Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất - Phan Trung Hiếu

10/29/2019
1
LOG
O
Chương 3:
MỘT SỐ QUY LUẬT 
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Giảng viên: Phan Trung Hiếu
2
-Thực hiện phép thử n lần độc lập nhau.
-Trong mỗi lần thử, ta quan tâm đến 1 biến cố A
nào đó (xảy ra hay không xảy ra) với
luôn là hằng số không đổi, không phụ thuộc
vào phép thử.
I. Phân phối nhị thức B(n,p):
( )p P A 
X {0,1,2,..., }.n 
X có phân phối nhị thức, ký hiệu: X ~ ( , )B n p
Gọi X: số lần biến cố A xảy ra. Khi đó:
trong đó
3
 P(X ) ,k k n knk C p q

2
E(X) .
Var(X) . .
. Mod(X) .
n p
n p q
n p q n p p
 
 
.1q p 
Nếu X ~ B(n, p) thì ta có:
0,1,2,...,k n 
4
Ví dụ 1: Gieo 10 hạt đậu. Xác suất nảy mầm của
mỗi hạt là 0,8. Tính xác suất để trong 10 hạt:
a) có đúng 8 hạt nảy mầm.
b) có từ 8 đến 10 hạt nảy mầm.
c) có ít nhất 9 hạt nảy mầm.
d) có ít nhất 1 hạt nảy mầm.
e) có nhiều nhất 9 hạt nảy mầm.
f) có 9 hạt không nảy mầm.
5
Gọi X là số hạt nảy mầm trong 10 hạt
X ~ B(10; 0,8) 
Giải
Phép thử: Gieo 1 hạt đậu.
A: “Hạt nảy mầm” P( ) 0,8.A 
Gieo 10 hạt đậu nghĩa là thực hiện phép thử 10 
lần độc lập nhau
a) Xác suất có đúng 8 hạt nảy mầm:
P(X 8) 8 8 10 810.(0,8) .(0,2)C
8 8 2
10.(0,8) .(0, 2) 0,3019.C 
với n=10; p=P(A)=0,8; q=0,2.
6
b) Xác suất có từ 8 đến 10 hạt nảy mầm:
( )8 10P X 
0,3019 9 9 110.(0,8) .(0, 2)C 
P(X 8) P(X 9) P(X 10) 
10 10 0
10 .(0,8) .(0, 2)C 
0,3019 0, 2684 0,1074 0,6777. 
c) Xác suất có ít nhất 9 hạt nảy mầm:
d) Xác suất có ít nhất 1 hạt nảy mầm:
10/29/2019
2
7
e) Xác suất có nhiều nhất 9 hạt nảy mầm:
f) Xác suất có 9 hạt không nảy mầm
8
Ví dụ 2: Xaùc suaát ñeå moät maùy saûn xuaát ñöôïc
saûn phaåm loaïi tốt laø 0,8. Cho maùy saûn xuaát 5
saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm loaïi tốt coù
trong 5 saûn phaåm do maùy saûn xuaát.
Chọn câu đúng:
a) X không có phân phối nhị thức. 
b) X ~ B(5; 0,8). 
c) X ~ B(0,8; 5). 
d) X ~ B(1; 5). 
9
Ví dụ 3: Một xạ thủ bắn 3 viên đạn vào một
mục tiêu với xác suất bắn trúng mục tiêu của
mỗi lần bắn là 0,5. Gọi X là số đạn trúng mục
tiêu của xạ thủ này.
Chọn câu đúng:
a) X không có phân phối nhị thức. 
b) X ~ B(1; 0,5). 
c) X ~ B(3; 0,5). 
d) X ~ B(0,5; 3). 
10
Ví dụ 4: Coù 3 caàu thuû neùm boùng vaøo roå (moãi
ngöôøi neùm moät quaû). Xaùc suaát neùm truùng roå
cuûa caàu thuû thöù nhaát, thöù hai, thöù ba töông
öùng laø: 0,9; 0,8; 0,6. Goïi X laø soá laàn neùm
truùng roå cuûa 3 caàu thuû naøy. X coù phaân phoái
nhò thöùc hay khoâng?
11
Ví dụ 5: Một người mỗi ngày đi bán hàng ở 5
chỗ khác nhau. Xác suất bán được hàng ở mỗi
chỗ là 0,3.
a) Tìm xác suất người đó bán được hàng trong
một ngày.
b) Mỗi năm người đó đi bán hàng 300 ngày,
tìm số ngày bán được hàng nhiều khả năng
nhất trong một năm.
12
Ví dụ 6: Một nhà máy có 2 dây chuyền cùng
sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất để mỗi
sản phẩm được sản xuất từ các dây chuyền là
phế phẩm tương ứng là 0,04 và 0,03. Sản phẩm
của mỗi dây chuyền được đóng hộp (mỗi hộp
10 sản phẩm). Biết năng suất của dây chuyền
thứ nhất gấp đôi dây chuyền thứ hai.
Lấy ngẫu nhiên một hộp sản phẩm của nhà máy
sau ca làm việc để kiểm tra. Tính xác suất hộp
sản phẩm đó có phế phẩm.
10/29/2019
3
13
Ví dụ 7: Một hộp chứa 10 bi gồm 6 bi xanh và
4 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên liên tiếp (có hoàn lại)
3 bi. Gọi X là số bi xanh nhận được trong 3 lần
lấy ra.
a) Tìm Mod(X).
b) Lập bảng phân phối xác suất cho X.
c) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
14
“ Nếu trong ví dụ trên, giả thiết là lấy mẫu
không hoàn lại thì sao? ”
Định lý tổng các phân phối nhị thức độc lập:
Xi ~B(ni,p), i = 1,2,,m
Xi độc lập



