Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Đại cương về xác suất - Phan Trung Hiếu

9/3/2019
1
LOG
O
XÁC SUẤT
THỐNG KÊ
Giảng viên: Phan Trung Hiếu
45 tiết
2
Kiểm tra, đánh giá kết quả:
-Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):
Dự lớp đầy đủ: 10 điểm.
Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1
điểm.
Chỉ được vắng 1 ngày có phép.
-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
3
-Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:
1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1
câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không
trừ điểm).
Chỉ được cộng tối đa 2 điểm.
Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
4
-Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:
Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm
bài: -0,5 điểm/lần.
Khi không có SV xung phong lên làm thì GV
sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ
trên xuống:
-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần,
-Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5
điểm/lần.
Trang web môn học:
5
https://sites.google.com/site/sgupth
SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng
tuần, điểm quá trình trên trang web sau:
6
Nội dung:
Chương 1: Đại cương về Xác suất.
Chương 2: Biến ngẫu nhiên.
Chương 3: Một số phân phối xác suất quan
trọng.
Chương 4: Lý thuyết mẫu và ước lượng
tham số.
Chương 5: Kiểm định giả thuyết thống kê.
9/3/2019
2
7
Tài liệu học tập:
[1] Bài giảng trên lớp.
[2] Lê Sĩ Đồng, Xác suất thống kê và ứng
dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.
[3] Lê Sĩ Đồng, Bài tập Xác suất-thống kê
ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.
[4] Phạm Hoàng Quân-Đinh Ngọc Thanh,
Xác suất thống kê, NXB GD Việt Nam,2011.
Các tài liệu tham khảo khác.
8
Dụng cụ hỗ trợ học tập:
Máy tính FX 500MS, FX 570MS, 
FX 570ES, FX 570ES Plus.
LOG
O
Chương 1:
ĐẠI CƯƠNG VỀ
XÁC SUẤT
Giảng viên: Phan Trung Hiếu
10
-Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không
có định nghĩa.
I. Bổ túc về tập hợp và giải tích tổ hợp:
-Sự gom góp một số đối tượng lại với nhau
cho ta hình ảnh của tập hợp. Các đối tượng này
trở thành phần tử của tập hợp.
Ví dụ 1: Tập hợp các sinh viên đang học trong
giờ môn XSTK tại phòng A .
1.1. Khái niệm: 
11
▪ Tập hợp: A, B, C,,X, Y, Z,
1.2. Ký hiệu: 
▪ Phần tử: a, b, c,,x, y, z,
▪ x là một phần tử của tập hợp A: 
▪ x không là một phần tử của tập hợp A: 
x A 
x A 
▪ : số phần tử của tập hợp A.A
12
 Liệt kê: dùng khi số phần tử là hữu hạn
(đếm được, thấy được cụ thể)
1.3. Các phương pháp xác định tập hợp: 
Ví dụ 2:
 A 2, 3, 4, 5
3 A 5 A 0 A 
Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 1 và
bé hơn 6:
A 4
9/3/2019
3
13
Ví dụ 3: Tập hợp các số tự nhiên bé hơn
1000:
 B 0, 1, 2, , 997, 998, 999
Chú ý: Phương pháp liệt kê
- Không quan tâm thứ tự liệt kê.
- Mỗi phần tử chỉ được liệt kê 1 lần, không
lặp lại.
500 B B 1000
14
Trưng tính: 
- Nêu bật tính chất đặc trưng của các phần tử
trong tập hợp.
- Hay dùng khi số phần tử là vô hạn.
Ví dụ 4: Tập hợp các số tự nhiên chẵn:
 A x x và 2x 
10 A 101 A 4 A 
15
Ví dụ 5:
B = { x | x là sinh viên đang học môn XSTK tại
phòng A..}
 Giản đồ Venn: là một đường cong khép kín,
không tự cắt.
A
2
3
4
5
73 A
7 A
Ví dụ 6:
 2,3,4,5A 
16
Ví dụ 7: Một tổ 10 người sẽ được chơi hai
môn thể thao là cầu lông và bóng bàn. Có 5
bạn đăng ký chơi cầu lông, 4 bạn đăng ký
chơi bóng bàn, 2 bạn đăng ký chơi cả hai
môn. Hỏi có bao nhiêu bạn đăng ký chơi thể
thao? Bao nhiêu bạn không đăng ký chơi thể
thao.
2CL BB3 2
7 bạn đăng ký
3 bạn không đăng ký
17
1.4. Tập hợp con: 
A B B A
A là tập con của B, ký hiệu:
A chứa trong B B chứa A
A
B
A B x A x B  
I. Tập hợp:
18
Ví dụ 8:
{1, 2, 3, 5, 7}A 
{1, 2, 8}C 
{1, 5}B 
C A
B A

9/3/2019
4
19
1.5. Tập hợp rỗng: 
-Là tập hợp không chứa một phần tử nào.
Ví dụ 9:
A = { x | x là sinh viên đang học trong phòng
A. mà có số tuổi lớn hơn 80} A 
Ví dụ 10: B x x và 2 1x B 
Quy ước: là tập con của mọi tập hợp.
Chú ý: là tập tất cả các tập con của X.( )X
( )X { }.A A X 
( ) 2 ,nX n: số phần tử của X.
20
1.6. Tập hợp bằng nhau: 
A B
A B
B A
 
