Bài giảng Xác suất thống kê - Phần 2: Thống kê toán - Chu Bình Minh

Giảng viên:
Chu Bình Minh
Bài giảng
Xác suất thống kê
Nam Dinh,Februay, 2008
PHẦN 2
THỐNG KÊ TOÁN
CHÖÔNG 5: 
LYÙ THUYEÁT ÖÔÙC LÖÔÏNG 
BÀI TOÁN: 
Cho biến ngẫu nhiên gốc X với quy luật phân 
phối xác suất đã biết song chưa biết tham số θ. 
Ta phải ước lượng cho tham số θ. 
1 PHƯƠNG PHÁP ƯỚC ĐIỂM
1.1 KHÁI NIỆM
Từ biến ngẫu nhiên gốc X ta lập mẫu ngẫu nhiên 
𝑊𝑛 = (𝑋1 ,𝑋2 , ,𝑋𝑛) 
Và từ mẫu này ta xây dựng thống kê 
𝜃 = 𝑓(𝑋1 ,𝑋2 , ,𝑋𝑛) 
Nếu ta sử dụng thống kê 𝜃 để ước lượng cho 𝜃 thì ta gọi 
là ước lượng điểm. 
Có rất nhiều cách để ước lượng cho θ nhưng trong phạm 
vi bài giảng này chỉ trình bày loại ước lượng đơn giản 
nhất và ước lượng hiệu quả nhất. 
1.2 ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH
Khi dùng thống kê 𝜃 để ước lượng cho θ ta không thể căn 
cứ vào một vài trường hợp cụ thể mà kết luật được mà cần 
phải dựa vào giá trị trung bình của nó, do vậy ta có định 
nghĩa: 
Định nghĩa 
Thống kê 𝜃 gọi là ước lượng không chệch của θ nếu 
𝐸𝜃 = 𝜃. Ngược lại gọi là ước lượng chệch. 
1.2 ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH
Ví dụ 
Cho X là biến ngẫu nhiên gốc X có quy luật 𝑁(𝜇,𝜎2), hãy 
tìm các ước lượng không chệch của μ và 𝜎2. 
Giải 
Từ X ra rút ra mẫu 𝑊 = (𝑋1 ,𝑋2 ,𝑋3 ,𝑋4 ,𝑋5), dựa vào 
thống kê này ta có thể đưa ra các ước lượng không chệch 
cho μ và 𝜎2 như sau: 
1, Đối với μ ta có 
𝜃1 = 𝑋 =
𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 + 𝑋5
5
Do 𝐸𝜃1 = 𝐸𝑋 = 𝜇 nên 𝜃1 là ước lượng không chệch của μ 
1.2 ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH
Hoặc 
𝜃2 =
𝑋1 + 3𝑋2 + 4𝑋3 + 𝑋4 + 𝑋5
10
Do 𝐸𝜃2 = 𝜇 nên 𝜃2 là ước lượng không chệch khác của μ 
2, Đối với 𝜎2 ta có 
𝜃3 = 𝑆
2 =
1
4
 𝑋𝑖 − 𝑋 
2
5
𝑖=1
Do 𝐸𝜃3 = 𝜎
2 nên 𝜃3 là ước lượng không chệch của 𝜎
2. 
1.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU QUẢ
Như ví dụ trên ta thấy rằng một tham số θ có thể có nhiều 
ước lượng không chệch như 𝜃1, 𝜃2 nên một câu hỏi tự 
nhiên đặt ra là trong hai ước lượng không chệch của θ thì 
ước lượng nào tốt hơn. Mặt khác ta chú ý rằng nếu 𝜃 để 
ước lượng không chệch cho 𝜃 không có nghĩa là mọi giá trị 
của 𝜃 đều trùng khít với θ mà chỉ có nghĩa rằng trung bình 
các giá trị của 𝜃 bằng θ. Do đó ta có thể coi ước lương 
không chệch nào của θ mà có trung bình của bình phương 
độ lệch so với θ bé hơn thì tốt hơn, nghia là ta so sánh 2 giá 
trị 𝐸(𝜃1 − 𝜃)
2 và 𝐸(𝜃2 − 𝜃)
2 để tìm ước lượng tốt hơn. 
Nhưng: 
𝐸(𝜃1 − 𝜃)
2 = 𝐸(𝜃1 − 𝐸𝜃1 )
2 = 𝐷𝜃1 ,𝐸(𝜃2 − 𝜃)
2 = 𝐷𝜃2 
Nên ta có định nghĩa: 
1.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU QUẢ
Định nghĩa 
Cho 𝜃1 và 𝜃2 là hai ước lượng không chệch của θ. Nếu 
𝐷𝜃1 < 𝐷𝜃2 thì ta nói 𝜃1 là ước lượng hiệu quả hơn 𝜃2. 
Nếu thống kê 𝜃1 là ước lượng không chệch của θ có 𝐷𝜃1 
nhỏ nhất thì ta nói 𝜃1 là ước lượng hiệu quả nhất của θ. 
1.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU QUẢ
Ví dụ 
Cho X là biến ngẫu nhiên gốc X có quy luật 𝑁(𝜇,𝜎2), từ 
X ra rút ra mẫu 𝑊 = (𝑋1 ,𝑋2 ,𝑋3 ,𝑋4 ,𝑋5). Như trên ta có 
𝜃1 = 𝑋 =
𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 + 𝑋5
5
,𝜃2 
=
𝑋1 + 3𝑋2 + 4𝑋3 + 𝑋4 + 𝑋5
10
Là 2 ước lượng không chệch của μ nhưng do 𝐷𝜃1 =
𝜎2
5
<
𝐷𝜃2 =
28𝜎2
100
 nên 𝜃1 là ước lượng hiệu quả hơn 𝜃2. 
Chú ý. 
- Trong thực tế do tham số θ chưa biết nên nếu ta 
dùng một giá trị 𝜃 để ước lượng cho θ thì ta không 
thể đánh giá được sai số 𝜃 − 𝜃 nên ước lượng 
điểm không được sử dụng nhiều trong thực tế. 
Người ta thường dùng một khoảng giá trị để ước 
lượng cho θ, ước lượng như thế gọi là ước lượng 
khoảng sẽ được trình bày sau đây. 
