Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Định nghĩa xác suất

CHƯƠNG 2 
 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 
1)Phép thử 
Phép thử hay thí nghiệm ngẫu nhiên là thực hiện một bộ điều kiện xác định và quan sát kết quả sao cho kết quả của phép thử xẩy ra không xác định trước được . 
Ví dụ 1: Gieo một đồng xu có hai mặt sấp , ngửa cân xứng và đồng chất , kết quả xuất hiện mặt sấp(S ) mặt ngửa(N ) là một phép thử . 
2 ) Biến cố liên kết với phép thử 
Định nghĩa : Xét một phép thử , Ω là tập tất cả các khả năng có thể xẩy ra và từng đôi xung khắc với nhau sao cho khi thực hiện phép thử kết quả đều thuộc về Ω . Khi đó Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp.Tập con A bất kỳ của Ω được gọi là một biến cố liên kết với phép thử . 
Ví dụ 2 : Gieo một đồng xu cân xứng đồng chất có hai mặt S,N . Không gian biến cố sơ cấp ( Các khả năng có thể ) là tâp Ω = (S,N); biến cố xuất hiện mặt sấp A = (S) , biến cố xuất hiện mặt ngửa B = (N) là các biến cố liên kết với phép thử 
Ví dụ 3 : Gieo một con xúc xắc đồng chất việc xuất hiện mặt trên trong phép thử là mặt i nào đó ( i = M1; M6). Không gian biến cố sơ cấp Ω = ( M1,M 2,M3,M4,M5,M6) 
3 ) Các loại biến cố 
Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xẩy ra theo phép thử . 
Ví dụ 4: Ω là biến cố chắc chắn 
Biến cố bất khả là biến cố không bao giờ xẩy ra . Kí hiệu Ø. 
Ví dụ 5 : Biến cố xuất hiện mặt M 7 trong ví dụ 3 là bất khả 
Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xẩy ra hoặc không xẩy ra 
Ví dụ : Biến cố xuất hiện mặt (S) hoặc (N) ví dụ 1, biến cố xuất hiện một mặt nào đó từ 2, đến 6 ví dụ 3 là các biến cố ngẫu nhiên . 
 4) Định nghĩa xác suất ( dạng cổ điển ) 
Xác suất của biến cố A là một số không âm . Kí hiệu P(A) biểu thị khả năng xẩy ra biến cố A và xác định như sau : 
( m là khả năng thuận lợi cho A, n là khả năng có thể khi thực hiện phép thử ) 
Ví dụ 6: 1) Tìm xác suất xuất hiện mặt sấp ( ví dụ 1) 
 2) Tìm xác suất xuất hiện mặt số chẵn ( ví dụ 3) 
 5) Định nghĩa xác suất theo hình học 
 Một phép thử có không gian các biến cố sơ cấp đồng khả năng Ω là một tập vô hạn không đếm được . A là biến cố bất kỳ được biểu diễn bằng một miền con của Ω 
( m số đo của miền A, n là số đo của Ω ) 
Ví dụ 7: Hai tàu thủy cùng đến một cầu cảng trả hàng . Thời gian chúng đến cảng là độc lập nhau trong 24 giờ . Hãy tính xác suất để chiếc nọ phải chờ chiềc kia để vào cầu cảng . Biết thời gian trả hàng của chiếc thứ nhất 2 giờ , chiếc thứ 2 4 giờ . 
