Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều - Phan Trung Hiếu

ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019
1
1
CHƯƠNG IV:
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 2 CHIỀU

 Một bộ 2 đại lượng ngẫu nhiên X, Y được xét đồng
thời gọi là ĐLNN 2 chiều, ký hiệu V= (X,Y). Thường
ta quan tâm X và Y có ảnh hưởng lẫn nhau hay không.

 Nếu X, Y rời rạc thì V là ĐLNN 2 chiều rời rạc.

 Nếu X, Y liên tục thì V là ĐLNN 2 chiều liên tục.

 VD:

 Xét đồng thời chiều cao (X) và trọng lượng (Y) của 1
người.

 Xét đồng thời số buổi đi học môn XSTK (X) và điểm
thi môn XSTK (Y).

 Xét đồng thời độ tuổi (X) và nhan sắc (Y) của 1 người
phụ nữ thì (X,Y) không là ĐLNN 2 chiều.
2
3
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 2 CHIỀU (rời rạc) 
Bảng phân phối xác suất đồng thời của (X,Y) có dạng: 
 Y 
X 
y1 yj yn 
x1 p11 p1j p1n 
xi pi1 pij pin 
xm pm1 pmj pmn 
Trong đó: X nhận các giá trị x1, x2 ,, xm 
 Y nhận các giá trị y1, y2 ,, yn 
Xác suất X nhận giá trị xi và Y nhận giá trị yj cùng lúc là: 
 pij = P(X=xi ,Y = yj ) 4
Lưu ý: 
Ta không xét ĐLNN 2 chiều liên tục.
Tính chất: 0≤ pij ≤1 , i,j 
1  ijpji
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019
2
5
Ví dụ 1: Cho ĐLNN 2 chiều V=(X,Y) có bảng phân phối xác 
suất đồng thời 
 Y 
X 
1 2 3 4 
2 1/8 2/8 0 0 
4 1/8 0 1/8 2/8 
6 0 0 1/8 0 
6
II. PHÂN PHỐI LỀ (PHÂN PHỐI BIÊN DUYÊN) 
1) Phân phối lề của X 
Ví dụ 1: 
X 2 4 6 
P 3/8 4/8 1/8 
P (X =2) = P[(X=2). (Y=1)+(Y=2)+(Y=3)+(Y=4)] 
 = P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=2,Y=3)+P(X=2,Y=4) 
8
300
8
2
8
1 
P(X=4)= P(X=4,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=4,Y=3)+P(X=4,Y=4) 
 = 
8
4
8
2
8
10
8
1 
Tương tự cho P(X=6) 
7
Nhận xét: Để xác định bảng phân phối lề 
đơn giản, ta lập bảng sau: 
 Y 
X 
1 2 3 4  
2 1/8 2/8 0 0 3/8 
4 1/8 0 1/8 2/8 4/8 
6 0 0 1/8 0 1/8 
 2/8 2/8 2/8 2/8 1 
8
X 2 4 6 
P 3/8 4/8 1/8 
Kỳ vọng: E(X) =  
i i
xXPix )( = 2
7
8
16
8
44
8
32    
Phương sai: var(X) = 2)( EX
i i
x  .P(X=xi) 
 = 
4
7
8
1.2)
2
76(
8
4.2)
2
74(
8
3.2)
2
72( 
Hoặc var(X) = E(X2)-{E(X)}2 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019
3
9
2) Phân phối lề của Y: 
Ví dụ 1: 
Y 1 2 3 4 
P 2/8 2/8 2/8 2/8 
P(Y=1) = P (X=2)+(X=4)+(X=6).(Y=1)] 
 = P(X=2,Y=1)+P(X=4,Y=1)+P(X=6,Y=1)=
8
20
8
1
8
1 
Tương tự cho P(Y=2) , P(Y=4) , P(Y=6) 
Kỳ vọng: E(Y) = 
j j
yYPjy )( = 2
5
8
24
8
23
8
22
8
21     
Phương sai: var(Y) = 
j
(yj -EY)2 .P(Y=yj) 
 = 
4
5
8
2.2)
2
54(
8
2.2)
2
53(
8
2.2)
2
52(
8
2.2)
2
51( 10
III. ĐỘC LẬP VỀ XÁC SUẤT CỦA X,Y. 
X,Y độc lập P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) i,j 
Ví dụ 1: 
P(X=2,Y=1) = 
8
2.
8
3
8
1 = P(X = 2).P(Y = 1) 
Vậy X,Y không độc lập 
11
ĐỘC LẬP VỀ XÁC SUẤT CỦA X VÀ Y 
VD2: Bảng phân phối xác suất đồng thời 
X Y 0 1 2 
0 1/18 3/18 2/18 6/18 
1 2/18 6/18 4/18 12/18 
 3/18 9/18 6/18 1 
Bảng phân phối lề 
X 0 1 Y 0 1 2 
P 1/3 2/3 P 1/6 3/6 2/6 
Ta có: P(X=0,Y=1) = 3/18 = (1/3).(3/6) = P(X=0).P(Y=1) 
Tương tự: P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) , i,j 
Vậy X và Y độc lập về xác suất. 
12
Bài toán ngược: 
Biết bảng pp xs của X và Y, lập bảng pp xs đồng thời (X,Y). 
VD3: 
X và Y độc lập, có bảng pp xs: 
X -1 2 Y 0 1 2 
P 1/3 2/3 P 1/5 2/5 2/5 
Lập bảng pp xs đồng thời của (X,Y) ? 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019
4
13
Giải: 
X, Y độc lập P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) , i,j 
P(X=-1,Y=0) = P(X=-1).P(Y=0) = (1/3)(1/5) = 1/15 
P(X=2,Y=1) = P(X=2).P(Y=1) = (2/3)(2/5) = 4/15 
Tương tự cho các xác suất còn lại. 
X Y 0 1 2 
-1 1/15 2/15 2/15 
2 2/15 4/15 4/15 
14
IV. LẬP BẢNG PP XS CHO X.Y, TÍNH E(X.Y) 
Ví dụ 1: 
XY 2 4 6 8 12 16 18 24 
P 1/8 3/8 0 0 1/8 2/8 1/8 0 
P(XY=2) = P(X=2, Y=1) = 1/8 
P(XY=4) = P(X=2,Y=2) + P(X=4,Y=1) = 2/8+1/8 = 3/8 
P(XY=6) = P(X=6,Y=1)+P(X=2,Y=3) = 0+0 = 0 
E(XY) = 2.(1/8)+4(3/8)+12.(1/8)+16.(2/8)+18.(1/8) = 19/2 
15
Lưu ý: 
Để xác định các giá trị của X.Y và tính xác 
suất cho dễ, ta lập bảng phụ: 
 Y 
X 
1 2 3 4 
2 2 4 6 8 
4 4 8 12 16 
6 6 12 18 24 
 16