2 PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG BẰNG 
KHOẢNG TIN CẬY
2.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG
a, ĐỊNH NGHĨA. 
 Khoảng (𝐺1,𝐺2) của thống kê G gọi là khoảng tin 
cậy của tham số θ nếu với xác suất bằng (1 − 𝛼) cho 
trước thoả m ãn điều kiện: 
𝑃 𝐺1 < 𝜃 < 𝐺2 = 1− 𝛼 
Xác suất (1− 𝛼) gọi là độ tin cậy của ước lượng, còn 
khoảng 𝐼 = 𝐺2 − 𝐺1 gọi là độ dài khoảng tin cậy. 
2.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG
b, CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH TÌM KHOẢNG (𝐺1 ,𝐺2) 
Từ tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: 
𝑊𝑛 = (𝑋1 ,𝑋2, ,𝑋𝑛) 
Và từ đó xây dựng thống kê 𝐺 = 𝑓(𝑋1,𝑋2 , ,𝑋𝑛 ,𝜃) sao cho 
quy luật phân phố i của G không phụ thuộc vào các biến số 
và hoàn toàn xác định. Lúc đó với độ tin cậy (1 − 𝛼) cho 
trước có thể tìm được cặp giá trị 𝛼1 ,𝛼2 sao cho 𝛼1 + 𝛼2 =
𝛼 và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 𝑔𝛼1,𝑔𝛼2 thoả mãn: 
𝑃 𝐺 < 𝑔𝛼1 = 𝛼1 
𝑃 𝐺 > 𝑔𝛼2 = 𝛼2 
2.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Và từ đó suy ra 𝑃 𝑔𝛼1 < 𝐺 < 𝑔𝛼2 = 1− 𝛼1 + 𝛼2 = 1− 𝛼 
Như vậy, với độ tin cậy 1− 𝛼 , ta đã tìn được khoảng 
(𝑔𝛼1 ,𝑔𝛼2) cho G. Biến đổi tương đương biểu thức 
𝑔𝛼1 < 𝐺 < 𝑔𝛼2 ta có 𝐺1 < 𝜃 < 𝐺2, suy ra 
𝑃 𝐺1 < 𝜃 < 𝐺2 = 1− 𝛼 
hay (𝐺1,𝐺2) chính là khoảng ước lượng cần tìm. 
2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO 
QUY LUẬN PHÂN PHỐI 
Giả sử trong tổng thể biến ngẫu nhiên gốc X có phân 
phố i chuẩn 𝑁(𝜇,𝜎2) nhưng chưa biết tham số μ. Để ước 
lượng μ, từ tổng thể ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: 
𝑊𝑛 = (𝑋1 ,𝑋2, ,𝑋𝑛) 
Để chọn thống kê G cho thích hợp ta xet hai trường hợp 
sau: 
a, Đã biết phương sai 𝜎2 của biến ngẫu nhiên gốc X trong 
tổng thể . 
Do trung bình mẫu: 
𝑋 =
1
𝑛
 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
có 𝑋𝑖 có cùng quy luật phân phố i với X và 𝐸 𝑋 =
𝜇,𝐷 𝑋 =
𝜎2
𝑛
 nên 𝑋 ~𝑁(𝜇,
𝜎2
𝑛
) 
2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO 
QUY LUẬN PHÂN PHỐI
Chọn thống kê 
𝐺 = 𝑈 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
 𝑛 ~ 𝑁(0,1) 
với độ tin cậy (1 − 𝛼) cho trước có thể tìm được cặp giá trị 
𝛼1 ,𝛼2 sao cho 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và tương ứng ta tìm được cặp 
giá trị 𝑢1−𝛼1 ,𝑢𝛼2 thoả mãn: 
𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼1 = 𝛼1 
𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼2 = 𝛼2 
suy ra 
𝑃 𝑢1−𝛼1 < 𝑈 < 𝑢𝛼2 = 1 − 𝛼1 + 𝛼2 = 1− 𝛼 
do 𝑢1−𝛼1 = −𝑢𝛼1 nên ta có: 
𝑃 −𝑢𝛼1 < 𝑈 < 𝑢𝛼2 = 1− 𝛼 
2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO 
QUY LUẬN PHÂN PHỐI 
do 𝑢1−𝛼1 = −𝑢𝛼1 nên ta có: 
𝑃 −𝑢𝛼1 < 𝑈 < 𝑢𝛼2 = 1 − 𝛼 
⟺ 𝑃 −𝑢𝛼1 <
𝑋 − 𝜇
𝜎
 𝑛 < 𝑢𝛼2 = 1− 𝛼 
⟺ 𝑃 𝑋 −
𝜎
 𝑛
𝑢𝛼2 < 𝜇 < 𝑋
 +
𝜎
 𝑛
𝑢𝛼1 = 1 − 𝛼 
Vậy với độ tin cậy (1− 𝛼) tham số μ của biến ngẫu nhiên 
gốc sẽ nằm trong khoảng 
 𝑋 −
𝜎
 𝑛
𝑢𝛼2 ,𝑋
 +
𝜎
 𝑛
𝑢𝛼1 
2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO 
QUY LUẬN PHÂN PHỐI 
- Khoảng tin cậy đố i xứng: 𝛼1 = 𝛼2 =
𝛼
2
 ta có khoảng tin 
cậy 
 𝑋 − 𝜀,𝑋 + 𝜀 
với 𝜀 =
𝜎
 𝑛
𝑢𝛼/2 được gọi là độ chính xác. 
- Khoảng tin cậy bên phải: 𝛼1 = 0,𝛼2 = 𝛼 thì 𝑢𝛼1 = 𝑢0 =
+∞ và do đó khoảng tin cậy là 
 𝑋 −
𝜎
 𝑛
𝑢𝛼 , +∞ 
Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tố i thiểu của μ. 
- Khoảng tin cậy bên trái: 𝛼1 = 𝛼,𝛼2 = 0 thì 𝑢𝛼2 = 𝑢0 =
+∞ và do đó khoảng tin cậy là 
 −∞,𝑋 +
𝜎
 𝑛
𝑢𝛼 
Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối đa của μ. 
2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO 
QUY LUẬN PHÂN PHỐI 
Từ mẫu cụ thể 
𝑤 = (𝑥1 , 𝑥2 , , 𝑥𝑛) 
và từ đó ta tìm được giá trị cụ thể của trung bình mẫu 𝑥 . 