 Giải : 
 Gọi x, y là thời điểm của tàu thứ nhất và thứ hai cập cảng Ω = {(x;y)|0≤ x ≤ 24; 0≤ y ≤ 24} 
Chiếc thứ nhất tới trước chiếc thứ hai đợi 
 Khi đó x≤ y ≤x+2 (*) 
b. Chiếc thứ hai đến trước ; 
Khi đó y ≤ x ≤ y+4 => x-4 ≤ y < x (**) 
E biến cố để chiếc nọ chờ chiếc kia được xác định (*) và (**) 
E={ ( x;y )| x≤ y ≤ x+2 ; x-4 ≤ y < x ; x=y } 
Ω =ABNO; E = HOKMB 
S( Ω )= 24 2 ; S(E) =24 2 -[(22 2 +20 2 ):2] 
P(E) =242 :{242-[(222+202):2]} 
H 
x 
y 
2 
4 
A 
B 
N 
O 
Y =x 
Y= x-4 
Y=x+2 
K 
M 
24 
24 
 6) Định nghĩa xác suất theo thống kê 
a) Tần suất của một phép thử : A là biến cố liên kết với phép thử . Lặp lại phép thử trong n lần thì có m lần luất hiện A. Khi đó f(A ) = được gọi là tần suất xẩy ra biến cố A 
 b) Định nghĩa : Tần suất của biến cố A trong một phép thử khi số lần thử càng lớn thi f(A ) = P(A) 
Ví dụ 8: Một xạ thủ bắn 1000 phát vào bia , trong đó có 800 phát trúng bia , A là biến cố bắn trúng bia . Vậy P(A) = 0,8 
 7) Mối quan hệ giữa các biến cố 
Quan hệ kéo theo : Biến cố A gọi là kéo theo biến cố Bvà ký hiệu là A B nếu và chỉ nếu A xẩy ra thì B xẩy ra 
Quan hệ tương đương , các biến cố A và B tường đương và ký hiệu A=B khi và chỉ chi A B và B A 
Tổng của hai biến cố : Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là A  B biến cố tổng xẩy ra khi và chỉ khi A xẩy ra hoặc B xẩy ra 
Tích của hai biến cố : Tích của hai biến cố A và B ký hiệu AB là một biến cố mà biến cố tích xẩy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xẩy ra . 
Biến cố xung khắc : A và B là hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu A B = Ø 
Hiệu hai biến cố là một biến cố kí hiệu A\ B là một biến cố sao cho khi biến cố hiệu xẩy ra thì A xẩy ra mà không có B. 
Biến cố đối lập A được gọi là biến cố đối lập của biến cố Akhi và chỉ khi 
 A xẩy ra thì A không xẩy ra và ngược lại . 
 8) Một số định lý về xác suất 
Định lý cộng xác suất :A và B là hai biến cố xung khắc đều là các biến cố liên kết của một phép thử khi đó ta có P(AU B) = P(A) + P(B) 
 Ví dụ 9: Một hộp có 10 viên đồng chất cùng kích thước và khối lượng , trong đó có 6 bi đỏ và 4bi xanh . Bốc ngẫu nhiên 2 viên . Tìm xác suất để hai viên cùng màu . 
Giải :Các khả năng có thể 
A là biến cố 2 viên màu đỏ , khả năng thuận lợi cho A là 
B là biến cố 2 viên màu xanh . Khả năng thuận lợi cho B là 
 Vậy P(AUB) =P(A)+P(B)= 
 Hệ quả : A là biến cố đối lập của biến cố A thì P( A ) = 1-P(A) 
Ví dụ 10: Trong một hộp đựng 20 sản phẩm , biết có 6 sản phẩm bị hỏng . Lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm . Tìm xác suất để có ít nhất một sản phẩm hỏng . 
* Gọi A là biến cố cả 5 sản phẩm đều tốt , A là biến cố ít nhất một sản phẩm hỏng trong 5 sản phẩm lất ra . Vậy 
P( A ) = 1- P(A)= 1- 
 b) Định lý nhân xác suất : 
Xác suất có điều kiện : Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện hiến cố B đã xẩy ra , được ký hiệu P(A/B), nó biểu thị khả năng xẩy ra biến cố A khi biến cố B đã xẩy ra 
- Số kết quả có thể có khi phép thử thực hiện là n 
- Số khả năng thuận lợi cho biến cố B là nB 
- Số khả năng thuận lợi cho cả A và M là nAB 
 P( A/B) = 
Ví dụ11:Một hộp có 4 bi đỏ ; 3 bi xanh , giả thiết chúng đều đồng chất , cùng khối lượng , hình dàng như nhau . Lấy lần lượt ra 2 viên . Tìm xác suất để viên thứ 2 là bi đỏ , biết viên thứ nhất cũng là bi đỏ . 
Giải : 
Ai là biến cố viên lấy thứ i là bi đỏ ( i=1,2). 
Xác suất để viên thứ 2 bi đỏ là 
P( A2/A1) = 
 Gọi A sinh viên được chọn là nữ ; 
Gọi B sinh viên chọn ra thuộc nhóm 2. Ta có 
P(A) = ; P(A/B)= ; P(A) 
Ví dụ 12: Chia một lớp sinh viên đi thực tập . Nhóm 1 có 30 sinh viên trong đó có 10 nữ , nhóm 2 có 25 sinh viên trong đó có 10 nữ , nhóm 3 có 25 sinh viên trong đó có 8 nữ . Chọn ngẫu nhiên trong lớp ta một sinh viên . 
2) Hai biến cố độc lập : 
A và B độc lập nếu P(A/B)=P(A) hoặc P(B/A) = P(B) 
Ví dụ13: Hai xạ thủ cùng thi bắn trúng bia . Mỗi người bắn 3 viên tính điểm . Các biến cố A xạ thủ 1 nhiều điểm nhất , B xạ thủ 2 nhiều điểm nhất là độc lập . 
 * Tính chất của xác suất có điều kiện 
1)0≤ P(A/B)≤1 
2) P(B/B) = 1 
3) Nếu AC =Ø thì P( A C/B) =P(A/B) +P(C/B) 
4) P( A/B) = 1- P(A/B) 
* Công thức nhân xác suất : 
P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) 
Ví dụ 14:Một hộp đựng sản phẩm , biết có 6 chính phẩm , 4 phế phẩm . Lần thứ nhất lấy ra 1 sản phẩm nếu là chính phẩm thì trả lạivà thêm vào 3 chính phẩm . Lần thứ 2 lấy ra 1 sản phẩm.Tìm xác suất để 2 sản phẩm lấy ra trong hai lần là chính phẩm . 
Gọi A i là biến cố lấy ra lấn thứ nhất là chính phẩm ( i = 1,2) 
A là biến cố cà hai lần lấy đều là chính phẩm . Khi đó A = A 1 .A 2 . Vậy P(A)= P(A 1 .A 2 ) = P(A1) .P(A2/A1)= 
 * Công thức nhân mở rộng : Các biến cố A 1 ,A 2 ,,A n là các biến cố liên kết trong một phép thử . Khi đó P( A. A 2 . A n ) =P(A 1 ).P(A 2 /A 1 )(PA n /A 1 , A 2 , A n-1 ) 
 Ví dụ 15: Một hộp đựng các sản phẩm có 4 chính phẩm và 2 phế phẩm . Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm không bỏ lại để kiểm tra cho tới khi hết 2 phế phẩm thì thôi.Tìm xác suất : 
a.Việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra sản phẩm thứ 2 
b.Việc kiểm tra dừng lại ở sản phẩm thứ 3. 
 Giải : Gọi A i là là biến cố kiểm tra lần thứ i là phế phẩm ; 
Khi đó Ai là biến cố đối lập với Ai (i= 1,2,3). A biến cố kiểm tra dừng lại sau hai lần kiểm tra 
a)A = A 1 .A 2 ; P(A) = P(A1).P(A2)=P(A1) . P(A2/A1)= = 2/6.1/5=1/15 
b) Gọi B là biến cố kiểm tra dừng lại ở kiểm tra sản phẩm thứ 3. Khi đó B = (A1. A2.A3) (  A1.A2.A3). Ta có các biến cố (A1. A2.A3) , (  A1.A2.A3) là xung khắc nên 
P(B) = P ( A1. A2.A3) (  A1.A2.A3)=P (A1. A2.A3) + P(  A1.A2.A3) 
 * P ( A 1 . A 2 .A 3 ) =P(A 1 ).P(A 2 /A 1 ).P(A 3 /A 1 ,A 2 ) = 
* P(  A 1 .A 2 .A 3 ) = 
 Vậy P(B) = 
9)Công thức xác suất toàn phần và định lý Bayses 
A- Công thức xác suất toàn phần : Giả sử B 1 ,B 2 , B n là một nhóm đầy đủ các biến cố . Biến cố A xẩy ra khi và chỉ khi các biến cố B 1 ,B 2 , B n xẩy ra . Nói cách khác A xẩy ra thì một biến cố Bi nào đó xẩy ra . Khi đó : 
P(a ) = 
 B- Công thức Bayes : 
Ví dụ 16: Ba hộp đựng các sản phẩm hoàn toàn giống nhau về hình thức . 
Hộp1đựng 4 chính phẩm , 2 phế phẩm ; hộp 2 đựng 3 chính phẩm , 3phế phẩm ; hộp 3 đựng 5 chính phẩm , 1 phế phẩm . 
Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ra một sản phẩm.Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là chính phẩm . 
 Giải : Gọi Ai là biến cố hộp thứ i lấy ra ( i = 1,3) 
P(A1) = ; P(A2) = ; P(A3) = 
 Các biến cố A1, A2, A3 tạo nên hệ đầy đủ 
Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra là chính phẩm 
P(A) = P(A 1 ).P(A/A1)+P(A 2 ).P(A/A2)+P(A 3 ).P(A/A3)= 
= 
 Ví dụ 17:Một cửa hàng bán bóng đèn cùng loại , nhận sản phẩm của 3 cơ sở sản xuất khác nhau : Cơ sở 1 cung cấp 40%, cơ sở 2 cung cấp 35%, cơ sở 3 cung cấp 25%. Biết tỷ lệ bóng hỏng do các cơ sở 1,2,3 sản xuất hỏng tương ứng là2%,,2%,3%. Ta mua ngẫu nhiên một bóng đèn của cửa hàng : 
Tìm xác suất để bóng ta mua bị hỏng ; 
 Giả sử bóng ta mua bị hỏng . Hỏi bóng ta đã mua khả năng của cơ sở sản xuất nào là nhiều nhất ? 
