Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 5: Biến đổi Z

Chương 5: 
Biến đổi Z 
Xử lý số tín hiệu 
1. Biến đổi Z 
 Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc x(n): 
 Biến đổi Z của một chuỗi rời rạc là hội tụ khi: 
 Tập hợp các giá trị của z làm cho hội 
tụ được gọi là miền hội tụ (ROC: region of 
convergence) . 

n
nznxzX )()(
 
n
nznxzX |)(||)(|

n
nznx )(
1. Biến đổi Z (tt) 
VD: Tìm biến đổi Z và ROC của: 
a. x(n)=[-1, 2, 0, 2, 3] 
b. x(n)=δ(n) 
c. x(n)=anu(n) 
d. x(n)=-anu(-n-1) 
1. Biến đổi Z (tt) 
Giải: 
a. 
b. 
Vậy: 
0:
 ,3221)()( 431
 
 
zROC
zzzznxzX
n
n
zROC
zznxzX
n
n

 
:
 ,1.1)()( 0
1)()()(   zXnnx Z
1. Biến đổi Z (tt) 
c. 
Để X(z) hội tụ thì: |az-1||a|. Lúc đó: 
Vậy: 
 
0
1
0
)(
n
n
n
nn azzazX
11
1
)(
az
zX
|||:|
 ,
1
1
)(
1
azROC
az
nua Zn
 
Mặt phẳng z
Im
Re
a
ROC
1. Biến đổi Z (tt) 
d. 
Để X(z) hội tụ thì: |a-1z|<1 hay |z|<|a|. Lúc đó: 
Vậy: 
 
0
11 1)(
n
n
n
nn zazazX
11 1
1
1
1
1)(
azza
zX
|||:|
 ,
1
1
)1(
1
azROC
az
nua Zn
  
Mặt phẳng z
Im
Re
a
ROC
2. Tính chất của biến đổi Z 
 Giả sử ta đã có: 
1. Tính tuyến tính: 
VD: Tìm biến đổi Z và ROC của 
2
1
),()(
),()(
),()(
22
11
x
Z
x
Z
x
Z
RROCzXnx
RROCzXnx
RROCzXnx
  
  
  
21
),()()()( 22112211 xx
Z RRROCzXazXanxanxa    
)1(
2
1
)(
3
1
)( 
 nununx
nn
2. Tính chất của biến đổi Z (tt) 
2. Tính trễ 
VD: 
3. Nhân cho chuỗi luỹ thừa 
Ghi chú: Giả sử thì 
VD: Tìm biến đổi Z và ROC của 
x
nZ RROCzXznnx   ),()( 00
mZ zmn   )(
x
Zn RzROC
z
z
Xnxz || ,)( 0
0
0 
 
21 || azaRx 20100 |||||||| azzazRzROC x 
0 ),()cos()( 0 rnunrnx
n 
2. Tính chất của biến đổi Z (tt) 
4. Đạo hàm của X(z) 
5. Lấy liên hợp của chuỗi phức 
6. Đảo thời gian 
x
Z RROC
dz
zdX
znnx   ,
)(
)(
x
Z RROCzXnx   ),()( ***
x
Z RROC
z
Xnx /1 ,
1
)(
*
** 
  
2. Tính chất của biến đổi Z (tt) 
7. Tích chập 
VD: Dùng biến đổi Z tính tích chập của bộ lọc và tín hiệu 
ngõ vào sau: 
 h = [1, 2, -1, 1] 
 x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1] 
21
),()()(*)( 2121 xx
Z RRROCzXzXnxnx   
3. Tính nhân quả và ổn định 
1. Điểm cực và zero: 
Điểm zero: các giá trị của z làm cho P(z)=0. 
Điểm cực: các giá trị của z làm cho Q(z)=0. 
Ký hiệu: 
)(
)(
)(
zQ
zP
zX 
3. Tính nhân quả và ổn định (tt) 
2. Tính nhân quả 
Xét tín hiệu nhân quả có dạng: 
Tín hiệu này có biến đổi Z là: 
Miền hội tụ: ROC=|z|>|pk|, k=1,,N 
Hay: ROC=|z|>max{|p1|,,|pN|} 
Vậy: x(n) nhân quả: có ROC nằm ngoài max(p1,,pN) 
 
N
k
n
kk nupAnx 1 )()(
 
N
k
k
k
zp
A
zX
1 11
)(
Mặt phẳng z
Im
Re
p3
ROC
p1
p2
3. Tính nhân quả và ổn định (tt) 
Xét tín hiệu phản nhân quả có dạng 
Tín hiệu này có biến đổi Z là: 
Miền hội tụ: ROC=|z|<|pk|, k=1,,N 
Hay: ROC=|z|<min{|p1|,,|pN|} 
Vậy x(n) phản nhân quả: có ROC nằm trong min(p1,,pN) 
 
N
k
n
kk nupAnx 1 )1()(
 
N
k
k
k
zp
A
zX
1 11
)(
Mặt phẳng z
Im
Re
ROC
p3
p1 p2
3. Tính nhân quả và ổn định (tt) 
VD: Xác định biến đổi Z và miền hội tụ của 
a. x(n) = (0.8)nu(n) + (1.25)nu(n) 
b. x(n) = (0.8)nu(n) – (1.25)nu(-n – 1 ) 
c. x(n) = – (0.8)nu(-n-1) + (1.25)nu(n) 
d. x(n) = – (0.8)nu(- n – 1) – (1.25)nu(-n – 1) 
3. Tính nhân quả và ổn định (tt) 
3. Tính ổn định: 
x(n) ổn định ⇔ ROC tương ứng chứa vòng tròn đơn vị. 
Hệ quả: 
 Nếu x(n) nhân quả và ổn định: 
 Nếu x(n) phản nhân quả và ổn định: 
1||
|}{|max||
1||
  

i
ii
p
pz
ROCz
1||
|}{|min||
1||
  

i
ii
p
pz
ROCz
4. Biến đổi Z ngược 
 Công thức của biến đổi Z ngược: 
 Trong đó, C là một đường kín trong miền hội tụ của 
biến đổi Z. 
 Cho những chuỗi thông thường hay các hệ thống 
LTI, người ta thường dùng các quy trình đơn giản 
hơn để tìm biến đổi Z ngược. 
C
n dzzzXnx 1)()(
4. Biến đổi Z ngược (tt) 
1. Dùng các tính chất của biến đổi Z và các cặp biến 
đổi Z thông dụng 
VD: Tìm biến đổi Z ngược của 
2. Dùng khai triển phân số từng phần 
 Nếu bậc của N(z)< bậc của D(z): 
 Với 
)1)...(1)(1(
)(
)(
)(
)(
11
2
1
1
zpzpzp
zN
zD
zN
zX
M
11
2
2
1
1
1
1
...
11
)(
zp
A
zp
A
zp
A
zX
M
M
   , ..., M, i zXzpA
ipzii
21 , )(1 1 
2/1|| ,
2
1
1
1
)(
1
z
z
zX
4. Biến đổi Z ngược (tt) 
VD: Tìm biến đổi Z ngược của 
Giải: 
(i) ROC=|z|<1.6: phản nhân quả 
 x(n)=-0.1(2.4)nu(-n-1)-0.9(-1.6)nu(-n-1) 
(ii) ROC=|z|>2.4: nhân quả. 
 x(n)=0.1(2.4)nu(n)+0.9(-1.6)nu(n) 
(iii)ROC=1.6<|z|<2.4 
 x(n)=-0.1(2.4)nu(-n-1)+0.9(-1.6)nu(n) 
21
1
48.01
21
)(
zz
z
zX
1111
1
6.11
9.0
4.21
1.0
)6.11)(4.21(
21
)(
zzzz
z
zX
4. Biến đổi Z ngược (tt) 
 Nếu bậc của N(z)≥ bậc của D(z): 
Chia đa thức N(z) cho D(z): 
 Q(z) là đa thức nguyên của N(z)/D(z) có thể dễ dàng 
tìm được biến đổi ngược q(n). 
 R(z) là đa thức dư của phép chia N(z)/D(z). 
 R(z) có bậc nhỏ hơn D(z). 
 Biến đổi Z ngược của R(z)/D(z) có thể tìm được như cách ở 
trên. 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
zD
zR
zQ
zD
zN
zX 
...)1()()(...)( 10
1
10   
 nananqzaazQ Z 
4. Biến đổi Z ngược (tt) 
3. Phương pháp “Khử - phục hồi”: 
 Đặt 
 Khai triển phân số từng phần của W(z) 
VD: Tìm biến đổi Z ngược của 
 Đặt: 
 Mặt khác: 
 )()()( 
)(
1
zWzNzX
zD
zW 
 5.0zz ROC , 
25.01
6
)(
2
5
z
z
zX
112 5.01
5.0
5.01
5.0
25.01
1
)(
zzz
zW
)()5.0(5.0)()5.0(5.0)( nununw nn 
 
)5()(6)( 
)()(6)(6)( 55
nwnwnx
zWzzWzWzzX
5. Phổ tần số 
 Công thức biến đổi DTFT: 
 Công thức biến đổi Z: 
 Nhận xét: 
⇒ Biến đổi DTFT chính là biến đổi Z trên vòng tròn 
đơn vị (z=ejw). 

n
njenxX  )()(

n
nznxzX )()(

 jezn
nj zXenxX
  )()()(
5. Phổ tần số (tt) 
 Tính chất của biến đổi DTFT: tương tự như tính chất của 
biến đổi Z. 
1. Tuyến tính: 
2. Trễ: 
3. Điều chế: 
4. Đảo thời gian: 
5. Vi phân: 
6. Tích chập: 
7. Định lý Parseval: 
)()()()(  bYaXnbynax DTFT   
)()(  Xennx dnjDTFTd
   
)()( 0
0    Xnxe DTFTnj
)()(    Xnx DTFT


d
dX
jnnx DTFT
)(
)(  
)()()(*)(  YXnynx DTFT 
 
 


dYXnynx
dXnx
n
n
)()(
2
1
)()(
|)(|
2
1
|)(|
**
22
5. Phổ tần số (tt) 
 Phổ tần số tuần hoàn với chu kỳ 2π 
 Khoảng Nyquist: -π≤ω≤π 
 Chia thành các miền tần số thấp, trung bình và cao: 
)()()2( 2    XeenxkX
n
kjnj 
0π
π/2
-π/2
LOWHIGH
MEDIUM
MEDIUM
Medium HighMediumHigh
0 π/4-π/4 3π/4-3π/4 π-π
low
5. Phổ tần số (tt) 
 Phổ biên độ của X(ω): 
 Xét một biến đổi Z đơn giản có 1 cực và 1 zero. 
 Phổ tần số: 
 Phổ biên độ: 
1
1
1
1
1
1
1
1
)(
pz
zz
zp
zz
zX
1
1)()(
pe
ze
zXX
j
j
ez j 
 


1
1
)(
pe
ze
X
j
j



5. Phổ tần số (tt) 
 Nhận xét: Khi ejw z1: |X(w)| giảm. 
 Khi ejw p1: |X(w)| tăng. 
1
1
)(
pe
ze
X
j
j



1 
0 
z1 
p1 
ejω 
|z-z1| 
|z-p1| 
φ1 
ω1 
ω 0 
|X(ω)| 
zero 
pole 
φ1 ω1 
BÀI TẬP 
 Bài 5.1-5.9