Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 1: Lấy mẫu và khôi phục tín hiệu

XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU 
Chương 1: 
Lấy mẫu v{ khôi phục tín hiệu. 
1 
1
0
/1
/2
0
1
2
KHÁI NIỆM 
Quá trình xử lý số các tín hiệu tương tự: 
 Số hóa các tín hiệu tương tự: lấy mẫu & lượng tử hóa các mẫu 
này (A/D) 
 Dùng bộ xử lý số tín hiệu (DSP) để xử lý các mẫu thu được 
 Các mẫu sau khi xử lý sẽ được khôi phục lại dạng tương tự bằng 
bộ khôi phục tín hiệu tương tự (D/A) 
1
0
/1
/2
0
1
2
2 
Lấy mẫu & 
lượng tử hóa
Xử lý số tín hiệu
DSP
Khôi phục tín 
hiệu tương tự
100110010 110100010Tín hiệu
Tương tự
Tín hiệu
Tương tựTín hiệu số Tín hiệu số
KHÁI NIỆM (TT) 
 Biến đổi Fourier của x(t) chính l{ phổ tần số của tín 
hiệu n{y: 
 Biến đổi Laplace: 
 Tổng qu|t X() l{ số phức 
 : biên độ & arg(X()) l{ pha của X() 
 Đồ thị của theo : phổ biên độ 
 Đồ thị của arg(X()): phổ pha 
1
0
/1
/2
0
1
2
3 
( ) ( )
j tX x t e dt
 
 2 f  
( ) ( )
stX s x t e dt
 s j 
 )arg(.   XjeXX
 X
 X
KHÁI NIỆM (TT) 
Đ|p ứng hệ thống tuyến tính 
 Trong miền thời gian: 
 Trong miền tần số 
1
0
/1
/2
0
1
2
4 
Hệ thống tuyến tính 
h(t) 
x(t) 
Input 
y(t) 
Output 
  dxthtxthty )()()(*)()(
  dtethH tj)(
Hệ thống tuyến tính 
H() 
X() 
Input 
Y() 
Output 
Y() = H()X() 
KHÁI NIỆM (TT) 
 Xét tín hiệu v{o dạng sin: x(t)=ejΩt 
 Sau bộ lọc tuyến tính, th{nh phần tín hiệu tần số Ω sẽ 
bị suy hao (hoặc khuếch đại) một lượng H(Ω). 
1
0
/1
/2
0
1
2
5 
Hệ thống 
tuyến tính h(t)
Tín hiệu vào Tín hiệu ra
( )
j tx t e  ( ) ( )
j ty t H e  
arg( ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
j t j t j t j Hx t e y t H e H e     
  dtethH tj)(
KHÁI NIỆM (TT) 
 Chồng chập tín hiệu 
 Phổ tín hiệu v{o X(Ω) gồm 2 vạch phổ tại tần số Ω1,Ω2 
 Phổ tín hiệu ra Y(Ω) thu được 
1
0
/1
/2
0
1
2
6 
( )X  ( )Y 
H
11A H
22A H
 