 Giải : a) Gọi Ai là bóng đèn mua thuộc cơ sở I sản xuất ( I = 1;2,3) 
Các Ai lập thành một hệ đầy đủ . P(A1) = 0,4; P(A2)= 0,35; P(A3)=0,25 
Gọi A là bóng đèn bị hỏng . Áp dụng công thức toàn phần : 
P(A) = P(A 1 ).P(A/A 1 )+P(A 2 ).P(A/A 2 )+P(A 3 ).P(A/A 3 ) 
=0,4.0,2 + 0,35.0,2 + 0,25.0,3 = 0,0225 
 Giải : b) Giả sử bóng ta mua bị hỏng để tìm khả năng bóng hỏng thuộc về cơ sở nào ta áp dụng công thức Bayes , xác định xác suất bóng đèm hỏng của các cơ sở sán xuất trong cửa hàng là : 
P(A1/A)= = 
P(A2/A) = 
P(A3/A) = 
Vậy khả năng của cơ sở 1 là nhiều nhất . 
 C- Các phép thử độc lập và công thức Bernoulli 
1. Định nghĩa : Tiến hành n phép thử độc lập là kết quả của phép thử này không ảnh hưởng gì đến kết quả của phép thử kia gọi là n phép thử Bernoulli( hoặc lược đồ Bernulli ) nếu thỏa mãn hai điều kiện sau : 
a) Mọi phép thử có hai kết quả : A và A 
b) P(A) = p; P(A) như nhau với mọi phép thử . 
Ví dụ : Gieo đồng xu 10 lần là 10 phép thử Bernoulli 
Một người bắn 5 viên đạn ( bắn viên một ) là 5 phép thử Bernoulli. 
 2. Tần số xuất hiện biến cố . 
Tìm xác suất để trong n phép thử Bernoulli biến cố A xuất hiện m lần . Kí hiệu P( m,p )= 
3. Số có khả năng nhất : 
Ví dụ 18 :Ta gieo đồng xu có 2 A = ( S,N), A = ( xuất hiện S); P(A) = . Số mặt sấp xuất hiện từ 0 đến 5 tương ứng với xác suất . Trong 6 khả năng trên trong 5 lần gieo thì khả năng lớn nhất là ? Áp dụng công thức : P n (m 0 , P) = max 0 ≤ m ≤ n P n (m 0 ,P) 
 m 0 = [np+p-1]+1 ([x] hàm phần nguyên 
 Ví dụ 19: Gieo đồng xu ( ví dụ 18) tìm khả năng xuất hiện nhiều nhất trong 5 lấn gieo 
M 0 = [5.0,5+0,5-1]+1 => Khả năng nhất 2 đến 3 lần 
 Ví dụ 20 : Một xạ thủ bắn vào bia liên tục 10 phát . Tìm xác suất để anh ta bắn trúng 6 phát , biết xác suất trúng bia của anh ta là 0,8. 
Giải : Bắn 10 phát độc lập nên theo lược đồ Bernulli ta có 
P(6,0,8)= 
 Ví dụ 19: Cho biết xác suất khách vào một cửa hiệu có mua hàng là 0,3. Có 20 người vừa vào cửa hiệu. Hỏi khả năng số người mua nhiều nhất ? 
 Giải : Cửa hiệu có 20 khách vào là 20 phép thử Bernoulli 
 Gọi số người mua có khả năng nhất là m 
 m=[20.0,3+0,3-1]+1 => 6 người mua hàng 
 Ví dụ 20 : Một công nhân quản lý 6 máy dệt . Biết trong thời gian T thì xác suất để máy phải chăm sóc là 0,3. Tìm xác suất để trong thời gian T : 
Có đúng 4 máy phải chăm sóc ; 
 Có ít nhất 4 máy phải chăm sóc 
 Giải : Bài toán thỏa mãn điều kiện Bernoulli với n =6 ; p = 0,3; 
P(4,0.3)= 
P(4≤ k≤ 6) =