Lúc đó với độ tin cậy 1− 𝛼 , qua mộ t mẫu cụ thể , khoảng 
tin cậy của μ là: 
 𝑔1 ,𝑔2 = 𝑥 −
𝜎
 𝑛
𝑢𝛼2 , 𝑥 +
𝜎
 𝑛
𝑢𝛼1 
2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO 
QUY LUẬN PHÂN PHỐI 
Chú ý 
 Cùng với độ tin cậy 1− 𝛼 thì khoảng tin cậy nào 
ngắn hơn sẽ tốt hơn, trong trường hợp này khoảng tin cậy 
đố i xứng sẽ ngắn nhất và có độ dài 𝐼 = 2𝜀 
Nếu bài toán cho trước độ dài đoạn tin cậy (độ chính xác 
𝜀) yêu cầu xác định kích thước tố i thiểu của mẫu n với độ 
tin cậy 1 − 𝛼 thì từ công thức 
𝐼 = 2𝜀 =
2𝜎
 𝑛
𝑢𝛼/2 
ta có: 
𝑛 ≥ 
4𝜎2
𝐼
𝑢2𝛼/2 = 
𝜎2
𝜀2
𝑢2𝛼/2 
2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO 
QUY LUẬN PHÂN PHỐI 
Ví dụ 1. Trọng lượng mộ t loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên 
phân phố i chuẩn với độ lệch chuẩn là 1 gam. Cân thử 25 sản 
phẩm loại này ta thu được kết quả sau: 
Trọng lượng 
(gam) 
18 19 20 21 
Số SP tương ứng 3 5 15 2 
 a, Với độ tin cậy 0,95 hãy tìm khoảng tin cậy đố i xứng 
của trọng lượng trung bình loại sản phẩm nói trên. 
 b, Nếu yêu cầu độ chính xác của ước lượng là 0,1 và giữ 
nguyên độ tin cậy 1 − 𝛼 thì phải điều tra mộ t mẫu kích 
thước bằng bao nhiêu? 
2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO 
QUY LUẬN PHÂN PHỐI 
Giải 
a, X là trong lượng của sản phẩm 
𝑋~𝑁 𝜇,𝜎2 ,𝜎 = 1 
1− 𝛼 = 0,95 ⟹ 𝛼 = 0,05 
𝑢𝛼/2 = 𝑢0,025 = 1,96 
n =25, 𝑥 = 19,64 
Khoảng tin cậy là 
 19,64−
1
5
1,96; 19,64 +
1
5
1,96 
2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO 
QUY LUẬN PHÂN PHỐI 
b, ta có 𝜀 = 0,1, theo công thức trên ta có 
𝑛 ≥ 
𝜎2
𝜀2
𝑢2𝛼/2 = 
1
0,12
(1,96)2 = 385 
2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO 
QUY LUẬN PHÂN PHỐI 
b, Chưa biết phương sai 𝜎2 của biến ngẫu nhiên gốc X 
trong tổng thể và 𝑛 ≤ 30 
Chọn thống kê 
𝐺 = 𝑇 =
𝑋 − 𝜇
𝑆
 𝑛 ~ 𝑇(𝑛 − 1) 
với độ tin cậy (1 − 𝛼) cho trước có thể tìm được cặp giá trị 
𝛼1 ,𝛼2 sao cho 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và tương ứng ta tìm được cặp 
giá trị 𝑡1−𝛼1
(𝑛−1)
, 𝑡𝛼2
(𝑛−1)
 thoả mãn: 
𝑃 𝐺 < 𝑡1−𝛼1
(𝑛−1)
 = 𝛼1 
𝑃 𝐺 > 𝑡𝛼2
(𝑛−1)
 = 𝛼2 
2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO 
QUY LUẬN PHÂN PHỐI 
suy ra 
𝑃 𝑡1−𝛼1
(𝑛−1)
< 𝐺 < 𝑡𝛼2
(𝑛−1)
 = 1− 𝛼1 + 𝛼2 = 1 − 𝛼 
do 𝑡1−𝛼1
(𝑛−1)
= −𝑡𝛼1
(𝑛−1)
 nên ta có: 
𝑃 −𝑡𝛼1
(𝑛−1)
< 𝐺 < 𝑡𝛼2
(𝑛−1)
 = 1− 𝛼 
⟺ 𝑃 −𝑡𝛼1
(𝑛−1)
<
𝑋 − 𝜇
𝑆
 𝑛 < 𝑡𝛼2
(𝑛−1)
 = 1− 𝛼 
⟺ 𝑃 𝑋 −
𝑆
 𝑛
𝑡𝛼2
(𝑛−1)
< 𝜇 < 𝑋 +
𝑆
 𝑛
𝑡𝛼1
(𝑛−1)
 = 1− 𝛼 
Vậy với độ tin cậy (1− 𝛼) tham số μ của biến ngẫu nhiên 
gốc sẽ nằm trong khoảng 
 𝑋 −
𝑆
 𝑛
𝑡𝛼2
(𝑛−1)
,𝑋 +
𝑆
 𝑛
𝑡𝛼1
(𝑛−1)
2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO 
QUY LUẬN PHÂN PHỐI 
- Khoảng tin cậy đố i xứng: 𝛼1 = 𝛼2 =
𝛼
2
 ta có khoảng tin cậy 
 𝑋 − 𝜀,𝑋 + 𝜀 
với 𝜀 =
𝑆
 𝑛
𝑡𝛼/2
(𝑛−1)
 được gọi là độ chính xác. 
- Khoảng tin cậy bên phải: 𝛼1 = 0,𝛼2 = 𝛼 thì 𝑢𝛼1 = 𝑢0 =
+∞ và do đó khoảng tin cậy là 
 𝑋 −
𝑆
 𝑛
𝑡𝛼
(𝑛−1)
, +∞ 
Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tố i thiểu của μ. 
- Khoảng tin cậy bên trái: 𝛼1 = 𝛼,𝛼2 = 0 thì 𝑢𝛼2 = 𝑢0 = +∞ 
và do đó khoảng tin cậy là 
 −∞,𝑋 +
𝑆
 𝑛
𝑡𝛼
(𝑛−1)
2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO 
QUY LUẬN PHÂN PHỐI 
Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối đa của μ. 
