Bài giảng Vật lí đại cương 1 - Chương 3: Cơ học vật rắn - Lê Công Hảo

CƠ HỌC VẬT RẮN
PGS. TS. Lê Công Hảo
MUÏC TIEÂU
Sau baøi hoïc naøy, SV phaûi : 
- Xác định được khối tâm các VR đồng nhất
- Tính được mômen quán tính của VR
- Giải được bài toán ĐLH VR đơn giản
CƠ HỌC VẬT RẮN
Vật rắn (VR): 
+ Là một hệ chất điểm.
+ Khoảng cách giữa các chất điểm
không đổi trong quá trình chuyển
động
+ Áp dụng được các qui luật CĐ hệ
chất điểm vào CĐ vật rắn. 
1. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VR
 Khi VR tònh tieán, moïi ñieåm treân VR ñeàu vaïch ra
caùc quõi ñaïo gioáng nhau vôùi cuøng moät vaän toác.
M N G
M N G
v v v
a a a
→ → →
= =
= =
1 – Tịnh tiến:
• Mọi điểm trên vật rắn:
+ Cùng vectơ vận tốc
+ Cùng vectơ gia tốc
2. Khoái Taâm C 
Định nghĩa: Xem vật rắn như một hệ gồm n 
chất điểm.
1
1
n
i i
i
C n
i
i
m r
r OC
m
→
→ →
=
=
= =


m
1
m
3
m
2
C
O
1r
→
2r
→
3r
→
Gr
→
+ C được gọi là khối tâm của
vật rắn nếu vị trí C thoả:
2. KHOÁI TAÂM C (“COM”)
VR
0rdm = 
1 - Ñònh nghóa: Nếu chọn gốc toạ độ trùng khối tâm C
Khoái taâm cuûa heä laø ñieåm C thoûa maõn:
1
0
n
i i
i
m r
=
=
C
m
1
m
3
m
2
M
1
M
2
M
3
Nếu khối lượng vật rắn phân bố liên tục
1
0C
M
r rdm
M
= = 
1
n
i
i
M m
=
=
* Ñaëc ñieåm cuûa C:
– Ñaëc tröng cho heä; laø ñieåm ruùt goïn cuûa heä.
– Naèm treân caùc yeáu toá ñoái xöùng.
* Phaân bieät khoái taâm vaø troïng taâm:
– Troïng taâm laø ñieåm ñaët cuûa troïng löïc
– Treân thöïc teá C truøng vôùi troïng taâm G
Toaï ñoä khoái taâm:
* Heä chaát ñieåm:
* Vaät raén:
=

===
m
zm
,
m
ym
,
m
xm
G)z,y,x(G
n
1i
ii
n
1i
ii
n
1i
ii
GGG
=
m
zdm
,
m
ydm
,
m
xdm
G)z,y,x(G VRVRVRGGG
* Ñoäng löôïng cuûa khoái taâm :
n
i
i
c i
c n
i
i
dr
m
dr dt
V
dt
m
= =


,
n n
i i i
he vati i
n n n
i i i
i i i
m v p
P
m m m
= = =
 
  
,
n
he vati cc
i
p m v P
= = 

1
c i i
i
r m r
m
= 
1v
2v
3v
1m
2m
3m
11m v
22m v
3 3m v
cP p=
Đặc điểm khối tâm
Gia tốc khối tâm
1 1 1
n n n
i
i i i i
c i i i
c n n n
i i i
i i i
dv
m m a F
dv dt
a
dt
m m m
= = == = = =
  
  
1
n
i
i
M m
=
=
cF M a=
1
n
i
i
F F
=
=
Ñaëc tröng ñoäng löïc hoïc cuûa vaät raén chuyeån ñoäng tònh
tieán xem nhö ñoàng nhaát vôùi ñoäng löïc hoïc cuûa khoái taâm,
töùc cuûa moät chaát ñieåm maø ta ñaõ quen bieát.→ Chæ caàn
xeùt chuyeån ñoäng quay cuûa vaät raén.
Chuyển động quay 
quanh trục của vật rắn
Trong cïng kho¶ng thêi gian
mäi ®iÓm cïng quay ®i gãc 
Mäi ®iÓm cã cïng vËn tèc gãc
=d/dt & gia tèc gãc
=d/dt=d2/dt2
Vaän toác daøi
i
i i
v R v R
a R
 

