Bài giảng Xác suất - Giải tích tổ hợp - Phạm Trí Cao

ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 21-01-2019
1
1
PHẦN 1: 
XÁC SUẤT
2
Chương này học một số 
quy tắc đếm thông dụng
CHƯƠNG 0: 
GIẢI TÍCH TỔ HỢP
0)Nguyên lý cộng
Một công việc để thực hiện thì ta phải phân trường hợp, giả
sử có 3 trường hợp A, B, C.
Nếu xảy ra trường hợp A thì không thể xảy ra trường hợp B
hoặc C.
Nếu xảy ra trường hợp B thì không thể xảy ra trường hợp A
hoặc C.
Tương tự cho C.
Trường hợp A có mA cách làm.
Trường hợp B có mB cách làm.
Trường hợp C có mC cách làm.
Vậy số cách để hoàn thành công việc là mA+mB+mC
3
0)Nguyên lý cộng

 Ví dụ 1:

 Có 2 loại phương tiện để sinh viên đi học: phương tiện
cá nhân hoặc phương tiện công cộng.

 Phương tiện cá nhân gồm có: xe đạp, hoặc xe gắn máy,
hoặc xe hơi.

 Phương tiện công cộng gồm có: xe bus, hoặc xe taxi,
hoặc xe ôm, hoặc xe xích lô.

 (Sinh viên phải và chỉ chọn 1 trong các loại phương tiện
trên, không xét đi bộ hoặc Bồ chở!!!)

 Câu hỏi:

 Có bao nhiêu cách để sinh viên có thể đi đến lớp?

 Có tất cả 3+4 = 7 cách.4
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 21-01-2019
2
0)Nguyên lý cộng

 Ví dụ 2:

 Có 3 loại lựa chọn cho việc mua bàn ăn. Hoặc là bàn
gỗ, hoặc là bàn inox, hoặc là bàn sắt.

 Bàn gỗ có 2 kiểu

 Bàn inox có 4 kiểu

 Bàn sắt có 5 kiểu

 Câu hỏi:

 Có bao nhiêu cách để mua được 1 cái bàn ăn?

 Có tất cả 2+4+5 = 11 cách.
5

 Ví dụ 3:

 Cửa hàng bán 2 loại hoa: hoa Lan và hoa Hồng.

 Lan gồm có: lan Hoàng hôn, lan Hồ điệp

 Hồng gồm có: hồng Đỏ thổn thức, hồng Xanh huyền bí,
hồng Trắng trinh nguyên

 Chàng SV đến cửa hàng mua 1 bông hoa tặng nàng.

 Có bao nhiêu cách lựa chọn để chàng mua được 1 bông
hoa?

 Giải:

 Số cách là 2+3 = 5
6
7
I) NGUYÊN LÝ NHÂN
Một công việc để thực hiện phải qua 2 giai đoạn A, B. 
Giai đoạn A có m cách thực hiện, giai đoạn B có n cách 
thực hiện 
Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện xong công việc? 
Giải: Ứng với mỗi cách của giai đoạn A, ta có n cách thực
hiện giai đoạn B 
 A 
 1 2 ....... m 
 B B 
 1 2 .... n ..... 1 2 ...... n 
 Vậy: Có m*n cách để thực hiện công việc 8
Ví dụ 1: 
 A1 A2 A3 
Đi từ A1 đến A3 phải đi qua A2. Từ A1 đến 
A2 có 3 đường đi, từ A2 đến A3 có 2 đường đi. 
Có bao nhiêu cách để đi từ A1 đến A3? 
Giải: 
Số cách đi từ A1 đến A3 là 3*2 = 6 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 21-01-2019
3
9
VD2: 
 A1 A2 A3 
Đi từ A1 đến A3 có 2 lựa chọn: 
* Đi trực tiếp từ A1 đến A3. 
* Đi gián tiếp từ A1 qua A2 rồi tới A3. 
Có bao nhiêu cách để đi từ A1 đến A3? 
Giải: 
Số cách đi từ A1 đến A3 là 2+3*2 = 8 
10

 Ví dụ 3:

 Một người có 6 cái áo, 5 cái quần. Hỏi có bao nhiêu
cách mặc đồ?

 HD:

 Công việc mặc đồ có 2 giai đoạn ta phải thực hiện lần
lượt là: mặc áo, mặc quần.