Từ mẫu cụ thể 
𝑤 = (𝑥1 , 𝑥2 , , 𝑥𝑛) 
và từ đó ta tìm được giá trị cụ thể của trung bình mẫu 𝑥 . 
Lúc đó với độ tin cậy 1− 𝛼 , qua mộ t mẫu cụ thể , khoảng 
tin cậy của μ là: 
 𝑔1 ,𝑔2 = 𝑥 −
𝑆
 𝑛
𝑡𝛼2
(𝑛−1)
, 𝑥 +
𝑆
 𝑛
𝑡𝛼1
(𝑛−1)
2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO 
QUY LUẬN PHÂN PHỐI 
Chú ý: 
Do phân phố i Student hộ i tụ nhanh về phân phố i chuẩn 
khi 𝑛 → +∞ nên khi n rất lớn (n > 30) thì xấp xỉ 𝑡𝛼
(𝑛−1)
≈
𝑢𝛼 . 
Ví dụ 2. Với các yêu cầu của ví dụ 1 nhưng giả thiết ta chưa biết 
độ lệch chuẩn. 
2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO 
QUY LUẬN PHÂN PHỐI 
Ví dụ 3. Để xác định kích thước trung bình của chi tiết do mộ t 
máy tự động sản xuất, người ta lấy ngẫu nhiên 200 chi tiết đem 
đo và thu được bảng số liệu sau: 
Kích thước chi 
tiết(cm) 
Số chi tiết 
tương ứng 
54,795-54,805 6 
54,805-54,815 14 
54,815-54,825 33 
54,825-54,835 47 
54,835-54,845 45 
54,845-54,855 33 
54,855-54,856 15 
54,865-54,875 7 
 Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng tin cậy đố i xứng 
của kích thước trung bình của chi tiết do máy sản xuất. Giả 
thiết kích thước chi tiết tuân theo quy luật chuẩn. 
 Giả sử ta xét mộ t lúc hai tổng thể . Ở tổng thể thứ 
nhất ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑋~𝑁(𝜇1 ,𝜎1
2), ở tổng thể 
thứ hai ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑌~𝑁(𝜇2,𝜎2
2) . Từ hai 
tổng thể nói trên rút ra hai mẫu ngẫu nhiên độc lập có 
kích thước tương ứng 𝑛1 và 𝑛2: 
𝑊𝑋 = (𝑋1 ,𝑋2, ,𝑋𝑛1 ) 
𝑊𝑌 = (𝑌1 ,𝑌2, ,𝑌𝑛2 ) 
Để chọn thống kê G cho thích hợp ta xet hai trường hợp 
sau: 
2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TOÁN CỦA HAI BIẾN 
NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN
a, Đã biết phương sai 𝜎1
2 và 𝜎2
2 của biến ngẫu nhiên gốc X, 
Y trong tổng thể . 
𝐺 = 𝑈 =
𝑋 − 𝑌 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
~𝑁(0,1) 
với độ tin cậy (1 − 𝛼) cho trước có thể tìm được cặp giá trị 
𝛼1 ,𝛼2 sao cho 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và tương ứng ta tìm được cặp 
giá trị 𝑢1−𝛼1 ,𝑢𝛼2 thoả mãn: 
𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼1 = 𝛼1 
𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼2 = 𝛼2 
suy ra 
𝑃 𝑢1−𝛼1 < 𝑈 < 𝑢𝛼2 = 1 − 𝛼1 + 𝛼2 = 1− 𝛼 
2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TOÁN CỦA HAI BIẾN 
NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN
do 𝑢1−𝛼1 = −𝑢𝛼1 nên ta có: 
𝑃 −𝑢𝛼1 < 𝑈 < 𝑢𝛼2 = 1 − 𝛼 
⟺ 𝑃
−𝑢𝛼1 <
𝑋 − 𝑌 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
< 𝑢𝛼2
= 1− 𝛼 
⟺ 𝑃 𝑋 − 𝑌 − 
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
𝑢𝛼2 < 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑋
 − 𝑌 + 
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
𝑢𝛼1 = 1 − 𝛼 
2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TOÁN CỦA HAI BIẾN 
NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN
Vậy với độ tin cậy (1− 𝛼) tham số 𝜇1 − 𝜇2 của biến ngẫu 
nhiên gốc sẽ nằm trong khoảng 
 𝑋 − 𝑌 − 
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
𝑢𝛼2 ,𝑋
 − 𝑌 + 
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
𝑢𝛼1 
- Khoảng tin cậy đố i xứng: 𝛼1 = 𝛼2 =
𝛼
2
 ta có khoảng tin 
cậy 
 𝑋 − 𝑌 − 𝜀,𝑋 − 𝑌 + 𝜀 
với 𝜀 = 
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
𝑢𝛼/2 được gọi là độ chính xác. 
2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TOÁN CỦA HAI BIẾN 
NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN
2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TOÁN CỦA HAI BIẾN 
NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN
- Khoảng tin cậy bên phải: 𝛼1 = 0,𝛼2 = 𝛼 thì 𝑢𝛼1 = 𝑢0 =
+∞ và do đó khoảng tin cậy là 
 𝑋 − 𝑌 − 
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
𝑢𝛼 , +∞ 
Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tố i thiểu của 
𝜇1 − 𝜇2. 
- Khoảng tin cậy bên trái: 𝛼1 = 𝛼,𝛼2 = 0 thì 𝑢𝛼2 = 𝑢0 =
+∞ và do đó khoảng tin cậy là 
 −∞,𝑋 − 𝑌 + 
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
𝑢𝛼 
Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối đa của 𝜇1 −
𝜇2. 
2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TOÁN CỦA HAI BIẾN 
NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN
Từ các mẫu cụ thể 
𝑤𝑋 = (𝑥1, 𝑥2 , , 𝑥𝑛1 ) 
𝑤𝑌 = (𝑦1,𝑦2, ,𝑦𝑛2 ) 
và từ đó ta tìm được giá trị cụ thể của các trung bình mẫu 
𝑥 , 𝑦 . Lúc đó với độ tin cậy 1− 𝛼 , qua các mẫu cụ thể , 
khoảng tin cậy của 𝜇1 − 𝜇2 là: 
 𝑔1 ,𝑔2 = 𝑥 − 𝑦 − 
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
𝑢𝛼2 ; 𝑥 − 𝑦 + 
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
𝑢𝛼1 
2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TOÁN CỦA HAI BIẾN 
NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN
b, Chưa biết phương sai 𝜎1
2 và 𝜎2
2 của biến ngẫu nhiên gốc 
X, Y trong tổng thể nhưng giả thiế t 𝜎1
2 = 𝜎2
2 = 𝜎2 
Ta có: 
𝑋 − 𝑌 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
=
𝑋 − 𝑌 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝜎 
1
𝑛1
+
1
𝑛2
~𝑁(0,1) 
và 
𝜒𝑋
2 =
(𝑛1 − 1)𝑆𝑋
2
𝜎2
~𝜒(𝑛1−1)
2 
𝜒𝑌
2 =
(𝑛2 − 1)𝑆𝑌
2
𝜎2
~𝜒(𝑛2−1)
2 
2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TOÁN CỦA HAI BIẾN 
NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN
nên 
𝜒2 = 𝜒𝑋
2 + 𝜒𝑌
2 =
1
𝜎2
( 𝑛1 − 1 𝑆𝑋
2 + 𝑛2 − 1 𝑆𝑌
2)~𝜒𝑛1+𝑛2−2
2 
suy ra 
𝑇 =
𝑈
𝜒2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
=
𝑋 − 𝑌 − (𝜇1 − 𝜇2)
1
𝑛1
+
1
𝑛2
 𝑛1 − 1 𝑆𝑋
2 + 𝑛2 − 1 𝑆𝑌
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
~𝑇(𝑛1+𝑛2−2) 
Ta chọn thống kê 
𝐺 = 𝑇 =
𝑋 − 𝑌 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝐴
~𝑇(𝑛1+𝑛2−2) 
2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TOÁN CỦA HAI BIẾN 
NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN
với 
𝐴 = 
1
𝑛1
+
1
𝑛2
 𝑛1 − 1 𝑆𝑋
2 + 𝑛2 − 1 𝑆𝑌
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
với độ tin cậy (1 − 𝛼) cho trước có thể tìm được cặp giá trị 
𝛼1 ,𝛼2 sao cho 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và tương ứng ta tìm được cặp 
giá trị 𝑡1−𝛼1
(𝑛1+𝑛2−2), 𝑡𝛼2
(𝑛1+𝑛2−2) thoả mãn: 
𝑃 𝐺 < 𝑡1−𝛼1
(𝑛1+𝑛2−2) = 𝛼1 
𝑃 𝐺 > 𝑡𝛼2
(𝑛1+𝑛2−2) = 𝛼2 
suy ra 
𝑃 𝑡1−𝛼1
(𝑛1+𝑛2−2) < 𝐺 < 𝑡𝛼2
(𝑛1+𝑛2−2) = 1 − 𝛼1 + 𝛼2 = 1− 𝛼 
2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TOÁN CỦA HAI BIẾN 
NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN
do 𝑡1−𝛼1
(𝑛1+𝑛2−2) = −𝑡𝛼1
(𝑛1+𝑛2−2) nên ta có: 
𝑃 −𝑡𝛼1
(𝑛1+𝑛2−2) < 𝐺 < 𝑡𝛼2
(𝑛1+𝑛2−2) = 1− 𝛼 
⟺ 𝑃 −𝑡𝛼1
(𝑛1+𝑛2−2) <
𝑋 − 𝑌 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝐴
< 𝑡𝛼2
(𝑛1+𝑛2−2) 
= 1 − 𝛼 
⟺ 𝑃 𝑋 − 𝑌 − 𝐴. 𝑡𝛼2
(𝑛1+𝑛2−2) < 𝜇1 − 𝜇2
< 𝑋 − 𝑌 + 𝐴. 𝑡𝛼1
(𝑛1+𝑛2−2) = 1− 𝛼 
Vậy với độ tin cậy (1− 𝛼) tham số 𝜇1 − 𝜇2 của biến ngẫu 
nhiên gốc sẽ nằm trong khoảng 
 𝑋 − 𝑌 − 𝐴. 𝑡𝛼2
(𝑛1+𝑛2−2);𝑋 − 𝑌 + 𝐴. 𝑡𝛼1
(𝑛1+𝑛2−2) 
- Khoảng tin cậy đố i xứng: 𝛼1 = 𝛼2 =
𝛼
2
 ta có khoảng tin 
cậy 
 𝑋 − 𝑌 − 𝜀,𝑋 − 𝑌 + 𝜀 
với 𝜀 = 𝐴. 𝑡𝛼/2
(𝑛1+𝑛2−2) được gọi là độ chính xác. 
- Khoảng tin cậy bên phải: 𝛼1 = 0,𝛼2 = 𝛼 thì 𝑢𝛼1 = 𝑢0 =
+∞ và do đó khoảng tin cậy là 
 𝑋 − 𝑌 − 𝐴. 𝑡𝛼
(𝑛1+𝑛2−2), +∞ 
Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tố i thiểu của 
𝜇1 − 𝜇2. 
- Khoảng tin cậy bên trái: 𝛼1 = 𝛼,𝛼2 = 0 thì 𝑢𝛼2 = 𝑢0 =
+∞ và do đó khoảng tin cậy là 
 −∞,𝑋 − 𝑌 + 𝐴. 𝑡𝛼
(𝑛1+𝑛2−2) 
Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối đa của 𝜇1 −
𝜇2. 
2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TOÁN CỦA HAI BIẾN 
NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN
Từ các mẫu cụ thể 
𝑤𝑋 = (𝑥1, 𝑥2 , , 𝑥𝑛1 ) 
𝑤𝑌 = (𝑦1,𝑦2, ,𝑦𝑛2 ) 
và từ đó ta tìm được giá trị cụ thể của các trung bình mẫu 
𝑥 , 𝑦 . Lúc đó với độ tin cậy 1− 𝛼 , qua các mẫu cụ thể , 
khoảng tin cậy của 𝜇1 − 𝜇2 là: 
 𝑔1 ,𝑔2 = 𝑥 − 𝑦 − 𝐴. 𝑡𝛼2
(𝑛1+𝑛2−2); 𝑥 − 𝑦 + 𝐴. 𝑡𝛼1
(𝑛1+𝑛2−2) 
Chú ý: 
Do phân phố i Student hộ i tụ nhanh về phân phố i chuẩn 
khi 𝑛 → +∞ nên khi 𝑛1 + 𝑛2 rất lớn (𝑛1 + 𝑛2 > 30) thì xấp xỉ 
𝑡𝛼
(𝑛1+𝑛2−2) ≈ 𝑢𝛼 . 