 Bài tập:
1) Lập bảng ppxs cho X+Y?
2) Tính E(X+Y), var(X+Y)?
3) Có sử dụng được công thức sau:

E(X+Y) = E(X)+E(Y) ?

Var(X+Y) = var(X)+var(Y) ?
Tính trực tiếp E(XY): 
E(XY) = 1 22(1 2 3 0 4 0)
8 8
x y pi j iji j
   
 + 1 1 2 14(1 2.0 3 4 ) 6(1 0 2 0 3 4 0)
8 8 8 8
     = 19/2 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019
5
17
V. PHÂN PHỐI CÓ ĐIỀU KIỆN 
Giả sử biến cố F đã xảy ra và P(F) > 0 
Phân phối của X theo điều kiện F là: 
P(X=xi /F) = )(
),(
FP
FixXP =
iF
P 
Ví dụ 1: 
Xét F = (Y=1) 
Phân phối có điều kiện của X theo F là: 
XF 2 4 6 
PiF ½ 1/2 0 
 18
P(X=2/Y=1) = 
2
1
8
2
8
1
)1(
)1,2( 
YP
YXP = P1F 
P(X=4/Y=1) = 
2
1
8
2
8
1
)1(
)1,4( 
YP
YXP = P2F 
P(X=6/Y=1) = 0
8
2
0
)1(
)1,6( 
YP
YXP = P3F 
Tính chất: 
0<= piF <=1 , i ; 1piFi
  
19
Phân phối của Y theo điều kiện F là: 
P(Y=yj /F) =
( , )
( )
P Y y Fj
P F
= PFj 
Ví dụ 1: 
Xét F = (X=4) 
P(Y=1/X=4) = 
1( 4 , 1 ) 18
4( 4 ) 4
8
P X Y
P X
Tính chất: 
0<= pFj <=1 , j ; 1p F jj
  