1 1
~ , .
m m
i i
i i
X X B n n p
 
15
II. Phân phối siêu bội H(N,M,n):
N: tổng thể
MA
Tính chất A
Lấy không hoàn lại (Lấy cùng lúc)
n phần tử
Gọi X: số phần tử có tính
chất A trong n phần tử.
 X có phân phối siêu bội
X ~ ( , , )AH N M n
X {0,1,2,..., }.n trong đó
16



.
P(X ) A A
k n k
M N M
n
N
C C
k
C
E(X) .n p 
với : tỉ lệ các phần tử có tính chất A.AMp
N
2 Var(X) . . .
1
N nn p q
N
 
1q p với : tỉ lệ các phần tử không có tính
chất A.
Nếu X ~ H(N, MA,n) thì ta có:
17
Ví dụ 8: Giải lại ví dụ 7 ở trên trong trường
hợp lấy mẫu không hoàn lại.
Giải
a) X ~ (10; 6; 3)H
X {0,1,2,3} 
P(X 0) 
P(X 1) 
P(X 2) 
P(X 3) 
3
6 10 6
3
10
.P(X )
k kC Ck
C
với N=10; MA=6; n=3. 
Ta có:
18
b)
X
P
10/29/2019
4
19
Nhận xét về ví dụ 7 và ví dụ 8:
X 0 1 2 3
P
N=10, M=6,
có hoàn lại, 0,064 0,288 0,432 0,216
P
N=10, M=6, 
không hoàn lại, 0,033 0,3 0,5 0,17
P
N=100, M=60, 
không hoàn lại, 0,061 0,289 0,438 0,211
X ~ (3;0,6)B
X ~ ( ; 6; )H 10 3
X ~ ( ; 60; )H 100 3
20
III. Liên hệ giữa B(n,p) và H(N,MA,n):
 Khi tổng thể N khá lớn, cỡ mẫu n rất nhỏ
so với N thì phân phối nhị thức và phân phối
siêu bội cho kết quả gần bằng nhau. Nói cách
khác, ta có
X ~ ( , , ) X ~ ( , )AH N M n B n p n N /Ap M N với
N khá lớn
 Khi N khá lớn so với n thì việc lấy ra n phần
tử từ tổng thể N phần tử theo phương thức có
hoàn lại hay không hoàn lại, được coi là như
nhau.
21
Ví dụ 9: Từ một lô thuốc lớn, có tỉ lệ thuốc
hỏng là 0,2. Lấy ngẫu nhiên 5 lọ. Gọi X là số lọ
hỏng trong 5 lọ lấy ra. Lập bảng phân phối xác
suất cho X.
22
IV. Phân phối Poisson P( ):
Trong thực tế, có nhiều mô hình thỏa phân phối 
Poisson, ví dụ:
-Số cuộc gọi đến tổng đài điện thoại trong 1 phút
-Số người truy cập vào trang web www.sgu.edu.vn
trong 30 phút.
-Số lỗi in sai xuất hiện trong 1 trang sách.
Đặc điểm chung: đều đề cập đến “cường độ”
xuất hiện (số lần xuất hiện) của một biến cố nào
đó trong 1 đơn vị thời gian hoặc không gian.
23
Nếu bài toán thỏa các điều kiện:
-Số lần xuất hiện của biến cố A trong khoảng
thời gian hay không gian nào đó không ảnh
hưởng đến số lần xuất hiện biến cố A trong
những khoảng thời gian hay không gian sau đó.
-Cường độ xuất hiện biến cố A không đổi, luôn
là một hằng số.
Gọi X: số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng
thời gian t hay không gian h.
 X có phân phối Poisson, ký hiệu: X ~ ( )P 
X {0,1,2,..., ,...}.n trong đó
24

