh 
f0=500Hz và độ rộng =32Hz, tốc độ lấy mẫu 
fs=10kHz 
34 
34 
4. Thiết kế cực/zero (tt) 
 Bộ lọc cân bằng: Để tăng hơn nữa bộ chọn lọc tần số, 
ta đặt thêm một cặp zero gần các cực: 
 Hàm truyền: 
 2211
2
2
1
1
11
11
1
1
.1.1
.1.1
)(
00
00
zaza
zbzb
zeRzeR
zerzer
zH
jj
jj


2
201
2
201
 ,cos2
 ,cos2
rbrb
RaRa


0
0
2
1


j
j
rez
rez
10 r
35 
4. Thiết kế cực/zero (tt) 
 Bộ lọc Notch và Peak: 
 Bộ lọc Notch 
 Bộ lọc Peak 
36 
Bài tập 
 Bài 6.1-6.5, 6.8 và 7.1-7.6 
37