1A
2A
1 12 2
( )
( )
( )
tjtj
eAeAtx 21 21)(
 tjtj eHAeHAty 21 2211 )()(
   
1 1 1 2 2 2
2 2( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y H X A H A H          
1 1 2 2
2 2( ) ( ) ( )X A A      
1. LẤY MẪU 
 Lấy mẫu l{ qu| trình rời rạc ho| tín hiệu trong miền 
thời gian. Kết quả của qu| trình lấy mẫu l{ một tín 
hiệu rời rạc được x|c định theo quan hệ: 
nTt
nnTttx
tx
c
s
0
,)(
)(
T
xc(t) xs(t)=xc(nT)
Bộ lấy mẫu 
Tín hiệu tương tự 
Tín hiệu lấy mẫu 
7 
1
0
/1
/2
0
1
2
1. LẤY MẪU (TT) 
 Nhận xét: qu| trình lấy mẫu ph| vỡ ho{n to{n tín hiệu 
ban đầu, ta chỉ có gi| trị của tín hiệu ban đầu ngay tại 
gi| trị lấy mẫu còn thông tin tại c|c gi| trị trung gian 
giữa 2 mẫu liên tiếp thì bị mất đi. 
 C}u hỏi: 
 Tín hiệu lấy mẫu có đại diện được cho tín hiệu liên tục ban 
đầu hay không? 
 Tín hiệu đầu v{o v{ bộ lấy mẫu phải thoả m~n những điều 
kiện gì? 
8 
1
0
/1
/2
0
1
2
1. LẤY MẪU (TT) 
 Ví dụ: Lấy mẫu tín hiệu sin: 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 10
-3
-1
-0.5
0
0.5
1
fs = 8f 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 10
-3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fs = 4f 
9 
1
0
/1
/2
0
1
2
1. LẤY MẪU (TT) 
 Ví dụ: Lấy mẫu tín hiệu sin: 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 10
-3
-1
-0.5
0
0.5
1 fs = 8f 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
x 10
-3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fs = 4f 
Nhận xét: 
_ tăng tần số lấy mẫu tín hiệu lấy 
mẫu mô tả chính x|c hơn tín hiệu 
liên tục ban đầu. 
_ tăng tốc độ lấy mẫu xử lý nhiều 
mẫu hơn trên cùng một đơn vị thời 
gian. 
• Không gian lưu trữ nhiều hơn! 
• Tốc độ xử lý phải nhanh hơn! 
 Mong muốn: tốc độ lấy mẫu nhỏ 
nhất có thể để tín hiệu sau khi lấy 
mẫu vẫn đại diện được cho tín hiệu 
đầu v{o m{ số mẫu xử lý không qu| 
lớn. 
10 
1
0
/1
/2
0
1
2
2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC 
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU 
 Mô hình to|n cho qu| trình lấy mẫu: thay thế bộ lấy 
mẫu bằng c|ch nh}n tín hiệu tương tự với chuỗi xung 
dirac tuần ho{n. 
T
xc(t) xs(t)=xc(nT)
x
xc(t)
s(t)=Ʃб(t-nT)
xs(t)
t
0-T T 2T
t
)()( 
)()()()()(
 )()(
nTtnTx
nTttxtstxtx
nTtts
n
c
n
ccs
n






11 
1
0
/1
/2
0
1
2
2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC 
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU (TT) 
 Phổ của tín hiệu lấy mẫu: 
 (1) 
 Tìm S(f): thực hiện khai triển chuỗi Fourier cho s(t) 
Trong đó: 
Như vậy: 
)(*)()( fSfXfX cs 

n
Tntj
nests
/2)( 
T
e
T
dtet
T
dtets
T
s Tnj
T
T
Tntj
T
T
Tntj
n
11
)(
1
)(
1 /022/
2/
/2
2/
2/
/2 
 

n
ntfj
n
Tntj
n
se
T
e
T
nTtts
  2/2
11
)()(

k s
kff
T
fS )(
1
)( 
12 
1
0
/1
/2
0
1
2
2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC 
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU (TT) 
 Thế S(f) vào (1): 
 Nhận xét: 
 Phổ của tín hiệu lấy mẫu bao gồm phổ của tín hiệu ban 
đầu Xc(f) và các bản sao của nó lặp đi lặp lại tuần hoàn 
trên trục tần số. 
 2 bản sao liên tiếp cách nhau một khoảng bằng tần số lấy 
mẫu fs. 


k sc
k sccs
kffX
T
kfffX
T
fSfXfX
)(
1
)(*)(
1
)(*)()( 
13 
1
0
/1
/2
0
1
2
2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC 
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU. (TT) 

k s
kff
T
fS )(
1
)( 
Xc(f)
f
-fc fc
S(f)
f
-fs-2fs fs-3fs 2fs 3fs
Xs(f)
-fc fc
1
1/T
1/T
-fs-2fs fs-3fs 2fs
f
3fs

