Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên - Phan Trung Hiếu

9/30/2019
1
LOG
O
Chương 2:
BIẾN NGẪU NHIÊN
Giảng viên: Phan Trung Hiếu
2
Biến ngẫu nhiên là một đại lượng thay đổi với
xác suất lấy các giá trị thay đổi tùy theo kết
quả của phép thử.
I. Định nghĩa:
Ký hiệu:
 X, Y, Z, ...: Biến ngẫu nhiên.
 x, y, z, ...: Giá trị của biến ngẫu nhiên.
Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là số
chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc.
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3
II. Biến ngẫu nhiên rời rạc:
Là BNN mà các giá trị có thể nhận được của
nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được (có thể
liệt kê được các giá trị của nó).
Ví dụ 2:
 Gieo 10 hạt đậu. Gọi X là số hạt nảy mầm
X = 
 Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi X là số phế
phẩm có trong 3 sản phẩm X = 
{0, 1, 2, ..., 10}.
{0, 1, 2, 3}.
4
 Tung 1 đồng xu đến khi xuất hiện mặt sấp thì
ngưng. Gọi X là số lần tung X = 
2.1. Bảng phân phối xác suất:
Ký hiệu: X :ix BNN X nhận giá trị .ix
P(X ) :i ip x Xác suất để X nhận giá trị .ix
Giả sử 1 2 1 2X , ,..., ( ... ).n nx x x x x x 
Bảng phân phối xác suất của X:
{1, 2, 3, 4, ...}
X
P
5
Tính chất:

0 1, 1,2,..., .ip i n 
1 2 ... 1.np p p 
  1 2
1 2
P(X ) P (X ) (X ) ... (X )
P(X ) P(X ) ... P(X ).
i i
i
x x x x
x x x
 P( ) P( ).
i
i
a x b
a X b X x
 
P( ) P( ).
i
i
a x b
a X b X x
 
P( ) P( ).
i
i
a x b
a X b X x
 
P( ) P( ).
i
i
a x b
a X b X x 
6
Ví dụ 3: Số lượng ôtô nhãn hiệu A được bán ra 
trong một ngày có bảng phân phối xác suất
Số lượng 
(chiếc)
1 2 3 4 5 6
P 0,18 0,39 0,24 0,14 0,04 0,01
Tính xác suất:
a) Bán được 2 chiếc. 
b) Xe bán được không quá 4 chiếc. 
c) Xe bán được nhiều hơn 4 chiếc. 
9/30/2019
2
7
Ví dụ 4: Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy
ngẫu nhiên ra 2 bi. Gọi X là số bi xanh trong 2
bi lấy ra.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
b) Tính
c) Tính
Giải
X: số bi xanh trong 2 bi lấy ra
X =
P(0 X 2), P(0 X 2), P(0 X 2). 
P(X 1), P(X 1). 
a)
{0, 1, 2}. 
8
P(X 0) 
Bảng phân phối xác suất của X:
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
2
0
2
4
1
2 .
15
C
C
2
10
1
6
1
4 8 .
15
C C
C
2
10
2
6 1 .
3
C
C
P(X 1) 
P(X 2) 
9
Ví dụ 5: Trong ngày hội thi, mỗi công nhân dự
thi sẽ sản xuất lần lượt 2 sản phẩm. Mỗi sản
phẩm loại A sẽ được thưởng 10 ngàn đồng, mỗi
sản phẩm không là loại A sẽ bị phạt 2 ngàn
đồng. Giả sử một công nhân tham gia dự thi có
khả năng sản xuất được sản phẩm loại A mỗi
lần là 30%. Lập bảng phân phối xác suất số tiền
mà công nhân này thu được.
10
2.2. Hàm mật độ (xác suất):
Cho bảng phân phối xác suất của X:
Khi đó, hàm mật độ của X:
khi
( )
0 khi ,
i i
i
p x x
f x
x x i
  
X
P
11
Tính chất:

( ) 0, .f x x  
1 2( ) ( ) ... ( ) 1.nf x f x f x 
 P(X ) ( ).i ix f x 
Ví dụ 6: Cho bảng phân phối xác suất
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
Tìm hàm mật độ của X. 
12
Giải
( )f x 
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
2 khi 0
15
8 khi 1
15
1 khi 2
3
0 khi 0,1,2.
x
x
x
x
2 khi 0
15
x 
8 i
15
x
1 khi 2
3
x 
 0 khi 0,1,2 .x 
9/30/2019
3
13
III. Biến ngẫu nhiên liên tục:
Là BNN mà các giá trị có thể nhận được của nó
có thể lấp kín cả một khoảng trên trục số
(không thể liệt kê các giá trị của nó).
Ví dụ 7:
 Nhiệt độ trong ngày ở TP.HCM.
 Thời gian chờ xe buýt tại trạm.
 Lượng mưa trong 1 năm ở TP.HCM.
14
Nhận xét:
 Khi X là BNN liên tục thì X có thể lấy vô số
giá trị nên ta không thể lập bảng phân phối xác
suất cho nó.
 Thay cho việc liệt kê các giá trị của X, ta chỉ
ra đoạn [a;b] mà X nhận giá trị ở đoạn đó.
 Thay cho các xác suất, ta đưa ra khái niệm
sau:
15
Hàm mật độ (xác suất):
f(x) là hàm mật độ của BNN liên tục X nếu nó
thỏa 2 điều kiện sau:
( ) 0,
( ) 1
f x x
f x dx
  
16
Định lý:
P( X ) ( )
b
a
a b f x dx 
Hệ quả: Nếu X là BNN liên tục thì ta có
P(X ) P( X ) ( ) 0.
a
a
a a a f x dx 
P( X ) P( X )a b a b 
P( X )a b 
P( X ).a b 
17
Ví dụ 8: Cho X là BNN có hàm mật độ là
2 , [1,2]( )
0, [1, 2]
k x
f x x
x
 a) Tìm k.
b) Tính 
c) Tính 
3P 0 X .
2
3P X .
2
d) Tính 3P X .
2
18
Giải
a) Ta có:
( )f x dx
1
( )f x dx
2
1
( )f x dx 
2
( )f x dx
1 
2
k
x
2
0 0
2
2
1
0 0k dx
x
2
1
1k
x
1 1 .
2 2
kk
9/30/2019
4
19
Vì f(x) là hàm mật độ nên
( ) 0,
( ) 1
f x x
f x dx
  