: Số lần biến cố A xuất hiện trung bình trong 
khoảng thời gian t hay không gian h.
Chú ý: Trong trường hợp chưa biết trước , 
ta dựa vào thông tin về cường độ xuất hiện (số 
lần xuất hiện) để xác định . 


Nếu thì ta có:X ~ ( )P 


.P(X )
!
k ek
k
 
E(X) Var(X)
1 Mod(X)
 
 
10/29/2019
5
25
Ví dụ 10: Ở một tổng đài Bưu điện, các cú
điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc
lập với nhau và tốc độ trung bình 2 cuộc gọi
trong 1 phút. Tìm xác suất để:
a) Có đúng 5 cú điện thoại trong 2 phút.
b) Không có cú điện thoại nào trong khoảng
thời gian 30 giây.
c) Có ít nhất 1 cú điện thoại trong khoảng thời
gian 10 giây.
26
Ví dụ 10: Một trạm bơm xăng trung bình mỗi
giờ có 12 xe máy đến tiếp xăng. Tìm xác suất
để trong 1 giờ nào đó có hơn 15 xe đến tiếp
xăng. Giải
Gọi X là số xe máy đến tiếp xăng trong 1 giờ
~ ( )X P   12.
Xác suất để trong 1 giờ nào đó có hơn 15 xe
đến tiếp xăng:
P(X>15) 
với
1215
0
12 .1 0,1556.
!
 
k
k
e
k
1-P(X 15) 
15
0
=1- P(X= )

k
k
27
28
Định lý tổng các phân phối Poisson độc lập:
Xi ~P( ), i = 1,2,,m
Xi độc lập



1 1
X X ~ .
m m
i i
i i
P  
 
i
29
V. Liên hệ giữa B(n,p) và P( ):
~ ( , )X B n p
.n p với50 0,1n p 
~ ( )X P 
Ví dụ 12: Trong một lô thuốc, tỉ lệ thuốc hỏng
là 0,003. Kiểm tra 1000 ống.
a) Tính xác suất để gặp 4 ống bị hỏng.
b) Tính xác suất để gặp 60 ống bị hỏng.
n khá lớn và p khá bé
và
30
Ví dụ 13: Mỗi chuyến xe chở được 1000 chai
bia. Xác suất để môt chai bia bị vỡ khi vận
chuyển là 0,001.
a) Tìm xác suất khi vận chuyển có 2 chai vỡ.
b) Tìm xác suất khi vận chuyển có số chai vỡ
không ít hơn 2.
c) Tìm số chai vỡ trung bình khi vận chuyển.
10/29/2019
6
31
VI. Phân phối chuẩn N( , ):  2
Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối 
chuẩn với kỳ vọng và phương sai , kí 
hiệu , nếu hàm mật độ của nó có 
dạng:
 2
2
2
( )
21( ) , .
2
x
f x e x
 
  
 
2X ~ ( , )N  
32
33
34
6.1. Hàm Gauss: Hàm Gauss f(x) là hàm mật
độ của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn
tắc X ~ N(0,1).
2
21( ) , (*)
2
x
f x e x
  
Đặc biệt, khi ta nói X có phân phối
chuẩn tắc (phân phối Gauss). Khi đó, ta có
X ~ (0,1)N
35
Tính chất: Hàm Gauss là hàm chẵn
( ) ( ).f x f x 
36
Ví dụ 14: Tìm
a) f (1,09)
b) f (-2,8)
c) f (6,12)
Cách tìm giá trị của hàm Gauss tại 1 điểm xo:
-Cách 1: Tính trực tiếp bằng cách thay x xo
trong công thức (*).
-Cách 2: Tra bảng giá trị hàm Gauss.
 Chú ý: Nếu x > 4,09 thì lấy f (x) 0,0001. 
= 0,2203
= 0,0079
= 0,0001
10/29/2019
7
37
6.2. Hàm Laplace: Hàm Laplace là hàm 
số xác định bởi
( )x 
2
2
0
1( ) , (**)
2
x t
x e dt x
  
38
Tính chất: Hàm Laplace là hàm lẻ
( ) ( ).x x 
39
Ví dụ 15: Tìm
a)
b)
c)
d)
e)
Cách tìm giá trị của hàm Laplace tại 1 điểm xo:
-Cách 1: Tính trực tiếp bằng cách thay x xo
trong công thức (**).
-Cách 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace.
 Chú ý: Nếu x > 4,09 thì lấy ( ) 0,5.x 
(0,40) 
( 2,58) 
(6,12) 
= 0,1554
= -0,4951
= 0,5
( ) 
( ) 
=0,5
=-0,5
(2,58) 
( ) 
40
6.3. Các công thức tính xác suất của phân phối
chuẩn:
Nếu thì 2~ ( , )X N  
P( X ) b aa b     

P(| X | ) 2 , 0     
41
 Quy tắc k – sigma:
 P(| X | ) 2k k   
Nếu k = 3 thì ta có quy tắc 3 - sigma:
 P(| X | 3 ) 2 3 0,9974   
nghĩa là: sai số giữa X và không quá là 
gần chắc chắn (xác suất gần bằng 1).
 3
42
Ví dụ 16: Khối lượng của một con bò trưởng
thành là một biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn với trung bình là 300kg và độ lệch chuẩn
là 50kg. Tính tỉ lệ bò có khối lượng:
a) Nằm trong khoảng từ 275kg đến 425kg.
b) Nhẹ hơn 200kg.
c) Nặng hơn 375kg.
Giải
Gọi X(kg): khối lượng của một con bò trưởng
thành.
Ta có 2X ~ ( ; )N   với 300 50. và
10/29/2019
8
43
a)
P(275 X 425) 425 300 275 300
50 50
 2,5 0,5 
 2,5 0,5 
0,4938 0,1915 
0,6853. 
44
Ví dụ 17: Thời gian để sản xuất một sản phẩm
loại A (đơn vị: phút) là một biến ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn với và
Tìm khoảng thời gian cần thiết để sản xuất một
sản phẩm loại A bất kỳ.
10 1. 
45
Ví dụ 18: Trọng lượng X của một loại sản
phẩm (đơn vị: gam) có phân phối chuẩn. Biết
65% số sản phẩm có trọng lượng lớn hơn 20
gam và 8% số sản phẩm có trọng lượng lớn
hơn 30 gam.
a) Nếu sản phẩm được chấp nhận có trọng
lượng nhỏ hơn 25 gam thì tỉ lệ sản phẩm bị loại
là bao nhiêu?
b) Cần quy định trọng lượng tối thiểu là bao
nhiêu để tỉ lệ sản phẩm bị loại nhỏ hơn 2%.
46
VII. Liên hệ giữa B(n,p) và N( , ):
~ ( , )X B n p
.n p với
 5 5np nq
2~ ( , )X N  
 2
. .n p q 
Khi đó:
 1P(X ) kk f     

P( X ) b aa b     
0,5 0,5
và
47
Chú ý: Các biến cố
có thể đưa về dạng
như sau
( ),a X b ( ),a X b 
( )a X b ( )a X b 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a X b a X b
a X b a X b
a X b a X b
1
1
1 1
48
Ví dụ 19: Xác suất sinh được 1 em bé gái là
0,52. Tính xác suất sao cho trong 300 em bé
sắp sinh
a) có 170 bé trai.
b) số bé trai vào khoảng từ 150 đến 170.
c) số bé trai ít nhất là 170.
10/29/2019
9
49
VIII. Phân phối đều U(a,b): 
Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối 
đều trong khoảng (a,b), kí hiệu X~U(a,b), nếu 
hàm mật độ của nó có dạng 
1 khi [ , ]
( )
0 khi [ , ]
x a b
f x b a
x a b
Nếu X~U(a,b) thì 
2( )E(X) ; Var(X)
2 12
a b b a
50
Ví dụ 20: Giả sử một xe buýt chỉ ghé trạm đón
khách trong khoảng thời gian từ 10 giờ đến 10
giờ 30 và thời điểm ghé trạm là biến ngẫu
nhiên có phân phối đều. Nếu bạn đến trạm lúc
10 giờ thì
a) Thời gian trung bình bạn phải chờ là bao
nhiêu?
b) Xác suất bạn phải chờ ô tô hơn 10 phút là
bao nhiêu?
51
Giải
X: số phút tính từ 10 giờ đến 10 giờ 30 ô tô sẽ
đến trạm.
X~U(0,30) với a=0, b=30. Ta có hàm mật độ
1 khi [0,30]( ) 30
0 khi [0,30]
xf x
x
a)
0 30( ) 15
2
E X (phút).
52
b) Xác suất phải chờ ô tô hơn 10 phút là:
30 30
10 10
1 2P(10 X 30) ( ) 0,6667.
30 3
f x dx dx 
53
IX. Phân phối mũ E( ): 
Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối 
mũ với tham số , kí hiệu X~E( ), nếu 
hàm mật độ của nó có dạng 
 
0 khi 0
( )
khi 0x
x
f x
e x
Nếu thì 
 
2
1 1E(X) ; Var(X)

0 
X~E( ) 
54
Ví dụ 21: Tuổi thọ X(năm) của một mạch điện
tử trong máy tính là biến ngẫu nhiên có phân
phối mũ, trung bình 6,25. Thời gian bảo hành
của mạch điện tử là 5 năm. Tính tỉ lệ mạch điện
tử bán ra phải thay thế.
Giải
X~E( ) với  1 1 0,16.
E(X) 6,25
 
Hàm mật độ:
0,16
0 khi 0
( )
0,16 khi 0x
x
f x
e x
10/29/2019
10
55
Xác suất mạch điện tử bán ra phải thay thế là:
5 5
0,16
0
P(X 5) ( ) 0,16 0,5507 55,07%.xf x dx e dx 
X. Định lý giới hạn trung tâm
56
Giả sử X1, X2, Xn là dãy các biến ngẫu
nhiên độc lập và có cùng phân phối xác suất
với
Khi đó
2( ) , ( ) , .i iE X Var X i   
 2
1
. , . .
n
i
i
X X N n n
   
57
Ví dụ 22: Trọng lượng của một loại sản phẩm
là biến ngẫu nhiên có trung bình 50g, độ lệch
tiêu chuẩn 10g. Các sản phẩm được đóng thành
hộp, mỗi hộp 100 sản phẩm. Hộp có trọng
lượng trên 4,85kg là đạt tiêu chuẩn. Tính tỉ lệ
hộp đạt tiêu chuẩn.