YF 1 2 3 4 
PFj 1/4 0 ¼ 2/4 
20
VI. KỲ VỌNG TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN, 
PHƯƠNG SAI CÓ ĐIỀU KIỆN 
1. Xét cho X: 
E(XF) = E(X/F) = 
i iF
pix nếu biết bảng phân 
phối XF 
Nếu chưa biết bảng XF thì: 
E(XF) =  
i i FP
FixXP
ixFixXPix )(
),(
)/( 
var(XF) = var(X/F) =  
i iF
p
F
XEix
2))(( 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019
6
21
Ví dụ 1: F = (Y=1) 
E(X/F) = 2.p1F +4.p2F +6.p3F = 3062
14
2
12    
Nếu ta chưa có bảng pp XF thì tính như sau: 
E(XF) = 
)1(
)1,6(6
)1(
)1,4(4
)1(
)1,2(2
YP
YXP
YP
YXP
YP
YXP 
= 3
82
06
82
814
82
812    
Tương tự : E(X/Y=2)= 2 , E(X/Y=3)= 5 
var(XF) = (2–3)2 p1F +(4–3)2 p2F +(6–3)2 p3F 
 = 1.(1/2)+1.(1/2)+9.(0) = 1 22
Ý nghĩa của E(X/F): là trung bình có điều kiện 
của X, điều kiện là F 
2. Xét cho Y: 
E(YF) = E(Y/F) = 
j Fj
pjy nếu biết bảng pp YF 
Nếu chưa biết bảng YF thì: 
E(YF) =  
j j FP
FjyYP
jyFjyYPjy )(
),(
)/( 
var(YF) = var(Y/F) = 
j Fj
p
F
YEjy
2))(( 
23
Ví dụ 1: F = (X=4) 
E(Y/F) = 1.pF1 +2.PF2 +3.pF3+4.pF4 
 =1(1/4)+2(0)+3(1/4)+4(2/4) = 3 
Nếu ta chưa có bảng phân phối YF thì tính như 
sau: E(YF) = 
)4(
)3,4(3
)4(
)2,4(2
)4(
)1,4(1
XP
YXP
XP
YXP
XP
YXP 
 3
84
8/24
8/4
813
8/4
0.2
84
811
)4(
)4,4(4    
XP
YXP 
Tương tự : E(Y/X=2)= 5/3 , E(Y/X=6)= 3 
var(YF) = (1–3)2(1/4)+(2–3)2.(0)+(3–3)2(1/4) 
 +(4–3)2(2/4) = 3/2 24
Ý nghĩa kỳ vọng có điều kiện: 
Khảo sát chi tiêu (Y) theo thu nhập (X) của 6 người ta 
có bảng số liệu sau: 
X 4 4 6 6 9 9 
Y 2 3 2 4 5 6 
 Chi tiêu trung bình của 6 người là: 
 (2+3+2+4+5+6) / 6 = 3,6667 = E(Y) 
 Chi tiêu trung bình của 2 người cùng thu nhập 4: 
 (2+3) / 2 = 2,5 = E(Y/X=4) 
 Chi tiêu trung bình của 2 người cùng thu nhập 6: 
 (2+4) / 2 = 3 = E(Y/X=6) 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019
7
Đồ thị minh họa x1 < x2 y1 <= y2 : hàm tăng
25
Kết quả:
1) Người ta chứng minh được:

 E(Y/X) là một hàm theo X

 E(X/Y) là một hàm theo Y
2) E(aX+bY/g) = aE(X/g)+bE(Y/g)
3) g1  g2
E[E(X/g2)/g1] = E(X/g1)
ĐB:
E[E(X/g)] = E(X) (luật kỳ vọng lặp)
4) X, Y độc lập: E(Y/X) = E(Y)
5) var(X/g) = E[(X-E(X/g))2/g]
var(X) = E[var(X/g)] +var[E(X/g)]
26
27
VII. HIỆP PHƯƠNG SAI, HỆ SỐ TƯƠNG 
QUAN, MA TRẬN HIỆP PHƯƠNG SAI , 
MA TRẬN TƯƠNG QUAN 
Nếu E(Y/X=xi) = E(Y/xi) = a+bxi 
hoặc E(X/Y=yj) = E(X/yj) = c+dyj 
thì ta nói X,Y có tương quan tuyến tính. 
1) Hiệp phương sai 
cov( , ) ( ( )) ( ( ))
( ) ( ) ( )
X Y E X E X Y E Y
E XY E X E Y
 
 
 
  
 