 2 0, 1,2
1
2
k x
x
k
  
0
2
k
k
2.k 
20
IV. Hàm phân phối (tích lũy):
4.1. Định nghĩa:
Hàm phân phối của BNN X, ký hiệu là F(x), 
là hàm được xác định như sau
( ) P(X ) .F x x x  
21
X rời rạc X liên tục
1
1 1 2
1 2 2 3
1 2 1
0 ,
,
,
( ) ....
... ,
....
1 ,
k k k
n
x x
p x x x
p p x x x
F x
p p p x x x
x x
có hàm mật độ
f(x) thì
( ) ( )
x
F x f t dt
22
4.2. Tính chất:
 0 ( ) 1, .F x x  
 lim ( ) 0; lim ( ) 1.
x x
F x F x
 F là hàm tăng, tức là 1 2 1 2( ) ( ).x x F x F x 
4.3. Ứng dụng của hàm phân phối:
 Dùng để tính:
 P X
P( X )
b
a b
( )
( ) - ( )
F b
F b F a
F(x) liên tục bên trái, nghĩa là
lim ( ) ( ).
o
o
x x
F x F x
23
 Dùng để tìm hàm mật độ f(x) khi X liên tục:
( )f x ( ) F x
Ví dụ 9: Cho X là BNN có bảng PPXS sau
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
Tìm hàm phân phối.
24
Giải
0 khi 0
2 khi 0 1
15
2 8 10 khi 1 2
15 15 15
1 khi 
( )
 2.
F
x
x
x
x
x
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
x
0 khi 0x 
2
15
khi 0 1x 
2 8 10
15 15 15
 khi 1 2x 
i . 
x x x
9/30/2019
5
25
Ví dụ 10: Tuổi thọ X (giờ) của một thiết bị có hàm
mật độ xác suất
a) Tìm hàm phân phối.
b) Thiết bị được gọi là loại A nếu tuổi thọ của
nó kéo dài ít nhất 400 giờ. Tính tỉ lệ thiết bị
loại A.
c) Tính tỉ lệ thiết bị có tuổi thọ từ 90 giờ đến
200 giờ. 
2
0 khi 100
( ) 100 khi 100
x
f x
x
x
26
Giải
a) Ta có 
( ) ( )
x
F x f t dt
Khi 100 : x ( )F x 
Khi 100 : x
( )F x 
100 
0
x x
0 0.
x
dt
100
0dt
 2
100
100x dt
t
2
100
t
100
100 100 1001 1 .
t x
tt x x
Vậy
0 khi 100
( ) 1001 khi 100
x
F x
x
x
27
b)
P(X 400) 1 P(X 400) 
1 (400)F 
1001 1 0, 25 25%.
400
c)
P(90 X 200) (200) (90)F F 
1001 0 0,5 50%.
200
V. Các tham số đặc trưng:
28
5.1. Mode (Giá trị tin chắc nhất): Mod(X) là 
giá trị của X mà tại đó xác suất lớn nhất.
X rời rạc X liên tục
có hàm mật độ f(x) thì
Mod(X) P(X ) maxi ix x 
Chú ý: Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác
nhau.
Mod(X) ( ) maxi ix f x 
29
Ví dụ 11: Ba xạ thủ độc lập bắn vào một mục
tiêu. Mỗi xạ thủ bắn 1 viên đạn. Gọi X là số
viên trúng. Ta có bảng phân phối xác suất của
X như sau
X 0 1 2 3
P 0,024 0,188 0,452 0,336
Tìm số viên trúng tin chắc nhất. 
Giải
Mod(X) 
Vì max 0,024; 0,188, 0,452, 0,336 
tại 2x nên 
0,452
2
30
Ví dụ 12: Cho X là BNN có hàm mật độ
Tìm Mod(X).
Giải
3 (2 ) khi [0, 2]
( ) .4
0 khi [0, 2]
x x x
f x
x
Với thì [0,2]x 
3( ) (2 )
4
f x x x 
3( ) (1 )
2
f x x 
9/30/2019
6
31
3( ) 0 (1 ) 0 1
2
f x x x 
[0,2]
3 3(1) , (0) (2) 0 max ( ) (1)
4 4x
f f f f x f
Mà ( ) 0, [0,2].f x x  Vậy: 
Mod(X) 1. 
32
5.2. Median (Trung vị): là điểm chia đôi 
phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
Chú ý: Med(X) có thể nhận nhiều giá trị khác
nhau.
X rời rạc X liên tục
1
1Med(X) ( ) ( )
2i i i
x F x F x Med(X) ( ) 0,5
ix
ix f x dx
33
Ví dụ 13: Cho X là BNN có bảng PPXS sau
X -1 0 1 2
P 0,25 0,15 0,3 0,3
Tìm Med(X). Giải
0 khi 0
2 khi 0 1
15
2 8 10 khi 1 2
15 15 15
1 khi 
( )
 2.
F
x
x
x
x
x
0 khi 1x 
0,25 khi 1 0x 
khi 1 2x 
1 khi 2.x 
0,4 khi 0 1x 
0,7
34
Ta có:
(1) 0, 4 0,5
(1) 0,5 (2)
(2) 0,7 0,5
F
F F
F
 
 
 
Med(X) 1. 
35
5.3. Kì vọng (Expectation):
X rời rạc X liên tục
có hàm mật độ f(x) thì
1 1 2 2
1
E(X) ... n n
n
i i
i
x p x p x p
x p
 
E(X) ( )xf x dx
E(X) X
36
Tính chất:



E( ) , : .k k k const 
E( X Y ) E(X) E(Y) ; , , : .a b c a b c a b c const 
E(XY) E(X).E(Y) nếu X và Y độc lập.
 Nếu thì
1
( )
E(Y)
( ) ( )
n
i i
i
x p
x f x dx

Y (X) 
nếu X rời rạc.
nếu X liên tục.
9/30/2019
7
37
Ý nghĩa của kì vọng:
- E(X) là giá trị trung bình (theo xác suất) mà
X nhận được, nó phản ánh giá trị trung tâm của
phân phối xác suất của X.
-Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh nếu cần
chọn phương án cho năng suất hay lợi nhuận
cao, người ta chọn phương án sao cho năng
suất kì vọng hay lợi nhuận kì vọng cao.
38
Ví dụ 14: Một hộp đựng 10 quả cầu giống nhau nhưng
khác nhau về trọng lượng: 5 quả nặng 1kg, 2 quả nặng
2kg, 3 quả nặng 3kg. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 quả.
Tìm trọng lượng trung bình của một quả cầu.
Giải
Gọi X(kg) là trọng lượng của quả cầu lấy ra.
 X 1,2,3 . 
5P(X 1) 0,5.
10
2P(X 2) 0, 2.
10
3P(X 3) 0,3.
10
X 1 2 3
P 0,5 0,2 0,3
E(X) 1.0,5 2.0, 2 3.0,3
1,8( ).kg
39
Ví dụ 15: (Trò chơi đề) Trong 100 số đề sẽ chỉ có 1 số
thắng, 99 số thua. Thắng thì được 70 lần tiền đặt cọc.
Thua thì mất tiền đặt cọc. Người chơi chọn 1 số đề. Có
nên chơi trò này nhiều lần không ?
40
Ví dụ 16: Gọi X(năm) là tuổi thọ của một thiết 
bị với hàm mật độ
2
2 khi [1, 2]
( )
0 khi [1, 2]
x
f x x
x
a) Tính tuổi thọ trung bình của mỗi thiết bị.
b) Tìm kì vọng của 5 2Y X .
X
41
Giải
a)
2
2
1
1
2E(X) ( ) 2 ln | | 2 ln 2.xf x dx dx x
x
b)
2
5 5
2
1
2 2 2E(Y) ( ) 6.x f x dx x dx
x x x
1,3863 (năm)
42
5.4. Phương sai (Variance):
X rời rạc X liên tục
có hàm mật độ f(x) thì
2 2 2 2
1 1 2 2
2
1
E(X ) ... n n
n
i i
i
x p x p x p
x p
 
2 2E(X ) ( )x f x dx
2Var(X) X
 22Var(X) E(X ) E(X) 
9/30/2019
8
43
Tính chất:



Var( ) 0, : .k k const 
2Var( X) Var(X), : .k k k const 
Var(X ) Var(X), : .k k const 
nếu X và Y độc lập.Var(X Y) Var(X) Var(Y) 
44
Ý nghĩa của phương sai:
-Do 2Var(X) E X E(X) nên phương sai là trung bình của
bình phương độ lệch giữa giá trị X so với E(X). 
-Dùng để đo mức độ phân tán quanh kỳ vọng. Nghĩa là:
phương sai nhỏ thì độ phân tán nhỏ nên độ tập trung lớn
và ngược lại.
-Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của
thiết bị.
-Trong kinh doanh, phương sai đặc trưng cho độ rủi ro
của các quyết định.
-Trong trồng trọt, phương sai đặc trưng cho độ ổn định
của năng suất.
45
5.5. Độ lệch chuẩn: ( ) XX 
2
X XVar(X)  
Ví dụ 17: Năng suất của 2 máy tương ứng là 
các biến ngẫu nhiên X, Y (sản phẩm/phút) có 
phân phối xác suất
Nếu phải chọn mua một trong hai máy này, ta
nên chọn mua máy nào?
X 1 2 3 4
P 0,3 0,1 0,5 0,1
Y 1 3 4 5
P 0,55 0,05 0,3 0,1
Giải
-Xét năng suất trung bình của mỗi máy:
E(X) 1 0,3 2 0,1 3 0,5 4 0,1 2,4 
E(Y) 1 0,55 3 0,05 4 0,3 5 0,1 2,4 
E(X) E(Y). 
-Xét độ ổn định của mỗi máy:
2 2 2 2 2E(X ) 1 0,3 2 0,1 3 0,5 4 0,1 6,8 
2 2 2 2 2E(Y ) 1 0,55 3 0,05 4 0,3 5 0,1 8,3 
 22Var(X) E(X ) E(X) 1,04. 
 22Var(Y) E(Y ) E(Y) 2,54. 
Var(Y) Var(X) , nghĩa là năng suất của X ổn định
hơn của Y. Vậy, chọn máy X.
47
Ví dụ 16: Trọng lượng X(kg) của một loại sản 
phẩm là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ:
Tính trọng lượng trung bình và độ lệch tiêu
chuẩn của X.
23 ( 1) khi [2,3]
( ) 16
0 khi [2,3]
x x
f x
x
48
Giải
3
2
2
3E(X) ( ) ( 1) 2,5781( ).
16
xf x dx x x dx kg
3
2 2 2 2
2
3E(X ) ( ) ( 1) 6,725.
16
x f x dx x x dx
 22 2Var(X) E(X ) E(X) 0,0784 ( ).kg 
(X) Var(X) 0, 28 ( ).kg 
9/30/2019
9
49
VI. Định nghĩa BNN n chiều:
Biến ngẫu nhiên n chiều là một bộ gồm n biến
ngẫu nhiên.
Ký hiệu: 
1 2 3V (X ,X ,X ,...,X )n 
trong đó là các BNN. 1 2 3X ,X ,X ,...,Xn
Ví dụ 17:
V = (X,Y): biến ngẫu nhiên 2 chiều. 
V = (X, Y, Z): biến ngẫu nhiên 3 chiều. 
50
Ví dụ 18: Một máy sản xuất một loại sản
phẩm. Nếu kích thước của sản phẩm được đo
bằng chiều dài X và chiều rộng Y, thì ta có
biến ngẫu nhiên 2 chiều: V = (X, Y). Nếu tính
thêm cả chiều cao Z nữa thì ta có biến ngẫu
nhiên 3 chiều: W = (X, Y, Z).
Ví dụ 19: Xét một công ty tư nhân với hai chỉ
tiêu là doanh thu và chi phí quảng cáo. Gọi
X là doanh thu và Y là chi phí quảng cáo thì
V = (X, Y) tạo nên một biến ngẫu nhiên 2
chiều.
51
Chú ý:
1 2 3X ,X ,X ,...,Xn-Nếu tất cả đều là BNN rời rạc 
thì là BNN rời rạc. 1 2 3V (X ,X ,X ,...,X )n 
1 2 3X ,X ,X ,...,Xn-Nếu tất cả đều là BNN liên tục 
thì là BNN liên tục. 1 2 3V (X ,X ,X ,...,X )n 
-Ta không xét trường hợp vừa có thành phần rời
rạc vừa có thành phần liên tục.
52
VII. BNN 2 chiều rời rạc: 
7.1. Bảng phân phối xác suất của V = (X,Y)
(Bảng phân phối xác suất đồng thời của X
và Y):
Giả sử 1 2 1 2X , ,..., ( ... )n nx x x x x x 
 1 2 1 2Y , ,..., ( ... )n ny y y y y y 
Bảng phân phối xác suất của đồng thời của X và Y:
53
Y
X y1 y2 y3  yn
x1 p11 p12 p13  p1n
x2 p21 p22 p23 ... p2n
x3 p31 p32 p33 ... p3n
...
xm pm1 pm2 pm3 ... pmn
    
trong đó P X ,Y :ij i jp x y Xác suất để 
X=xi và Y=yj 54
Chú ý:
 X và Y độc lập khi và chỉ khi 
P(X , Y ) P(X ) P(Y )i j i jx y x y .
,i j

1 1
1.
m n
ij
i j
p
 
9/30/2019
10
55
7.2. Hàm mật độ đồng thời của V=(X,Y):
Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của
V=(X,Y). Khi đó, hàm mật độ đồng thời là:
khi ( , ) ( , )
( , )
0 khi ( , ) ( , ), ,
ij i j
i j
p x y x y
f x y
x y x y i j
  
56
Ví dụ 20: Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập có 
bảng phân phối xác suất như sau
X 1 2 3
P 1/4 1/3 5/12
Y -2 -1
P 1/3 2/3
a) Hãy lập bảng phân phối đồng thời của X và Y.
b) Tính xác suất P(X > Y+3).
57
Giải
Do X và Y độc lập nên
P(X 1, Y 2) 
P(X 1, Y 1) 
P(X 2,Y 2) 
X
Y
1
2
3
-2 -1
p11 p12
p21
X
P 1/4 1/3 5/12
Y
P 1/3 2/3
1 2 3
-2 -1
1 1 1P(X 1).P(Y 2)
4 3 12
  
1 2 1P(X 1).P(Y 1)
4 3 6
  
1 1 1P(X 2).P(Y 2)
3 3 9
  
a)
58
P(X 2,Y 1) 
P(X 3,Y 2) 
P(X 3, Y 1) 
X
Y
1
2
3
-2 -1
p11 p12
p21 p22
p31 p32
X
P 1/4 1/3 5/12
Y
P 1/3 2/3
1 2 3
-2 -1
1 2 2P(X 2).P(Y 1)
3 3 9
  
5 1 5P(X 3).P(Y 2)
12 3 36
  
5 2 5P(X 3).P(Y 1)
12 3 18
  
59
Y
X -2 -1
1 1/12 1/6
2 1/9 2/9
3 5/36 5/18
b) P(X > Y+3)=
=1/9 + 5/36 + 5/18
=19/36.
P(X=2,Y=-2) + P(X=3,Y=-2) 
+ P(X=3,Y=-1)
60
7.3. Bảng phân phối lề (phân phối biên) của X,
của Y:
Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của
V=(X,Y). Khi đó, để lâp bảng phân phối của
X, của Y như sau:
Bước 1: Nhìn vào bảng phân phối của V, ta sẽ
biết được các giá trị mà X, Y nhận được.
Bước 2: Tính các xác suất tương ứng.
9/30/2019
11
61
Y
X y1 y2 y3  yn
x1 p11 p12 p13  p1n
x2 p21 p22 p23 ... p2n
x3 p31 p32 p33 ... p3n
...
xm pm1 pm2 pm3 ... pmn
PX
p1
p2
p3
pm
    