k scs
kffX
T
fX )(
1
)(
Để khôi phục lại tín hiệu ban đầu, ta chỉ cần cho tín hiệu lấy mẫu qua 
bộ lọc thông thấp sao cho chỉ giữ lại c|c th{nh phần tần số từ [-fc,fc]. 
→ Tín hiệu lấy mẫu có thể mô tả được tín hiệu liên tục ban đầu! 14 
1
0
/1
/2
0
1
2
2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC 
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU (TT) 
 Nếu như tốc độ lấy mẫu không đủ nhanh: 
Xc(f)
f
-fc fc
S(f)
f
-fs-2fs fs-3fs 2fs 3fs
Xs(f)
f
fs
Khoảng c|ch giữa c|c bản sao 
phổ X(f) c{ng gần v{ đến một 
lúc n{o đó sẽ trùng lắp lẫn 
nhau. 
Khi đó phổ của tín hiệu ban 
đầu chứa trong tín hiệu lấy 
mẫu bị biến dạng v{ do đó ta 
không thể khôi phục lại tín 
hiệu ban đầu! 
Điều kiện để phổ tín hiệu lấy mẫu không trùng lắp: 
csccs fffff 2 15 
1
0
/1
/2
0
1
2
2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC 
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU (TT) 
 Định lý lấy mẫu: có thể biểu diễn chính xác tín hiệu 
x(t) bởi các mẫu x(nT) nếu như thoả mãn 2 điều kiện: 
 Tín hiệu x(t) phải được giới hạn băng thông. Tức là phổ 
của tín hiệu phải được giới hạn bởi một tần số cực đại fmax 
và tín hiệu không tồn tại thành phần tần số nào lớn hơn 
fmax.
 Tần số lấy mẫu phải được chọn lớn hơn ít nhất 2fmax. 
 fs=2fmax: tốc độ Nyquist. 
 N=[-fs/2, fs/2]: khoảng Nyquist. 
16 
1
0
/1
/2
0
1
2
2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC 
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU (TT) 
 Khôi phục tín hiệu lấy mẫu: 
Hr(f)X
xc(t)
s(t)=Ʃб(t-nT)
xr(t)
f-fc fc
1
Xc(f)
f-fc fc
1/T
Xs(f)
-fs fs
Hr(f)
f-fc fc
1
Xr(f)
xs(t)
Bộ khôi phục lý tưởng l{ bộ lọc 
thông thấp có đ|p ứng tần số: 
_ Tần số cắt fc≤fcut-off≤fs-fc. 
Thông thường, tần số n{y được 
chọn l{ fs/2. 
_ Độ lợi T. 
17 
1
0
/1
/2
0
1
2
2. PHỔ CỦA TÍN HIỆU LẤY MẪU, KHÔI PHỤC 
TÍN HIỆU LẤY MẪU, ĐỊNH LÝ LẤY MẪU (TT) 
1
0
/1
/2
0
1
2
18 
VD: x(t)=4+3cos(πt)+2cos(2πt)+cos(3πt) [t]=ms 
 f1=0, f2=0.5kHz, f3=1kHz, f4=1.5kHz fmax=1.5kHz 
 Tốc độ lấy mẫu không gây ra aliasing (tốc độ Nyquist): 
 2fmax=3kHz 
 Nếu x(t) được lấy mẫu với fs=1.5kHz aliasing 
 Khoảng Nyquist [-0.75;0.75]kHz. 
 f1 & f2 thuộc khoảng Nyquist nên không bị chồng phổ, 
 f3 & f4 bị chồng phổ: f3a=f3mod(fs)=-0.5kHz, f4a=f4mod(fs)=0. 
 Tín hiệu bị chồng lấn xa(t) thu được: 
xa(t)=4cos(2πf1at)+3cos(2πf2at)+2cos(2πf3at)+cos(2πf4at) 
 xa(t)=5+5cos(πt) 
3. CÁC BỘ TIỀN LỌC CHỐNG CHỒNG PHỔ 
 Điều kiện của định lý lấy mẫu: phổ của tín hiệu tương tự 
phải được giới hạn băng thông. 
 Tuy nhiên, c|c tín hiệu trong thực tế thường không được 
giới hạn băng thông hoặc băng thông của tín hiệu l{ rất 
lớn 
→ tốc độ lấy mẫu, tốc độ xử lý cao 
→ chi phí lớn. 