 
21
1.7.1. Phép giao: 
 |A B x x A x B  và
A B
A B
A B A B  
(A và B rời nhau)
1.7. Các phép toán trên tập hợp: 
22
1.7.2. Phép hợp: 
 |A B x x A x B  hay
A B
A B
II. Các phép toán tập hợp:
Ví dụ 11: 
{1, 2, 3, 4}A 
{3, 4, 5, 6, 7}B 
{2, 8, 9}C 
A B {3, 4}
A C 
B C 
A B 
A C 
B C 
{2}

{1,2,3,4,5,6,7}
{1,2,3,4,8,9}
{2,3,4,5,6,7,8,9}
23
1.7.3. Phép lấy hiệu: 
 |\A B x x A x B và
A B
\A B
24
9/3/2019
5
II. Các phép toán tập hợp:
Ví dụ 12: 
{1, 2, 3, 4}A 
{3, 4, 5, 6, 7}B 
{6, 7, 8, 9}C 
\A B {1, 2}
\A C 
\C A 
\A A 
\B  
A
C

\C B {8, 9}
B
25
1.7.4. Phép lấy bù: 
 |A x X x A 
A
A
X
Nhận xét: A A 
A A X
26
II. Các phép toán tập hợp:
27
Ví dụ 13: Cho X là tập hợp tất cả các số nguyên 
dương, A là tập hợp các số nguyên dương lớn 
hơn 10. Hỏi ?A 
X 
Giải
A 
 |A x X x A 1, 2, 3, 4,...,10
{1, 2, 3, 4, 5,....}
{11, 12, 13, 14, 15,....}
1.8.1. Phân phối: 
 A B C A B A C    
 A B C A B A C    
1.8.2. De Morgan: 
A B A B 
A B A B 
1.8.3: 
X
A A
B
B A B A B B A B A   
1.8. Các tính chất: 
II. Giải tích tổ hợp:
29
2.1. Quy tắc cộng: 
Công việc 
Phương án
(Trường hợp)
1 cách
2 cách
 
k cách
1 2 ... kn n n cách
thực hiện
1 n
2 n
 kn
30
Ví dụ 1: Có 4 quần Jean và 3 quần tây.
Hỏi có mấy cách chọn 1 quần để mặc?
Giải
TH1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean:
TH2: Chọn 1 quần tây từ 3 quần tây:
Vậy có: 4 + 3 = 7 cách. 
4 cách.
3 cách.
9/3/2019
6
31
2.2. Quy tắc nhân: 
Công việc 
Bước
1 cách
2 cách
 
k cách
1 2 ... kn n n cách
thực hiện
1 n
2 n
 kn
32
Ví dụ 2: Có 4 quần Jean khác nhau và 3
áo sơ mi khác nhau. Hỏi có mấy cách
chọn 1 bộ đồ để mặc?
Giải
Bước 1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean:
Bước 2: Chọn 1 áo sơ mi từ 3 áo sơ mi:
Vậy có: 4 3 12 
4 cách.
3 cách.
cách.
33
Tóm lại:
-Khi thực hiện một công việc có nhiều phương
án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong
công việc. Khi đó, ta dùng quy tắc cộng.
-Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua
nhiều bước mới xong công việc, thì ta dùng
quy tắc nhân.
34
2.3. Hoán vị:
!n
n vật khác nhau xếp vào n chỗ khác
nhau theo một thứ tự nhất định hoặc đổi chỗ n
vật khác nhau. cách.
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 3 người
vào một bàn dài có 3 chỗ ngồi?
3! 6 cách
35
Ví dụ 4: Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên A, B,
C, D, E vào 1 chiếc ghế dài có 5 chỗ. Có
bao nhiêu cách xếp sao cho A, B ngồi hai
đầu ghế?
36
2.4. Tổ hợp ( ):knC
Từ n vật khác nhau, chọn (bốc, rút, lấy) ra k vật.
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
cách.
Ví dụ 5: Một lớp học có 40 người. Có bao 
nhiêu cách chọn ra 3 người để cử đi họp.
3
40 C 9880 cách.
(0 ; , )k n k n 
9/3/2019
7
37
Ví dụ 6: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ
một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận
kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3
hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu
nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách chọn được 3 hộp sữa cùng
loại.
b) Có bao nhiêu cách chọn được 3 hộp sữa sao
cho có đủ cả 3 loại.
38
Ví dụ 7: Một hộp có 7 chính phẩm và 4 phế phẩm, có
bao nhiêu cách chọn ra 6 sản phẩm từ hộp trong đó:
a) có 3 chính phẩm và 3 phế phẩm.
b) có đúng 2 phế phẩm.
c) có ít nhất 2 phế phẩm.
d) có nhiều nhất 2 phế phẩm.
e) có không quá 1 phế phẩm.
f) có đủ cả chính phẩm và phế phẩm
g) không có quá 4 chính phẩm.
39
Ví dụ 8: Một tổ có 17 bạn gồm 8 nam và 9 nữ.
Chọn từ tổ ra 5 bạn và xếp vào một bàn học
ngang có thứ tự 5 vị trí. Có bao nhiêu cách xếp
sao cho 5 bạn được chọn có 2 nữ và 3 nam.
40
2.5. Chỉnh hợp ( ):
Từ n vật khác nhau, chọn (bốc, rút, lấy) ra k vật 
rồi xếp vào k chỗ khác nhau
knXếp có lặp lại, có hoàn lại cách.
Xếp không lặp lại, không hoàn lại
!
( )!
k
n
n
A
n k
cách.
(0 ; , )k n k n 
Nhận xét: . !k kn nA C k 
k
nA
41
Ví dụ 9: Một lớp học có 40 người. Có bao
nhiêu cách lập một ban cán sự lớp gồm: Lớp
trưởng, lớp phó học tập, lớp phó phong trào
nếu:
a) 1 ứng cử viên có thể phụ trách cùng lúc
nhiều chức danh?
b) 1 ứng cử viên chỉ được phép phụ trách 1 chức
danh?
42
Ví dụ 10: Một lớp có 25 học sinh nam và 15
học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra
một học sinh làm lớp trưởng, một học sinh làm
lớp phó và một học sinh làm thủ quỹ, hỏi có
bao nhiêu cách chọn nếu lớp trưởng phải là học
sinh nam?
9/3/2019
8
43
Hiện tượng tất định:
IV. Hiện tượng ngẫu nhiên: 
Hiện tượng ngẫu nhiên:
là những hiện tượng
mà khi thực hiện
trong cùng một điều
kiện như nhau sẽ
cho kết quả như
nhau.
là những hiện tượng mà
dù được thực hiện trong
cùng một điều kiện như
nhau vẫn có thể cho
nhiều kết quả khác
nhau.
biết trước kết quả
sẽ xảy ra
không biết trước được
kết quả sẽ xảy ra
44
-Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng khảo sát
của lý thuyết xác suất.
-Mỗi lần cho xuất hiện một hiện tượng ngẫu
nhiên được gọi là “thực hiện một phép thử”.
4.1. Phép thử (T ): thí nghiệm, sự quan sát
hiện tượng nào đó mà kết quả của nó không
thể dự đoán trước được.
kết quả có thể xảy ra của phép thử.
4.2. Không gian mẫu ( ):  Tập hợp tất cả các
45
T: tung một đồng xu▪
  | |  
T: tung 2 con súc sắc | |  ▪
  
