Bài giảng Xác suất thống kê A - Chương 1, Phần 2: Đại cương về xác suất

Ví dụ 51
V. Các công thức tính xác suất
5. 1. Công thức cộng xác suất
Vói A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có
p(a + B) = P(A) + P(B) - P(AB)
Neu A, B xung khắc (A.B — 0), thì
P(A + B) = P(A)1 + P(B)
Tổng quát
Vói n biến cố A1,A2, ...,An xung khắc từng đôi, ta có
P(A1+A2+-^ •+An) = P(A)+P(A>)+- • -+P(Aí)
Vói biến cố đối, ta có
P(Ã) = 1 - P(A)
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangCsgu.edu.vn

1 lớp có 80 HS, trong đó có 30 em giỏi Toán, 40 em giỏi Anh, và 20 em giỏi cả Toán và Anh. Giả sử giỏi ít nhất một môn thì được thưởng. Gọi tên ngẫu nhiên một em trong danh sách. Tính xác suất đê em đó được thưỏng.
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
Ví dụ 53
Xác suất có điều kiện
lóp học có 80 sv chia thành 20 nhóm thực tập. Trong lóp có bạn Nam, Hoa , Liên, Phượng. Tính xác suất để:
Nam cùng nhóm vói Liên.
Nam cùng nhóm vói Liên hay Hoa.
Nam cùng Liên, Hoa và Phượng lập thành 1 nhóm.

Xác suất của biến cố A với điều kiện B (đã biết)
Xác suất có điều kiện cho phép chúng ta sử dụng thông tin về sự xảy ra của biến cố này để dự đoán xác suất xảy ra của biến cố khác.
Tính chất:
P(A|A) = 1
. P(Ã\B) = 1- P(A\B).
3. p( A + A218) = P(A1 ổ) + p( A1B) nếu A1,A2 xung khắc.
GV: Hoàng Dức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangCsgu.edu.vn
Ví dụ 54
Ví dụ 56
Một hộp có 10 vé trong đó có 3 vé trúng thưỏng. Tính xác suất người thứ 2 bốc được vé trúng thưỏng, biết rằng người đầu đã bốc được 1 vé trúng thưỏng.
Ví dụ 55
Một cơ quan phân 3 lô đất cho 5 nhân viên xây nhà bằng cách bốc thăm. Ba thăm đánh dấu X và 2 thăm trống. Năm người lần lượt bốc thăm, ngưòi nào bắt được thăm có dấu X thì được 1 lô đất. Theo bạn bắt thăm trưóc hay sau có lợi hơn?