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + +
=
=

PY p1 p2 p3  pn
+
+
+ + + +
+++
| |
+ +
| | | | | || |
+
62
Ví dụ 21: Cho bảng phân phối xác suất đồng 
thời của V=(X,Y) như sau
Y
X 0 1
-1 0,1 0,06
0 0,3 0,18
1 0,2 0,16
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, của Y?
b) Tính P(X 0,Y 0). 
63
Giải
Y
X 0 1
-1 0,1 0,06
0 0,3 0,18
1 0,2 0,16
X -1 0 1
PX
Y 0 1
PY
a) Bảng phân phối xác suất của X, của Y:
PX
PY
0,16
0,16
0,48
0,48 0,36
0,36
0,6
0,6
0,4
0,4
64
Y
X 0 1
-1 0,1 0,06
0 0,3 0,18
1 0,2 0,16
b) Tính P(X 0,Y 0) 
P(X 0,Y 0) 
 P (X 0,Y 1) (X 1,Y 1) 
P(X 0,Y 1) P(X 1,Y 1) 
0,18 0,16 0,34. 
65
7.4. Phân phối có điều kiện:
P(X | Y):Xác suất để X xảy ra khi biết Y đã xảy ra.
P(X , Y )
P(X | )
P( )
P(X , Y )
P(Y | )
P( )
i j
i
i j
j
x y
x
x y
y
Y
Y
X
X
j
j
i
i
y
y
x
x
66
Bảng phân phối có điều kiện của X khi Y=yj:
X x1  xm
P(X |Y=yj) P(X=x1|Y=yj)  P(X=xm|Y=yj)
Bảng phân phối có điều kiện của Y khi X=xi:
Y y1  yn
P(Y | X=xi) P(Y=y1|X=xi)  P(Y=yn|X=xi)
9/30/2019
12
67
Ví dụ 22: Một hộp có 3 bi đỏ, 4 bi trắng và 5 bi
vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 quả từ hộp. Gọi X, Y
lần lượt là số bi đỏ, số bi vàng có trong 3 bi được
chọn.
a) Lập bảng phân phối đồng thời của X và Y.
b) Tìm các phân phối biên của X và của Y.
c) Tìm phân phối của số bi đỏ biết số bi vàng đã
chọn được là 1.
VIII. BNN 2 chiều liên tục: 
Sinh viên tự nghiên cứu.

68
IX. Hàm của các BNN: 
69
9.1. Trường hợp 1 chiều Y = f(X): 
2Y X - 3X 2 Ví dụ: là một hàm theo BNN X.
Bảng phân phối xác suất của Y = f(X):
Cho bảng phân phối xác suất của X
X x1 x2  xn
P p1 p2  pn
Cần tìm bảng phân phối xác suất của Y = f(X)?
70
Bước 1: Tìm các giá trị cho Y:
X x1 x2  xn
Y=f(X) y1=f(x1) y2=f(x2)  yn=f(xn)
Bước 2: Tính xác suất tương ứng cho Y:
( )
P(Y ) P(X )
i i
i i
f x y
y x
 
71
Ví dụ 23: Cho biến ngẫu nhiên X có bảng
phân phối xác suất như sau
X -1 0 1 2
P 0,1 0,2 0,3 0,4
Hãy lập bảng phân phối xác suất của 
2Y X - 2X 3. 
72
Giải
X -1 0 1 2
2Y X - 2X 3 
P(Y 2) 
P(X 0) P(X 2) 
P(X 1) 
P(X 1) 
P(Y 3) 
P(Y 6) 
X -1 0 1 2
P 0,1 0,2 0,3 0,4
0,2 0, 4 0,6 
6 3 2 3
0,3
0,1
Y {2,3,6}. 
Vậy, bảng PPXS của Y là Y 2 3 6P 0,3 0,6 0,1
9/30/2019
13
73
Ví dụ 24: Theo tài liệu thống kê về tai nạn
giao thông ở một thành phố, người ta thấy xác
suất một xe máy bị tai nạn trong 1 năm là
0,0045. Một công ty bảo hiểm đề nghị tất cả
các chủ xe phải mua bảo hiểm xe máy với số
tiền là 50.000 đồng/xe/năm và số tiền bảo
hiểm trung bình cho 1 vụ tai nạn xe máy là 5
triệu đồng. Biết chi phí quản lý bảo hiểm
chiếm 25% số tiền bán bảo hiểm. Hãy tính lợi
nhuận mà công ty bảo hiểm kỳ vọng thu được
đối với mỗi hợp đồng bảo hiểm.
74
9.2. Trường hợp 2 chiều Z = f(X,Y): 
2Z X - 3XY 2Y Ví dụ: là một hàm theo hai 
biến ngẫu nhiên X và Y.
Bảng phân phối xác suất của Z = f(X,Y):
Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y.
Cần tìm bảng phân phối xác suất của Z= f(X,Y)?
75
Bước 1: Tìm các giá trị cho Z:
Bước 2: Tính xác suất tương ứng cho Z:
( , )
P(Z ) P(X , Y )
i j k
k i j
f x y z
z x y
 
76
Ví dụ 25: Cho bảng phân phối xác suất đồng
thời của X và Y
Y
X -1 0 1
0 0,1 0,2 0,3
1 0,2 0,1 0,1
Tìm bảng phân phối xác suất của
Z X - Y 1. 
77
Giải Z X - Y 1 
Z Y
X -1 0 1
0
1
2 1 0
3 2 1
P(Z 0) 
P(Z 1) 
P(Z 2) 
P(X 0,Y 1) 
Y
X -1 0 1
0 0,1 0,2 0,3
1 0,2 0,1 0,1
0,3
P(X 0,Y 0) P(X 1, Y 1) 
0,2 0,1 0,3 
P(X 0,Y 1) P(X 1, Y 0) 
0,1 0,1 0,2 
Z {0,1, 2,3}. 
P(Z 3) P(X 1, Y 1) 0,2
78
Giải
Z 0 1 2 3
P 0,3 0,3 0,2 0,2
Vậy, bảng PPXS của Z là
9/30/2019
14
X. Các tham số đặc trưng: 
79
10.1. Kì vọng của biến ngẫu nhiên 2 chiều:
Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều V=(X,Y). Kì vọng
của V là
 2E(V) E(X),E(Y) 
10.2. Kì vọng của hàm 1 biến ngẫu nhiên
Y=f(X) với X rời rạc :
E(Y) E( (X)) ( )i i
i
f f x p 
V. Các tham số đặc trưng: 
80
10.3. Kì vọng của hàm 2 biến ngẫu nhiên
Z=f(X,Y) với (X,Y) rời rạc:
1 1
E(Z) E( (X,Y)) ( , )
m n
i j ij
i j
f f x y p
 
10.4. Kì vọng có điều kiện:
1
P(X ,Y )
E(X | Y )
P(Y )
m
i j
j i
i j
x y
y x
y 
 
 
81
1
P(X ,Y )
E(Y | X )
P(X )
n
i j
i j
j i
x y
x y
x 
 
 
10.5. Covarian:
Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều V=(X,Y). Ta gọi
covarian của V là
 cov(X,Y) E X E(X) Y E(Y)
E(XY) E(X)E(Y)
82
10.6. Hệ số tương quan:
Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều V=(X,Y). Ta gọi
hệ số tương quan của V là
X Y
cov(X,Y)(X,Y)
.
 
Chú ý:
1 1
E(XY)
m n
i j ij
i j
x y p
 
83
Chú ý:
(X,Y) 1. 
 2 2Var( X Y) Var(X) Var(Y) 2 cov(X,Y).a b a b ab 
 X và Y độc lập cov(X,Y) 0. 
 X và Y phụ thuộc lẫn nhau.cov(X,Y) 0 
84
Ví dụ 26: Thống kê dân số của một vùng theo 2 chỉ
tiêu: giới tính (X), học vấn (Y) được kết quả cho trong
bảng Y
X 
Thất học 
0
Phổ thông
1
Đại học
2
Nam: 0 0,1 0,25 0,16
Nữ: 1 0,15 0,22 0,12
a) Lập bảng phân phối xác suất của học vấn, của giới tính. 
b) Học vấn có độc lập với giới tính không?
c) Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên 1 người thì người đó
không bị thất học.
d) Lập bảng phân phối xác suất học vấn của nữ, tính
trung bình học vấn của nữ.
e) Tính hệ số tương quan giữa học vấn và giới tính.