Bài giảng Trường điện tử - Bài 9: Trường điện từ biến thiên

1 Tran Quang Viet – FEEE – HCMUT Electromagnetics Field
Trường điện từ biến thiên
Lecture 9
EE 2003: Trường điện từ
L.O.3.1 – Thiết lập hệ phương trình D’Alembert cho trường 
điện từ biến thiên từ hệ phương trình Maxwell. 
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Mô hình toán
Trường điện từ biến thiên là trường điện từ có các đại lượng
đặc trưng thay đổi theo không gian và thời gian, tuân thủ
theo các phương trình sau:
D
rotH = J + 
t


 
 
B
rotE = - 
t


 
 
VdivD = 
 
divB = 0
 
VdivJ = - 
t
 

1t 2t SH - H = J
1t 2tE - E = 0
1n 2n sD - D = 
1n 2nB - B = 0
s
1n 2nJ - J = - 
t
 

D = E 
  
B = H 
  
J = E 
  
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
2EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Định nghĩa thế vectơ & thế vô hướng
 Định nghĩa thế vectơ: 
divB = 0
 
div(rotA) = 0
 B = rotA
  
 Định nghĩa thế vô hướng: 
B
rotE = - 
t


 
 A
rot(E + ) = 0
t


 
 
rot(grad ) = 0 


 
 A
E = grad
t
 Tính đa trị của các hàm thế:
( ) , ) 
   
 A, (B E ( , , ) 


   
f
A+gradf ) (B E
t
 Điều kiện phụ Lorentz: divA = - 
t



 
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Phương trình d’Alembert cho thế vectơ
D
rotH = J
t


 
 
E
rotB = J
t
 


 
 
2
t
  
 
 
 
  
2
A
grad(divA ) A = J
t
2
 


 
 
2
A
 A = J
t
2
2
1
v



 
 
2
A
A = J
t
1
v

Áp dụng pt Maxwell (1): 
Đặt:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
3EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Phương trình d’Alembert cho thế vô hướng
divD = v 
 
divE = v

 
v 



 
A
div( grad ) =
t
divA= 
t
v 



 2 
 



v
2
 = 
t
2
2
1
v



v
2
 = 
t
1
v

Áp dụng pt Maxwell (3): 
Đặt:
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Nghiệm phương trình d’Alembert – thế chậm
(t R/v)dV1
(t)=
4 R
V
V
 

 
V
J(t R/v)dV
A(t)=
4 R
Ý nghĩa của thế chậm:
 Trường điện từ biến thiên có khả năng lan truyền trong
không gian dưới dạng sóng điện từ
 Công cụ toán quan trọng để tính trường điện từ bức xạ
bởi anten 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
4EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Trường điện từ biến thiên điều hòa
 Quy luật biến thiên theo thời gian của trường phụ thuộc vào
quy luật biến thiên của nguồn (mật độ điện tích và mật độ
dòng điện). Trong kỹ thuật ta thường gặp tín hiệu nguồn biến
thiên điều hòa, mặt khác một tín hiệu bất kỳ đều có thể biểu 
diễn thành tổng các tín hiệu điều hòa dùng chuỗi Fourier (tín
hiệu tuần hoàn) hoặc tích phân Fourier (tín hiệu không tuần
hoàn) khảo sát trường điều hoàn là cơ bản và thực tế.
 Một vectơ trường biến thiên điều hòa sẽ có dạng:
) ) )x y zxm x ym y zm zX=X cos( t+ a +X cos( t+ a X cos( t+ a    
 
xm xm ym ym zm zmX =X (x,y,z);X =X (x,y,z);X =X (x,y,z)
x x y y z z(x,y,z); (x,y,z); (x,y,z)     
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Biểu diện phức trường biến thiên điều hòa
)) )yx zj( t+j( t+ j( t+
x y zxm ym zmX=Re{X e }a +Re{X e }a Re{X e }a
   
 
)) )yx zj( t+j( t+ j( t+
cx y zxm ym zmX=Re{X e a +X e a +X e a }=Re{X }
 
 
  
