Bài giảng Xác suất thống kê - Bài 3: Các phân phối xác suất thường gặp

Bài 3
Các phân phối xác suất thường gặp
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối nhị thức
 Phép thử Bernoulli
Xét một thí nghiệm chỉ có 2 khả năng xảy ra: 
“thành công” hoặc “thất bại”.
Thành công với xác suất p.
Thất bại với xác suất 1-p.
Thí nghiệm như vậy gọi là phép thử Bernoulli, 
ký hiệu B(1,p).
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối nhị thức
 Phép thử Bernoulli – ví dụ.
Tung đồng xu: hình / số.
Mua vé số: trúng / không trúng.
Trả lời ngẫu nhiên 1 câu trắc nghiệm: đúng / sai.
Kiểm tra ngẫu nhiên hàng hóa: tốt / xấu.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối nhị thức
 Phân phối nhị thức
Thực hiện phép thử Bernoulli B(1,p) n lần độc 
lập. 
Đặt
X = “Số lần thành công trong n lần thí nghiệm”
X = 0, 1, 2, , n.
X có phân phối nhị thức với tham số p.
Ký hiệu: X ~ B(n,p).
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối nhị thức
 Công thức
Xét X ~ B(n,p)
( ) (1
0,1, ,
)k k n knP X k C p p
k n
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối nhị thức
 Ví dụ
Cho X ~ B(5,0.1)
Tính P(X=1)
k n k
1 5 1
4
P(X 1) P (1 P)
5!
(0.1) (1 0.1)
1!(5 1)!
(5)(0.1)(0.9)
.32805
k
nC
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối nhị thức
Mean n = 5 P = 0.1
0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
x
P(x)
n = 5 P = 0.5
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
x
P(x)
0
 Hình dạng của phân phối nhị thức sẽ phụ
thuộc vào p và n.
 n = 5 và P = 0.1
 n = 5 và P = 0.5
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối nhị thức
Nếu X ~ B(n,p):
EX np 1) Trung bình
2) Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn
2 npq 
npq 
- n: số lần thực hiện thí nghiệm 
- p: xác suất thành công ở 1 lần thí nghiệm
- q = 1- p.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối nhị thức
n = 5 P = 0.1
n = 5 P = 0.5
Mean
0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
x
P(x)
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
x
P(x)
0
0.5(5)(0.1)nPμ 
0.6708
0.1)(5)(0.1)(1P)nP(1-σ
2.5(5)(0.5)nPμ 
1.118
0.5)(5)(0.5)(1P)nP(1-σ
Ví dụ
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối Poisson
 Số các biến cố xảy ra trong một khoảng 
thời gian cho trước.
 Số các biến cố trung bình trên một đơn 
vị là .
 Ví dụ
Số người xếp hàng tính tiền ở siêu thị, 
số cuộc điện thoại đến bưu điện trong 1 
ngày, số máy tính hư trong 1 ngày ở 1 
khu vực, 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối Poisson
 Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị từ 0, 1, 2, 
 gọi là có phân phối Poisson với tham 
số  nếu
k = 0, 1, 2, 
( )
!
ke
P X k
k
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối Poisson
 Trung bình
 Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn
μ E(X) λ 
λ]σ2 2)[( XE
λσ 
Với  = số biến cố xảy ra trung bình trên 1 đơn vị
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối Poisson
 Ví dụ
Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi 
bị đứt trong 1 giờ có phân phối Poisson 
với trung bình là 4. Tính xác suất trong 1 
giờ có
a. Đúng 3 ống sợi bị đứt.
b. Có nhiều hơn 1 ống sợi bị đứt.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Bảng tra phân phối Poisson

0.90
0.4066
0.3659
0.1647
0.0494
0.0111
0.0020
0.0003
0.0000
0.4493
0.3595
0.1438
0.0383
0.0077
0.0012
0.0002
0.0000
0.4966
0.3476
0.1217
0.0284
0.0050
0.0007
0.0001
0.0000
0.5488
0.3293
0.0988
0.0198
0.0030
0.0004
0.0000
0.0000
0.6065
0.3033
0.0758
0.0126
0.0016
0.0002
0.0000
0.0000
0.6703
0.2681
0.0536
0.0072
0.0007
0.0001
0.0000
0.0000
0.7408
0.2222
0.0333
0.0033
0.0003
0.0000
0.0000
0.0000
0.8187
0.1637
0.0164
0.0011
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000
0.9048
0.0905
0.0045
0.0002
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0
1
2
3
4
5
6
7
0.800.700.600.500.400.300.200.10X
Ví dụ: Tìm P(X = 2) nếu  = .50
( )
!
0.50 2e (0.50)
2 .0758
2!
ke
P X
k
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối xác suất Poisson
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0 1 2 3 4 5 6 7
x
P
(x
)
0
1
2
3
4
5
6
7
X
0.6065
0.3033
0.0758
0.0126
0.0016
0.0002
0.0000
0.0000
 =
0.50
P(X = 2) = .0758
 = .50 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối Poisson
 Hình dạng của phân phối Poisson phụ
thuộc vào tham số  :
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
P
(x
)
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0 1 2 3 4 5 6 7
x
P
(x
)
 =0.50  =3.00
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Định lý Poisson
 Cho X ~ B(n,p)
 Dùng phân phối Poisson để xấp xỉ phân 
phối nhị thức khi n >> p.


