Bài giảng Vi tích phân - Chương 1: Hàm số, giới hạn hàm số

PHẦN II. VI TÍCH PHÂN 
Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 
chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN 
12/2/2021 
1 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN 
Định nghĩa ánh xạ : Cho X, Y là hai tập bất kỳ . Nếu x X, được cho tương ứng duy nhất một y = f(x ) Y theo qui tắc f, thì f được gọi là một ánh xạ từ X vào Y. 
	 Ký hiệu : 
a) Đơn ánh :  x 1 , x 2 X, x 1 ≠ x 2 => f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) 
b) T oàn ánh : Với mỗi y Y,  x X: y = f(x ) 
c) Song ánh : Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh 
d) Nếu f: X Y là song ánh thì f -1 : Y X là ánh xạ ngược của f 
12/2/2021 
2 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định nghĩa hàm số : Với X  R , ta gọi ánh xạ f:X Y là một hàm số một biến . Ký hiệu là y = f(x ). 
	x: biến độc lập 
	y: biến phụ thuộc . 
	 Tập X: miền xác định 
	 Tập f(X ) = { f(x ): x X}: miền giá trị của f 
	 Giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của f: 
, 
Ví dụ : Tìm miền xác định , giá tr ị hàm số y = 2x 2 - 4x + 6 
12/2/2021 
3 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định nghĩa phép toán : Cho f, g cùng miền xác định X: 
	a) f(x ) = g(x ),  x X 
	b) (f g)(x ) = f(x ) g(x ),  x X 
	c) ( fg)(x ) = f(x)g(x ),  x X 
	d) Hàm số f/g có miền xác định X 1 = X\{x: g(x ) = 0} : 
	e)	( af)(x ) = af(x ),  x X 
Ví dụ : Cho ba hàm số f(x ) = x 2 + 6, , h(x ) = x + 2 
Xác đ ị nh hàm số (f – 3h)/g và miền xác đ ị nh c ủ a nó . 
12/2/2021 
4 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Hàm số hợp : Giả sử y = f(u ) là hàm số của biến u, đồng thời u = g(x ) là hàm số của biến x. Khi đó f = f(u ) = f[g(x )] là hàm số hợp của f và g. Ký hiệu f o g. 
Ví dụ : Dựa vào ví dụ trên tìm g o f , g o h và tìm miền xác định . 
Hàm số ngược : Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: X Y là một song ánh thì f -1 : Y X được gọi là hàm số ngược của f. 
	 Gọi (C), (C -1 ) là đồ thị của f, f -1 thì đồ thị của nó đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. 
	 M(x,y ) (C) y = f(x ) x = f -1 (y) N(y,x ) (C -1 ) 
12/2/2021 
5 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Hàm số đơn điệu : 
 f gọi là tăng trên ( a,b ) nếu : x 1 ,x 2 X: x 1 f(x 1 ) f(x 2 ) 
 f gọi là giảm trên ( a,b ) nếu : x 1 ,x 2 X: x 1 f(x 1 ) f(x 2 ) 
 f được gọi là bị chặn trên X nếu :  M:  f(x )  ≤ M,  x X 
Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu . 
Chú ý: Một hàm số có thể không đơn điều trên miền xác định X, nhưng lại đơn điệu trên các tập D  X. 
12/2/2021 
6 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Hàm số tuần hoàn : Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu :  T ≠ 0: f(x+T ) = f(x ),  x X 
	 Số T 0 > 0 nhỏ nhất ( nếu có ) của T được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số f. 
Ví dụ : Hàm số f(x ) = sinx , g(x ) = cos(x ) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T 0 = 2 . Hàm số f(x ) = tg(x ), g(x ) = cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T 0 = . 
12/2/2021 
7 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định nghĩa : Hàm số f có miền xác định X, với x X, -x X. 
	a) f được gọi là hàm số chẵn nếu : f(-x ) = f(x ),  x X 
	b) f được gọi là hàm số lẻ nếu : f(-x ) = - f(x ),  x X 
	 Ví dụ : Hàm số f(x ) = cosx +  x  - x 2 là hàm số chẵn , 
 là hàm số lẻ . 
Ghi chú : Gọi (C) là đồ thị của hàm số f. 
	a) Nếu f là hàm số chẵn thì (C) đối xứng qua Oy : 
	( x,f(x )) (C) (- x,f(-x )) = ( x,f(x )) (C) 
	b) Nếu f là hàm số lẻ thì (C) đối xứng qua gốc toạ độ : 
	( x,f(x )) (C) (- x,f(-x )) = (- x,-f(x )) (C) 
12/2/2021 
8 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
1. Hàm số luỹ thừa : 	y = x , với R 
	 Miền xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc . 
 N : miền xác định R 
 nguyên âm : miền xác định x ≠ 0. 
 có dạng 1/p, p Z : miền xác định phụ thuộc vào p chẵn , lẻ 
 là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x tại mọi x 0 nếu > 0 và tại mọi x > 0 nếu < 0. 
	 Đồ thị của y = x luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ (0,0) nếu > 0, không đi qua góc toạ độ nếu < 0. 
2 . PHÂN LOẠI HÀM SỐ 
12/2/2021 
9 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
3. Hàm số mũ : y = a x (a > 0, a ≠ 1) 
	 Hàm số mũ xác định với mọi x dương . 
	 Hàm số mũ tăng khi a > 1. 
	 Hàm số mũ giảm khi a < 1. 
	 Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ . 
4. Hàm số logarit : y = log a x , a > 0, a ≠ 1 
	 Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0. 
	 Hàm số log a x tăng khi a > 1 
	 Hàm số log a x giảm khi a < 1 
	 Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị 
	 Hàm số y = log a x là hàm số ngược của hàm số y = a x 
12/2/2021 
10 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
 Một số tính chất của log a x : 
	 Log a (x 1 x 2 ) = Log a (x 1 ) + Log a (x 2 ) 
Log a x α = αLog a x 	 	 
12/2/2021 
11 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
5. Hàm số lượng giác : 
 y = sinx , miền giá trị [-1,1], hàm lẻ , chu kỳ 2 
 y = cosx , miền giá trị [-1,1], hàm chẵn , chu kỳ 2 
 y = tgx , miền xác định  x ≠ (2k+1) /2 , hàm lẻ , chu kỳ 
 y = cotgx , miền xác định  x ≠ k , k Z , hàm lẻ , chu kỳ 
12/2/2021 
12 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
6. Hàm số lượng giác ngược : 
 Hàm số y = arcsinx : Miền xác định [-1,1], miền giá trị [- /2, /2] và là một hàm số tăng . 
 Hàm số y = arccosx : Miền xác định [-1,1] và miền giá trị [ 0, ] . 
 Hàm số y = arctgx : Miền xác định R và miền giá trị (- /2, /2) và là hàm số tăng . 
 Hàm số y = arccotgx : Miền xác định R và miền giá trị (0, ) là hàm số giảm . 
12/2/2021 
13 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định nghĩa : Các hàm số hằng số , hàm số luỹ thừa , hàm số mũ , hàm số logarit , hàm số lượng giác và các hàm số ngược được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản . 
	 Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán tổng , hiệu , tích thương , phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là hàm số sơ cấp . 
Ví dụ : Hàm số f(x ) là hàm số sơ cấp . 
12/2/2021 
14 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
3 . GIỚI HẠN HÀM SỐ 
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số : 
Định nghĩa lân cận : 
	x thuộc lân cận của x 0  > 0:  x-x 0  <  
	x thuộc lân cận của +  A: x > A 
	x thuộc lân cận của -  B: x < B 
hay mở rộng thêm : 
	x thuộc lân cận của x 0 và x ≠ x 0  > 0: 0 <  x-x 0  <  
	x thuộc lân cận của x 0 và x > x 0 x 0 < x < x 0 +  
	x thuộc lân cận của x 0 và x < x 0 x 0 -  < x < x 0 
12/2/2021 
15 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định nghĩa gi ới hạn : Cho hàm số f(x ) xác định trên một khoảng mở chứa x 0 ( riêng tại x 0 , f(x ) có thể không tồn tại ). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x ) khi x x 0 , nếu  > 0 cho trước ,  > 0: 0 <  x – x 0  <   f(x ) – L  <  . Ký hi ệu : 
Ví dụ , Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng 
12/2/2021 
16 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định nghĩa gi ới hạn một bên : 
	a) Gi ới h ạ n bên phải : 
	  > 0,  > 0: x 0 < x < x 0 +   f(x ) – L  <  
	b) Gi ới h ạ n bên trái : 
	  > 0,  > 0: x 0 -  < x < x 0  f(x ) – L  <  
Định lý : 
Ví dụ , Tim giới hạn f(x ) khi x 0 
12/2/2021 
17 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định lý : Nếu f là hàm số sơ cấp xác định trong lân cận của điểm x 0 thì : 
. 
Định nghĩa giới hạn lân cận : 
 n ếu  > 0,  N > 0 đủ lớn : x > N  f(x ) - L  <  
 n ếu  > 0,  N < 0 có tr ị tuyệt đối đủ lớn : x < N  f(x ) - L  <  
Ví dụ , chứng minh rằng 
12/2/2021 
18 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
2. Giới hạn vô hạn của hàm số : 
 N > 0 lớn tuỳ ý,  > 0: 0 N 
 N 0: 0 <  x – x 0  <  f(x ) < N 
Ví dụ : chứng minh 
12/2/2021 
19 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
3. Các tính chất của giới hạn hàm số : 
Định lý : Trong cùng một quá trình , nếu lim f(x ) = L 1 và lim g(x ) = L 2 với L 1 , L 2 R , thì 
	a) lim[f(x ) + g(x )] = L 1 + L 2 
	b) lim[f(x)g(x )] = L 1 L 2 
	c) lim C = C 
	d) lim[Cf(x )] = CL 1 
	e) lim[f(x)] m = L 1 m (L 1 m R ) 
	f) lim[f(x)/g(x )] = L 1 /L 2 (L 2 ≠ 0) 
Ghi chú : Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0. , - , 1 thì phải biến đổi để khử chúng . 