→ → →
= =
= Gia tốc tiếp tuyến
PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN 
QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH
M
O
Hình 4.7: Lực tác dụng lên
vật rắn quay quanh trục
//F
tF
F
⊥F
nF
ω
 Xét vật rắn quay quanh một trục
cố định dưới tác dụng của ngoại lực
Ta có thể phân tích thành 
các thành phần khác nhau:
F
⊥+= FFF //
nt FFF
+=⊥Mà:
Vậy: nt// FFFF
++=
PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH
4.2.1. Mômen động lượng của
vật rắn quay
➢ Mômen động lượng
của chất điểm thứ i đối
với trục quay là:
iii pxrL
=
Hình 4.8 
mi


M
iL
iF
ip
▪ hướng theo
phương tiếp tuyến.
▪ hướng theo phương
bán kính.
iii vmp
=
ir
hướng theo trục quay
iL
ir
4.2. Phöông trình cô baûn cuûa vaät raén quay :
il
i
ir iv
im
. ii iv r = 
. .i i i iiiL r p r m v = = 
,i i ir v p⊥
( ) 2i i i i i i i i i i iL m rv m r r m r = = =
2 2
i i i i i iL m r m r = =
i =
+Vaät raén ñang quay quanh truïc .
Xeùt chaát ñieåm im ivcoù vaän toác
Xaùc ñònh veùc tô i
+ Momen ñoäng löôïng cuûa chaát ñieåm,theo 
ñònh nghóa :
Caùc chaát ñieåm coù cuøng vaän toác goùc :
2 2
i i i i i iL m r m r = =
2
i i i
i i
L L m r= = 
2
i iI m r=
Momen ñoäng löôïng cuûa vaät raén quay ñoái vôùi truïc :
L I L I = → =
( ) ( ); tt L L = =
d L d
I I
dt dt

= =
d L
M
dt
=
M I=
Ñaët 
: Momen quaùn tính cuûa vaät ñoái vôùi truïc 
Tröôøng hôïp toång quaùt :
Ñaët 
Phöông trình cô baûn cuûa chuyeån ñoäng quay vaät raén .
4.3.1. Công thức
MÔMEN QUÁN TÍNH 
CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN
➢ Mômen quán tính với một trục quay xác
định cho vật rắn gồm các chất điểm phân bố
rời rạc:

=
=
n
1i
2
iiRmI
➢ Khi vật rắn gồm các chất điểm phân bố liên tục: 
dmRI
m
2
 =
4.3.1.1.Mômen quán tính I của một
thanh đồng chất đối với trục quay vuông
góc với thanh tại trung điểm
Bài toán
Cho một thanh có chiều dài ℓ, khối lượng
m, tiết diện S. Tìm mômen quán tính I đối
với trục quay là trung trực của thanh.
Giả sử thanh nằm dọc theo trục Ox.
MÔMEN QUÁN TÍNH 
CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN
Hình 4.10: Mômen
quán tính của thanh
o
x x+ dx
dm
Chọn dm như hình vẽ. Gọi là khối lượng riêng của
thanh thì dm = Sdx.
dmxI
m
2
 =
3
2
2
2 ρSl
12
1
dxρSxI == 
−