 
0
lim
!
k
k k n k
n
n
p
np
e
C p q
k
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Mô hình Poisson
Mô hình Poisson :
+ Xét n phép thử Bernoulli. 
+ Trong đó xác suất thành công là p.
+ Các phép thử độc lập với nhau.
(Kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến kết 
quả của các phép thử kia)
+ X – số lần xuất hiện thành công trong n phép
thử.
+ Trong đó n lớn ( n 100) và p nhỏ (p 0,01
và np 20). 
Khi đó X ~ P(). Với  =np
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Mô hình Poisson
 Ví dụ
Trong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ
em ở một khu vực. Biết xác suất 1 trẻ bị
phản ứng với thuốc khi tiêm là 0.001. 
Tính xác suất trong 2000 trẻ có không 
quá 1 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối đều
 Tất cả các khả năng có thể xảy ra của biến ngẫu 
nhiên có phân phối đều có xác suất bằng nhau.
 X có phân phối đều trong khoảng [a,b], ký hiệu X ~ 
U([a,b]).
xmin xmax
x
f(x)
Tổng diện tích miền 
giới hạn bởi phân phối 
đều là 1.0
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối đều
 Hàm mật độ xác suất của phân phối đều trong đoạn 
[a,b]
1
neáu a x b
b a
 0 nôi khaùc
f(x) =
với
f(x) = giá trị hàm mật độ tại điểm x
a = giá trị nhỏ nhất của x
b = giá trị lớn nhất của x
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối đều
 Kỳ vọng
 Phương sai
a b
2
EX
2
2(b-a)
12
VarX 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối đều
Ví dụ: Phân phối đều trên khoảng 2 ≤ x ≤ 6
2 6
.25
f(x) = = .25 for 2 ≤ x ≤ 66 - 2
1
x
f(x) 2 6 4
2 2
a b
EX
2 2
6 2 16
1.333
12 12 12
b a
VarX
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối mũ
 Biến ngẫu nhiên T (t>0) gọi là có phân phối mũ nếu có hàm mật 
độ xác suất
Với
  số biến cố xảy ra trung bình trong một đơn vị thời gian.
 t số đơn vị thời gian cho đến biến cố kế tiếp.
 e = 2.71828
 Ký hiệu: T ~ exp(), T là khoảng thời gian giữa 2 lần xảy ra các 
biến cố.
λλ tf(t) e vôùi t 0 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối mũ
 Hàm phân phối xác suất
 Kỳ vọng và phương sai
λ tF(t) 1 e vôùi t>0 
1
ET

2
1
VarT

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối mũ
Ví dụ: Số khác hàng đến một quầy dịch vụ với tỷ lệ là 
15 người một giờ. Hỏi xác suất thời gian giữa 2 khách 
hàng liên tiếp đến quầy dịch vụ ít hơn 3 phút là bao 
nhiêu.
 Trung bình có 15 khách hàng đến trong 1 giờ, do đó 
= 15
 3 phút = 0.05 giờ
 T: thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy.
 P(T < .05) = 1 – e- t = 1 – e-(15)(.05) = 0.5276
 Vậy có khoảng 52,76% khoảng thời gian giữa 2 khách 
hàng liên tiếp đến làm dịch vụ tại quầy ít hơn 3 phút.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối mũ
Ví dụ:
Trong một nhà máy sản xuất linh kiện 
điện tử, biết tuổi thọ của một mạch điện 
là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với 
tuổi thọ trung bình là 6,25 năm. Nếu thời 
gian bảo hành của sản phẩm là 5 năm. 
Hỏi có bao nhiêu % mạch điện của nhà
máy khi bán ra thị trường phải thay thế 
trước thời gian bảo hành.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối chuẩn
 Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong R gọi là
có phân phối chuẩn với tham số  và 2 nếu 
hàm mật độ xác suất
Với: EX =  và VarX = 2.
 Ký hiệu: X ~ N(, 2)
2
2
2 ,
1
( )
2
x
xf x e


 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối chuẩn
 Dạng như một cái chuông
 Có tính đối xứng
 Trung bình = Trung vị = Mode
 Vị trí của phân phối được xác định 
bởi kỳ vọng, 
 Độ phân tán được xác định bởi độ
lệch tiêu chuẩn, σ
 Xác định từ + to 
Trung bình = Trung vị = Mode
x
f(x)
μ
σ
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối chuẩn
Bằng việc thay đổi các tham số μ và σ, ta nhận 
được nhiều dạng phân phối chuẩn khác nhau
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối chuẩn
x
f(x)
μ
σ
Thay đổi μ dịch chuyển phân 
phối qua trái hoặc phải
Thay đổi σ làm tăng 
hoặc giảm độ phân tán.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Hàm phân phối của phân phối chuẩn
 Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với 
trung bình μ và phương sai σ2 , X~N(μ, σ2), hàm 
phân phối của X là
)xP(X)F(x 00 
x0 x0
)xP(X 0 
f(x)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Xác suất của phân phối chuẩn
x
Xác suất X (a,b) đo bởi diện tích giới 
hạn bởi đường cong chuẩn.
F(a)F(b)b)XP(a 
bμa
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Xác suất của phân phối chuẩn
xbμa
bμa
bμa
F(a)F(b)b)XP(a 
a)P(XF(a) 
b)P(XF(b) 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối chuẩn hóa
 Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2). Chuẩn hóa X 
bằng cách đặt 
 Khi đó EZ = 0 và VarZ = 1. Ta nói Z có phân phối 
chuẩn hóa. Ký hiệu
1)N(0~Z ,
σ
μX
Z
Z
f(Z)
0
1
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối chuẩn hóa
 Nếu X có phân phối chuẩn với trung bình là 100 and 
độ lệch tiêu chuẩn là 50, thì giá trị của Z ứng với X = 
200 là
200 100
2.0
50
X
Z


Z
100
2.00
200 X (μ = 100, σ = 50)
(μ = 0, σ = 1)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Phân phối chuẩn hóa
 Hàm mật độ
 Hàm phân phối
2
2
1
( )
2
( ) : haøm Gauss
z
zf z e 
2
0
0
2
0 ) ( )
1
( ) (
2
haøm Laplace
z t
F z P Z e dtz z
  
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Tính xác suất
a b x
f(x)
σ
μa
F
σ
μb
F
σ
μb
Z
σ
μa
Pb)XP(a
σ
μb 
σ
μa 
Z
µ
0
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Tính xác suất
f(X)
Xμ
0.50.5
1.0)XP( 
P(μ X ) 0.5 
P( X μ ) 0.5 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)
 Để tìm xác xuất P(X<x0); chuẩn hóa đưa 
X về Z: tìm xác suất bằng cách tra bảng 
chuẩn hóa N(0,1).
Z
( )F(a) P(Z a)= a 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)
P(Z<1.04) = (1.04)= 0.8508
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)
Ví dụ:
P(Z < 2.00) = 
 (2.00) = .9772 Z0 2.00
.9772
Do tính đối xứng
(-z) = 1 - (z)
Ví dụ:
P(Z < -2.00) = (-2.00)= 1
–  (2.00) = 1 - 0.9772
= 0.0228
Z0-2.00
Z0 2.00
.9772
.0228
.9772
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Ví dụ
 Giả sử X có phân phối chuẩn với trung 
bình là 8.0 và độ lệch tiêu chuẩn 5.0. 
Tìm P(X < 8.6).
X
8.6
8.0
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Ví dụ
Z0.120X8.68
μ = 8
σ = 10
μ = 0
σ = 1
P(X < 8.6) P(Z < 0.12)
8.6 8.0
0.12
5.0
X
Z


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Ví dụ
Z
0.12
z (z)
.10 .5398
.11 .5438
.12 .5478
.13 .5517
(0.12) = 0.5478
Tra bảng chuẩn hóa
0.00
= P(Z < 0.12)
P(X < 8.6)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Ví dụ
 Giả sử X có phân phối chuẩn với trung 
bình 8.0 và độ lệch tiêu chuẩn 5.0. 
 Tìm P(X > 8.6)
X
8.0
8.6
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Ví dụ
 Tìm P(X > 8.6)
Z
0.12
0
Z
0.5478
0
1.000 1.0 - 0.5478 
= 0.4522
P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)
= 1.0 - 0.5478 = 0.4522
0.12
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Quy tắc k - 
x
 – 3  – 1
 – 2
 + 1
 + 2
 + 3
68.26%
95.44%
99.72%
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân 
phối chuẩn
 Cho X ~ B(n,p). Khi n lớn và p không 
quá gần 0 và 1.
 Tính P(X < c)?
 Tính P(a < X < b)?
Dùng phân phối chuẩn.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân 
phối chuẩn
 Đặt
 = EX = np
2 = VarX = np(1-p)
 Tạo biến ngẫu nhiên Z có phân phối 
chuẩn hóa từ phân phối nhị thức
(1 )
X EX X np
Z
VarX np p
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân 
phối chuẩn
( )
X np c np c np c np
P X c P P Z
npq npq npq npq
 
a np b np
P a X b P Z
npq npq
b np a np
npq npq
  
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân 
phối chuẩn
 Ví dụ
Trong một cuộc bầu cử ở một thành phố, 
biết rằng 40% người dân ủng hộ ứng cử
viên A. Chọn ngẫu nhiên 200 người, hỏi 
xác suất gặp được từ 76 đến 80 người 
ủng hộ ứng cử viên A là bao nhiêu?
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Ví dụ
 E(X) = µ = nP = 200(0.40) = 80
 Var(X) = σ2 = nP(1 – P) = 200(0.40)(1 – 0.40) = 48
76 80 80 80
P(76 X 80) P Z
200(0.4)(1 0.4) 200(0.4)(1 0.4)
P( 0.58 Z 0)
(0) ( 0.58)
0.5000 0.2810 0.2190
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.