Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Giải tích tổ hợp

CHƯƠNG I 
GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
1.1 Nguyên lý nhân : 
 Định nghĩa : 
Một công việc A được chia làm k giai đoạn . Có n 1 cách hoàn thành giai đoạn 1, có n 2 cách hoàn thành giai đoạn 2, . . . , có n k cách hoàn thành giai đoạn k. Số cách thực hiện công việc A là 
 n = n 1 x n 2 x n k 
 Ví dụ 1 . Có bao nhiêu số có 3 chữ số được lập thành từ tập hợp A gồm 4 chữ số cho sau đây : 
 A = ( 1,2,3,5) 
1.2 Hoán vị : Cho A là tập hợp khác  có số phần tử là n. Một hoán vị của A là một cách sắp xếp có thứ tự các phần tử của A. 
Ví dụ2: Có bao nhiêu hoán vị của tập hợp A= ( a,b,c ), hãy viết các hoán vị đó : 
( a,b,c ); ( b,a,c);(a,c,b);(c,b.a);(b,c.a ); ( c,a,b ) 
Mệnh đề . Số hoán vị của tập A có n phần tử bằng P n = 1.2.3n = n! 
Ví dụ 3 : Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 người ngồi vào 5 chiếc ghế . 
1.3 Chỉnh hợp . Cho A là tập hợp có n phần tử . Một cách sắp xếp có thứ tự m phần tử trong n phần tử của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập m của n phần tử 
Ví dụ 4:Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ tập hợp gồm 4 chữ số ( 1,2,3,5). 
Mệnh đề . Số chỉnh hợp châp m của n phần tử là : 
1.4 Chỉnh hợp lặp . Một bộ thứ tự gồm m phần tử không nhất thiết khác nhau cùa 1 tập hợp A gồm n phần tử được gọi là một chình hợp lặp chập m cùa n phần tử , 
Ví dụ 6: Có bao nhiêu số có 3 chữ số được lập thành từ tập hợp gồm 4 chữ số ( 1,2,3,4). 
 Chọn chữ số hàng trăm có 4 cách chọn ; chọn chữ số hàng chục có 4 cách chọn và chữ số hàng đơn vị có 4 cách chọn . Số cách chọn số có 3 chữ số , không nhất thiết các chữ số khác nhau là 4.4.4 = 4 3 
Mệnh đề . Số chỉnh hợp lặp chập m của n phận từ bằng : 
1.5 Tổ hợp . Một cách chọn m phần tử trong một tập hợp gồm n phần tử được gọi là một tổ hợp chập m của n phần tử . 
 Ví dụ 7: Có bao nhiêu tổ hợp chập 2 của tập hợp A= ( a,b,c ), hãy viết các các tổ hợp đó : 
 Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử đã cho là ( a,b ); ( a,c);(c,b ). 
 Mệnh đề . Số tổ hợp chập m của n phần tử bằng : 
Ví dụ . Có 12 cuốn sách , chia đều cho 4 học sinh hỏi có bao nhiêu cách chia ? 
1.6. Bài tập 
Từ địa điểm A đến địa điểm B có 4 đường đi ; từ địa điểm B đến địa điểm C có 5 đường đi . Hỏi đi từ A đến B rồi về C có bao nhiêu cách đi . 
Hướng dẫn giải : 
Đi từ A về C có hai công đoạn : 
Đi từ A đến B có : 4 cách đi 
Đi từ b đến C có : 5 cách đi 
Theo Nguyên lý tích , đi từ A về C có : 
 4.5 = 20 cách đi 
2) Có bao nhiêu số có 3 chữ số thiết lập từ các số 0,1,2,,9 
Hướng dẫn giải : 
 a) Chọn chữ số hàng trăm : có 9 cách chọn 
 b) Chọn chữ số hàng chục : có 10 cách chọn 
 c) Chọn chữ số hàng đơn vị : có 10 cách chọn 
Vậy có 9.10.10= 900 số có 3 chữ số 
3) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau thiết lập từ các số 0,1,2,,9 
Hướng dẫn giải : 
 a) Chọn chữ số hàng trăm : có 9 cách chọn 
 b) Chọn chữ số hàng chục : 9 cách chọn 
 c) Chọn chữ số hàng đơn vị : có 8 cách chọn 
Vậy có 9.9.8= 648 số có 3 chữ số khác nhau 
3) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau thiết lập từ các số 0,1,2,,9 
Hướng dẫn giải : 
 a) Chọn chữ số hàng trăm : có 9 cách chọn 
 b) Chọn chữ số hàng chục : 9 cách chọn 
 c) Chọn chữ số hàng đơn vị : có 8 cách chọn 
Vậy có 9.9.8= 648 số có 3 chữ số khác nhau 
4) Có 5 hành khách cần xếp lên 9 toa tàu khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách xếp ; 
 a) Sao cho mỗi một hành khách có thể xếp lên một toa bất kỳ 
 b) Sao cho mỗi toa có tối đa một hành khách . 
Hướng dẫn giải : 
 a) a,b,c,d,e . là hành khách ; xếp cho hành khách (a) có 9 cách chọn ; xếp chỗ cho người tiếp theo cũng có 9 cách chọn . Vậy số cách xếp là 9.9.9.9.9 = 9 5 
 b) Xếp chỗ cho hành khác (a) có 9 cách chọn ; xếp chỗ chọ hành khách (b) còn 8 cách chọn , xếp chỗ cho hành khách ( c) còn 7 cách chọn , Vậy số cách chọn là 9.8.7.6.5 = 15.120 cách xếp . 
 Nguyên tắc giải toán : 
Xác định công việc ? 
Số công đoạn hoàn thành ? 
Áp dụng Nguyên lý tích . 
 Chú ý : 
 Điều kiện ràng buộc về đối tượng và “ phương tiện ”. 
Người ta phát hành bộ vé số có 5 chữ số . Hỏi có thể phát hành bao nhiêu vé ? 
 a) Có bao nhiêu vé số gồm 5 chữ số lẻ không nhất thiết khác nhau ? 
 b) Có bao nhiêu vé có số tận cùng là 25 
Hướng dẫn giải : 
 a) Mỗi dãy số trên một vé là một chỉnh hợp lặp chập 5 của 10 phần tử 0,1,9 , 10 5 = 100.000 vé 
 b) Mỗi dãy số trên vé có 5 chữ số lẻ không nhất thiết khác nhau lấy từ tập gổm các chữ số 1,3,5,7,9. Vậy số vé gồm 5 chữ số lẻ là số chỉnh hợp lặp chập 5 của 5 chữ số nói trên , 5 5 vé 
 c)Một vé số có chữ số tận cùng 25 thì 3 chữ số trước là một chỉnh hợp lặp của 10. Vậy có 10 3 vé có hai chữ số cuối là 25 
6) Lớp học có 30 sinh viên , cần cử ra ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng , hai lớp phó , 1 phụ trách học tập , một phụ trách đời sống.Hỏi nếu mọi người trong lớp đều có thể giữ một trong các vai trò trên , có bao nhiêu cách lựa chọn 
Hướng dẫn giải : 
 Mỗi cách chọn gồm 3 người có phân biệt vị trí của các phần tử nên mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 30;. Vậy số cách chọn là 
 = 
7) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4,5. 
Hướng dẫn giải : 
 Mỗi số có 3 chữ số là một chỉnh hợp chập 3 của 5. Vậy số các số nguyên có 3 chữ số là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử 
 = 
7) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau hết từ các chữ số 1,2,3,4,5. 
Hướng dẫn giải : 
 Mỗi số có 3 chữ số là một chỉnh hợp chập 3 của 5. Vậy số các số nguyên có 3 chữ số là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử 
 = 
 Nguyên tắc giải toán : 
Cách 1 : 
Xác định công việc ? 
Số công đoạn hàn thành ? 
Áp dụng Nguyên lý tích . 
 Cách 2: 
 1) Mỗi cách chọn là một nhóm , hai nhóm khác nhau nếu khác nhau ít nhất một phần tử hoặc khác nhau về thứ tự . 
2) Số cách chọn là số các chỉnh hợp . 
8) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4. 