Với E(XY) =
i j ij
pjyix 
28
Cov(X,Y) cho biết X và Y có phụ thuộc tương 
quan tuyến tính hay không. 
Cov(X,Y) phụ thuộc đơn vị đo của X,Y 
VD1: 
Cov(X,Y) = E(XY)–E(X).E(Y) = 
4
3
2
5
2
7
2
19  
Ta có thể tính trực tiếp hoặc gián tiếp E(XY) 
thông qua bảng phân phối xác suất của XY. 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019
8
29
Tính chất: 
 Cov(X,Y) = 0 : X, Y không có tương quan tt 
 Cov(X,Y) ≠ 0 : X, Y có tương quan tt 
 Cov(X,Y) = Cov(Y,X) 
 Cov(X,X) = var(X) 
 Cov(X,Y) > 0 : X, Y tương quan thuận 
 Cov(X,Y) < 0 : X, Y tương quan nghịch 
 Cov(X+ Z, Y) = Cov(X,Y) + Cov(Z,Y) 
 Cov(aX,bY) = ab cov(X,Y) , a,b R 
30

 Tính chất:

 var(X+Y) = var(X)+var(Y)+2.cov(X,Y)
var(X-Y) = var(X)+var(Y)–2.cov(X,Y)

 var(aX bY) = a2 var(X)+b2 var(Y) 2ab.cov(X,Y)

 Nếu X,Y độc lập thì :
E(X.Y)= E(X).E(Y) cov(X,Y)= E(XY)-E(X).E(Y)= 0

 Vậy : X,Y độc lập X,Y không tương quan
Điều ngược lại không đúng

 Nếu X,Y có phân phối chuẩn thì điều ngược lại đúng.
31
VD4 : Hai ĐLNN không tương quan nhưng không độc lập. 
Cho hai ĐLNN có bảng phân phối đồng thời: 
 Y 
X 
6 8 10 
1 0,2 0,2 
2 0,2 
3 0,2 0,2 
Ta lập bảng sau: 
 Y 
X 
6 8 10  
1 0,2 0,2 0,4 
2 0,2 0,2 
3 0,2 0,2 0,4 
 0,4 0,2 0,4 1 
 32
VD4: 
E(X) = 1.(0,4)+2.(0,2)+3.(0,4) = 2 
E(Y) = 6.(0,4)+8.(0,2)+10.(0,4) = 8 
E(XY) = 6.(1).(0,2)+6.(3).(0,2)+8.(2).(0,2) 
 +10.(1).(0,2)+10.(3).(0,2) = 16 
cov(X,Y) = E(XY) E(X).E(Y) = 16 2.(8) = 0 
 nên X, Y không tương quan tuyến tính 
P(X=2,Y=6) = 0 (0,2).(0,4) = P(X=2).P(Y=6) 
 nên X, Y không độc lập. 
Vậy: cov(X,Y) = 0 nhưng X, Y không độc lập. 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019
9
33
Bất đẳng thức Cauchy–Schwartz: 
|cov(X,Y)| var( ).var( )X Y 
Dấu “=” đạt được khi : P(Y= aX+b) = 1, a 0 
2) Hệ số tương quan: 
cov( , )
var( ) . var( )
X Y
R
XY X Y
RXY đo mức độ tương quan tuyến tính giữa X 
và Y 
RXY không phụ thuộc đơn vị đo của X,Y 
34
VD1: RXY = 
35
3
4
5
4
7
4
3

Tính chất: 
- RXY= 0 : X, Y không có tương quan tuyến tính 
- RXY = RYX = R(X,Y) = R 
- R(X,Y) cùng dấu với cov(X,Y) 
- 0 |RXY| 1 
- R(aX+b, cY + d) = R(X,Y) a,b,c,d R, ac>0 
- Nếu Y= aX + b thì R(X,Y) = 1 , a≠0 

 0 <= |R| <= 1

 Nếu |R| càng gần 1 thì mức độ phụ thuộc tuyến tính
giữa X, Y càng chặt. Có nghĩa là khi X thay đổi thì Y
có xu thế thay đổi nhiều theo X, hay xu thế đường
thẳng giữa X và Y càng rõ.

 Nếu |R| càng gần 0 thì mức độ phụ thuộc tuyến tính
giữa X, Y càng lỏng. Có nghĩa là khi X thay đổi thì Y
có xu thế thay đổi ít theo X, hay xu thế đường thẳng
giữa X và Y càng không rõ.

 Nếu R>0 thì X, Y có tương quan thuận, nghĩa là nếu X
tăng thì Y có xu thế tăng theo X.