Ví dụ 1: 
T: tung một con súc sắc▪
| |  
46
Ví dụ 2: 
▪ Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ.
Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi.
T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ 10 bi
| |  
▪T: quan sát tuổi thọ (giờ) của một loại bóng đèn
  
▪
  
Nếu chỉ quan tâm đến số lần tung thì
T: tung 1 đồng xu đến khi xuất hiện mặt sấp 
thì dừng
 
47
4.3. Biến cố: là tập con của không gian mẫu. 
Thường được ký hiệu là A, B, C,
Ví dụ 3: 
T: tung một con súc sắc  
A: “Súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm”
 A
Khi nào biến cố 
A xảy ra?
Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của
biến cố A thì ta nói biến cố A xảy ra.
{1, 2,3, 4,5,6}.
48
Ví dụ 4: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ.
T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi | |  
A: “Lấy được 2 bi đỏ” 
| | A
B: “Lấy được 2 bi khác màu” 
| | B
Chú ý:
 : biến cố chắc chắn (luôn luôn xảy ra).
 : biến cố không thể (không bao giờ xảy
ra).
A 
 A
9/3/2019
9
49
Ví dụ 5: 
T: tung một con súc sắc
A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số chấm 
không vượt quá 6”
B: “Súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm”
 A {1, 2,3, 4,5,6} . 
 B .
  {1, 2,3, 4,5,6}.
50
5.1. Quan hệ kéo theo: 
A B
 A xảy ra thì suy ra B xảy ra
: biến cố A kéo theo biến cố B
A B
A
B 
V. Phép toán trên các biến cố: 
51
Ví dụ 1: Theo dõi 3 con gà mái đẻ trứng trong 
một ngày.
“Có 1 con gà đẻ trứng trong một ngày”1 :D
“Có 2 con gà đẻ trứng trong một ngày”2 :D
“Có 3 con gà đẻ trứng trong một ngày”3 :D
B: “Có nhiều hơn 1 con gà đẻ trứng trong một 
ngày”
“Không có con gà nào đẻ trứng trong một ngày”0 :D
. Trong các biến cố trên, biến cố 
nào kéo theo biến cố B? 
( 0, 3)iD i 
0D B 1D B 2D B 3D B
52
5.2. Quan hệ tương đương: 
 A B
 
 
A B
B A
: biến cố A tương đương với biến cố B
 A B
 A xảy ra thì suy ra B xảy ra
và ngược lại.
53
5.3. Tổng của các biến cố: 
 A B A B
A + B xảy ra có ít nhất 1 trong hai biến cố 
A, B xảy ra
 hoặc A, 
hoặc B, 
hoặc cả A và B đều xảy ra.
A B

54
Ví dụ 3: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Lấy 
ngẫu nhiên ra 3 bi. 
T: “3 bi lấy ra là 3 bi trắng”.
Đ: “3 bi lấy ra là 3 bi đỏ”.
A: “3 bi lấy ra có màu giống nhau” A T Đ.
Ví dụ 2: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK.
A: “Sinh viên A đậu”.
B: “Sinh viên B đậu”.
C: “Có ít nhất một sinh viên đậu” . C A B
9/3/2019
10
55
5.4. Tích của các biến cố: 
.  A B A B
A.B xảy ra A xảy ra VÀ B xảy ra
A B
(tất cả)

