Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Xác suất của biến cố - Phan Trung Hiếu

ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
1
1
CHƯƠNG 1: 
XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
 I/ Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên:
 Phép thử ngẫu nhiên:
 là việc thực hiện 1 thí nghiệm/ thực nghiệm, hoặc
việc quan sát 1 hiện tượng tự nhiên trong 1 số điều
kiện nhất định. Nó có thể dẫn đến kết cục/kết quả
này hoặc kết cục khác (có ít nhất 2 kết cục). Và việc
làm này có thể thực hiện bao nhiêu lần cũng được.
 Quy ước: Một đồng xu có 1 mặt Hình và 1 mặt Chữ
được gọi là đồng xu Sấp Ngữa, với quy ước
 mặt Hình = Sấp , mặt Chữ = Ngữa. 2
3
 Vd1: Tung 1 đồng xu Sấp Ngữa (cân đối, đồng chất),
xét xem mặt nào xuất hiện (mặt nào được lật lên).
 Đây là 1 phép thử ngẫu nhiên?
 Vd2: Ném hòn đá xuống nước, xét xem hòn đá chìm
hay nổi.
 Đây là 1 phép thử ngẫu nhiên?
 Vd3: Hai vợ chồng cãi nhau. Xét xem họ có ly dị
nhau không.
 Đây là 1 phép thử ngẫu nhiên?
 VD4:
 Bắn 1 phát súng vào bia.
 Đây là 1 phép thử NN?
 VD5:
 Hộp có 7 bi Trắng và 5 bi Xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi
ra xem màu.
 Đây là 1 phép thử NN?
 VD6:
 Hộp có 7 bi Trắng. Lấy ngẫu nhiên 1 bi ra xem màu.
 Đây là 1 phép thử NN?
 VD7: (Phim “Hãy yêu đi rồi sẽ biết”)
 Yêu 1 người khác giới tính.
 Đây là 1 phép thử NN?
 Từ đây trở đi khi ta nói phép thử thì có nghĩa là
phép thử NN.
4
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
2
5
Các kết cục của phép thử NN gọi là các biến cố. 
Có 3 loại biến cố: bc ngẫu nhiên, bc chắc chắn, bc 
không thể có 
BcNN: là bc có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực 
hiện phép thử. Ký hiệu A, B, C, 
Bc chắc chắn: là bc luôn xảy ra khi thực hiện phép thử. 
Ký hiệu  
Bc không thể có: là bc không thể xảy ra khi thực hiện 
phép thử. Ký hiệu  (hoặc ) 
Ta chỉ nghiên cứu bcNN mà thôi. 
6
 Vd1:
 Tung 1 con xúc xắc (cân đối, đồng chất), xét xem mặt
nào xuất hiện.
 (Con xúc xắc có các mặt được đánh số nút từ 1 6)
 Đặt: A= bc xuất hiện mặt có số nút <=6
 B= bc xuất hiện mặt có số nút là 7
 C= bc xuất hiện mặt có số nút là số chẳn
 Biến cố nào là biến cố chắc chắn, bc ktc, bcNN?
7
 VD2:
 Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con.
(Một người chỉ có thể là trai hoặc là gái, không xét hifi)
 Đặt: A = bc gia đình có 1 trai, 1 gái.
B = bc gia đình có 2 con.
C = bc gia đình có 3 con.
 Bc nào là bccc, bcktc, bcNN?
8
 Vd3:
 Hộp có 8 bi: 6 bi Trắng, 2 bi Xanh. Lấy ngẫu nhiên
ra 3 bi xem màu.
 Đặt A= bc lấy được 3 bi T
B= bc lấy được 3 bi X
C= bc lấy được 3 bi
 Bc nào là bccc, bcNN, bcktc?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
3
9
II) QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
 Thông thường sinh viên coi nhẹ phần này, cho rằng
“chuyện nhỏ như con thỏ”, “không có gì mà ầm ỉ”.
Phải tính xác suất cái này, xác suất cái kia thì mới
“Xứng danh đại anh hùng”! Học xác suất mà “không
thấy xác suất đâu”, học các quan hệ này thì chán chết!
 Tuy nhiên khi gặp bài toán xác suất đòi hỏi phải biết
cách tự phân tích, tự đặt các biến cố, diễn tả câu hỏi đề
cho theo các biến cố đã đặt thì lại không làm được,
hoặc diễn tả không đúng!
 Hoặc đọc bài giảng trong sách thì lại không hiểu tại
sao người ta biến đổi được như vậy!
 Nếu đã hiểu rõ về các quan hệ giữa các biến cố thì các
vấn đề trên đúng là “chuyện nhỏ như con thỏ”!
 Vậy bạn thích “con thỏ” nào !?
10
II/QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ:
 1)Kéo theo:
 bc A gọi là kéo theo bc B nếu bc A xảy ra thì dẫn
đến bc B xảy ra, khi thực hiện phép thử. Ký hiệu:
AB hay A B
 Vd1:
 Một sv mua 1 tờ vé số.
 Đặt A= bc sv này trúng số độc đắc
B= bc sv này trúng số
AB hay BA ?
11
1)KÉO THEO
 VD2: Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con.
 Đặt A= bc gia đình có con trai.
B= bc gia đình có 2 con trai.
 AB hay BA ?
 VD3: Xét 1 học sinh đi thi đại học khối A.
 Đặt A= bc học sinh này thi đậu
B= bc học sinh này có điểm Toán là 10
 AB hay BA ?
12
2) TƯƠNG ĐƯƠNG (BẰNG NHAU): 
 bc A gọi là bằng bc B nếu bc A xảy ra thì bc B xảy
ra, và ngược lại bc B xảy ra thì bc A xảy ra, khi thực
hiện phép thử. Ký hiệu A=B hay AB
 Vậy A=B nếu AB và BA
 Vd1:
 Tung 1 con xúc xắc.
 Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút chẳn
B= bc con xx xh mặt có số nút là: 2,4,6
C= bc con xx xh mặt có số nút là: 2,4
A=B? A=C?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
4
13
2) TƯƠNG ĐƯƠNG
 VD2: 
 Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con.
 (Một người chỉ có thể là trai hoặc là gái, không xét hifi)
 A= bc gia đình có 1 con trai
 B= bc gia đình có 1 con gái
 C= bc gia đình có con trai
 D= bc gia đình có ít nhất 1 con trai
 E= bc gia đình có nhiều nhất 1 con trai
 A=B? A=C? C=D? C=E?
14
2)TƯƠNG ĐƯƠNG
 Vd3:
 Hộp có 8 bi: 6T, 2 X. Lấy 2 bi ra xem màu.
 Đặt A= bc lấy được 1 bi T
B= bc lấy được 1 bi X
C= bc lấy được 3 bi T
D= bc lấy được bi T
 A=B? A=C? A=D?
15
2)TƯƠNG ĐƯƠNG
 Vd4:
 Hộp có 8 bi: 4T, 2X, 2Đỏ. Lấy 2 bi ra xem màu.
 Đặt A= bc lấy được 1 bi T
B= bc lấy được 1 bi X
A=B?
16
3)TỔNG (HỢP):
 bc C gọi là tổng của 2 bc A và B, ký hiệu C=A+B
hay C=AB.
 C xảy ra nếu có ít nhất 1 trong 2 bc A hoặc B xảy ra,
khi thực hiện phép thử.
 Câu hỏi: Vậy A và B cùng xảy ra khi thực hiện phép
thử được hông?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
5
17
3)HỢP
 Vd1:
 Tung 1 con xúc xắc. Xét xem mặt nào xuất hiện.
 Đặt C= bc con xx xh mặt có số nút chẳn.
B= bc con xx xh mặt có số nút là 2
A= bc con xx xh mặt có số nút là 4,6
D= bc con xxxh mặt có số nút là 2,4
 C= A+B? C= A+D?
3)HỢP
 VD2:
 Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 1 phát đạn vào bia.
 A= bc người thứ nhất bắn trúng
 B= bc người thứ hai bắn trúng
 C= bc bia trúng đạn
 C= A+B?
18
19
3)HỢP
 Vd3: Lớp có 50 sv, trong đó có: 20 sv giỏi AV, 15
sv giỏi PV, 7 sv giỏi cả 2 ngoại ngữ trên.
 Chọn NN 1 sv trong lớp.
 Đặt A= bc sv này giỏi Anh
B= bc sv này giỏi Pháp
C= bc sv này giỏi ít nhất 1 ngoại ngữ.
D= bc sv này giỏi cả 2 ngoại ngữ
C= A+B? D= A+B?
 Dùng biểu đồ Venn minh họa?
20
3)HỢP
 Vd4:
 Hộp có 9 bi T và 7 bi X. Lấy NN 3 bi từ hộp.
 Đặt A= bc lấy được 2 bi T và 1 bi X
B= bc lấy được 3 bi T
C= bc lấy được ít nhất 2 bi T
D= bc lấy được nhiều nhất 1 bi X
C= A+B? D= A+B?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
6
21
 Tổng quát: C= A1+A2+...+An .
C xảy ra nếu có ít nhất 1 bc Ai xảy ra, khi thực hiện
phép thử
 VD1: Có 3 người đi thi
 Ai= bc người thứ i thi đậu
 C= bc có ít nhất 1 người thi đậu
 C= A1+A2+A3
 Vd2: Kiểm tra chất lượng n sản phẩm.
Đặt Ai= bc sp thứ i xấu.
C= bc có ít nhất 1 sp xấu
 C= A1+A2+...+An
 Vậy “hiểu” dấu + giữa các biến cố nghĩa là gì? 22
4)TÍCH (GIAO):
 bc C gọi là tích của 2 bc A và B, ký hiệu C= A.B
hay C= AB
 C xảy ra nếu cả 2 bc A và B cùng xảy ra, khi thực
hiện phép thử.
23
4)TÍCH
 Vd1:
 Tung 1 con xúc xắc. Xét xem mặt nào xuất hiện.
 Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút là 2,4
B= bc con xx xh mặt có số nút là 2,6
C= bc con xx xh mặt có số nút là 2
D= bc con xx xh mặt có số nút là 2,4,6
 C= A.B? C= A.D?
4)TÍCH
 VD2:
 Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 1 phát đạn vào bia.
 A= bc người thứ nhất bắn trật
 B= bc người thứ hai bắn trật
 C= bc bia không trúng đạn
 C= A.B? C= A+B?
24
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
7
25
4)TÍCH
 Vd3:
 Lớp có 50 sv, trong đó có: 20 sv giỏi AV, 15 sv giỏi
PV, 7 sv giỏi cả 2 ngoại ngữ trên.
 Chọn NN 1 sv trong lớp.
 Đặt A= bc sv này giỏi Anh
B= bc sv này giỏi Pháp
C= bc sv này giỏi cả 2 ngoại ngữ
C= A.B? 26
4)TÍCH
 Tổng quát: C = A1.A2...An.
C xảy ra nếu tất cả các Ai cùng xảy ra, khi thực hiện
phép thử
 VD1: Có 3 người đi thi
 Ai= bc người thứ i thi rớt
 C= bc tất cả đều thi rớt
 C = A1.A2.A3
 Vd2: Kiểm tra chất lượng n sp.
 Đặt Ai= bc sp thứ i tốt
 C= bc tất cả các sp đều tốt
 C = A1.A2...An
 Vậy “hiểu” dấu . giữa các biến cố nghĩa là gì?
4)KẾT HỢP TỔNG VÀ TÍCH
VD6: Hộp 1 có 6 bi T và 4 bi X. Hộp 2 có 7 bi T và 3 bi X.
 Lấy NN từ hộp 1 ra 2 bi và lấy NN từ hộp 2 ra 1 bi.
 A= bc lấy được 2 bi T từ hộp 1
 B= bc lấy được 1 bi T từ hộp 2
 C= bc lấy được 3 bi T (trong 3 bi lấy ra)
 D= bc lấy được 1T 1X từ hộp 1
 E= bc lấy được 2T 1X (trong 3 bi lấy ra)
 F= bc lấy được 1X từ hộp 2
 C=A.B? C=D.B?
 E=B.D? E=A.F? E= A.F+D.B?
27 28
5)XUNG KHẮC:
 A và B gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời
xảy ra, khi thực hiện phép thử. Ký hiệu A.B=
 Với 2 biến cố A, B thì ta có 4 trường hợp:
A xr, Bxr
A xr, Bkxr
A kxr, Bxr
A kxr, Bkxr
Vậy trường hợp nào ứng với xung khắc?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
8
29
5)XUNG KHẮC 
 Vd 1:
 Tung 1 con xúc xắc.
đặt A= bc được mặt có số nút chẳn.
B= bc được mặt có số nút là 2.
C= bc được mặt có số nút lẻ.
D= bc được mặt có số nút 1, 3
 Xác định A.B? A.C?
 A,B xung khắc? A,C xk? A,D xk? 30
5)XUNG KHẮC
 Ví dụ 2: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn
đỏ. Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu.
 (Từ quá khứ đến hiện tại, 1 viên phấn hoặc toàn Trắng
hoặc toàn Đỏ; chưa thấy 1 viên phấn có khúc T và
khúc Đ cùng lúc. Còn tương lai thì vô định!)
 Đặt T= bc được viên phấn T.
Đ= bc được viên phấn Đ.
A= bc lấy được 1 viên phấn
T,Đ xung khắc? T,A xk?
5)XUNG KHẮC
 VD3: 
 Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con.
 (Một người chỉ có thể là trai hoặc là gái, 
không xét hifi)
 A= bc gia đình có 0 con trai
 B= bc gia đình có 1 con trai
 C= bc gia đình có 2 con trai
 A,B xk? A,C xk? B,C xk?
31 32
5)XUNG KHẮC
 Ví dụ 4:
 Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ.
Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu.
 Đặt A= bc được 1 viên phấn T.
B= bc được 1 viên phấn Đ.
C= bc được 2 viên phấn T
D= bc lấy được viên phấn T
A,B xung khắc? A,C xk? B,D xk?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
9
33
6)ĐỐI LẬP:
 A, B gọi là đối lập nếu A và B không đồng 
thời xảy ra, và 1 trong 2 bc A hoặc B phải 
xảy ra, khi thực hiện phép thử. Ký hiệu: 
biến cố đối lập của A ký hiệu là A hay A* 
 Với 2 bc A,B ta có 4 trường hợp xảy ra: 
 A xr, Bxr 
 A xr, Bkxr 
 A kxr, Bxr 
 A kxr, Bkxr 
 Vậy trường hợp nào ứng với đối lập? 
34
6)ĐỐI LẬP
 Nhận xét sau đúng hay sai?
A, A* đối lập A+A* = 
và A.A* = 

 Nhận xét sau đúng hay sai?
A,B xung khắc A,B đối lập
35
6)ĐỐI LẬP
 Vd1:
 Tung 1 con xúc xắc.
A= bc xuất hiện mặt có số nút chẳn
B= bc xuất hiện mặt có số nút lẻ
C= bc xuất hiện mặt có số nút là : 2 hoặc 4
D= bc xuất hiện mặt có số nút là : 1, 3, 5, 6
E= bc xuất hiện mặt có số nút là : 1, 2, 4
A,B đối lập? B,C đối lập?
C,D đối lập? D,E đối lập?
36
6)ĐỐI LẬP
 VD2: Xét phụ nữ sinh 1 con. (Không xét con hifi)
 A= bc sinh con trai
 B= bc sinh con gái
 A, B đối lập?
 VD3: Xét một sinh viên đi thi môn XSTK
 (Thi đạt nếu điểm từ 5-10, thi rớt nếu điểm từ 0-4)
 A= bc sinh viên thi đậu
 B= bc sinh viên thi rớt
 C= bc sinh viên có điểm thi từ 0-3
 A, B đối lập?
 A, C đối lập?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
10
37
6)ĐỐI LẬP 
 Ví dụ 4:
 Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ. Lấy
NN 1 viên phấn ra xem màu.