 Nếu R<0 thì X, Y có tương quan nghịch, nghĩa là nếu 
X tăng thì Y có xu thế giảm theo X.
35

Nếu |R| = 1 thì Y= aX+b với xác suất 1.
Tức là : P(Y= aX+b) = 1

 Tính chất:
- E(X+Y)2 = E(X2) + 2E(XY) + E(Y2)
- E(X-Y)2 = E(X2) - 2E(XY) + E(Y2)
Lưu ý:
Nếu X, Y tương quan phi tuyến thì ta dùng tỷ số
tương quan (khơng học)
36
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019
10
37
3) Ma trận hiệp phương sai: 
 var( ) cov( , )
cov( , ) var( )
X X Y
Y X Y
Ví dụ 1: Ma trận hiệp phương sai của X,Y là: 
4/54/3
4/34/7 
4) Ma trận tương quan: 
1
1
YX
R
XY
R
Ví dụ 1: Ma trận tương quan của X, Y là: 
135/3
35/31 
38
VD5: 
X và Y có quan hệ hàm số nhưng R 1. 
Cho hai ĐLNN có bảng pp xs đồng thời: 
 Y 
X 
1 4 9 16 25  
1 0,2 0,2 
2 0,2 0,2 
3 0,2 0,2 
4 0,2 0,2 
5 0,2 0,2 
 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 1 
39
VD5: 
E(X) = 1.(0,2)+2(0,2)+3(0,2) 
 +4(0,2)+5(0,2) = 3 
E(Y) = 1(0,2)+4(0,2)+9(0,2) 
 +16(0,2)+25(0,2) = 11 
E(XY) = 1.(1).(0,2)+2.(4).(0,2) 
 +3.(9).(0,2)+4.(16).(0,2) 
 +5.(25).(0,2) = 45 
E(X2) = E(Y) = 11 
var(X) = 11 32 = 2 40
VD5: 
E(Y2) = 1.(0,2)+16.(0,2)+81.(0,2) 
 +256.(0,2)+625.(0,2) = 195,8 
var(Y) = 195,8 112 = 74,8 
cov(X,Y) = 45 3.(11) = 12 
Vậy 
c o v ( , )
v a r ( ) . v a r ( )
1 2 0 , 9 8 1 1
2 . 7 4 , 8
X YR
X Y
Ta thấy: 
Y = X2 nhưng R 1 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019
11
41
VD6: Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi. Trong hộp 
1 có: 1 bi mang số 1, 2 bi mang số 2, 3 bi mang 
số 3. Trong hộp 2 có: 2 bi mang số 1, 3 bi mang 
số 2, 1 bi mang số 3. X là số ghi trên bi rút ra từ 
hộp 1, Y là số ghi trên bi rút ra từ hộp 2. Rút từ 
mỗi hộp 1 bi. 
1) Hãy lập bảng pp xs đồng thời của V = (X,Y) 
2) Bảng phân phối xác suất lề của X, Y 
3) Kỳ vọng, phương sai của X, Y 
4) X, Y có độc lập theo xác suất không 42
Giải: 
1) Bảng pp xs đồng thời 
 Y 
X 
1 2 3  
1 2/36 3/36 1/36 1/6 
2 4/36 6/36 2/36 2/6 
3 6/36 9/36 3/36 3/6 
 2/6 3/6 1/6 1 
2) 
X 1 2 3 Y 1 2 3 
P 1/6 2/6 3/6 P 2/6 3/6 1/6 
4) X, Y độc lập theo xác suất 
VD7: Hộp có 3 bi T, 2 bi V và 4 bi Đ. Lấy NN 3 bi từ hộp.
Lập bảng ppxs đồng thời của số bi T và số bi V lấy được?

 HD:

 Gọi X= số bi T lấy được. X có các giá trị 0, 1, 2, 3

 Y= số bi V lấy được. Y có các giá trị 0, 1, 2

 P(X=0,Y=0) = P(0T, 0V, 3Đ) = C(3,4) / C(3,9)

 P(X=0,Y=1) = P(0T, 1V, 2Đ) = C(1,2)C(2,4) / C(3,9)

 P(X=0,Y=2) = P(0T, 2V, 1Đ) = C(2,2)C(1,4) / C(3,9)

 P(X=1,Y=0) = P(1T, 0V, 2Đ) = C(1,3)C(2,4) / C(3,9)

 P(X=1,Y=1) = P(1T,1V,1Đ) = C(1,3)C(1,2)C(1,4)/ C(3,9)

 