56
Ví dụ 5: Một người dự thi lấy bằng lái xe máy.
A: “Người đó thi đậu vòng thi lý thuyết”.
. C AB
Ví dụ 4: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK.
A: “Sinh viên A đậu”.
B: “Sinh viên B đậu”.
C: “SV A và SV B đều đậu” . C AB
B: “Người đó thi đậu vòng thi thực hành”.
C: “Người đó lấy được bằng lái xe máy”
57
Ví dụ 6: Một thợ săn bắn 2 viên đạn vào một con 
thú.
“Viên đạn thứ 1 trúng con thú”.
“Viên đạn thứ 2 trúng con thú”.
A: “Con thú bị trúng đạn”.
1 :A
2 :A
Chọn câu đúng: 
1) a A A 2) b A A 1 2) c A A A
1 2) . d A A A
e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng.
58
Ví dụ 7:Có 2 hộp bi. Hộp I có 6 bi trắng và 4 bi 
đỏ. Hộp II có 7 bi trắng và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu 
nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi. 
“Bi lấy từ hộp I là bi trắng”.
A: “2 bi lấy ra là bi trắng”.
1 :T
Chọn câu đúng: 
1) a A T 2) b A T 1 2) . c A T T
1 2) d A T T
e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng.
“Bi lấy từ hộp II là bi trắng”.2 :T
VI. Quan hệ giữa các biến cố: 
59
6.1. Xung khắc: 
A và B xung khắc 
 A và B không bao giờ cùng xảy ra.
A B  
A B

60
Ví dụ 1: T: tung một con súc sắc
A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”. 
B: “Súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm”.
C: “Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”.
Chọn câu đúng: 
a) A và B xung khắc.
b) A và C xung khắc.
c) B và C không xung khắc.
d) Tất cả đều sai.
9/3/2019
11
61
Ví dụ 2: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 1 lá. 
A: “Lấy được lá ách”. 
B: “Lấy được lá cơ”.
Chọn câu đúng: 
a) A và B xung khắc.
b) A và B không xung khắc.
62
Ví dụ 3: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 2 lá. 
A: “Lấy được 2 lá ách”. 
B: “Lấy được 2 lá cơ”.
Chọn câu đúng: 
a) A và B xung khắc.
b) A và B không xung khắc.
63
6.2. Đối lập: 
A và B được gọi là đối lập nhau 
 luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra
(có 1 và chỉ 1)
Ký hiệu: A là biến cố đối (lập) của biến cố A.

AA
 
 
A A
A A

A: “Không xảy ra biến cố A”.

64
Ví dụ 4: T: tung một đồng xu
A: “Xuất hiện mặt ngửa”. 
B: “Xuất hiện mặt xấp”.
A và B đối nhau. 
65
Ví dụ 5: T: tung một con súc sắc
A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”. 
B: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút lẻ”.
C: “Súc sắc xuất hiện mặt 4 chấm”.
Chọn câu đúng: 
a) A và B không xung khắc.
b) A và B đối nhau.
c) B và C không xung khắc.
d) B và C đối nhau.
66
Ví dụ 6:
T: tung một con súc sắc
A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút ít nhất là 4”. 
Chọn câu đúng: 
a)A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút là 3”. 
b) 1, 2, 3 . A
c)A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút nhiều nhất 
là 3”. 
d) Cả hai câu b và c đều đúng.
9/3/2019
12
67
Nhận xét:
 A và B
đều không xảy ra 
đều xảy ra
 A và B không đối nhau.
 đối nhau xung khắc.

A xảy ra A không xảy ra.
68
Ví dụ 7: Có 2 sinh viên đi thi. Đặt
:iS “Sinh viên i thi đậu”. (i=1,2)
Hãy biểu diễn các biến cố sau theo 
a) A: “Cả 2 sinh viên đều thi đậu”. 
:iS
b) B: “Không có ai thi đậu”. 
e) E: “Chỉ có sinh viên 1 thi đậu”. 
f) F: “Chỉ có 1 sinh viên thi đậu”. 
d) D: “Có sinh viên 1 thi đậu”. 
g) G: “Có sinh viên thi đậu”. 
h) H: “Có nhiều nhất 1 sinh viên thi đậu”. 
c) C: “Có ít nhất 1 sinh viên thi đậu”. 
VII. Các tính chất của biến cố:
69
 ; . .A B B A A B B A 
 ( ) ( ); ( . ). .( . )A B C A B C A B C A B C 
 .( ) . . ;A B C A B A C 
 ; .A B A B B A B A 
 ; .A A A A  
 ; ; . ; .A A A A A A A A A   
 . ; .A B A B A B A B 

( . ) ( . )B B A B A 
A A
B
.B A .B A
VIII. Nhóm đầy đủ các biến cố: 
70
1 2 3, , ,..., nA A A A   là nhóm đầy đủ
1 2 3 ...
khi
     
  
n
i j
A A A A
AA i j
 luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra. 