 Mặc áo: có 6 cách

 Mặc quần: có 5 cách

 Vậy ta có: 6*5 = 30 cách

 Mở rộng:

 Một công việc để thực hiện có nhiều giai đoạn.
11

 Ví dụ 4:

 Một người có 4 cái áo, 3 cái quần, 3 cái nón. Hỏi có
bao nhiêu cách mặc đồ và đội nón?

 HD:

 Công việc mặc đồ và đội nón có 3 giai đoạn ta phải
thực hiện lần lượt là: mặc áo, mặc quần, đội nón.

 Mặc áo: có 4 cách

 Mặc quần: có 3 cách

 Đội nón: có 3 cách

 Vậy ta có: 4*3*3 = 36 cách
12
II) CHỈNH HỢP

 Ví dụ 1: Có 5 bức tranh và 7 cái móc treo trên tường. Có
bao nhiêu cách treo 5 bức tranh này (mỗi móc chỉ treo 1
bức tranh)?

 HD: Công việc treo tranh có 5 giai đoạn sau:

 gđ1: treo bức tranh thứ 1. Ta chọn ra 1 móc treo từ 7 cái
móc treo, có 7 cách chọn. (còn lại 6 móc treo)

 gđ2: ........ 2............... 6 cách ..... Còn 5 móc

 gđ3: ......... 3............... 5 cách ..... Còn 4 móc

 gđ4: ......... 4.............. 4 cách ..... Còn 3 móc

 gđ5: ......... 5.............. 3 cách .....

 Theo nguyên lý nhân ta có: 7*6*5*4*3 = 2520 cách treo
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 21-01-2019
4
Một số cách treo cụ thể:

Móc 1 2 3 4 5 6 7

 Cách 1:

 Cách 2: 

 Cách 3:
. . . . . . . . . . . . . . .

 Lấy các móc ra có thứ tự (có để ý trật tự lấy).
13
31 2 4 5
32 1 4 5
51 2 3 4
14
Nhận xét

 Mỗi cách treo 5 bức tranh là một cách lấy 5 cái
móc treo từ 7 cái móc treo. Đây là cách lấy có thứ
tự, bởi vì trật tự lấy các móc khác nhau sẽ cho ta
các cách treo tranh khác nhau.

 Vậy số cách lấy có thứ tự 5 phần tử từ 7 phần tử
được tính như thế nào?
15
ĐN: Một chỉnh hợp n chập k (chỉnh hợp chập k của n) là 1 
cách lấy k phần tử khác nhau (có để ý thứ tự, trật tự sắp 
xếp) từ n phần tử khác nhau. 
Số chỉnh hợp : 
A(k,n)= 
)!(
!
kn
nk
nA
 Với n!=1*2*3*...*n , quy ước 0!=1 
Ví dụ: Theo ví dụ trên ta có: Một cách treo 5 bức tranh là 
1 cách chọn ra 5 móc treo khác nhau từ 7 móc treo (có để 
ý đến vị trí của chúng) 
 Mỗi cách treo là 1 chỉnh hợp 7 chập 5: 
 A(5,7)=7*6*5*4*3 16

 Nhận xét:

 Mỗi k phần tử lấy ra từ n phần tử tạo thành 1 nhóm.

 Các nhóm khác nhau do:

 - Các phần tử trong nhóm khác nhau

 Vd: 1234 khác 3456

 - Thứ tự, trật tự sắp xếp của các phần tử trong nhóm
khác nhau

 Vd: 1234 khác 3412
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 21-01-2019
5

 Ví dụ 2:

 Có 10 người nhưng chỉ có 4 chức vụ: TP, PP, TL, TKR.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 4 người và bố trí chức
vụ?

 Giải:

 Số cách là A(4,10)= 5040

 Ví dụ 3:

 Tập có 9 chữ số A= {1,2,.,9}

 Có bao nhiêu số nguyên dương mỗi số có 4 chữ số khác
nhau được tạo từ tập A?

 Giải:

 Có A(4,9)= 3024 số
17 18
3) Hoán vị:

 Có n phần tử khác nhau.

 Một hoán vị của n phần tử này là 1 cách sắp xếp n phần tử
này theo 1 thứ tự xác định.

 NX:

 Hoán vị là trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp, với k = n

 Số hoán vị: P(n)= n! (= A(n,n))

 Ví dụ 1:

 Có 4 người.

