Bài giảng Vi tích phân - Chương 2: Đạo hàm, vi phân

C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN 
Định nghĩa : Cho hàm số f(x ) xác định trong khoảng ( a,b ) và x0 ( a,b ). Nếu tồn tại 
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x ) tại x 0 . Ký hiệu f’(x 0 ), y’(x 0 ) 
Đặt x = x – x 0 , ta có x = x 0 + x và đặt y = f(x 0 + x) – f(x 0 ) thì 
Ký hiệu dy/dx , df/dx 
12/2/2021 
1 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
- Đạo hàm bên phải : 
- Đạo hàm bên trái : 
 Hàm số f(x ) có đạo hàm trên khoảng ( a,b ) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó , 
 f(x ) có đạo hàm trên đoạn [ a,b ] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng ( a,b ), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b 
Ví dụ : Tìm đạo hàm của y = x 2 , y = sinx 
12/2/2021 
2 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số : 
	 Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì : 
	1) u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ 
	2) u.v cũng có đạo hàm tại x và ( u.v )’ = u’v + v’u 
3) u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x) 0 và 
Đạo hàm của hàm số hợp : 
Nếu hàm số u = u(x ) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u ) có đạo hàm tương ứng u = u(x ) thì hàm số hợp f0u có đạo hàm theo x và y’(x ) = y’(u).u’(x ). 
12/2/2021 
3 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
Đạo hàm của hàm số ngược : 
	 Nếu hàm số y = f(x ) có đạo hàm tại x, f’(x ) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f -1 (y) thì hàm số x = f -1 (y) có đạo hàm tại y = f(x ): 
Ví dụ , tìm đạo hàm của y = arcsinx 
12/2/2021 
4 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản : 
(c)’ = 0 (c: hằng số ) 
(x )’ = x -1 ( R , x > 0) 
(a x )’ = a x lna (a > 0, a ≠ 1) 
(e x )’ = e x 
( sinx )’ = cosx 
( cosx )’ = - sinx 
12/2/2021 
5 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
Đạo hàm cao cấp : 
	 Nếu hàm số y = f(x ) có đạo hàm thì y’ = f’(x ) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm , nếu có , của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu : y’’(x ), f’’(x ) 
	 Tương tự , đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu : f (n) (x ), y (n) (x ). 
Ví dụ : Cho y = x ( R , x > 0), y = ke x , tìm y (n ) 
12/2/2021 
6 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
Công thức Leibniz: 
Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có : 
	(u + v) (n ) = u (n ) + v (n ) 
trong đó u (0) = u, v (0) = v 
12/2/2021 
7 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
 2. VI PHÂN 
Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x ) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx ( df = f’dx ) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f. 
Ví dụ : tìm dy với 
Vi phân của tổng , tích , thương : 
	 Từ công thức của đạo hàm ta suy ra : 
	1) d(u + v) = du + dv 
	2) d(u.v ) = vdu + udv 
12/2/2021 
8 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng : 
	 Khi x 0, thì f(x 0 + x) – f(x 0 ) và f’(x 0 ) x là hai VCB tương đương , nên khi  x  khá nhỏ , ta có công thức gần đúng 
	f(x 0 + x) f(x 0 ) + f’(x 0 ) x 
Ví dụ , tìm 
Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x ) và f( n-1) khả vi, ta ký hiệu d (n) y = y (n) dx n ( d (n) f = f (n) dx ) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. 
12/2/2021 
9 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG 
Định lý Rolle : Nếu f là hàm số liên tục trên [ a,b ], khả vi trong ( a,b ) và f(a ) = f(b ) thì tồn tại c ( a,b ) sao cho f’(c ) = 0. 
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [ a,b ], khả vi trong ( a,b ) thì tồn tại c ( a,b ) sao cho 
Nhận xét : Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b ) = f(a ). 
12/2/2021 
10 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [ a,b ], khả vi trong khoảng ( a,b ) và g’(x ) ≠ 0,  x ( a,b ) thì tồn tại c ( a,b ) sao cho 
Nhận xét : Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x ) = x. 
12/2/2021 
11 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
QUI TẮC L’HOSPITAL khử dựng vô định khi tìm giới hạn 
1. Dạng 0/0, / 
Định lý : Giả sử f, g khả vi trong ( a,b ), g’(x ) ≠ 0 với mọi x ( a,b ) 
Nếu 
thì 
Nhận xét : (1) Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu : 
(2) Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần . 
12/2/2021 
12 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
Ví dụ : Tìm các giới hạn sau ( dạng 0/0) 
ví dụ : Tìm giới hạn sau ( dạng / ) 
12/2/2021 
13 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
2. Dạng 0. , - : Tìm cách chuyển chúng về dạng 0/0, / . 
Ví dụ : 
3. Dạng vô định : 0 0 , 1 , 0 : Ta xét [ f(x)] g(x ) = e g(x).ln f(x ) ( f(x ) > 0) 
Ví dụ : 
12/2/2021 
14 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
CỰC TRỊ 
Định nghĩa : Hàm số f được gọi là đạt cực đại ( cực tiểu ) tại x 0 nếu tồn tại một lân cận của x 0 sao cho f(x ) f(x 0 ) ( f(x ) f(x 0 )). 
Chiều biến thiên của hàm số : 
Định lý : Cho f khả vi trong ( a,b ): 
1. Nếu f’(x ) > 0 với mọi x ( a,b ) thì f tăng trong khoảng đó . 
2. Nếu f’(x ) < 0 với mọi x ( a,b ) thì f giảm trong khoảng đó . 
Điều kiện cần của cực trị : 
Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x 0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x 0 ) = 0. 
12/2/2021 
15 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
Ví dụ : Hàm số y = x 3 , f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị . 
	 Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại . 
Định nghĩa : Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f: 
	a) Không tồn tại f’(x ) 
	b) f’(x ) = 0 
Định nghĩa : Các điểm thoả điều kiện sau f’(x ) = 0 được gọi là điểm dừng của f. 
12/2/2021 
16 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
Điều kiện đủ của cực trị : 
Định lý : Giả sử f khả vi trong khoảng ( a,b ) chứa điểm x 0 
	a) Nếu x vượt qua x 0 mà f’(x ) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x ) đạt cực đại tại x 0 . 
	b) Nếu x vượt qua x 0 mà f’(x ) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x ) đạt cực tiểu tại x 0 . 
	c) Nếu x vượt qua x 0 mà f’(x ) không đổi dấu thì f(x ) không đạt cực trị tại x 0 . 
Định lý : Giả sử f(x ) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x 0 và f’(x ) = 0. 
	a) Nếu f”(x 0 ) > 0 thì f(x ) đạt cực tiểu . 
	b) Nếu f”(x 0 ) < 0 thì f(x ) đạt cực đại . 
12/2/2021 
17 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 
Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn : 
1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút . 
2. Giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) trong các giá trị được tính trên là giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất cần tìm . 
Ví dụ : tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số : 
	 f(x ) = x 3 – 3x 2 +1 trên đoạn [-1/2, 4] 
12/2/2021 
18 
Hàm số và giới hạn hàm số