1A
2A
nA
...
71
Ví dụ 1: là một nhóm đầy đủ. ,A A
Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng, 2 bi đỏ và 3 bi 
xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 1 bi. 
T: “Lấy được viên trắng”.
Đ: “Lấy được viên đỏ”.
X: “Lấy được viên xanh”.
 {T, Đ, X} là một nhóm đ ... 40% bóng hỏng. 
Bài 7: Trong ví có 6 tờ 200 nghìn, 4 tờ 100 nghìn. Rút ngẫu nhiên 5 tờ. Tính xác suất để tổng số 
tiền rút được đó bằng 800 nghìn. 
Bài 8: Để thi hết môn học, mỗi sinh viên phải học 30 câu. Đề thi gồm 5 câu trong 30 câu đã cho. 
Một sinh viên chỉ thuộc 20 câu. Tính xác suất một sinh viên dự thi làm được ít nhất 1 câu. 
Bài 9: Có 12 sản phẩm trong đó có 3 sản phẩm tốt. Chia đều cho 3 người, mỗi người 4 sản 
phẩm. Tính xác suất: 
a) mỗi người đều có 1 sản phẩm tốt. 
b) có đúng 1 người có 2 sản phẩm tốt. 
Bài 10: Một hộp có 4 bi đỏ, 2 bi xanh. Một em bé lấy lần lượt cho tới khi hết bi trong hộp thì 
thôi. Tính xác suất để bi đỏ được lấy ra ở lần cuối cùng. 
Bài 11: Lai hai giống hoa màu hồng và màu đỏ người ta được ba kết quả: Cây ở thế hệ sau có 
hoa màu hồng, đỏ, hoặc cánh sen với cùng khả năng. Chọn ngẫu nhiên 5 hạt hoa lai đem gieo. 
Tìm xác suất để: 
a) có đúng 3 cây màu đỏ. 
b) có 2 cây màu đỏ, 2 cây màu cánh sen và 1 cây màu hồng. 
23 
Bài 12: Ba công nhân I, II, III có cùng kỹ năng, cùng tay nghề thay nhau sản xuất một loại sản 
phẩm. Trong số sản phẩm làm ra trong 1 tháng có 4 phế phẩm. Tìm xác suất: 
a) 3 phế phẩm của I còn 1 phế phẩm của II. 
b) một trong 3 người làm ra 3 phế phẩm. 
Bài 13: Theo thống kê hàng năm ở một vùng trong 3 tháng cuối năm có mưa lớn 6 lần. Tìm tỉ lệ 
ngày của vùng không có mưa lớn quá 1 lần trong thời gian đó. 
Dạng 2: Tính xác suất bằng công thức cộng, công thức nhân, xác suất có điều kiện 
Bài 1: Một nồi hơi có 2 van bảo hiểm hoạt động độc lập, xác suất mỗi van hỏng tương ứng là 0,1 
và 0,05. Tính xác suất nồi hơi hoạt động an toàn: 
a) Khi nồi hơi có van không hỏng. 
b) Khi nồi hơi không có van hỏng. 
Bài 2: Trong một nghiên cứu về phạm vi của hai loại bệnh, bệnh tim và bệnh huyết áp, trong một 
vùng dân cư, người ta ghi nhận được kết quả sau: có 9% dân cư mắc bệnh tim, 12% bệnh huyết 
áp và 7% mắc cả hai bệnh này. Dựa trên dữ kiện này, tính tỷ lệ dân cư của vùng: 
a) mắc ít nhất một bệnh. 
b) không bị bệnh nào. 
c) không mắc cả hai bệnh. 
d) bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp. 
e) không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp. 
Bài 3: Một lô hàng có 6 sản phẩm. Mỗi lần kiểm tra chất lượng người ta lấy ngẫu nhiên ra 2 sản 
phẩm. Sau khi kiểm tra xong lại trả trở lại vào lô hàng. Tính xác suất để sau 3 lần kiểm tra lô 
hàng thì tất cả các sản phẩm đều được kiểm tra. 
Bài 4: Một thành phố có 3 tờ báo A, B, C. Tỉ lệ dân của thành phố đọc các tờ báo này như sau: 
A: 10%; B: 30%; C: 6%; A và B: 8%; A và C: 2%; B và C: 4%; A, B và C: 1%. 
Tính tỉ lệ dân của thành phố: 
a) Có đọc báo. 
b) Chỉ đọc 1 tờ báo. 
c) Có đọc báo buổi sáng và báo buổi chiều, có đọc chỉ báo sáng hay báo chiều. Nếu A, C là báo 
sáng, B là báo chiều. 
Bài 5: Xác suất để đóng mỗi công tắc trong mạch (hình vẽ) lần lượt là 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 và 0,5. 
Các công tắc hoạt động độc lập. Tìm xác suất để trong mạch từ A đến B có điện theo các mô 
hình sau: 
 a) b) 
24 
Bài 6: Cho A và B là hai biến cố sao cho 1P(A) ,
4
 1P(B)
3
 và 23P(A+B) .
60
 Tính P A B , 
 P A B , P AB B , P AB B . 
Bài 7: Cho A và B là hai biến cố độc lập sao cho P(A) 0,6; P(B) 0,2 . Tính P A B , 
 P AB , P A B . 
Bài 8: Một người đầu tư vào 3 loại cổ phiếu A, B, C. Xác suất trong thời gian T các cổ phiếu này 
tăng giá lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Tính xác suất trong thời gian T: 
a) có cổ phiếu tăng giá. 
b) có 1 cổ phiếu tăng giá. 
c) Giả sử có 2 cổ phiếu không tăng giá. Tính xác suất B không tăng giá. Biết rằng các cổ phiếu 
A, B, C hoạt động độc lập. 
Bài 9: Thống kê của phòng nhân sự như sau: 
 Nam Nữ Tổng 
Thăng tiến 288 36 324 
Không thăng tiến 672 204 872 
Tổng 960 240 1200 
Chọn ngẫu nhiên ra 1 người. Tính xác suất: 
a) chọn được 1 nhân viên nam. 
b) chọn được 1 nhân viên không thăng tiến. 
c) chọn được 1 nhân viên nữ thăng tiến. 
d) chọn được 1 nhân viên không thăng tiến biết rằng đã chọn được nhân viên nữ. 
Bài 10: Người ta tổng kết về các phương pháp chuẩn đoán bệnh dạ dày tá tràng. Trên lâm sàng 
chuẩn đoán đúng 60%, X quang 70%, nội soi 80%. Kết hợp cả 3 phương pháp trên thì khả năng 
chuẩn đoán đúng là bao nhiêu phần trăm? 
Bài 11: Một trường đại học có 52% số sinh viên là nữ, 5% số sinh viên của trường học Toán và 
2% nữ của trường học ngành này. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên của trường. Tìm xác suất 
a) sinh viên là nữ biết rằng sinh viên đó học Toán. 
b) sinh viên học Toán biết sinh viên đó là nữ. 
Bài 12: Trong một vùng dân cư, tỷ lệ những người có dấu hiệu lách to là 20%, những người bị 
sốt rét là 23%, những người vừa sốt rét vừa lách to là 18%. Một người đến ngẫu nhiên từ vùng 
dân cư đó, người này không có dấu hiệu lách to. Tính xác suất người này bị sốt rét. 
Bài 13: Xác suất để máy thứ nhất sản xuất được sản phẩm loại A là 0,9. Đối với máy thứ hai xác 
suất này là 0,8. Cho mỗi máy sản xuất một sản phẩm thì được 1 sản phẩm loại A. Tính xác suất 
để sản phẩm loại A đó là do máy thứ nhất sản xuất. 
Bài 14: Một người tham gia đấu thầu 2 dự án. Khả năng trúng thầu dự án thứ nhất là 0,6. Nếu 
trúng thầu dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu dự án thứ hai tăng lên là 0,8; còn nếu không 
trúng thầu dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu dự án thứ hai chỉ còn là 0,2. Tìm xác suất để 
người đó: 
a) Trúng thầu cả 2 dự án. b) Chỉ trúng thầu 1 dự án. c) Trúng thầu ít nhất 1 dự án. 
25 
Bài 15: Một người săn thỏ trong rừng. Anh ta bắn viên thứ nhất với xác suất trúng thỏ là 1
2
. Nếu 
bị trượt, anh ta bắn viên thứ hai với xác suất trúng thỏ là 1
3
. Nếu lại trượt nữa, anh ta bắn viên 
thứ ba với xác suất trúng thỏ là 1
5
. Tính xác suất người thợ săn bắn được thỏ trong cuộc đi săn 
này. 
Bài 16: Trong một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 20 sản phẩm loại A. Lấy ngẫu nhiên 
(liên tiếp từng sản phẩm một và không hoàn lại) 3 sản phẩm. Tính xác suất để cả 3 sản phẩm đều 
là loại A. 
Bài 17: Một túi có 12 viên bi, trong đó có 3 bi đỏ. Thực hiện 3 lần lấy không hoàn lại, mỗi lần 4 
bi. Tính xác suất để trong mỗi lần lấy có 1 bi đỏ. 
Bài 18: Một hộp có 10 bi trong đó có 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng bi 
cho đến khi lấy được 2 bi đỏ thì dừng. Tính xác suất việc lấy bi dừng ở lần thứ 3. 
Bài 19: Hộp có 4 bi đỏ, 3 bi xanh, 5 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng bi cho 
đến khi lấy được bi đỏ thì dừng. 
a) Tính xác suất việc lấy bi dừng ở lần thứ 4. 
b) Giả sử việc lấy bi dừng ở lần thứ 4. Tính xác suất trong số bi lấy ra có 2 bi vàng. 
Bài 20: Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm 10 chìa hình thức giống nhau nhưng trong đó chỉ 
có 3 chìa mở được kho, anh ta mở ngẫu nhiên từng chìa một cho tới khi mở được kho. Tìm xác 
suất để: 
a) anh ta mở tới lần thứ 3 thì mở được kho. 
b) anh ta mở được khóa mà không quá 3 lần mở. 
Dạng 3: Tính xác suất bằng công thức đầy đủ, công thức Bayes 
Bài 1: Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ chính phẩm của máy thứ nhất là 0,9; của 
máy thứ hai là 0,85. Từ một kho chứa 1
3
 sản phẩm của máy thứ nhất (còn lại của máy thứ hai), 
lấy ra 1 sản phẩm để kiểm tra. 
a) Tính xác suất lấy được phế phẩm. 
b) Nếu sản phẩm lấy ra là chính phẩm, tính xác suất sản phẩm đó do máy thứ hai sản xuất ra. 
Bài 2: Một trường tiểu học có 55% học sinh là nam. Trong số học sinh nam có 16% em bị cận 
thị, tỉ lệ này ở nữ là 15%. 
a) Tính tỉ lệ học sinh bị cận thị. 
b) Tính tỉ lệ nữ trong số học sinh bị cận thị. 
Bài 3: Một công ty bất động sản chuẩn bị bán một số căn hộ. Họ tin rằng, nếu nền kinh tế tiếp 
tục phát triển thì khả năng bán hết các căn hộ (theo đúng kế hoạch) là 0,7; trong trường hợp 
ngược lại, họ chỉ có thể bán hết các căn hộ với xác suất là 0,35. Theo dự báo của các chuyên gia 