Trong 1000 người tại 1 vùng được điều tra, có 300 người trên 525 nam hút thuốc lá, 50 trên 475 nữ hút thuốc lá.
Chọn 1 người nam trong vùng, tính xác suất người đó hút thuốc lá.
Giả sử chọn được người hút thuốc lá, tính xác suất người đó là nam.
Ví dụ 57
Biến cố độc lập
- A và B được gọi là độc lập nếu sự xảy ra của biến cố này không ảnh hưỏng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
A, B độc lập o P(A\B) = P(A)
o P(6|Á) = p(ỡ)
Hệ quả: A, B độc lập o P(A.B) = P(A).P(B)
n biến cố Ai, i — 1,n độc lập nếu bất kỳ một biến cố Ak nào đều độc lập vói (n-1) biến cố còn lại và độc lập với mọi biến cố tích bất kỳ tạo thành từ (n-1) biến cố còn lại.
P(A1.A2„..A„) = PÍA)...^^)
Gieo 10 con xúc xắc. Tính xác suất chúng đều xuất hiện mặt số 6.
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
GV: Hoàng Dức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
Ví dụ 60
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangflsgu.edu.vn
Giải
P(A.B) = P(TT) = I = P(A).P(ổ)
p AC = P(TG = ỉ = P(A).P(C)
P(B.C) = P(GT) = ỉ = P(ổ).P(C) Vậy A, B, c độc lập từng đôi.
Ta có A.B.C = 0 , nên P(AỔ.C) = p(0) = 0
Mà P(A).P(S).P(C) = í 0
Suy ra P(A).P(S).P(C) P(APC)
Do đó A, B, c không độc lập toàn bộ, nên A, B , c không độc lập
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangflsgu.edu.vn
Công thức nhân xác suất
Với A, B là hai biến cố, ta có
P(A.e) = P(A|Ổ).P(S) = P(B|A).P(A)
Neu A, B độc lập, ta có
P(Ás) = P(A).P(S)
Tổng quát
với n biến co A1,A2,a„ ta có
P(A1.A2....An) =
P(Ai).P(A2ịA1).P(A3ịA1.A2)...P(AnịA1A2...An_1)
Nếu Ai, A2,An độc lập
P(A1.A2....An) = P(Ai)...P(An)
Một bình chứa 6 quả cầu đen, 4 cầu trắng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 quả không hoàn lại. Tính xác suất 3 quả cầu này là trắng.
Giải
Gọi Ạ: lần KT thứ i gặp phế phẩm / = 1,10.
A: biến cố dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3.
A = AAịẠị
=> P(A) = P(A1).P(A2|A).P(^3^1^2) =
2 1 _ 1
ĩõ 9 8 “120
B = Biến cố dừng lại ở lần KT thứ 4
=> B = A1A2A3A4 + Al A2A3A4 + A1A2A3A4 Ta có P(AiA2A3Ai)
= PỊẠ ).P(A2|Ai).P(^|AiA2).P(A4|A1A2ã;)
3 2 7 1 _ 1
“ 10’9’8’7 “ 120
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangCsgu.edu.vn
P(Ak\H) =
P(H\At).P(At)
P(H)
Tương tự, ta có
PịAMAi) = P(Ã1A2A3A.) =
Do A1A2A3A4; A1A2A3A4; và AỵA2A3Aậ đôi một xung khắc nên
P(B) =
P(^1^2^3A) + P(A^3A) + P(A^2^3A) =
Ta CÓ
Pfzjn = P(AB) =
P(42|B)_
p(^1^2^3^4 + ^1 ^2^3^4) _ 2-ĩgõ _ 2
P(B) “ả ”3
5. Công thức xác suất đầy đủ - cô
Cho A1, A2, ■■■,An là nhóm đầy đủ các biến cố, ta có
Công thức Xác suất đầy đủ
P(H) = P(H|A).P(A) + P(H\A2).P(A2) + ...
+P(H\An).P(An)
Công thức Bayes
GV: Hoàng Dức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangCsgu.edu.vn
Công thức xác suất đầy đủ cho ta cách tính xác suất của 1 biến cố thông qua một nhóm đầy đủ.
Công thức Bayes (hay xác suất hậu nghiệm) cho biết xác suất của các biến cố trong nhóm đầy đủ thay đổi như thế nào khi một biến cố đã xảy ra.
Ví dụ 62
Một lô thuốc gồm nhiều lọ, trong đó có 25% sản suất từ xí nghiệp A, 35% từ xí nghiệp B, và 40% từ xí nghiệp c. Tỉ lệ thuốc không đạt tiêu chuẩn từ 3 xí nghiệp lần lượt là 2%, 1% và 1,5%.
Lấy ngẫu nhiên 1 lọ từ lô thuốc đó, tính xác suất đê lọ này là phế phâm.
Neu lọ lấy ra là phế phâm, Tính khả này lọ này thuộc xí nghiệp c.
Giải
1. Gọi
A: biến cố lấy được lọ thuốc của xí nghiệp A.
P(A) = 0,25
B: biến cố lấy được lọ thuốc của xí nghiệp B.
P(B) = 0,35
C: biến cố lấy được lọ thuốc của xí nghiệp c.
P(C) = 0,40
K : biến cố lấy được lọ phế phẩm. Ta có
P(K\A) = 0,02; P(K\B) = 0,01; P(K\C) = 0,015 => P(K) -
P(A).P(K\A) + P(8).P(K|S) + P(C).P(K|C)
= 0,25.0,02 + 0,35.0,01 + 0,4.0,015 = 0,0145
2. Theo công thức Bayes, ta có
= P(C).P(K\C)	0,4.0,015
P(C|K) P(K)	0,0145
«0,41.
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangOsgu.edu.vn
GV: Hoàng Đức Tháng hdthangCsgu.edu.vn
Ví dụ 63
Có 20 kiện hàng, mỗi kiện có 10 sản phẩm. Trong số đó có 8 kiện loại 1, mỗi kiện có 1 phế phâm; bảy kiện loại 2, mỗi kiện có 3 phế phâm; năm kiện loại 3, mỗi kiện có 5 phế phârn.
Lấy ngẫu nhiên 1 kiện, rồi từ kiện đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm.
Tính xấc suất đế sản phâm lấy ra là phế phâm.
Biết sản phẩm lấy ra là phế phẩm, tính xác suất để kiện lấy ra là loại 2.
GV: Hoàng Đức Thắng hdthangCsgu.edu.vn