2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU CỦA HAI KỲ VỌNG TOÁN CỦA HAI BIẾN 
NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN
Ví dụ 4. Từ mộ t chuồng nuôi lợn, người ta lấy ngẫu nhiên 
bốn con đem cân và thu được trọng lượng tương ứng của 
chúng là 64, 66, 89, 77. Từ chuồng khác lấy ra ba con để 
cân thì được trọng lượng là 56, 71, 53. Với độ tin cậy 95% 
hãy ước lượng sự khác biệ t về trọng lượng trung bình của 
hai chuồng lợn đó. Giả thiế t trọng lượng của lợn tuân theo 
quy luật phân phố i chuẩn. 
2.4 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT (TỈ LỆ) CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY 
LUẬT KHÔNG-MỘT
Giả sử trong tổng thể , biến ngẫu nhiên gốc X tuân theo 
quy luật không-mộ t 
𝑃 𝑋 = 1 = 𝑝,𝑃 𝑋 = 0 = 1− 𝑝 = 𝑞 
Từ tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: 𝑊𝑛 =
(𝑋1 ,𝑋2, ,𝑋𝑛), 
𝑋 =
1
𝑛
 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑓 
đặt 𝑚 = 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1 ~𝐵(𝑝; 𝑛) nên 𝐸 𝑚 = 𝑛𝑝,𝐷 𝑚 = 𝑛𝑝𝑞, suy 
ra 𝐸𝑋 = 𝐸 
𝑚
𝑛
 = 𝑝,𝐷𝑋 = 𝐷 
𝑚
𝑛
 =
𝑝𝑞
𝑛
Khi n lớn và p không quá nhỏ thì 
𝑈 =
(𝑋 − 𝑝)
 𝑝𝑞
 𝑛~𝑁(0,1) 
2.4 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT (TỈ LỆ) CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY 
LUẬT KHÔNG-MỘT
Chọn thống kê 
𝐺 = 𝑈 =
(𝑋 − 𝑝)
 𝑝𝑞
 𝑛~𝑁(0,1) 
tương tự ta có với độ tin cậy (1− 𝛼) cho trước có thể tìm 
được cặp giá trị 𝛼1 ,𝛼2 sao cho 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và tương ứng 
ta tìm được cặp giá trị 𝑢1−𝛼1 ,𝑢𝛼2 thoả mãn: 
𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼1 = 𝛼1 
𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼2 = 𝛼2 
suy ra 
𝑃 𝑢1−𝛼1 < 𝑈 < 𝑢𝛼2 = 1 − 𝛼1 + 𝛼2 = 1− 𝛼 
2.4 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT (TỈ LỆ) CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY 
LUẬT KHÔNG-MỘT
do 𝑢1−𝛼1 = −𝑢𝛼1 nên ta có: 
𝑃 −𝑢𝛼1 < 𝑈 < 𝑢𝛼2 = 1− 𝛼 
⟺ 𝑃 −𝑢𝛼1 <
(𝑋 − 𝑝)
 𝑝𝑞
 𝑛 < 𝑢𝛼2 = 1− 𝛼 
⟺ 𝑃 𝑋 −
 𝑝𝑞
 𝑛
𝑢𝛼2 < 𝑝 < 𝑋
 +
 𝑝𝑞
 𝑛
𝑢𝛼1 = 1− 𝛼 
Vậy với độ tin cậy (1− 𝛼) tham số p của biến ngẫu nhiên 
gốc sẽ nằm trong khoảng 
 𝑋 −
 𝑝𝑞
 𝑛
𝑢𝛼2 ,𝑋
 +
 𝑝𝑞
 𝑛
𝑢𝛼1 
2.4 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT (TỈ LỆ) CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY 
LUẬT KHÔNG-MỘT
nhưng do n lớn nên ta xấp xỉ p bởi: 𝑝 ≈ 𝑓 =
𝑚
𝑛
 và do 𝑋 = 𝑓 
nên ta có thể xấp xỉ khoảng ước lượng của p là 
 𝑓 −
 𝑓(1− 𝑓)
 𝑛
𝑢𝛼2 , 𝑓 +
 𝑓(1− 𝑓)
 𝑛
𝑢𝛼1 
- Khoảng tin cậy đố i xứng: 𝛼1 = 𝛼2 =
𝛼
2
 ta có khoảng tin 
cậy 
 𝑓 − 𝜀, 𝑓 + 𝜀 
với 𝜀 =
 𝑓(1−𝑓)
 𝑛
𝑢𝛼/2 được gọi là độ chính xác. 
2.4 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT (TỈ LỆ) CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY 
LUẬT KHÔNG-MỘT
- Khoảng tin cậy bên phải: 𝛼1 = 0,𝛼2 = 𝛼 thì 𝑢𝛼1 = 𝑢0 =
+∞ và do đó khoảng tin cậy là 
 𝑓 −
 𝑓(1− 𝑓)
 𝑛
𝑢𝛼 , +∞ 
Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tố i thiểu của p. 
- Khoảng tin cậy bên trái: 𝛼1 = 𝛼,𝛼2 = 0 thì 𝑢𝛼2 = 𝑢0 =
+∞ và do đó khoảng tin cậy là 
 −∞,𝑓 +
 𝑓(1 − 𝑓)
 𝑛
𝑢𝛼 
Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối đa của p. 
2.4 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT (TỈ LỆ) CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY 
LUẬT KHÔNG-MỘT
Ví dụ Hãy ước lượng tỉ lệ chính phẩm của mộ t nhà máy 
bằng khoảng tin cậy đố i xứng với độ tin cậy 0,95 nếu biế t 
rằng kiểm tra 100 sản phẩm của nhà máy thì thấy có 10 
phế phẩm. 