 Đặt T= bc được viên phấn T.
Đ= bc được viên phấn Đ.
A= bc lấy được 1 viên phấn
T,Đ đối lập? T,A đối lập?
38
6)ĐỐI LẬP
 Ví dụ 5:
 Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ. Lấy
NN 2 viên phấn ra xem màu.
 Đặt B= bc được 2 viên phấn T.
C= bc được 2 viên phấn Đ.
A= bc lấy được nhiều nhất 1 viên phấn Đ
D= bc lấy được viên phấn T
B,C đối lập? A,C đối lập? C,D đối lập?
BIỂU ĐỒ VENN MINH HỌA CÁC LOẠI QUAN HỆ
39
6BIS) BIẾN CỐ HIỆU
 Biến cố C gọi là hiệu của biến cố A với biến cố B, ký
hiệu là C= A\B hay C= A-B
 Biến cố C xảy ra nếu bc A xảy ra nhưng biến cố B
không xảy ra
 Xem mỗi biến cố là 1 tập hợp thì bc C= A\B là phần
hình tô màu, tức là những gì thuộc tập A nhưng không
thuộc tập B

40
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
11
6BIS) BIẾN CỐ HIỆU
 VD1: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 a) A= {1, 4} , B= {2, 3, 5, 6} A\B= {1, 4}
 b) A= {1, 3, 4} , B= {2, 3, 5, 6} A\B= {1, 4}
 c) A= {1, 3, 4, 5} , B= {2, 3, 5, 6} A\B= {1, 4}
 d) A= {1, 3, 5, 6} , B= {2, 3, 5, 6} A\B= {1}
 Nhận xét 1:
 A\B = A.B*
 c) B*= {1, 4} A.B*= {1, 4} = A\B
 d) B*= {1, 4} A.B*= {1} = A\B
 B\A = B.A*
41
6BIS) BIẾN CỐ HIỆU
 VD1: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 c) A= {1, 3, 4, 5} , B= {2, 3, 5, 6} A\B= {1, 4}
 d) A= {1, 3, 5, 6} , B= {2, 3, 5, 6} A\B= {1}
 Nhận xét 2:
 A = (A\B)+A.B , với (A\B) và A.B xung khắc nhau
 Biến cố B dùng tách (phân hoạch) bc A ra thành tổng
của 2 bc xung khắc nhau
 c) A.B = {3, 5} , A\B= {1, 4} A = (A\B)+A.B
 d) A.B = {3, 5, 6} , A\B= {1} A = (A\B)+A.B
 B = (B\A)+A.B , với (B\A) và A.B xung khắc nhau 42
6BIS) BIẾN CỐ HIỆU
 VD1: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 A= {1, 3, 4, 5} , B= {2, 3, 5}
 A\B= {1, 4} , A.B= {3, 5} , B\A= {2}
 A+B= {1, 2, 3, 4, 5}
 Nhận xét 3:
 A+B = (A\B)+A.B+(B\A) , với (A\B) và A.B và (B\A)
xung khắc từng đôi với nhau
43 44
7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI:
 Nhóm biến cố A, B, C xung khắc từng đôi nếu A,B
xung khắc; A,C xung khắc; B,C xung khắc.
 Nhóm (họ) n biến cố A1,A2,...,An gọi là xung khắc
từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong nhóm là xung
khắc nhau (nghĩa là Ai.Aj = , với mọi i j)
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
12
45
7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI:
 VD1:
 Tung 1 con xúc xắc
 Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút là 1,2
B= bc con xx xh mặt có số nút là 4,6
C= bc con xx xh mặt có số nút là 5
D= bc con xx xh mặt có số nút là lẻ
A,B,C xktđ? A,B,D xktđ?
46
7)XKTĐ
 Vd2:
 Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ, 3
viên phấn Xanh. Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu.
 T= bc được viên phấn T
Đ= bc được viên phấn Đ
X= bc được viên phấn X
 T,Đ,X xktđ?
47
7)XKTĐ
 Vd3:
 Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ. Lấy
NN 2 viên phấn ra xem màu.
 A= bc được 2 viên phấn T
B= bc được 2 viên phấn Đ
C= bc được 1 viên phấn T
 A,B,C xktđ?
48
8)NHÓM BC ĐẦY:
 Nhóm n biến cố A1,A2,...,An gọi là đầy nếu
A1+A2+...+An = 
 Vd 1:
 Tung một con xúc xắc
A= bc mặt 1,2 xh
B= bc mặt 3,4 xh
C= bc mặt 4,5,6 xh
D= bc mặt lẻ xh
A,B,C đầy? A,B,D đầy?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
13
49
9)NHÓM BC ĐẦY ĐỦ (VÀ XUNG KHẮC TỪNG 
ĐÔI ... hS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
34
133
5)CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ:
 Thật vậy: = A1+A2++An
 F= F = F(A1+A2++An) = FA1+FA2++FAn
 P(F)= P(FA1+FA2++FAn)
= P(FA1)+P(FA2)++P(FAn)
= P(F/A1)P(A1)+P(F/A2)P(A2)++P(F/An)P(An)
 Câu hỏi lớn:
 Khó khăn khi áp dụng công thức xsđđ là gì?
 Gợi ý:
 Ta nên phân chia các trường hợp Ai sao cho dễ tính xác
suất P(Ai) và P(F/Ai) 134
5)CTXSĐĐ
Vd1: 
Hộp có 5 bi T, 4 bi X. Lấy lần lượt 2 bi (lấy ngẫu nhiên 
không hoàn lại) 
Tính xác suất lần 2 lấy đượïc bi X? 
HD: 
Ta thấy khả năng lấy được bi X ở lần 2 phụ thuộc vào 
lần 1: lấy được bi X hay bi T có 2 trường hợp xảy ra 
 ta có nhóm gồm 2 bc , xét xem chúng có đầy đủ và 
xung khắc ? 
135
5)CTXSĐĐ
VD1: 
* F= bc lần 2 lấy được bi X 
 A1= bc lần 1 lấy được bi T 
 A2= bc lần 1 lấy được bi X 
A1,A2 là nhóm bc đđ và xk 
* P(A1)= 5/9 , P(A2)= 4/9 
* P(F/A1)= 4/8 , P(F/A2)= 3/8 
P(F)= P(F/A1)P(A1)+P(F/A2)P(A2) 
 = (4/8).(5/9)+ (3/8).(4/9) = 4/9 136
5)CTXSĐĐ
 Vd2:
 Xí nghiệp bút bi Thiên long có 3 phân xưởng sản xuất.
 PX1: sản xuất 50% sp của toàn XN ; PX2: sản xuất
30% ; PX3: sản xuất 20% (1 cây viết chỉ do 1 phân
xưởng sản xuất)
 Tỷ lệ phế phẩm tính trên số sp do từng PX sản xuất là:
1%, 2%, 3%
 Một sinh viên mua 1 cây bút bi Thiên long. Tính xác
suất mua phải cây viết xấu?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
35
137
5)CTXSĐĐ
 HDVD2: Cây viết xấu có thể do: PXI sx, PXII sx, PXIII
sx có 3 trường hợp xảy ra ta có nhóm gồm 3 bc ,
xét xem chúng có đầy đủ và xung khắc từng đôi?
 *Đặt Ai= bc cây viết do PXi sản xuất, i=1,3
 F= bc mua phải cây viết xấu
 A1,A2,A3 tạo thành nhóm bc đđ và xktđ
 *P(A1)= 0,5 P(A2)= 0,3 P(A3)= 0,2
 *P(F/A1)= 0,01 P(F/A2)= 0,02 P(F/A3)= 0,03
 P(F)= P(F/A1)P(A1)+ P(F/A2)P(A2)+ P(F/A3)P(A3)
 = 0,017= 1,7%
 Vậy xác suất mua phải 1 cây viết xấu là 1,7%
138
5)CTXSĐĐ
 Câu hỏi ngược:
 Biết rằng mua phải cây viết xấu, tính xs cây viết
này do PXI sản suất?
 Giải:
 P(A1/F)= P(FA1) / P(F)= P(F/A1)P(A1) / P(F)
= 0,01*0,5 / 0,017 = 0,294
139
5)CTXSĐĐ
 Ta thấy: Trước khi mua cây viết thì xs cây viết do PXI
sản xuất là 0,5 (P(A1)= 0,5) , nhưng khi bc F xảy ra
(mua phải cây viết xấu) thì khả năng cây viết do PXI
sản xuất giảm đi (P(A1/F)= 0,294).
 * Trước khi thực hiện thí nghiệm (mua 1 cây viết, xem
tốt hay xấu) ta tính trước rằng : xs cây viết do PXI sx là
P(A1)= 0,5 , gọi là xác suất tiền/ tiên nghiệm
 * Sau khi thực hiện thí nghiệm , bc F xảy ra ta có xs
cây viết do PXI sx là P(A1/F)= 0,294 , gọi là xác suất
hậu nghiệm
 P(Ai/F) = ? Gọi là công thức Bayes.
140
5)CTXSĐĐ
Nhận xét: 
Thường ta dùng sơ đồ để biểu diễn các trường hợp 
(bcsc) của ctxsđđ như sau: 
 VD1 VD2 
 F F 
 A1 A2 A1 A2 A3 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
36
141
 6)Công thức Bayes:
 Lấy lại giả thiết trong công thức xs đầy đủ
 Tính xác suất của bc Ai với điều kiện bc F đã xảy ra:
 P(Ai/F)= P(FAi) / P(F)= P(F/Ai)P(Ai) / P(F)
 Lưu ý:
 Nên tính P(F) trước khi tính P(Ai/F)
142
6)CTBAYES
 Vd0:
 Có 3 hộp phấn, mỗi hộp có 10 viên phấn. Hộp thứ
1 có 6 viên phấn T. Hộp thứ 2 có 8 viên phấn T.
Hộp thứ 3 có 7 viên phấn T.
 Lấy ngẫu nhiên 1 hộp (trong 3 hộp), rồi từ hộp đó
lấy ngẫu nhiên 1 viên phấn ra xem màu.
 1) Tính xs lấy được viên phấn T?
 2) Biết rằng viên phấn lấy ra là viên phấn T, tính
xs viên phấn này thuộc hộp thứ 2?
6)CTBAYES
 HD VD0:
Viên phấn lấy ra xem màu có thể thuộc hộp thứ 1
hoặc thứ 2 hoặc thứ 3 có 3 trường hợp có thể xảy ra
 1) F= bc lấy được viên phấn T
Hi= bc lấy được hộp thứ i
P(F)= P(F/H1)P(H1)+P(F/H2)P(H2)+P(F/H3)P(H3)
= (6/10)(1/3)+(8/10)(1/3)+(7/10)(1/3) = 21/30 = 0,7
 2) P(H2/F)= P(H2.F) / P(F) = P(F/H2)P(H2) / P(F)
= (8/10)(1/3) / (21/30) = 8/21
143 144
6)CTBAYES
 Vd1:
 Có 2 hộp phấn loại I, 1 hộp phấn loại II. Hộp loại
I có 8 viên phấn T, 2 viên phấn X; hộp loại II có 9
viên phấn T, 1 viên phấn X.
 Lấy ngẫu nhiên 1 hộp (trong 3 hộp), rồi từ hộp đó
lấy ngẫu nhiên 1 viên phấn ra xem màu.
 1) Tính xs lấy được viên phấn T?
 2) Tính xs viên phấn lấy ra thuộc hộp loại I, biết
rằng nó là viên phấn T?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
37
145
6)CTBAYES
 HDVd1:
1) Viên phấn lấy ra xem màu có thể thuộc: hộp loại I
hoặc hộp loại II có 2 trường hợp xảy ra
* F= bc lấy được viên phấn T
Hi= bc lấy được hộp loại i, i=1,2
* P(F)= P(F/H1)P(H1)+P(F/H2)P(H2)
= (8/10)(2/3)+ (9/10)(1/3) = 5/6
2) P(H1/F)= P(FH1) / P(F)= P(F/H1)P(H1) / P(F)
= (8/10)(2/3) / (5/6) = 48/75
MỞ RỘNG VD 1 (TỰ GIẢI)
 Có 3 hộp loại I, 4 hộp loại II và 5 hộp loại III.
 Hộp loại I có 5 viên phấn T và 4 viên phấn X.
 Hộp loại II có 6 viên phấn T và 3 viên phấn X.
 Hộp loại III có 4 viên phân T và 5 viên phấn X.
 a) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp (trong 12 hộp) rồi từ hộp
này lấy ngẫu nhiên 3 viên phấn. Tính xác suất lấy
được 2 T và 1 X?
 b) Biết rằng lấy được 2 T và 1 X, tính xác suất ta lấy
từ hộp loại II?
146
PHÂN BIỆT CT XS CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CT BAYES
 VD2: Có 3 người đi thi cuối kỳ với xác suất thi đậu của từng người
lần lượt là 0,7 ; 0,6 ; 0,8.
 1) Tính xác suất chỉ có 1 người thi đậu?
 2) Tính xác suất chỉ có 2 người thi đậu?
 3) Biết rằng chỉ có 1 người TĐ, hãy tính xs đó là người thứ nhất?
 Giải:
 1) Gọi Ai là biến cố người thứ i thi đậu
 F= bc chỉ có 1 người thi đậu
 P(F)= P(A1A2*A3*+A1*A2A3*+A1*A2*A3)
 = P(A1)P(A2*)P(A3*)+P(A1*)P(A2)P(A3*)+P(A1*)P(A2*)P(A3)
 2) K= bc chỉ có 2 người thi đậu
 P(K)= P(A1A2A3*+A1A2*A3+A1*A2A3)
 3) P(A1/F) = P(A1F) / P(F) = P(A1A2*A3*) / P(F)
147
PHÂN BIỆT CT XS CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CT BAYES
VD3: Hộp 1 có 5 bi T và 3 bi X. Hộp 2 có 6 bi T và 4 bi X.
Lấy NN từ hộp 1 ra 2 bi, và lấy NN từ hộp 2 ra 2 bi.
1) Tính xác suất lấy được 3 bi T và 1 bi X trong 4 bi lấy ra.
2) Biết rằng lấy được 3T và 1X, tính xs bi X lấy ở hộp 1
 Giải:
 Ai= bc lấy được i bi T từ hộp 1, i=0,1,2
 Bi= bc lấy được i bi T từ hộp 2, i=0,1,2
 F= bc lấy được 3 bi T và 1 bi X
 P(F)= P(A2B1+A1B2) = P(A2)P(B1)+P(A1)P(B2)
 P(A1/F)= P(A1F) / P(F) = P(A1B2) / P(F)
 Đây không phải là công thức Bayes, sao kỳ vậy ta!!!
148
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
38
149
Bình loạn: Qua công thức xsđđ và Bayes bạn có cảm
thấy sự “vô thường” của cuộc đời! Trong cuộc đời, ai
cũng đã từng ít nhất 1 lần thốt lên câu: “giá như”! Thí
dụ: “giá như biết lấy chồng được sung sướng thì tôi đã
lấy chồng sớm rồi”, “giá như biết lấy vợ sẽ chịu đau khổ
thì tôi đã không lấy rồi”, “giá như tôi chăm học thêm tý
nữa thì tôi đã thi đậu rồi”, Giả sử trước khi lấy vợ bạn
ước tính xác suất bạn sẽ bị đau khổ là P(A)= 50%; và sau
khi bạn lấy vợ, một người vợ được mọi người cho là
“hiện đại”, bạn tính được xác suất bạn bị đau khổ là
P(A/F)= 80%. Lúc đó bạn mong ước phải chi F đừng xảy
ra, nhưng bạn chỉ biết F xảy ra khi bạn đã thực hiện
“phép thử” lấy vợ. Đây là 1 phép thử mà bạn chỉ
thực hiện 1 lần là “quá đủ”!
150
7)NGUYÊN LÝ BIẾN CỐ HIẾM
 Một biến cố A có xác suất P(A) nhỏ thì khi thực hiện 1
phép thử ta xem như nó không xảy ra. Ta gọi A là biến
cố hiếm.
 Vậy P(A) bằng bao nhiêu là nhỏ? Tùy theo thực tế, tùy
theo từng người mà P(A) được xem là nhỏ hay không.
 Thí dụ: Nếu bạn yêu 1 người mà người đó hầu như
không yêu bạn, bạn chỉ có 1/106 hy vọng là người đó
yêu bạn. Với hy vọng đó thì bạn có thể chờ đợi cả đời
(từ lúc tóc đen, da mịn cho đến lúc tóc bạc, da nhăn).
Thậm chí trước khi chết bạn chỉ cần người đó nói 1 câu
yêu bạn thì bạn đã mãn nguyện xuống suối vàng rùi
(Y như phim!) Vậy thì 1/106 không nhỏ chút nào hết!
151
NGUYÊN LÝ BIẾN CỐ HIẾM (tiếp theo)
 Thí dụ: Một người phụ nữ đi cắt móng tay móng chân
và cắt da tay da chân tại 1 tiệm “làm đẹp”. Dụng cụ
cắt được dùng chung cho nhiều người, không được khử
trùng đúng quy trình y tế (hiển nhiên rùi!!!). Giả sử
trong quá trình cắt mà bị chảy máu thì xác suất để
người đó bị lây nhiễm HIV là 1/10.000. Vậy thì xác
suất này nhỏ hay là không nhỏ?
 Đó là lựa chọn sinh tử giữa “sắc đẹp hư ảo phù dung”
và “sự sống mong manh”!!! Nếu bị HIV rùi thì có cần
cắt móng để làm đẹp nữa không???!!!
 Thực tế các tiệm luôn tấp nập “các con chim ẩn mình
chờ chết” !!! 152
NGUYÊN LÝ BIẾN CỐ HIẾM (tiếp theo)
 Thí dụ: Xác suất 1 người đua xe bị chết là 1/100. Đối
với các “yêng hùng xa lộ” thì con số này chẳng nghĩa
lý gì cả! Nó chỉ có nghĩa đối với người bình thường mà
thôi.
 Thí dụ: Nhà có giấy phép xây dựng 2 tầng, nếu tự ý
xây thêm 1 tầng nữa thì khả năng bị sập là 1/100. Đối
với những người “cẩn thận” thì đó là con số không nhỏ,
nhưng đối với những người “ẩu, liều” thì con số đó
“chẳng là cái đinh” gì cả!
 Trong xác suất thường người ta xem 1%, 5% là nhỏ.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
39
153
MỘT SỐ LƯU Ý
154
BÀI TẬP 1:
 Ta có biến cố A, B bất kỳ ; C thỏa P(C)>0
 “Nếu A, B độc lập P([AB]/C) = P(A/C). P(B/C)”
 Điều này đúng hay sai?
155
 Giải:
 Xét = {1,2,3,4}
 A= {1,2} B= {1,3}, C= {1,4}
 P(A)= 2/4 , P(B)= 2/4 , P(AB)= P({1})= ¼
 Vậy: P(AB) = P(A).P(B) nên A, B độc lập.
 P(AB/C)= P(ABC) /P(C) = (1/4) / (2/4) = 1/2
 P(A/C) = P(AC) / P(C)= (¼) / (2/4) = ½
 P(B/C) = P(BC) / P(C)= (¼) / (2/4) = ½
 P(A/C).P(B/C) = (½).(½) = 1/4
 Vậy P(AB/C) ≠ P(A/C).P(B/C)
 Vậy điều kiện gì thì dấu “=“ xảy ra?
156
 Bài tập 2:
 A1, A2 là họ biến cố đầy đủ và xung khắc
 C là biến cố bất kỳ, P(B)>0
 Ta có 2 công thức sau:
 P(C)= P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B)
 P(C/B)= P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B)
 1) Theo bạn thì công thức nào đúng?
 2) Hãy chứng minh công thức đúng 1 cách
“đường đường, chính chính”, nghĩa là đúng cho
biến cố bất kỳ chứ hổng phải chỉ đúng qua 1 thí
dụ cá biệt?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
40
157
 Giải:
 1) = {1,2,3,4,5,6}
 A1= {1,2} , A2= {3,4,5,6}, B= {2,3,4}, C= {2}
 P(C)= 1/6
 P(A1/B)= P(A1B) / P(B)= (1/6) / (3/6)= 1/3
 P(A2/B)= P(A2B) / P(B)= (2/6) / (3/6)= 2/3
 P(C/A1B)= P(CA1B) / P(A1B)= (1/6) / (1/6)= 1
 P(C/A2B)= P(CA2B) / P(A2B)= 0 / (2/6)= 0
 Ta có: P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B)
 = (1/3)(1)+(2/3)(0)= 1/3
 P(C/B)= P(CB)/P(B)= (1/6) / (3/6)= 1/3
 2) Bạn hãy tự chứng minh, đây là 1 bài tập rất thi vị!
158
TÓM LẠI:
 Ta có định nghĩa xác suất của biến cố theo cổ điển
 Các công thức tính xác suất:

 Công thức cộng

 Công thức xác suất có điều kiện

 Công thức nhân

 Công thức xác suất đầy đủ

 Công thức Bayes
159
 Tuy nhiên trong bài tập người ta không nỡ để các
dạng toán này một cách “cô đơn, buồn chán”.
Thường người ta “hợp hôn” nhiều công thức tính xác
suất trong một bài toán. Điều này đòi hỏi ta phải biết
phân biệt khi nào thì nên dùng công thức nào, cách
kết hợp các công thức này như thế nào,  và còn hơn
thế nữa!
 Sự “hợp hôn” này có “hoàn hảo” hay không là do ta
có “khéo tay hay làm” không!
160
BÀI TẬP
 Bài tập 1:
 Hộp có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng. Lấy ra 2 bi từ hộp.
 Tính xs lấy được 2 bi T trong 3 cách lấy sau:
 a) C1: Lấy ngẫu nhiên 2 bi (lấy 1 lần 2 bi)
 b) C2: Lấy lần lượt 2 bi (không hoàn lại)
 c) C3: Lấy có hoàn lại 2 bi
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
41
161
HDBT1:
 A= bc lấy được 2 bi T
 a) P(A)= C(2,3) / C(2,7)= 3/21
 b) P(A)= P(T1.T2) = P(T2/T1)P(T1) = (3/7).(2/6)
 = 6/42 = 3/21
 c) Do chọn có hoàn lại nên ở lần chọn thứ 2 ta cũng có
giả thiết y như ở lần chọn 1 (Hộp có 7 bi , có 4 bi đỏ, 3
bi trắng) T1 và T2 độc lập
 P(A)= P(T1.T2) = P(T1).P(T2) = (3/7).(3/7)= 9/49
 Nhận xét: câu a và b có xác suất bằng nhau.
162
Nhận xét BT1 (Dành cho Cao thủ nội công thâm hậu):
 Ta tính xác suất P(A) theo định nghĩa cổ điển:
 Nếu lấy ngẫu nhiên 2 bi: P(A)= |A|/|| = 3/21
 Nếu lấy lần lượt 2 bi: P(A)= |A|/|| = 6/42 = 3/21
 Nếu lấy có hoàn lại 2 bi: P(A)= |A|/|| = 9/49
 Với C1 và C2 thì mặc dù || khác nhau nhưng xác suất
vẫn bằng nhau.
 BT:
 Với A là biến cố ngẫu nhiên bất kỳ,
cmr P(A) theo C1 và C2 luôn bằng nhau.
BT1: TÍNH XS LẤY ĐƯỢC 2 BI TRẮNG?
163
Lấy n bi trong N bi Cách 2 Cách 3 Sai số
Lấy 2 bi trong 7 bi, trong 7 
bi có 3 bi T 0.1428570.183673 -0.040816
Lấy 2 bi trong 70 bi, trong 
70 bi có 30 bi T 0.1801240.183673 -0.003549
Lấy 2 bi trong 700 bi, trong 
700 bi có 300 bi T 0.1833230.183673 -0.000350
Lấy 2 bi trong 7000 bi, 
trong 7000 bi có 3000 bi T 0.1836380.183673 -0.000035
ỨNG DỤNG NHẬN XÉT BÀI TẬP 1
 Hộp có 5 bi T, 3 bi X, 4 bi V. Lấy lần lượt 4 bi
từ hộp. Tính xác suất lấy được 2 bi T, 1 bi X và
1 bi V.
 Đáp số:
8/33
164
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
42
BT3:
 Máy tự động sản xuất ra sản phẩm có tỷ lệ sản phẩm
loại A là 85%, tỷ lệ sản phẩm loại B là 15%. Sản
phẩm sản xuất ra đi qua máy phân loại (PL) tự động,
máy PL nhận đúng sản phẩm loại A với tỷ lệ 90%,
nhận đúng sản phẩm loại B với tỷ lệ 80%. 165
BT3:
 1a) Tính xác suất 1 sản phẩm đi qua máy PL thì bị
nhận nhầm?
 1b) Tính xác suất 1 sản phẩm đi qua máy PL thì được
nhận đúng?
 2a) Biết rằng máy PL kết luận 1 sản phẩm là loại A,
tính xác suất nó đúng là loại A?
 2b) Biết rằng máy PL kết luận 1 sản phẩm là loại A,
tính xác suất nó là loại B?
 3a) Biết rằng máy PL kết luận 1 sản phẩm là loại B,
tính xác suất nó đúng là loại B?
 3b) Biết rằng máy PL kết luận 1 sản phẩm là loại B,
tính xác suất nó là loại A?
166
 GIẢI: A= biến cố sản phẩm sản xuất ra là loại A
 B= biến cố sản phẩm sản xuất ra là loại B
 1a) F= biến cố sản phẩm bị máy PL nhận nhầm
 P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B)
 = (0,1)(0,85)+(0,2)(0,15)
 2a) F= bc sản phẩm được máy PL kết luận là loại A
 P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B)
 = (0,9)(0,85)+(0,2)(0,15)
 P(A/F)= P(F/A)P(A) / P(F)
167
GIẢI:
 2b) P(B/F)= P(F/B)P(B) / P(F)
 3a) F= bc sản phẩm được máy PL kết luận là loại B
 P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B)
 = (0,1)(0,85)+(0,8)(0,15)
 P(B/F)= P(F/B)P(B) / P(F)
 3b) P(A/F)= P(F/A)P(A) / P(F)
168
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1 21-01-2019
43
Mời ghé thăm trang web:
169

 https://sites.google.com/a/ueh.edu.vn/phamtricao/

 https://sites.google.com/site/phamtricao/