12/2/2021 
20 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Ví d ụ : Tìm 
Định lý : Giả sử g(x ) f(x ) h(x ) đối với mọi x thuộc lân cận của x 0 . Nếu 
Định lý : Trong một quá trình , nếu lim u(x ) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì lim f[u(x )] = f(L ) = f[lim u(x )] 
Ví dụ : Tìm 
12/2/2021 
21 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
4. Một số giới hạn đặc biệt : 	 
12/2/2021 
22 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Ví dụ : Chứng minh : 
Ví dụ : Tìm : 
, 
12/2/2021 
23 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
4. So sánh vô cùng bé 
Định nghĩa : Hàm số f(x ) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x ) = 0 
Định nghĩa : Cho f(x ), g(x ) là hai VCB trong một quá trình : 
 Nếu lim[f(x)/g(x )] = 0, ta nói f(x ) là VCB bậc cao hơn g(x ) 
 Nếu lim[f(x)/g(x )] = , ta nói f(x ) là VCB bậc thấp hơn g(x ) 
 Nếu lim[f(x)/g(x )] = A, ta nói f(x ), g(x ) là hai VCB cùng bậc 
 Nếu lim[f(x)/g(x )] = 1, ta nói f(x ), g(x ) là hai VCB tương đương . Ký hiệu f(x)~g(x ) 
 Nếu lim[f(x)/g(x )] không tồn tại , ta nói f(x ), g(x ) là hai VCB không so sánh được 
12/2/2021 
24 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định lý : Nếu f(x ), g(x ) là hai VCB, Nếu f(x)~f 1 (x) , g(x)~g 1 (x) thì lim[f(x)/g(x )] = lim[f 1 (x)/g 1 (x)] 
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao ): Nếu g(x ) là VCB bậc cao hơn f(x ) trong cùng quá trình thì f(x ) + g(x ) ~ f(x ) 
Ví dụ : Chứng minh 
Khi x 0 
12/2/2021 
25 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
7. So sánh vô cùng lớn : 
Định nghĩa : Hàm số F(x ) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu lim F(x ) = 
 Trong cùng quá trình , nếu f(x ) là CVB thì 1/f(x) là VCL 
 Ngược lại , F(x ) là VCL thì 1/F(x) là VCB 
Định nghĩa : Cho F(x ), G(x ) là hai VCL trong một quá trình : 
 Nếu lim[F(x)/G(x )] = , ta nói F(x ) là VCL bậc cao hơn G(x ) 
 Nếu lim[F(x)/G(x )] = 0, ta nói F(x ) là VCL bậc thấp hơn G(x ) 
 Nếu lim[F(x)/G(x )] = A (A ≠ 0, A ≠ ), ta nói F(x ), G(x ) là hai VCL cùng bậc . 
 Nếu lim[F(x)/G(x )] = 1, ta nói F(x ), G(x ) là hai VCL tương đương . Ký hiệu F(x)~G(x ) 
12/2/2021 
26 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định lý : Nếu F(x ), G(x ) là hai VCL trong cùng quá trình , Nếu F(x)~F 1 (x) , G(x)~G 1 (x) thì lim[F(x)/G(x )] = lim[F 1 (x)/G 1 (x)] 
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp ): Nếu G(x ) là VCL bậc thấp hơn F(x ) trong cùng quá trình thì F(x ) + G(x ) ~ F(x ) 
Ví dụ : Tìm 
12/2/2021 
27 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
3 . HÀM SỐ LIÊN TỤC 
Định nghĩa : Hàm số f được gọi là liên tục tại x 0 nếu : 	 
Nếu chỉ có hoặc 
thì f được gọi là liên tục bên phải ( hoặc bên trái ) tại x 0 
Định nghĩa : Hàm số f(x ) được gọi là gián đoạn tại x 0 nếu nó không liên tục tại x 0 . Vậy x 0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x ) nếu : 
- Hoặc f(x ) không xác định tại x 0 
- Hoặc f(x ) xác định tại x 0 nhưng lim f(x ) ≠ f(x 0 ) khi x x 0 
- Hoặc không tồn tại lim f(x ) khi x x 0 
12/2/2021 
28 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Ví dụ : Xác định tính liên tục tại x 0 = 0 	 
Định nghĩa : f được gọi là liên tục trong khoảng mở ( a,b ) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó , được gọi là liên tục trong khoảng đóng [ a,b ] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng mở ( a,b ), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b. 
12/2/2021 
29 
Hàm số và giới hạn hàm số 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Định lý : Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x 0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại x 0 : kf (k hằng số ), f+g , fg (g(x 0 )≠0). 
Định lý : Trong cùng một quá trình nếu limu(x ) = u 0 và f liên tục tại u 0 thì Lim f[u(x )] = f[lim u(x )] = f(u 0 ) 
Định lý : Nếu f liên tục trên ( a,b ) và f(a)f(b ) < 0 thì  x 0 ( a,b ): f(x 0 ) = 0. 
12/2/2021 
30 
Hàm số và giới hạn hàm số