)) )yx zj( t+j( t+ j( t+
c x y zxm ym zmX =X e a +X e a +X e a
 
 
 
j tXe 
 
yx z
jj j
x y zxm ym zmX=X e a +X e a +X e a
 
 
X
 
cX
  
X
  
Vectơ vật lý 
(miền thời gian)
Vectơ biên độ 
phức tức thời
Vectơ biên độ phức 
(miền phức – tần số)
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
5EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Ví dụ:
2 2
25 ) 5 ) z
   
 
x x
yE=3e cos( t x a 2e cos( t x a
2 25 ) 5 ) z  
 
x x
yE=3e cos( t x a 2e sin( t x a
6 ) 6 ) z  
 
xH 2sin( t y a +3cos( t y a
2
5 )2 5 ) 2
zE
 
 
j( t xx j( t x x
c y=3e e a 2e e a
22 5 2 5 ]zE
 
 
jx j x x j x j t
c y=[3e e a 2e e e a e
2 5]zE
 
x j x
y=[3a +j2a e e
6]zH
 
j y
x=[j2a +3a e
2
6 )6 6 )]c z zH
  
 
j( t y+j y j t j( t y
x x=[j2a +3a e e 2e a +3e a
2Re{ 6 ) 6 )c zH H
  
  
x}=2cos( t y+ a +3cos( t y a
Biểu diện phức trường biến thiên điều hòa
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Hệ phương trình Maxwell dạng phức
D
rotH J
t


 
 
E
rotH E
t
 


 
  
E
rot H E
t
C
C C 
 

 
  
)j t j t j trot(H E j Ee e e   
   
 ( )rot H j E 
  
Tương tự, ta có hệ phương trình Maxwell dạng phức:
( )rot H j E 
  
rot E j H
  
/divE v 
 
0divH
 
(1)
(2)
(3)
(4)
~
rot H j E
  
rot E j H
  
/divE v 
 
0divH
 
(1)
(2)
(3)
(4)
Hoặc
~
( / )j    : độ thẩm điện phức
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
6EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Vectơ Poynting trung bình – Công suất ĐT trung bình
Re{ } Re{ }c cP(t)=E× H E H 
      
*1
2Re{ } Re{ } ( )
j t j t j tE E e E e E e  
    
c
*1
2Re{ } Re{ } ( )
j t j t j tH H e H e H e  
    
c
Với:
2 * * 2 * *1 1 1 1
4 4 4 4
j t j tE H e E H e E H E H 
         
P(t)= 
2 *1 1
2 2Re{ } Re{ }
j tE H e E H
     
P(t)= 
 *1
2 Re{ }E H
   
 S
  
EM<P P dS 2Wm W
(MĐCSĐT trung bình ) (CS điện từ trung bình)
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Mật độ CS tổn hao trung bình – CS tổn hao trung bình
( ) Re{ }Re{ } Re{ }Re{ }c c ccJ E E E
      
dp t JE
*1
2Re{ } Re{ } ( )
j t j t j tE E e Ee E e  
    
c
* 2
4( ) ( )
j t j tE e E e 
  
dp t
2 2 2
2 2( ) Re{( ) } | |
j tE e E 
  
dp t 
2 2 * 2 2 2
4 4 2( ) ( ) ( ) | |
j t j tE e E e E   
   
dp t
 21
2 | |E
 
d<p 3
W
m
21
2 | |V
E
 
d<P dV W
(MĐCSTH trung bình ) (CS tổn hao trung bình)
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
7EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Ví dụ
Trong môi trường có =0, tồn tại trường điện có vectơ 
cường độ trường điện:
810 cos(2 .10 3 ) ( / )E z xe t z a V m
 
Hãy xác định vectơ cường độ trường từ gắn với trường 
điện trên? Tính CSĐT trung bình qua hình vuông a=2m 
trong măt phẳng z=1cm
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Ví dụ
810 cos(2 .10 3 )z xe t z a
 
E 310 z j z xx xE e e a a
 
E
Áp dụng hệ pt Maxwell dạng phức ta có:
0j j 
   
rot E H H 2
0
1
80
j
j 
   
H rot E rot E
2 2
3
80 80
( 3 )
8
0 0
x y z
xj j z j z
y yx y z
x
a a a
j
a e e a
z
   
  
 




 
E
H 
E 
6 30.25
j z j z
ye e e a
 
H
8
60.25 cos(2 .10 3 )
z
ye t z a
 
H
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
8EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Ví dụ
310 z j z xe e a
 
E
Áp dụng:
6 3..... 0.25
j z j z
ye e e a
 
H
*1
2 Re{ } E H 
    
62 2
61.25 Re{ } 1.25 cos( )
jz z
z ze e a e a
 
2
23.4 ( )z Wz
m
e a 
 
x
y z
 
0
a
a
z
2
0 0
2 2 2
3.4
3.4 13.6 ( )
a a
z
EM z
z z
e dxdy
a e e W
 <P
22 10
1 13.6 12.77( )EM z cm e W
 <P
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt