Bài giảng Xác suất thống kê A - Chương 2: Biến ngẫu nhiên

Chương 2: Biến ngẫu nhiên
Khái niệm biến ngẫu nhiên	H
Biến ngẫu nhiên là một biến mà mỗi giá trị của nó được gán tương ứng với mỗi khả năng có thế xảy ra của hiện tượng ngẫu nhiên.
(BNN là cách mô tả kết quả của p.thử dưói dạng số)
Biến ngẫu nhiên rời rạc là BNN mà giá trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.
Biến ngẫu nhiên liên tục là BNN mà giá trị của nó có thể lấp đầy một khoảng trên trục số.
Ký hiệu: X, Y, z,...: biến ngẫu nhiên.
a, b, c, X, y, ...: giá trị của BNN. x(fì): tập giá trị của BNN X.
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
Ví dụ 65
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangflsgu.edu.vn
Ví dụ 64
Tung một đồng xu 3 lần, quy ước rằng nếu mặt ngửa (N) thì ta mất 2 đồng, sấp thì thắng 1 đồng. Tìm số tiền thu được X sau 3 lần tung.
Phép thử: "tung đồng xu 3 lần" Không gian mẫu Q, và giá trị BNN X:
Q
NNN
NNS
NSN
SNN
NSS
SNS
SSN
sss
X
-6
-3
-3
-3
0
0
0
3
X(Í2) = {-6,-3,0,3}.

Một ngưòi bắn vào bia cho tói khi nào bắn trúng thì ngừng.
Phép thử: "bắn bia tới khi trúng"
Không gian mẫu: fì = { T, TT, T TT,...}
Gọi Y là số đạn cần dùng.
Y(fì) = {1,2,3,...,/7,..}
GV: Hoàng Dức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
Ví dụ 66
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangflsgu.edu.vn
Quy luật phân phối xác suất
Rót nưóc vào một cái can dung tích 12,1 lít.
Gọi X là số lít nưốc đã rót vào can.
=> 0 < X < 12,1
Ví dụ 67
Quan sát các cuộc gọi đến phòng tiếp nhận thông tin một công ty bảo hiếm.
Gọi X là thòi gian giữa 2 cuộc gọi liên tiếp.
=?>• X G [0, Too)

Để xác định 1 biến ngẫu nhiên X, ta cần biết
BNN X nhận những giá trị nào, nghĩa là xác định
Nhận giá trị ấy vói xác suất bao nhiêu.
Quy luật phân phối xác suất của BNN nhằm chỉ ra mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của BNN vói xác suất tương ứng.
Ta thường dùng bảng phẫn phối xác suất, hàm phẫn phối xác suất, hoặc hàm mật độ để biểu diễn quy luật xác suất của BNN.
Quy ước
II.1. BNN rờ! rạc - bảng phân phối xá
Xét BNN ròi rạc X có X(Q) = {xi,x2, ...,x„}. Ta có bảng phân phối xác suất BNN X như sau
X XỊ x2 	 xn
p Pl P2 	 Pn
Trong đó
/. P, = P(X = X,): xác suất đế X nhận giá trị X/. /7. 0 < Pi < 1; / = 1,2,n
n
Hi. E P/ = 1.
/=1

1.
P(x < X,) = P[(x = X1)+(X = x2)+- • - + (X = X,)] = pịx = X1)+P(X = x2)+- ■ +P(X = X-)
2.
p(a < X < b) = E P(X = x,)
a<Xj<b
p(a < X < b) = E p(x = Xi)
a<XỊ<b
p(a < X < b) = £ P(X = Xi)
a<Xj<b
p{a<x<b) = £p(X = Xi)
a<Xi<b
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangCsgu.edu.vn
Bảng phân phối xác suất của BNN X
Q
NNN NNS NSN SNN NSS SNS SSN sss
X
-6	-3	-3	-3	0	0	0	3
p
1	1111111
8	8888888
Ta có
P(x = -3) = P(SNN, NSN, NNS)
X
-6-3 0 3
p
13 3 1
8 8 8 8
Tương tự, ta có
= P(SNN) + P(NSN) + P(NNS)
_ 1 ■ 1	1 _ 3
_8 + 8 + 8_8’
Tìm xác suất ta thua trò chơi P(Thua) = P(X < -3)
= P(x = —6) + P(x = -3) _ 1 3 _ 1
_ 8 + 8 _ 2
1	.3	.	1
p(x = -6) = i; p(x = 0) = I và P(X = 3) = i
GV: Hoàng Dức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
Ví dụ 69
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangCsgu.edu.vn
11.2. BNN rời rạc - hàm mật độ BNN rời
Cho bảng phân phối xác suất
X
-2-10	1	2
p
0,2 0,4 0,1 0,2 0,1
Tính
1. P(x < 2)
2. p (X > 2)
3. p(-l < X
< 1)	4. p (X < -lhoặcX = 2)
Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau
X XỊ x2 	 x„
p Pl P2 	 Pn
Khi đó, hàm mật độ của X xác định như sau
Pi,
0,
X = Xi
X í xi- Vi
Tính chất 1
Ví dụ 70
f(x,) = P(X = x/).
f(x) > 0,Vx G R.
f(xi) + f(x2) H	F f(x„) = 1.
Vói bảng phân phối xác suất
Chú ý: đối vói BNN rời rạc bảng phân phối xác suất và hàm mật độ có giá trị như nhau!
X
-6-3 0 3
p
13 3 1
8 8 8 8
Ta có hàm mật độ
1
8’
0,
X = —6
X = —3
x = 0
X = 3
xị {-6, -3,0,3}
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangCsgu.edu.vn
Ví dụ 71
11.3. BNN liên tục - hàm mật độ
Thòi gian lưu trú thực tế tại khoa cấp cứu bệnh viện
A năm 2009 được thể hiện trong bảng sau:
Hours
Count
Percent
Hours
Count
Percent
I
19
3.80
7
40
8.00
2
51
10.20
8
18
3.60
3
86
17.20
9
14
2.80
4
102
20.40
10
11
2.20
5
87
17.40
15
10
2.00
6
62
12.40
Viết hàm mật độ.
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangCsgu.edu.vn

Hàm số f(x) được gọi là hàm mật độ của BNN liên tục X nếu thỏa
1- f(x) > 0,Vx 6 R,
+oo
2. f f(x)dx=l.
—oe
,/W
a
GV: Hoàng Dức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
1. BNN rời rạc
X
X1 x2 	 xn
p
Pl P2 	 Pn
0, X < *1
P1, X1 < X < x2
P1 + P2, x2 < X < x3
Pl + Pĩ + P3 + • • • + Pkì xk
<x < xk+1
p
xl x2 x3	xk
xn
Ví dụ 73
Thời gian giữa 2 xe được chọn ngẫu nhiên trên cao tốc là một biến ngẫu nhiên có
í 0,15e_0’15(x_0’5) X > 0,5
ỵ 0,	chỗ khác.
Kiểm tra f là hàm mật độ.
Tính xác suất thòi gian giữa 2 xe nhỏ hơn 5.
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangCsgu.edu.vn
Hàm phân phối
GV: Hoàng Dức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangCsgu.edu.vn
BNN liên tục
Cho X là BNN liên tục, ta có hàm phân phối của X là

Tính chất
0 < F(x) < l,Vx e R,
lim F (x) = 0; lim F (x) = 1
X—>—oo	X—>+oo
F(x) là hàm tăng,
F(x) liên tục trái, nghĩa là lim F (x) = F(a);
X—
p(x < h) = F(b),
p(a < X < b) = F(ố) - F(a)
F'(x) = f(x)
Ví dụ 75
Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
X
-6-3 0 3
p
13 3 1
8 8 8 8
Tìm hàm phân phối của X.
Tìm hàm phân phối của X.
Ví dụ 74
Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phẫn phối sau
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
Ví dụ 77
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangCsgu.edu.vn
Ví dụ 76
giảng của mình trong vòng 2 phút sau giờ học. Gọi X là thời gian trôi qua giữa thòi điểm hết tiết học
Giả sử rằng trong một ngày công ty sản xuất được 850 sản phâm, trong đó có 50 sản phẩm không đạt yêu cầu khách hàng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 sản phârn (không hoàn lại) đế kiếm tra. Gọi X là số sản phârn không đạt yêu cầu, lập hàm phân phối của X. Một giáo sư đại học không bao giò kết thúc bài giảng của mình trưóc khi hết giờ và luôn hoàn thành bài
và kết thúc bài giảng của giáo sư. Giả sử hàm mật độ fM=ik*2, o.f.x^2
1 1	[ 0, chỗ khác
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangCsgu.edu.vn
Xác suất mà bài giảng tiếp tục trong ít nhất 90s ngoài giờ kết thúc là bao nhiêu?
Viết hàm phân phối xác suất.
Tìm k và vẽ hàm mật độ tương ứng.
Hãy tính xác suất bài giảng kết thúc trong vòng 1 phút sau khi giờ học kết thúc.
Hãy tính xác suất bài giảng tiếp tục diễn ra sau khi giò học kết thúc từ 60s tới 90s.
GV: Hoàng Dức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
IV. Các đặc trứng của BNN
Trong cả phần này, ta chỉ xét
- BNN rời rạc X có bảng phân phối
X
X1 x2 	 xn
p
P1 Pĩ 	 Pn
-BNN liên tục X có hàm mật độ f(x).
IV.1. Mode
Định nghĩa 0.1
2. Median
Định nghĩa 0.2
Mod(X) là giá trị Xi của X mà P(x/) lớn nhất.
X là BNN ròi rạc:
Mod(x) — Xi o p(x — Xi) lớn nhất.
X là BNN hên tục:
Mod(x) = Xi f(x,-) lớn nhất.
Chú ý:
Mod(X) có thê nhận nhiều giá trị.
Tìm Mod(x) BNN ròi rạc => tra bảng.
Tìm Mod(x) BNN liên tục => đạo hàm.
Med(X) hay trung vị của X là điểm chia đôi phân phối xác suất của BNN X.
X là BNN rời rạc :
meờ(X) = X, o F(x,) < I < F(x,+1)
X là BNN liên tục :
meờ(x) = X/ o F(x,-) = f f (t) dt = 0,5
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangCsgu.edu.vn
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
Ví dụ 78
IV.3. Kỳ vọng
Cho BNN X có bảng phân phối
X
-10	12
p
0,25 0,15 0,3 0,3
Tìm Mod(X), Med(X).
Kỳ vọng của BNN X, ký hiệu E(x) = Px-
- BNN ròi rạc X:
n
E (x) = 5?X'-P' = X1-P1 + X2-P2 H	H xn.pn
i=l
Ví dụ 79
- BNN liên tục X:
Cho BNN X có hàm mật độ
|x(3-x)>
0,	X
X G [0,3] ị [0,3]
Tìm Mod(X), Med(X).	
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangCsgu.edu.vn
GV: Hoàng Dức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
Tính chất 3
E(c) = c.
E(cX) = c£(x).
E(X ± Y) = E(X) ± E(Y).
Neu X, Y độc lập: E(xỲ) = E(X).E(Y)
Nếu Y = ip(X) thì
Ý nghĩa
- Kỳ vọng là giá trị trung bình của BNN. Nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của BNN.
E 92 (xí) -Pí,
E(Y)={
ĩ ^}{x).f{x)dx,
—oo
Xrdi rạc
Xliên tục
Tung đồng thòi 3 súc sắc. Nếu suất hiện 3 mặt nhất thì được 1.000 USD, xuất hiện 2 mặt nhất thì được 500 USD, 1 mặt nhất thì được 100 USD, không xuất hiện mặt nhất thì không được gì. Mỗi lần chơi đóng a đồng. Hỏi a bằng bao nhiêu đế trò chơi công bằng.
Giải
Gọi X là số tiền được(thua) trong 1 ván. Trò chơi công bằng nếu E(x) = 0. Ta có
Suy ra
E (X) =
-216a+16000
X
-a
100-a
500-a
1000-a
p
125
216
75
216
15
216
1
216
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangflsgu.edu.vn
216
Vì E(x) = 0 => a Rá 74 USD.
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
IV.4. Phương sai, độ lệch chuẩn
Ý nghĩa
Phương sai của BNN X, ký hiệu Var(x) = ơ2
Var(X) = £(x2) - (E(x)]2
trong đó
-E(x2) = 52x,2.p, nếu X là BNN ròi rạc.
/■=1
-E(x2) = Ị x2.f (x) dx nếu X là BNN liên tục.
Độ lệch chuẩn của BNN X : ơ = y/Var(X) = y/ỡỵ
Do X — E(x) là độ lệch giữa giá trị của X so với trung bình của nó, do đó phương sai chính là trung bình của bình phương độ lệch đó.
Phương sai đặc trưng cho độ phân tấn của BNN quanh giá trị trung bình của nó: Phương sai nhỏ, độ phân tán nhỏ, độ tập trung lớn. Phương sai lốn, độ phân tán lớn, độ tập trung nhỏ.
Trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho sai số thiết bị. Trong kinh doanh phương sai đặc trưng cho độ rủi ro của quyết định..
GV: Hoàng Dức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangflsgu.edu.vn
Ví dụ 82
Năng suất 2 máy tương ứng là hai biến ngẫu nhiên X, Y (đơn vị : sản phâm/phút) có phân phối xác suất
2. Nếu mua, ta nên chọn máy nào trong 2 mấy.
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
Giải
1.
EX = 1.0,3+ 2.0,1 + 3.0,5+ 4.0,1 = 2,4
E(x2) = l2.0,3 + 22.0,1 + 32.0,5 + 42.0,1 = 6,8
Var(X) = E(x2) - (EX)2 = 6,8 - 2,42 = 1,04
Tương tự
EY = 2.0,1 + 3.0,4 + 4.0,4 + 5.0,1 = 3,5
E(y2) = 22.0,1 + 32.0,4 + 42.0,4 + 52.0,1 = 12,9
Var(Y) = E(y2) - (EY)212,9 - 3,52 = 0,65
2.
Ta thấy: EX < EY : năng suất trung bình của Y cao hơn X.
V'ar(y) < Var(x) : năng suất Y ổng định hơn của X.
Vậy ta chọn máy Y.	n 6,- ■ ĩ > :
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangflsgu.edu.vn
Giải
+oo
EX = f xf (x) dx
—oo
3 3
= ^Jx(x2-l)dx
= 2,5781
+oo
E(x2)= Jx2f(x)ớx
—oo
3
= ẳ/x2(x2-l)đx
2
= 6,725
=> Var(X) = E(X2) - (EX)2 = 0,0784 => ơ = ựVar(X) = 0,28
V. BNN hai chiều
Trong thực tế, chúng ta thưòng xuyên xét đồng thòi nhiều BNN có quan hệ vổi nhau gọi là BNN nhiều chiều hay vecto ngẫu nhiên.
Ví dụ 84
Một máy sản suất một loại sản phẩm. Nếu ta quan tâm tói chiều dài X, chiều rộng Y của sản phâm thì ta có một BNN hai chiều (X,Y).
Chọn ngẫu nhiên 1 sv. Gọi X là điểm Toán, Y là điểm Lý, z là điểm Hóa thì ta có BNN 3 chiều (X, Y, Z).
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangflsgu.edu.vn
GV: Hoàng Dức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
Định nghĩa 0.3
v.l. Bảng PPXS đồng thời của BNN 2 chi
BNN n chiều là bộ có thứ tự V = (X1,X2, ..,x„) trong đó X1, ...,Xn là các BNN.
Nếu X1, ...,xn là các BNN ròi rạc, ta nói
= (X1,X2, ..,x„) là BNN n chiều rời rạc.
Nếu X1, ...,xn là các BNN liên tục, ta nói
= (X1,X2, ..,x„) là BNN n chiều liên tục.
Trong phần này, ta chỉ xét trường hợp V(x, y) là BNN 2 chiều ròi rạc.
Cho BNN 2 chiều v(x, y), trong đó
X = {xi,...,xm}, y = {yi,...,n„} Bảng PPSX đồng thời của X, Y có dạng
x\
yi
Y2
yn
tổng hàng Px
*1
Pll
P12
Pin
P1
*2
P21
P22
P2n
P2
Pml
Pm2
Pmn
Pm
tổng cột Py
P1
P2
Pn
m n
Ẽ Ẻ Pij = 1
i=lj=l
Trong đó
Pij = p(x = xh Y = yj), 1 < i < m,l <j < n.
= xác suất xảy ra đồng thòi hai sự kiện (X = X;) và(Y = yj)
Mặt khác, ta còn có thể biểu diễn bằng hàm mật độ đồng thòi
f = í Pij> khi (x>y) = (*/,yj)
J 1 0, khi (x,y) (Xi,yj)
Chú ý :
1- f(x,y) > 0,V(x,y) và Ef(x,y) = 1
x,y
X, Y độc lập o Pij = P(X = X,).P(Y = y;)
Ví dụ 85
Tung 1 xúc xắc và 1 đồng xu. Lập bảng pp xác suất đồng thời của X và Y.
\ Y
X \
s
N
Px
1
2
3
4
5
6
Py
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
Ví dụ 86
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangCsgu.edu.vn
Bảng phân phối lề
Từ bảng phân phối đồng thời của v(x, Y), ta có bảng phân phối lề sau
Cho BNN 2 chiều v(x, Y) có quy luật phân phối đồng thời như sau
X1 x2
■m
Px Pl P2 - Pm
yi yi ... yn
x\
1
2
3
4
0,18
0,22
0,16
6
0,08
0,16
0,20
PY Pl P2 ... Pn
Chú ý: để lập bảng phân phối lề của biến X ta tính tổng hàng, của Y ta tính tổng cột.
Tìm luật phân phối của từng biến.
Tính p(x = 4, Y < 2)
GV: Hoàng Dức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangCsgu.edu.vn
Giải 1.
Xác suất có điều kiện
x\
1
2
3
Px
4
0,18
0,22
0,16
0,56
6
0,08
0,16
0,20
0,44
Py
0,26
0,38
0,36
1
Giả sử v(x, Y) là BNN 2 chiều rời rạc.
P(X|Y) là xác suất để X sảy ra khi biết Y đã xảy ra. Ta có
X
4
6
X
Y
1
2
3
Px
0,56
0,44
vã
Py
0,25
0,38
0,36
Vậy
2. Ta có
P(X = 4, Y < 2) = p(x = 4, Y = 1) + P(X =
4, Y = 2) = ...
Bảng PPXS của X khi biết Y = yj
X
*1
xm
P(x|y = yj)
P(X = x1|Y = y;) ...
P(X = xm\Y = i
Bảng PPXS của Y khi biết X = Xi
Y
yi
yn
P(Y\X = Xi)
p(Y = y1|X = x,) ...