 Có bao nhiêu cách xếp 4 người này:

 a) ngồi thành hàng dài

 b) ngồi vào bàn tròn có đánh số

 c) ngồi thành vòng tròn
19
HD:
a) A B C D 
 1 2 3 4 
Mỗi cách xếp 4 người này là 1 hoán vị của 4 người này 
 có 4! Cách 
b) 4! 
c) 1 
 4 2 
 3 
Chọn ra 1 người làm mốc, ta thấy vị trí bắt đầu của người 
này không quan trọng (ví dụ: A làm mốc, A ở vị trí 1 cũng 
tương tự như A ở vị trí 2) 
 Chỉ sắp xếp 3 người còn lại : có 3! cách 
Lưu ý:

 Nếu ngồi thành hàng dài có đánh số thì ta sắp xếp canh
theo số, có 4! cách sắp xếp.

 Vậy nếu ngồi thành hàng dài mà không đánh số thì cũng
là 4! hay 3! (giống ngồi thành vòng tròn không đánh số)?

 HD:

 Trái A B C D Phải

 Người thứ nhất (giả sử A) ngồi bên trái.

 Người thứ 2 (giả sử B) ngồi kế A.

 Người thứ 3 (giả sử C) ngồi kế B.

 Người thứ 4 (là D) ngồi kế C.
20
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 21-01-2019
6

 Ví dụ 2:

 Có 4 nam và 4 nữ. Có bao nhiêu cách bắt đôi?

 (Một đôi là 1 nam với 1 nữ, không xét đôi môi của
Mr ĐVH – tin hot 11/2012)

 Giải:

 Cố định nữ, cho 4 nam chọn 4 nữ.

 Có 4! cách
21 22
4) Tổû hợp:
Một tổ hợp n chập k là 1 cách lấy k phần tử khác nhau 
(không để ý thứ tự sắp xếp) từ n phần tử khác nhau 
Số tổ hợp : 
C(k,n)= 
)!(!
!
knk
nk
nC
VD: Một phòng làm việc của 1 công ty có 30 nhân viên. 
a) Có bao nhiêu cách giám đốc chọn ra BLĐ phòng gồm 
3 người. 
b) BLĐ phòng gồm: trưởng phòng, phó phòng, thư ký. 
Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra BLĐ phòng. 
23
HD:

 a) Một BLĐ phòng là 1 cách chọn 3 người từ 30 người
(chọn tùy ý, không quan tâm thứ tự sắp xếp)
 Mỗi cách chọn là 1 tổ hợp. Số cách chọn là C(3,30)

 b) Cách 1:

 Vì 3 người trong BLĐ có chức vụ rõ ràng: TP, PP, TK
 có để ý thứ tự sắp xếp

 Số cách chọn là A(3,30)
24

 Cách 2: Chia thành 2 gđ:

 gđ1: chọn tùy ý 3 người từ 30 người: có C(3,30) cách

 gđ2: ứng với 3 người được chọn, chỉ định 1 người làm
TP, 1 người làm PP, 1 người làm TK: có 3! Cách

 Vậy có: C(3,30)*3! Cách

 NX:

 A(k,n) = C(k,n)*k!  C(k,n) = A(k,n) / k!

 NX:

 Tổ hợp: các nhóm khác nhau do các phần tử trong
nhóm khác nhau
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 21-01-2019
7
25
Bình loạn:

 Qua VD này bạn có cảm nhận được sự “vô thường” của
cuộc đời! Ta có 2 cách chọn:

 C1: Chọn 3 người có chỉ định chức vụ ngay từ đầu.

 C2: Chọn tùy ý 3 người, sau đó mới chỉ định chức vụ
cho từng người.

 Theo bạn thì 2 cách chọn này có cho cùng kết quả như
nhau?!

 Dưới góc độ khoa học tự nhiên: c1 và c2 cho cùng 1 kết
quả.
26
Bình loạn: (tt)

 Dưới góc độ khoa học xã hội: c1 và c2 cho kết quả khác
nhau “1 trời 1 vực”! Tại sao ư?!

 Khi GĐ chọn ra 3 người, trong thời gian chuẩn bị chỉ
định chức vụ cho từng người thì các người này đã lo
“vận động hậu trường” cho chức vụ của mình rồi, ai
vận động “mạnh hơn” thì sẽ được làm TP.

 Bạn sẽ nói: “Khờ quá! Ai lại để cho c2 xảy ra. Khi GĐ
chỉ mới dự định chọn BLĐ thôi thì phải lo vận động cho
chức vụ TP rồi chứ”.