 P(X=3,Y=0) = P(3T, 0V, 0Đ) = C(3,3) / C(3,9)
43 44
Bảng phân phối xác suất đồng thời (X,Y): 
 Y 
 X 
0 1 2  
0 4/84 12/84 4/84 20/84 
1 18/84 24/84 3/84 45/84 
2 12/84 6/84 0 18/84 
3 1/84 0 0 1/84 
 35/84 42/84 7/84 1 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019
12
45
VD8: Có hai loại cổ phiếu A, B được bán trên 
thị trường chứng khoán và lãi suất của chúng là 
hai ĐLNN X,Y tương ứng. Giả sử (X,Y) có 
bảng phân bố xác suất như sau: 
 Y 
X 
–2 0 5 10 
0 0 0,05 0,05 0,1 
4 0,05 0,1 0,25 0,15 
6 0,1 0,05 0,1 0 
 46
1) Nếu đầu tư toàn bộ cổ phiếu A thì lãi suất 
kỳ vọng và mức độ rủi ro là bao nhiêu? 
2) Nếu mục tiêu là nhằm đạt được lãi suất kỳ 
vọng là lớn nhất thì nên đầu tư vào cả hai 
loại cổ phiếu trên theo tỷ lệ nào? 
3) Muốn hạn chế rủi ro về lãi suất đến mức 
thấp nhất thì nên đầu tư vào hai loại cổ phiếu 
trên theo tỷ lệ nào? 
47
Giải: 
1) Ta phải tìm E(X) và X 
Từ bảng phân bố xác suất của (X,Y) ta 
suy ra bảng phân bố xác suất của X là: 
X 0 4 6 
P 0,2 0,55 0,25 
E(X) = 3,7 (%) 
Var(X) = 4,11 ; (X) = 11,4 = 2,0273 
48
2) Nếu ký hiệu (0<= <=1) là tỷ lệ đầu tư 
vào cổ phiếu A thì ta có tỷ lệ đầu tư vào cổ 
phiếu B là (1– ). 
Ta phải tìm sao cho: E( X+(1– )Y) max 
Ta có : E( X+(1– )Y) = E(X)+(1– ) E(Y) 
Làm tương tự như đối với X ta tính được : 
E(Y) = 4,2 và Var(Y) = 17,96 
Do đó: E( X+(1– )Y) = 3,7 +(1– ).4,2 
 = 4,2– 0,5 
 E( X + (1 - ) Y) = max khi = 0. 
Muốn đạt được lãi suất kỳ vọng là lớn nhất thì 
ta phải đầu tư vào mua toàn bộ cổ phiếu B. 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019
13
49
3) Xác định sao cho: Var( X+(1– )Y) min 
Var( X+(1– )Y) 
 = 2Var(X)+(1– )2 Var(Y)+2 (1– )cov(X,Y) 
cov(X,Y) = xiyjpij – E(X).E(Y) 
 = 12,4 – 3,7 * 4,2 = –3,14 
Vậy var( X+(1– )Y) 
 = 4,11 2+17,96(1– )2+ 2 (1– )(–3,14) 
 = 28,35 2– 42,2 + 17,96 = f( ) min 
f/( ) = 56,7 – 42,2 = 0 = 0,7443 
f//( )= 56,7 > 0 nên là giá trị cực tiểu cần tìm. 
Nếu đầu tư vào c/p A và B theo tỷ lệ 74,43% và 
25,57% sẽ có mức độ rủi ro là thấp nhất. 50

 Bài tập 1:
Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đóù có 5 sản
phẩm loại A, 3 sản phẩm loại B và 2 sản phẩm
loại C. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 3 sản phẩm.
Gọi X, Y tương ứng là số sản phẩm loại A, B có
trong 3 sản phẩm lấy ra.
Tìm E(Y/X=1).

ĐS:
1,2
51

 Bài tập 2:
Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 6
sản phẩm loại I; 3 sản phẩm loại II và 1 sản
phẩm loại III. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ
kiện ra 2 sản phẩm.
Gọi X1, X2 tương ứng là số sản phẩm loại I, loại
II có trong hai sản phẩm lấy ra.
Tính Var(X2/ X1=1).

ĐS:
0,1875
52

 Bài tập 3:
Hộp có 10 bi. Trong đó có 5 bi T, 3 bi Đ và 2 bi
V. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 bi.
Gọi X, Y tương ứng là số bi T, bi V có trong 2 sản
phẩm lấy ra.
Tính cov(X,Y).

ĐS:
-8/45
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019
14
Mời ghé thăm trang web:
53

 https://sites.google.com/a/ueh.edu.vn/phamtricao/

 https://sites.google.com/site/phamtricao/