Hướng dẫn giải : 
 Mỗi số có 4 chữ số là một hoán vị của 4 phần tử P 4 = 4! = 1.2.3.4 = 24 
9) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 quyển sách lên một giá hàng ngang có 5 vị trí . 
Hướng dẫn giải : 
 Mỗi cách xếp là một hoán vị của 5 phần tử P 5 = 5! = 1.2.3.4.5 = 120 
1.7. Bài tập 
Có 5 vị khách mời A,B,C,D,E xếp 5 ghế ngồi theo một dãy hàng ngang.Hỏi có bao nhiêu cách xếp ; 
a) A ngồi chính giữa ; 
b) A ngồi giữa B và C. 
c)B và C ngồi ngoài cùng . 
Hướng dẫn giải : 
Xếp chỗ cho A, có 1cách chọn;xếp chỗ cho 4 vị còn lại là số hoán vị của 4 phần tử . Số cách xếp :1.4!= 4! 
Xếp chỗ cho A, có 4 cách chọn ; hoán vị của 2 vị trí còn lại cạnh A, C và D hoán vị của 2 vị trí cuối cùng . Vậy số cách xếp : 4.2!.2! 
B và C hoán vị của hai vị trí đầu dãy , các vị trí còn lại là hoán vị của 3 chỗ ngồi còn lại dành cho 3 vị khách A,C,D. Vậy số cách xếp:2!.3! 
11) Có thể thiết lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau , chia hết cho 5 từ 1;2;3;4;5. 
Hướng dẫn giải : 
Để chọn 1 số theo yêu cầu phải thực hiện các bước : 
Chọn chữ số hàng trăm:có 4 cách chọn ; 
Chọn chữ số hành chục : có 3 cách chọn ; 
Chọn chữ số hàng đơn vị : có 1 cách chọn 
Vậy số số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5, được thiết lập từ 5 chữ số đã cho là 4.3=12 
12) Một hôp đựng bị có 10 viên trong đó có 6 viên bi vàng và 4 viên bi xanh 
Bốc ngẫu nhiên 3 viên hỏi có bao hiêu khả năng xẩy ra ? 
Khả năng để có 2 viên bi xanh trong 3 viên lấy ra ? 
Hướng dẫn giải : 
 a) Mỗi lần bốc là một tổ hợp chập 3 của 10 : 
b) Lấy 2 viên bi xanh , tổ hợp chập 2 của 4; lấy 1 viên bi vàng , tổ hợp chập 1 của 6 
 Vậy số lần bốc có 1 bi vàng 2 bi xanh là 
Có 8 đội bóng đấu vòng tròn một lượt tranh giải . 
Hỏi tất cả phải đấu bao nhiêu trận 
Trong 8 đội chọn 3 đội giải nhất nhì 3, có bao nhiêu khả năng xẩy ra ? 
Hướng dẫn giải : 
 a) Mỗi trận phải có hai đội khác nhau , đấu vòng tròn hết lượt thì thôi , mỗi trận là một tổ hợp chập 2 của 8. Vậy số trận đấu : 
b) Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 8 vậy số cách chọn là 
14) Một đa giác lồi có 20 đường chéo , hỏi đa giác có bao nhiêu đỉnh . 
Hướng dẫn giải : 
Gọi số đỉnh của đa giác là n 
Số cạnh và số đường chéo của đa giác là 
Vậy ta có phương trình : 
Điều kiện n nguyên dương . Giải phương trình ta có n = 8 
 Vậy đa giác đó có 8 đỉnh ( bát giác lồi ) 
15) Một bộ vé số 5 chữ số thiết lập từ 10 chữ số ( 0, 1,,9). 
Có bao nhiêu vé gồm 5 chữ số khác nhau 
Có bao nhiêu vé trong đó đúng 2 số 4 
Hướng dẫn giải : 
 a) Số vé có 5 chữ số khác nhau là = 10.9.8.7.6 
b) Để có vé theo yêu cầu 
 1- Chọn vị trí có 2 số 4 
 2- Ba vị trí còn lại là chỉnh hợp lặp chập 3 của 9 phần tử ( 0,1,2,3,8,,9) là 9 3 
 Vậy số vé có hai số 4 là . 9 3