 ???????!!!!!!!

 Ừ! Khờ thiệt!

 Ví dụ 2:

 Một ngân hàng đề thi có 10 câu hỏi tự luận. Mỗi lần
thi lấy ngẫu nhiên ra 4 câu để tạo thành 1 đề thi.

 Có bao nhiêu đề thi khác nhau được tạo ra từ ngân
hàng đề thi?

 Giải:

 Số đề thi là C(4,10)= 210

 Tự xem:

 Chỉnh hợp lặp

 Hoán vị lặp
27 28
Trong máy tính Casio fx-570VN Plus có chức năng tính 
tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị.
Xem hướng dẫn sử dụng trên trang web của tác giả.

 Bài tập 1

 Lớp có 30 sinh viên, trong đó có 20 nam. Trong 1
buổi khiêu vũ, có bao nhiêu cách:

 a) Chọn ra 1 đôi

 b) Chọn ra 3 nam, 3 nữ

 c) Chọn ra 3 đôi
(1 đôi là 1 nam và 1 nữ)
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 21-01-2019
8
29
Hd1:

 a) Có C(1,20)*C(1,10) cách

 b) Có C(3,20)*C(3,10) cách

 c) Chia thành 2 gđ:

 gđ1: chọn ra 3 nam, 3 nữ: có C(3,20)*C(3,10) cách

 gđ2: ứng với 3 nam, 3 nữ vừa chọn bắt đôi (cố
định nữ, cho 3 nam chọn 3 nữ) mỗi cách bắt đôi
là 1 hoán vị của 3 nam có 3! cách bắt đôi

 Vậy có: C(3,20)*C(3,10)*3! cách
Bt3:

 Hộp có 10 bi, trong đó có 6 bi Trắng và 4 bi Xanh. Lấy
ngẫu nhiên từ hộp ra 3 bi.

 a) Có bao nhiêu cách lấy được 3 bi?

 b) Có bao nhiêu cách lấy được 3 bi Trắng?

 c) Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi Trắng và 1 bi Xanh?

 d) Có bao nhiêu cách lấy được 1 bi Trắng và 2 bi Xanh?

 e) Có bao nhiêu cách lấy được 0 bi Trắng?

 f) Có bao nhiêu cách lấy được ít nhất 2 bi Xanh?

 g) Có bao nhiêu cách lấy được nhiều nhất 2 bi Xanh?
30
Hd3:

 a) Có C(3,10) cách

 b) Có C(3,6) cách

 c) Có C(2,6)*C(1,4) cách

 d) Có C(1,6)*C(2,4) cách

 e) Có C(3,4) cách

 f) Số cách lấy được 2 bi Xanh là C(1,6)*C(2,4)
Số cách lấy được 3 bi Xanh là C(3,4)
Vậy số cách lấy được ít nhất 2 bi Xanh = số cách lấy 
được 2 bi X + số cách lấy được 3 bi X 

 g) Số cách lấy được nhiều nhất 2 bi Xanh = số cách lấy 
được 0 bi X + số cách lấy được 1 bi X+ số cách lấy được 
2 bi X = b) + c) + d)

 Hoặc: g) = a) – e)31 32
Phụ lục: Các hàm tính toán thông dụng trong EXCEL 
Tổ hợp: COMBIN(8,2) = 2
8
C 
Chỉnh hợïp: PERMUT(100,3) = 3
100
A 
Hoán vị: FACT(5) = 5! 
Chỉnh hợp lặp: POWER(5,2) = 2
5
~
A = 52 
Hoán vị lặp: MULTINOMIAL(4,2,3) = 
!3!2!4
!9 
LN(e) = 1 , LN(5) = 1,6094 
LOG10(5) = log10(5) = lg(5) = 0,6990 
LOG10(10) = 1 
 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0 21-01-2019
9
33

 Quy ước: Quyển (*) là quyển:

 BÀI TẬP XSTK, ThS. Lê Khánh Luận & GVC.
Nguyễn Thanh Sơn & ThS. Phạm Trí Cao, NXB
ĐHQG TPHCM 2013.

 Xem thêm 1 số dạng bài tập về quy tắc đếm ở
quyển (*).
Mời ghé thăm trang web:
34

 https://sites.google.com/a/ueh.edu.vn/phamtricao/

 https://sites.google.com/site/phamtricao/