Ví dụ Để ước lượng số cá có trong mộ t hồ, người ta bắt 
2000 con lên đánh dấu rồ i thả trở lại. Vài hôm sau, bắt 400 
con lên thì thấy có 80 con cá b ị đánh dấu. Hãy ước lượng 
số cá có trong hồ với độ tin cậy 95%. 
2.5 ƯỚC LƯỢNG HIỆU HAI THAM SỐ p CỦA HAI BIẾN NGẪU 
NHIÊN PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT
Giả sử ta xét mộ t lúc hai tổng thể . Ở tổng thể thứ 
nhất ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑋 tuân theo quy luật 
không-mộ t với 
𝑃 𝑋 = 1 = 𝑝1,𝑃 𝑋 = 0 = 1− 𝑝1 = 𝑞1 
ở tổng thể thứ hai ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑌 tuân theo 
quy luật không-mộ t với 
𝑃 𝑌 = 1 = 𝑝2,𝑃 𝑋 = 0 = 1− 𝑝2 = 𝑞2 
 Ta cần ước lượng hiệu 𝑝1 − 𝑝2 với độ tin cậy 1− 𝛼 
Từ hai tổng thể nói trên rút ra hai mẫu ngẫu nhiên độc lập 
có kích thước tương ứng 𝑛1 và 𝑛2: 
𝑊𝑋 = (𝑋1 ,𝑋2, ,𝑋𝑛1 ) 
𝑊𝑌 = (𝑌1 ,𝑌2, ,𝑌𝑛2 ) 
2.5 ƯỚC LƯỢNG HIỆU HAI THAM SỐ p CỦA HAI BIẾN NGẪU 
NHIÊN PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT
Xét 𝑋 − 𝑌 , với 𝑋 =
1
𝑛1
 𝑋𝑖
𝑛1
𝑖=1 =
𝑚1
𝑛1
= 𝑓1 , 𝑌 =
1
𝑛2
 𝑌𝑖
𝑛2
𝑖=1 =
𝑚2
𝑛2
= 𝑓2. Do 𝐸 𝑋 − 𝑌 = 𝐸𝑋 − 𝐸𝑌 = 𝑝1 − 𝑝2,𝐷 𝑋 − 𝑌 =
𝐷𝑋 + 𝐷𝑌 =
𝑝1𝑞1
𝑛1
+
𝑝2𝑞2
𝑛2
 suy ra 
𝑈 =
𝑋 − 𝑌 − (𝑝1 − 𝑝2)
𝑝1𝑞1
𝑛1
+
𝑝2𝑞2
𝑛2
~𝑁(0,1) 
Ta chon thống kê 
𝐺 = 𝑈 =
𝑋 − 𝑌 − (𝑝1 − 𝑝2)
𝑝1𝑞1
𝑛1
+
𝑝2𝑞2
𝑛2
~𝑁(0,1) 
2.5 ƯỚC LƯỢNG HIỆU HAI THAM SỐ p CỦA HAI BIẾN NGẪU 
NHIÊN PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT
Thực hiện tương tự ta có 
𝑃 𝑋 − 𝑌 − 
𝐶𝑞1
𝑛1
+
𝑝2𝑞2
𝑛2
𝑢𝛼/2 < 𝑝1 − 𝑝2
< 𝑋 − 𝑌 + 
𝑝1𝑞1
𝑛1
+
𝑝2𝑞2
𝑛2
𝑢𝛼/2 = 1− 𝛼 
Khoảng tin cậy là: 
 𝑋 − 𝑌 − 
𝑝1𝑞1
𝑛1
+
𝑝2𝑞2
𝑛2
𝑢𝛼/2;𝑋 − 𝑌 + 
𝑝1𝑞1
𝑛1
+
𝑝2𝑞2
𝑛2
𝑢𝛼/2 
Khi 𝑛1,𝑛2 lớn ta xấp xỉ: 𝑝1 ≈ 𝑓1 , 𝑝2 ≈ 𝑓2 ta có khoảng UL đố i 
xứng: 
 𝑓1 − 𝑓2 − 
𝑓1(1− 𝑓1)
𝑛1
+
𝑓2(1− 𝑓2)
𝑛2
𝑢𝛼/2;𝑓1 − 𝑓2
+ 
𝑓1(1− 𝑓1)
𝑛1
+
𝑓2(1 − 𝑓2)
𝑛2
𝑢𝛼/2 
2.5 ƯỚC LƯỢNG HIỆU HAI THAM SỐ p CỦA HAI BIẾN NGẪU 
NHIÊN PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT
ta có khoảng UL bên phải: 
 𝑓1 − 𝑓2 − 
𝑓1(1− 𝑓1)
𝑛1
+
𝑓2(1− 𝑓2)
𝑛2
𝑢𝛼 ; +∞ 
khoảng UL bên trái: 
 −∞;𝑓1 − 𝑓2 − 
𝑓1(1 − 𝑓1)
𝑛1
+
𝑓2(1− 𝑓2)
𝑛2
𝑢𝛼 
2.5 ƯỚC LƯỢNG HIỆU HAI THAM SỐ p CỦA HAI BIẾN NGẪU 
NHIÊN PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT
Ví dụ Doanh nghiệp dự định đưa sản phẩm của mình 
vào hai thị trường khác nhau. Bán thử sản phẩm cho 100 
khách hàng tiềm năng của thị trường thư nhất thì có 50 
người mua. Còn với thị trường thứ hai bán thử sản phẩm 
cho 50 khách hàng thì có 20 người mua. Với độ tin cậy 
95% hãy ước lượng mức độ chênh lệch về thị phần mà 
doanh nghiệp có thể đạt được tại hai thị trường đó. 
Giả sử trong tổng thể xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2) 
nhưng chưa biết phương sai 𝜎2 của nó. Để ước lượng 𝜎2 
từ tổng thể ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n 
𝑊 = (𝑋1 ,𝑋2, ,𝑋𝑛) 
Để chọn thống kê G thích hợp ta xét hai trường hợp 
sau: 
a, Đã biết kỳ vọng toán μ của biến ngẫu nhiên gốc. 