⇒ Cần phải giới hạn băng thông tín hiệu trước khi lấy 
mẫu. 
 Ví dụ: 
 Trong c|c ứng dụng }m thanh Hi-fi: fmax≤20kHz. 
 Trong c|c ứng dụng thoại: fmax≤4kHz. 
19 
1
0
/1
/2
0
1
2
3. CÁC BỘ TIỀN LỌC CHỐNG CHỒNG PHỔ 
 Bộ tiền lọc lý tưởng: 
 Bộ tiền lọc thực tế: 
 Nếu f≤fc: 
 Nếu f>fc: 
Bộ tiền lọc Bộ lấy mẫu
Tín hiệu 
thời gian 
liên tục
Tín hiệu giới 
hạn băng 
thông
Tín hiệu 
thời gian rời 
rạc
c
c
ff
ff
fH
||0
||1
)(
H(f)
1
fc
f
H(f)
1 A db/octave
fc
dB/decade.:A ,|)(|10|)(|
dB/octave.:A ,|)(|10|)(|
20/)/(log
20/)/(log
10
2
c
ffA
c
ffA
fHfH
fHfH
c
c
1|)(| fH
20 
1
0
/1
/2
0
1
2
3. CÁC BỘ TIỀN LỌC CHỐNG CHỒNG PHỔ 
1
0
/1
/2
0
1
2
21 
|H(f)| boä loïc lyù töôûng
 vuøng
chuyeån tieáp
 Astop
 fs/2 fs/2
 -fstop -fpass 0 fpass fstop f
 baêng chaén baêng thoâng baêng chaén
fstop = fs - fpass 
4. CÁC BỘ LỌC KHÔI PHỤC THỰC TẾ 
 Bộ khôi phục l{m nhiệm 
vụ khôi phục tín hiệu 
tương tự từ tín hiệu lấy 
mẫu. 
 Về bản chất, bộ lọc khôi 
phục l{ bộ lọc thông thấp, 
giúp loại bỏ c|c th{nh 
phần phổ lặp lại của tín 
hiệu lấy mẫu chỉ giữ lại 
phổ của tín hiệu ban đầu. 
Hr(f)X
xc(t)
s(t)=Ʃб(t-nT)
xr(t)
f-fc fc
1
Xc(f)
f-fc fc
1/T
Xs(f)
-fs fs
Hr(f)
f-fc fc
1
Xr(f)
xs(t)
22 
1
0
/1
/2
0
1
2
4. CÁC BỘ LỌC KHÔI PHỤC THỰC TẾ (TT) 
 Bộ khôi phục lý tưởng: l{ bộ lọc thông thấp lý tưởng 
có tần số cắt l{ fs/2. 
 Đ|p ứng thời gian: 
 Nhận xét: đ|p ứng thời gian của bộ khôi phục lý 
tưởng l{ vô hạn. 
2/||0
2/||
|)(|
s
s
ff
ffT
fH
tf
tf
TtfTSath
s
s
s
)sin(
)()( 
23 
1
0
/1
/2
0
1
2
 Tín hiệu 
tương tự x(t)
Tín hiệu được 
lấy mẫu x(nT)
-fs/2 fs/2
Tín hiệu 
tương tự xa(t)
Lấy mẫu lý tưởng Khôi phục lý tưởng
Tốc độ fs Tần số cắt fs/2
4. CÁC BỘ LỌC KHÔI PHỤC THỰC TẾ (TT) 
 Bộ khôi phục bậc thang: bộ khôi phục bậc thang lấp 
đầy khoảng trống giữa 2 mẫu liên tiếp bằng gi| trị của 
mẫu trước đó. 
Bộ khôi 
phục bậc 
thang
xs(t) xr(t)
24 
1
0
/1
/2
0
1
2
4. CÁC BỘ LỌC KHÔI PHỤC THỰC TẾ (TT) 
 Đ|p ứng thời gian của bộ khôi phục bậc thang: 
 Đ|p ứng tần số: 
 Suy hao của bộ lọc 
)()()( Ttututh 
T t
h(t)
 |H(f)| 
 boä khoâi phuïc T 
 lyù töôûng 4 dB 
 -2fs -fs -fs/2 0 fs/2 fs 2fs f 
Nhận xét: 
_ Bộ khôi phục bậc thang đơn 
giản, dễ thực hiện. 
_ Không loại bỏ được ho{n 
to{n c|c th{nh phần phổ ở c|c 
tần số kfs. 
_ Đ|p ứng tần số trong khoảng 
Nyquist của bộ lọc bậc thang 
không phẳng, suy hao đến 4dB 
ở tần số fs/2 
→ phổ tín hiệu khôi phục 
không ho{n to{n giống phổ tín 
hiệu ban đầu. 
25 
1
0
/1
/2
0
1
2
jfTe
fT
fT
TfH 
)sin(
)(
(dB) 
)(
)(
log20)(
0
10
fH
fH
fAX 
4. CÁC BỘ LỌC KHÔI PHỤC THỰC TẾ (TT) 
 Bộ lọc anti-image post filter: thêm bộ lọc thông thấp 
sau bộ khôi phục bậc thang để loại bỏ phổ thừa. 
 t t t 
 Boä khoâi phuïc anti-image 