kinh tế, xác suất nền kinh tế tiếp tục phát triển là 0,65. Từ những số liệu đó, tính xác suất để công 
ty bán hết các căn hộ. 
26 
Bài 4: Một công ty bảo hiểm chia dân cư (đối tượng bảo hiểm) làm 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trung 
bình, rủi ro cao. Theo thống kê cho thấy tỉ lệ dân gặp rủi ro trong 1 năm tương ứng với các loại 
trên là 5%; 15%; 30% và trong toàn bộ dân cư có 20% ít rủi ro; 50% rủi ro trung bình; 30% rủi 
ro cao. 
a) Tính tỉ lệ dân gặp rủi ro trong một năm. 
b) Nếu một người không gặp rủi ro trong năm thì xác suất người đó thuộc loại ít rủi ro là bao 
nhiêu? 
Bài 5: Một đài khí tượng thủy văn muốn xem xét khả năng dự báo thời tiết của mình. Từ số liệu 
thống kê chỉ ra rằng: xác suất dự báo có nắng trong ngày không mưa là 0,8; có nắng trong ngày 
mưa là 0,4; xác suất một ngày sẽ không mưa là 0,6. 
a) Tính xác suất dự báo ngày sẽ có nắng. 
b) Tính xác suất sẽ là ngày không mưa, biết rằng đã có dự báo là ngày có nắng. 
Bài 6: Có bốn nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ I có 5 người, nhóm thứ II có 7 người, nhóm thứ 
III có 4 người và nhóm thứ IV có 2 người. Xác suất bắn trúng đích của mỗi người trong nhóm 
thứ I, nhóm II, nhóm III và nhóm IV theo thứ tự là 0,8; 0,7; 0,6 và 0,5. Chọn ngẫu nhiên một xạ 
thủ và xạ thủ này bắn trượt. Hãy xác định xem xạ thủ này có khả năng ở trong nhóm nào nhất? 
Bài 7: Một người bị nghi là mắc 1 trong 2 bệnh A và B. Theo thống kê thì xác suất mắc bệnh A 
cao gấp 3 lần xác suất mắc bệnh B. Bệnh viện thực hiện 2 xét nghiệm y học T1 và T2 một cách 
độc lập cho người đó. Biết rằng nếu có bệnh A thì T1 cho dương tính với xác suất 0,9; còn T2 cho 
dương tính với xác suất 0,8. Trường hợp có bệnh B thì T1 cho dương tính với xác suất 0,75; còn 
T2 cho dương tính với xác suất 0,7. Giả sử cả hai xét nghiệm đều dương tính. Tính xác suất 
người đó mắc bệnh A. 
Bài 8: Dân cư trong thành phố X có nhóm máu phân bố như sau: 
Nhóm máu O A B AB 
Tỉ lệ 25% 40% 25% 10% 
Dân cư trong thành phố Y có nhóm máu phân bố như sau: 
Nhóm máu O A B AB 
Tỉ lệ 45% 40% 10% 5% 
Biết rằng người có nhóm máu AB có thể nhận máu của bất kỳ nhóm máu nào, còn một người có 
máu thuộc các nhóm còn lại (A hay B hay O) thì có thể nhận máu của người cùng nhóm với 
mình hay người có nhóm máu O. Giả sử có một bệnh nhân là dân cư của thành phố X. 
a) Nếu biết bệnh nhân có nhóm máu B. Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 1 người của thành phố 
Y có thể truyền máu được cho bệnh nhân. 
b) Nếu chưa biết nhóm máu của bệnh nhân. Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 1 người của Y có 
thể truyền máu được cho bệnh nhân. 
c) Nếu chưa biết nhóm máu của bệnh nhân và một người của thành phố Y đã có thể truyền máu 
được cho bệnh nhân. Tính xác suất để người cho máu này thuộc nhóm B. 
Bài 9: Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật), hay do hai trứng khác nhau 
sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn có cùng giới tính. Đối với cặp sinh đôi giả thì 
giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất 0,5 là con trai. Thống kê cho thấy 34% cặp 
sinh đôi đều là trai, 30% cặp sinh đôi đều là gái, và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. 
a) Tìm tỉ lệ cặp sinh đôi thật. 
27 
b) Chọn ngẫu nhiên 1 cặp sinh đôi thì được 1 cặp có cùng giới tính. Tính xác suất để đó là cặp 
sinh đôi thật. 
Bài 10: Một bệnh nhân bị nghi là có thể mắc 3 loại bệnh A, B, C với xác suất tương ứng là 0,3; 
0,4; 0,3. Người đó đến khám bệnh ở 4 bác sĩ một cách độc lập. Bác sĩ thứ nhất chẩn đoán bệnh 
A; bác sĩ thứ hai chẩn đoán bệnh B; bác sĩ thứ ba chẩn đoán bệnh C và bác sĩ thứ tư chẩn đoán 
bệnh A. Sau khi khám bệnh xong, người bệnh xác định xác suất mắc bệnh A, B, C là bao nhiêu? 
Biết rằng xác suất chẩn đoán đúng của mỗi ông bác sĩ là 0,6 và chẩn đoán nhầm sang hai bệnh 
còn lại là 0,2 và 0,2. 
Bài 11: Có 3 hộp bi. Hộp 1 có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Hộp 2 có 7 bi xanh và 3 bi đỏ. Hộp 3 có 8 bi 