P(Y = yn\X = x

Ví dụ 87
Thống kê dân số 1 vùng theo 2 chỉ tiêu: giói tính X và học van Y như sau
\ Y x\
Thất học (0)
Phổ thông (1)
Dại học (2}
Nam (0)
0,1
0,25
0,16
Nữ (1)
0,15
0,22
0,12
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangflsgu.edu.vn
VI. Hàm của các BNN
1. Hàm của 1 BNN Y = f(x)
Cho BNN X có bảng PPXS
Lập bảng PPXS học vấn, giói tính.
học vấn có độc lập vói giói tính không.
Tìm xác suất đế lấy ngẫu nhiên 1 ngưòi thì ngưòi đó không thất học.
Lập bảng PPXS của nữ, tính trung bình học vấn
GV: Hoàng Dức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
Bưóc 2: Gom giá trị của Y, tính xác suất tương ứng.
PIY = yi)= £ P(X = x;)
fW=yj
X
X1 x2 ... xn
Px
Pl P2 ■■■ Pn
Lập bảng PPXS của BNN Y = f(x)
Các giải
Bưóc 1: Tìm các giá trị tương ứng của Y.

Ví dụ 88
Cho BNN X có bảng phân phối
X
-10	12
Px
0,1 0,3 0,4 0,2
X
X1	x2 ... xn
Y
f(xi) f(x2) ... f(x„)
Lập bảng PPXS của BNN Y = X2 + 1.
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangflsgu.edu.vn
GV: Hoàng Dức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
2. Hàm của 2 BNN z = f(x, y)
Cho BNN X, và Y có bảng PPXS
Cách giải
Bl: Tìm tất cả các giá trị tương ứng của z.
yi
y2
yn
X1
f(xi,yi)
f(xi,y2)
x2
f(*2,yì)
f(x2,yn)
xm
f(xm,yi)
f(xm,y2)
f(xm,yn)
B2: gom giá trị của z, tính xác suất tương ứng.
P(Z = z*) = 22 p(X = x,-,Y = y;)
f(xi,yj}=Zk
Cho bảng PPXS đồng thòi của (X, Y) là
Giải
Các giá trị có thê nhận của z.
Y
x\
-1
0
1
0
0,1
0,2
0,3
1
0,2
0,1
0,1
Lập bảng PPXS của BNN z = X -Y +1.
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangCsgu.edu.vn
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
VII. Các tham số đặc trưng
Kỳ vọng hàm 2 BNN rời rạc
1. Kỳ vọng BNN 2 chiều V(X,Y) là
E(i/) = (£(x),£(y))eR2
Chú ý: kỳ vọng BNN 2 chiều là 1 vecto.
2. Kỳ vọng hàm 1 BNN
£(y) = £(f(X)) = £f(x,).p,-
m n
E(Z) = £(f(x, y)) = £ £ f(x,,yj).ps
Í=1 j=l
4. Kỳ vọng có điều kiện
m
É(x|r = >j) = Ệ>.
/=1
n
E(Y\x = Xi} = tyj-
j=l
P(X=xi-,Y = ỵi)
P(Y = y,)
p (X — Xj', Y — yj)
P(X = Xi)
Chú ý: đối với phần 1,2,3,4 ta lập bảng PPXS tương ứng rồi làm.
GV: Hoàng Dức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangCsgu.edu.vn
Covarian
Cho BNN V(X,Y). covarian của V là
cov (X,Y) = £ [(X - E(X)) (Y - £ (y))l = £(xy)-£(x)£(y)
trong đó £(xy) = ê Ề x/.yj-Pij
Hệ số tương quan.
p(x,y)=cm:(x’y)
Ox-Oy
Tính chất 5
\p(X, Y)| < 1
Var (aX ± bY) =
a2. Var (X) + ố2. Var (Y) ± 2aốcov (X, Y)
X , Y độc lập => Cov(x, Y) = 0
Cov(x, Y) 0 => X, Y phụ thuộc.
Tính hệ số tương quan giữa học vấn và giói tính trong ví dụ 87.
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangCsgu.edu.vn