 tín hieäu baäc thang tín hieäu postfilter tín hieäu 
 soá töông töï töông töï 
 taàn soá caét fs/2 
 Boä khoâi phuïc lyù töôûng 
 anti-image suy hao 
 postfilter baêng chaén 
 Apost 
 -2fs -fs -fs/2 0 fs/2 fs 2fs f 
26 
1
0
/1
/2
0
1
2
4. CÁC BỘ LỌC KHÔI PHỤC THỰC TẾ (TT) 
 Bộ lọc c}n bằng: giải quyết vấn đề méo phổ của bộ lọc 
bậc thang. 
 x(nT) Boä loïc xEQ(nT) Boä khoâi xa(t) Boä loïc xPOST(t) 
 tín hieäu caân baèng tín hieäu phuïc tín hieäu postfilter tín hieäu 
 soá HEQ(f) soá H(f) töông töï HPOST(f) töông töï 
 |HEQ(f)| 
 4 dB 
 |H(f)| /T 
 -fs -fs/2 0 fs/2 fs f 
22
 ,
)(
)( ssEQ
f
f
f
fH
T
fH 
27 
1
0
/1
/2
0
1
2
5. VÍ DỤ 
1
0
/1
/2
0
1
2
28 
 Cho tín hiệu x(t) qua bộ tiền lọc H(f), sau đó được lấy mẫu với 
tần số 40KHz. Tín hiệu lấy mẫu được cho qua bộ khôi phục lý 
tưởng. 
 x(t) = sin(10πt) + sin(20πt) + sin(60πt) + sin(90πt) [t]=ms 
 Tìm tín hiệu thu được sau khi qua bộ khôi phục trong các trường 
hợp sau: 
a. H(f) là bộ lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt bằng 20KHz. 
b. H(f) có băng thông phẳng từ 0 đến 20KHz và suy hao 
48dB/octave ngoài tần số 20KHz (tại 40kHz tương ứng 1 
octave đáp ứng bộ lọc giảm 48dB) 
5. VÍ DỤ (TT) 
a. Tín hiệu sau LPF lý tưởng fc=20KHz chỉ còn thành phần f1, f2 
f1, f2 nằm trong NI [-20,20] nên không có hiện tượng chồng lấn phổ. 
Tín hiệu sau bộ khôi phục lý tưởng: ya(t)=y(t)=sin(10πt)+sin(20πt) 
b. Bộ lọc thực tế : 
y(t)=|H(f1)|sin(10πt)+|H(f2)|sin(20πt)+|H(f3)|sin(60πt)+|H(f4)|sin(90πt) 
 |H(f1)|= |H(f2)|=1 
 log2(f3/(fs/2))=log2(30/20)= 0.585 |H(f3)|=10
-0.585*48/20=0.0395 
 log2(f4/(fs/2))=log2(45/20)= 1.170 |H(f4)|=10
-1.170*48/20=0.0016 
y(t)= sin(10πt)+ sin(20πt)+ 0.0395sin(60πt)+ 0.0016sin(90πt) 
Do f3, f4 nằm ngoài khoảng Nyquist chồng lấn phổ : 
f3a=f3modfs= -10 kHz, f4a=f4modfs=5 kHz 
Tín hiệu sau bộ khôi phục: y(t)= (1+0.0016)sin(10πt)+(1-0.0395)sin(20πt) 
 y(t)=1.0016 sin(10πt)+0.9605sin(20πt) 
1
0
/1
/2
0
1
2
29 
5. VÍ DỤ 
 Cho một tín hiệu thời gian liên tục có dạng sau: (t tính bằng 
ms) 
 Tín hiệu trên được cho lấy mẫu với tần số lấy mẫu l{ 3kHz. 
1. X|c định c|c th{nh phần tần số của tín hiệu x(t)? Những th{nh 
phần n{o nằm trong, ngo{i khoảng Nyquist? 
2. Biết sau khi lấy mẫu, tín hiệu được khôi phục bằng bộ khôi 
phục lý tưởng. Tìm tính hiệu khôi phục trong 3 trường hợp sau: 
a. Không có tiền lọc. 
b. Tín hiệu được cho qua bộ tiền lọc lý tưởng có tần số cắt 1.5kHz 
trước khi lấy mẫu. 
c. Tín hiệu được đưa qua một bộ tiền lọc thực tế trước khi lấy mẫu. Bộ 
tiền lọc thực tế được x|c định như sau: 
)5sin(2)sin(3)( tttx 
f
H(f)
1 60 db/octave
1.5kHz
30 
1
0
/1
/2
0
1
2
1
0
/1
/2
0
1
2
31 
BÀI TẬP 
 Bài 1.1 1.6, 1.8, 1.9, 1.15 
 Xem: 1.7, 1.16 1.18, 1.22