xanh và 2 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 1 bi. 
a) Tính xác suất để bi lấy ra là bi xanh. 
b) Tính xác suất để chọn được hộp bi 1, biết rằng bi lấy ra là bi đỏ. 
Bài 12: Có 3 hộp thuốc. Hộp I có 5 ống tốt và 2 ống xấu. Hộp II có 4 ống tốt và 1 ống xấu. Hộp 
III có 3 ống tốt. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó rút ngẫu nhiên 2 ống thuốc. 
a) Tìm xác suất để được 1 ống thuốc tốt và 1 ống thuốc xấu. 
b) Tìm xác suất để được 2 ống thuốc tốt. 
c) Giả sử khi rút ra 2 ống thuốc, ta thấy có 2 ống thuốc tốt. Tìm xác suất để các ống đó ở hộp II. 
Bài 13: Có 20 kiện hàng, trong đó có 8 kiện loại I, 7 kiện loại II và 5 kiện loại III, mỗi kiện có 
10 sản phẩm. Số phế phẩm có trong mỗi kiện loại I, II và III lần lượt là 1, 3 và 5. Lấy ngẫu nhiên 
1 kiện, rồi từ kiện đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. 
a) Tính xác suất sản phẩm lấy ra là phế phẩm. 
b) Biết sản phẩm lấy ra là phế phẩm, tính xác suất kiện lấy ra là loại II. 
Bài 14: Có 5 hộp bi, trong đó có 3 hộp loại I và 2 hộp loại II. Hộp loại I có 10 viên bi, trong đó 
có 6 bi trắng. Hộp loại II có 10 viên bi, trong đó có 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp 
đó lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. 
a) Tính xác suất để lấy được 2 bi trắng. 
b) Tính xác suất để chọn được hộp bi II, biết rằng 2 bi lấy ra là 2 bi trắng. 
Bài 15: Có 2 lô hàng, lô hàng I có 3 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu, lô hàng II có 5 sản phẩm 
tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô I bỏ vào lô II, rồi lấy ngẫu nhiên 1 sản 
phẩm từ lô II bỏ ra ngoài. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra lần 2 là sản phẩm xấu. 
Bài 16: Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Hộp 2 có 5 bi trắng và 5 bi đỏ. Lấy ngẫu 
nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2. Sau đó lấy ngẫu nhiên ra 1 bi từ hộp 2. 
a) Tìm xác suất lấy ra được bi đỏ. 
Giả sử lấy được bi đỏ. Tìm xác suất: 
b) Bi đỏ đó là của hộp 1. 
c) Hai bi bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 đều là đỏ. 
Bài 17: Có 2 hộp bi. Hộp I chứa 3 bi trắng và 3 bi xanh. Hộp II chứa 6 bi trắng và 4 bi xanh. Lấy 
ngẫu nhiên 4 bi từ hộp I bỏ vào hộp II và sau đó lại lấy ngẫu nhiên từ hộp II ra 1 bi. Tìm xác suất 
viên bi lấy ra là viên bi xanh. 
Bài 18: Có 2 lô sản phẩm. Lô I có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lô II có 5 chính phẩm và 5 phế 
phẩm. Từ lô I lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm và từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Sau đó, 
chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ 3 sản phẩm đó. Tìm xác suất chọn được phế phẩm. 
28 
Bài 19: Có 2 lô hàng: Lô I có 6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B; Lô II có 3 sản phẩm loại 
A và 7 sản phẩm loại B. Từ mỗi lô lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm đem bán. Các sản phẩm còn lại 
ở 2 lô được dồn chung lại thành lô III. Từ lô III lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tính xác suất đó 
là sản phẩm loại A. 
Bài 20: Có 3 lô hàng giống nhau, mỗi lô có 10 sản phẩm loại A và 12 sản phẩm loại B. Lấy 1 
sản phẩm ở lô I bỏ sang lô II, rồi lấy 1 sản phẩm ở lô II bỏ sang lô III, sau đó lấy 1 sản phẩm ở lô 
III bỏ ra ngoài. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm loại A. 
Bài 21: Có 2 lô sản phẩm. Lô I có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lô II có 5 chính phẩm và 5 phế 
phẩm. Từ lô thứ nhất bỏ sang lô thứ hai 1 sản phẩm, sau đó từ lô thứ hai bỏ sang lô thứ nhất 1 
sản phẩm, sau đó từ lô thứ nhất lấy ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm. 
Bài 22: Có 2 xạ thủ cùng bắn vào một con thú, mỗi người bắn một viên đạn. Xác suất bắn trúng 
đích của xạ thủ thứ nhất, thứ hai lần lượt là 0,6 và 0,7. Nếu bị trúng 1 viên đạn thì xác suất để 
con thú bị tiêu diệt là 0,5; còn nếu bị trúng 2 viên đạn thì con thú chắc chắn bị tiêu diệt. 
a) Tính xác suất con thú bị tiêu diệt. 
b) Biết rằng con thú bị tiêu diệt. Tính xác suất con thú bị trúng 1 viên đạn.