Chọn 
𝐺 = 𝜒2 =
𝑛𝑆∗2
𝜎2
với 𝑆∗2 =
1
𝑛
 (𝑋𝑖 − 𝜇)
2𝑛
𝑖=1 . Suy ra 
𝑛𝑆∗2
𝜎2
= (
𝑋𝑖−𝜇
𝜎
)2𝑛𝑖=1 , do 
𝑋𝑖~𝑁(𝜇,𝜎
2) nên 
𝑋𝑖−𝜇
𝜎
~𝑁(0,1). Vậy 
𝐺 = 𝜒2 =
𝑛𝑆∗2
𝜎2
~𝜒2(𝑛) 
2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN
THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN
Do đó, với độ tin cậy (1 − 𝛼) cho trước có thể tìm được 
cặp giá trị 𝛼1,𝛼2 sao cho 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và từ đó tìm được 
hai giá trị tới hạn khi bình phương tương ứng là 
𝜒1−𝛼1
2(𝑛)
,𝜒𝛼2
2(𝑛)
 thỏa mãn điều kiện 
𝑃 𝜒2 < 𝜒1−𝛼1
2 𝑛 = 𝛼1 
𝑃 𝜒2 > 𝜒𝛼2
2 𝑛 = 𝛼2 
Do đó 
𝑃 𝜒1−𝛼1
2 𝑛 
< 𝜒2 < 𝜒𝛼2
2 𝑛 = 1− 𝛼1 + 𝛼2 = 1 − 𝛼 
Biến đổi tương đương ta có 
𝑃 
𝑛𝑆∗2
𝜒𝛼2
2 𝑛 
< 𝜎2 <
𝑛𝑆∗2
𝜒1−𝛼1
2 𝑛 
 = 1− 𝛼 
2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN
THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN
Như vậy, với độ tin cậy (1− 𝛼) khoảng tin cậy của 𝜎2 là 
𝑛𝑆∗2
𝜒𝛼2
2 𝑛 
; 
𝑛𝑆∗2
𝜒1−𝛼1
2 𝑛 
Từ khoảng tin cậy tổng quát ta có thể xây dựng được các 
khoảng tin cây cụ thể sau: 
- Nếu 𝛼1 = 𝛼2 =
𝛼
2
 thì khoảng tin cậy có dạng: 
𝑛𝑆∗2
𝜒𝛼/2
2 𝑛 
; 
𝑛𝑆∗2
𝜒1−𝛼/2
2 𝑛 
2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN
THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN
- Nếu 𝛼1 = 0,𝛼2 = 𝛼 thì khoảng tin cậy có dạng: 
𝑛𝑆∗2
𝜒𝛼
2 𝑛 
; +∞ 
- Nếu 𝛼1 = 𝛼,𝛼2 = 0 thì khoảng tin cậy có dạng: 
 0; 
𝑛𝑆∗2
𝜒1−𝛼
2 𝑛 
Với mộ t mẫu cụ thể 𝑤 = (𝑥1 , 𝑥2, , 𝑥𝑛) có thể xác định 
được khoảng tin cậy cụ thể bằng số của 𝜎2 giống như đã 
làm ở các phần trên. 
2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN
THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN
Ví dụ. Mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vị sản phẩm 
là biến ngẫu nhiên phân phố i chuẩn với trung bình là 20 
gam. Để ước lượng mức độ phân tán của mức hao phí này 
người ta cân thử 25 sản phẩm và thu được kết quả: 
Hao phí nguyên 
liệu(gam ) 
19,5 20,0 20,5 
Số sản phẩm 
tương ứng 
5 18 2 
Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng 𝜎2 với 𝛼1 = 𝛼2. 
2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN
THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN
2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN
THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN
b, Chưa biết kỳ vọng toán μ của biến ngẫu nhiên gốc. 
Chọn 
𝐺 = 𝜒2 =
 𝑛 − 1 𝑆2
𝜎2
~𝜒(𝑛−1)
2 
Do đó, với độ tin cậy (1 − 𝛼) cho trước có thể tìm được 
cặp giá trị 𝛼1,𝛼2 sao cho 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và từ đó tìm được 
hai giá trị tới hạn khi bình phương tương ứng là 
𝜒1−𝛼1
2(𝑛−1)
,𝜒𝛼2
2(𝑛−1)
 thỏa mãn điều kiện 
𝑃 𝜒2 < 𝜒1−𝛼1
2 𝑛−1 = 𝛼1 
𝑃 𝜒2 > 𝜒𝛼2
2 𝑛−1 = 𝛼2 
2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN
THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN
Do đó 
𝑃 𝜒1−𝛼1
2 𝑛−1 
< 𝜒2 < 𝜒𝛼2
2 𝑛−1 = 1− 𝛼1 + 𝛼2 = 1− 𝛼 
Biến đổi tương đương ta có 
𝑃 
𝑛𝑆2
𝜒𝛼2
2 𝑛−1 
< 𝜎2 <
𝑛𝑆2
𝜒1−𝛼1
2 𝑛−1 
 = 1− 𝛼 
Như vậy, với độ tin cậy (1− 𝛼) khoảng tin cậy của 𝜎2 là 
𝑛𝑆2
𝜒𝛼2
2 𝑛−1 
; 
𝑛𝑆2
𝜒1−𝛼1
2 𝑛−1 
2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN
THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN
Từ khoảng tin cậy tổng quát ta có thể xây dựng được các 
khoảng tin cây cụ thể sau: 
- Nếu 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼 thì khoảng tin cậy có dạng: 
𝑛𝑆2
𝜒𝛼/2
2 𝑛−1 
; 
𝑛𝑆2
𝜒1−𝛼/2
2 𝑛−1 
- Nếu 𝛼1 = 0,𝛼2 = 𝛼 thì khoảng tin cậy có dạng: 
𝑛𝑆2
𝜒𝛼
2 𝑛−1 
; +∞ 
- Nếu 𝛼1 = 0,𝛼2 = 𝛼 thì khoảng tin cậy có dạng: 
 0; 
𝑛𝑆2
𝜒1−𝛼
2 𝑛−1 
2.6 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN
THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN
Với mộ t mẫu cụ thể 𝑤 = (𝑥1 , 𝑥2, , 𝑥𝑛) có thể xác định 
được khoảng tin cậy cụ thể bằng số của 𝜎2 giống như đã 
làm ở các phần trên. 
Ví dụ. Cùng giả thiết như ví dụ trên nhưng giả sử ta 
chưa biết giá trị trung bình.