Với Sl = m là khối lượng thanh.
Vậy: = 2
1
I ml
12
Với R = x, ta có:
4.3.1.2 Mômen quán tính I của vòng tròn
đối với trục quay là trục của vòng tròn
Bài toán
Cho vòng tròn tâm O bán kính R, khối
lượng m. Tìm mômen quán tính của vòng
tròn đối với trục quay là trục của vòng
tròn.
Hình 4.11: Mômen quán
tính của vòng tròn
O R
dm
Chia vòng tròn ra làm nhiều
phần nhỏ có khối lượng dm, vì ở
trên vòng tròn nên dm cách tâm O
một khoảng bằng bán kính R. Vậy
ta có:
= 2I mR
dmRI
m
2
 =
2
m
2 mRdmRI == 
Vậy:
4.3.1.2 Mômen quán tính I của vòng tròn
đối với trục quay là trục của vòng tròn
4.3.1.3 Mômen quán tính I của một đĩa
tròn đối với trục quay là trục của đĩa
Bài toán
Cho một đĩa tròn mỏng tâm O bán kính R,
khối lượng m. Tìm mômen quán tính của
đĩa tròn đối với trục quay là trục của đĩa.
Hình 4.13: Mômen quán
tính của đĩa tròn
R
r
dr
Chia đĩa thành nhiều vành
tròn tương đương những vòng
tròn có bán kính trong r, bán kính
ngoài r + dr, diện tích của vành
là dS = 2 rdr và khối lượng của
nó là dm = dS, với  là khối
lượng trên đơn vị diện tích.
4.3.1.3 Mômen quán tính I của một đĩa
tròn đối với trục quay là trục của đĩa
dmrdI 2=
rdr.2dSdm == = I  R04
R
0
3 r
2
drr2 
 
= 
Với m =  R2 nên: =
2
mR
I
2
4.3.1.4 Mômen quán tính của trụ rỗng, 
trụ đặc
Trụ rỗng
Chia trụ rỗng thành n vòng tròn, mỗi vòng
có mômen quán tính
2
i
2
iii RmRmI ==
2
n
1i
i
22
i
n
11
i
n
1i
i mRmRRmII ==== 
===
Mômen quán tính của trụ rỗng:
2mRI =Vậy:
Trụ đặc
Chia hình trụ đặc thành n đĩa
tròn, mỗi đĩa có mômen quán
tính:
2
i
2
iii Rm
2
1
Rm
2
1
I ==
Mômen quán tính của hình trụ
đặc:

===
===
n
1i
i
22
i
n
11
n
1i
i mR
2
1
Rm
2
1
II
Vậy:
2mR
2
1
I =
dzr
z
O
Hình 4.13 
H
r
r’
4.3.1.5 Mômen quán tính của các vật
tròn xoay
Bài toán
Tính mômen quán tính của vật tròn xoay đối
với trục Oz khi biết sự phụ thuộc hàm r(z) và
mật độ .
Khái niệm: Vật tròn xoay là những vật mà bề
mặt của chúng được tạo thành bởi sự quay của
một đường cong phẳng quanh một trục nằm
trong mặt phẳng chứa đường cong đó.
➢ Ta chia vật thành những đĩa mỏng có chiều cao dz.
Mômen quán tính của mỗi đĩa được tính
dzπρr
2
1
dmr
2
1
dI 42 ==
Với dm = r 2dz là khối lượng của đĩa.
➢ Vậy mômen quán tính của hình tròn xoay:
= = 
H
4
vtx 0
1
I dI πρ r dz
2
Tính mômen quán tính của hình nón và hình cầu.
4.3.1.5 Mômen quán tính của các vật
tròn xoay
Hình nón
O
H A
z
z
Hình 4.14
R
r
➢ Đối với hình nón thì hàm r(z) có dạng:
z
H
R
r =
5
H
H
R
πρ
2
1
dzz
H
R
πρ
2
1
I
54H
0
4
4
= 
= 
➢ Khối lượng hình nón: m = R2H 
➢ Vậy: =
23
I mR
10
Hình cầu
O
z
z
Hình 4.15
r
R
Từ hình vẽ ta có: r2 = R2 – z2
( )
5555
R
R
222
R
R
4
πρR
15
8
R
5
1
R
3
2
Rπρ
dzzRπρdzrπρ
2
1
I
= 
+−=
−== 
−−
Với khối lượng quả cầu:
3πR
3
4
ρm =
Vậy:
= 2
2
I mR
5
Tóm tắt Mômen quán tính của một số vật
4.3.2. Định lý Steiner – Huyghens cho 
mômen quán tính I đối với một trục bất 
kỳ không qua khối tâm
Định lý Steiner – Huyghens
2
C maII +=
Với : trục quay bất kỳ không qua khối tâm
 c: trục quay qua khối tâm của vật và song song với 
I : mômen quán tính của vật rắn đối với trục 
Ic: mômen quán tính của vật rắn đối với trục ∆c
m : khối lượng của vật rắn
a : khoảng cách giữa hai trục và ∆c
CHỨNG MINH
➢ Xét tiết diện S của vật rắn vuông góc với hai trục và
 C.
➢ Khoảng cách từ khối lượng vi phân dm đến các trục đi
qua C và A lần lượt là và .r
r 
a
 C
Hình 4.16 
AC
O
C A
Hình 4.17: Tiết diện S của vật rắn 
vuông góc với hai trục và C
dm
B
➢ Vậy
( ) += = dmra2-dmadmrdmrI
222 
Do đó: ( ) ra2-arr 222
+= 
a-rr
= Từ hình vẽ ta có:
Mômen quán tính 
IC của vật đối với 
trục đi qua khối 
tâm C
= ma2
Mômen quán tính 
của vật đối với 
trục đi qua A
( )Crma2
=
0rC =
là bán kính véctơ xác định vị trí của khối
tâm C, mà gốc véctơ này chính là C, nên
Cr
Do đó: 2C maII +=
❖ Ví dụ: Tính mômen quán tính của thanh với
trục quay không qua khối tâm.
2
C maII +=
222
ml
3
1
ml
4
1
ml
12
1
I =+=
1I 2I
Heä coâ laäp goàm 2 “vaät quay” :
1 2
1 21 2L I I const = + =
0 0L =
;
Thôøi ñieåm ñaàu tieân heä ñöùng yeân :
0 1 21 2 0L L I I = = + =
1 21 2I I = −
1
2 1
2
I
I
 = −
Baûo toøan momen ñoäng löôïng :
Thí nghieäm treân gheá Giucopxki:
;
Ngöôøi cho baùnh xe quay: 1
Gheá quay ngöôïc chieàu vôùi vaän toác goùc 2
0M L I const= → = =
Vuõ coâng vaø ñònh luaät baûo toøan
momen ñoäng löôïng
Ngoïai löïc taùc duïng leân vuõ coâng laø
troïng löïc.
Troïng löïc song song vôùi truïc quay . 
+ Vuõ coâng dang thaúng tay :
iR I   
Ví duï
Moät ñóa maøi coù momen quaùn tính 1,2 x10
-3
kg.m
2
.ñöôïc gaén vaøo moät caùi
khoan ñieän, khoan naøy cho noù moät momen quay 16 Nm. Tìm:
a/ Vaän toác goùc vaø
b/ momen ñoäng löôïng cuûa ñóa sau khi ñoäng cô khôûi ñoäng 33 ms.
Phöông trình cô baûn cuûa chuyeån ñoäng quay :
4 2
3
16
1,33.10 /
1,2.10
M
rad s
I

−
= = =
0t t   = + =
41,33.10 t =
333.10t s−=
4 31,33.10 .33.10 440 /rad s −= =
( )3 21,2.10 .440 0,528 /L I kgm s −= = =
Vaän toác goùc: Quay töø nghæ :
0 0 =
a/ Vaän toác goùc cuûa ñóa luùc 
b/ Momen ñoäng löôïng luùc ñoù laø :
Coâng cuûa momen löïc vaø ñoäng naêng cuûa vaät raén quay 
r
ds
d
tF
. . .t tdA F ds r F d= =
ds rd=
. tM r F=
tr F⊥
.dA M d=
2
1
.A M d


= 
.
dA d
P M M
dt dt

= = =
M 
.P M =
0
lim
t
A dA
P
t dt →
= =
.
dA d s
P F F v
dt dt
= = =
Xeùt vaät raén quay quanh truïc coá ñònh ,löïc 
tieáp tuyeán naèm trong maët phaúng quyõ ñaïo.
Coâng vi phaân cuûa löïc tieáp tuyeán laø:
Vôùi chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm :
tF
(4.8)
Ñoäng naêng cuûa vaät quay :
.dA M d=
. .
d d
dA I d I d Id I d
dt dt
 
     = = = =
M I=
d
dt

 =
d
dt

 =
2
2
I
dA d
 
= 
I const=
2
1
2 2 2
2 1
0
2 2 2
A
I II
A dA d


  
= = = − 
2
2
dq
I
K

=
2 21 1
2 2
tK mv I= +
Neáu :
dA W= 
Neáu vöøa quay vöøa tònh tieán → Ñoäng naêng toøan phaàn :
Ví duï
Moät con giaùn khoái löôïng m boø ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà theo meùp moät caùi
khay nhieàu oâ (moät ñóa troøn laép treân moät truïc thaúng ñöùng), baùn kính R,
momen quaùn tính I, vôùi oå truïc khoâng ma saùt.Vaän toác cuûa giaùn ñoái vôùi traùi
ñaát laø v, coøn khay quay theo chieàu kim ñoàng hoà vôùi vaän toác goùc 
0
, con
giaùn tìm ñöôïc moät maãu vuïn baùnh mì ôû meùp khay vaø taát nhieân, noù döøng laïi.
a/ Sau khi giaùn döøng laïi,vaän toác caùi khay laø bao nhieâu ?
b/ Cô naêng coù ñöôïc baûo toaøn khoâng ?
Ngoaïi löïc ôû ñaây chæ laø troïng löïc theo phöông truïc 
quay.Theo phöông vuoâng goùc vôùi truïc quay khoâng coù 
ngoaïi löïc→Momen quay M = 0 L (heä ) = const
- Vaän toác giaùn laø v → Vaän toác goùc cuûa giaùn ñ/v traùi ñaát laø:
g
v
R
 =
2
0 0( )g g
v
L I I mR I
R
  = + − = −
0mRv I= −
2
gI mR=
- Kh/l giaùn laø m,caùch truïc ñóa laø R →Momen
quaùn tính cuûa giaùn ñ/v truïc quay laø :
- Momen ñoäng löôïng cuûa heä khi giaùn ñang boø laø :
(1)
(1) (2)
0
0
v
a/
- Momen ñoäng löôïng cuûa heä khi giaùn döøng laïi :
( ) ( )' 2gL I I I mR = + = +
( )' 2 0L I mR L mRv I = + = = −
'L L=-Baûo toaøn momen ñoäng löôïng :
0
2
mRv I
I mR


−
=
+
(3)
(4)
??
Neáu  cuøng daáu vôùi 
0
thì heä quay cuøng chieàu 
ban ñaàu cuûa ñóa (theo chieàu kim ñoàng hoà ).
b / Cô naêng heä coù baûo toaøn khoâng ? : Xeùt K = 0 hay 0 ?
1 ?g dK k K= + =
2
0
1 1
2 2
mv I= +
2 ?K = ( ) 2
1
2
gI I = +
( )2 02
1
2
mRv I
I mR
I mR
− 
= + + ( )
( )
2
0
2 1 2
0
2
mI v R
K K K
I mR
+
 = − = −
+
2 1K K
Ñoäng naêng heä khi giaùn ñang boø :
Khi giaùn döøng laïi :
Cô naêng (ñoäng naêng ) heä bò giaûm .
U = 0

=?
CAÙC HEÄ THÖÙC TÖÔNG ÑÖÔNG GIÖÕA CHUYEÅN ÑOÄNG TÒNH
VAØ CHUYEÅN ÑOÄNG QUAY
Chuyeån ñoäng tònh tieán Chuyeån ñoäng quay
m 2
vat i iI m r=
v a  
p mv= .l r p = 
iP p= iL l=
F ma= M I=
d P Fdt= d L Mdt=
.M r F = F
P const= L const=
F const= M const=
m
v
p mv=
v

l
im