Bài giảng Trường điện tử - Bài 4: Trường điện tĩnh (Phần 1)

1 Tran Quang Viet – FEEE – HCMUT Electromagnetics Field
Trường điện tĩnh (1)
Lecture 4
EE 2003: Trường điện từ
L.O.2.1 – Dùng luật Gauss tính trường điện tĩnh tạo ra do 
các phân bố điện tích đx.
L.O.2.2 – Thiết lập phương trình Poisson-Laplace và điều
kiện biên, sau đó áp dụng tính thế và trường điện tĩnh.
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Trường điện tĩnh & mô hình toán
Trường điện tĩnh là trường điện không thay đổi theo thời
gian và không có mặt của dòng điện, thỏa mãn các phương
trình sau:
Vậy trường điện tĩnh được tạo ra bởi các vật mang điện
tích không thay đổi theo thời gian
r 0D εE ε E 
Phương trình liên hệ: 
v
rot E 0 (II)
divD ρ (III)
Các phương trình Maxwell:
1t 2t
1n 2n S
E E 0
D D ρ
Các điều kiện biên:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
2EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Tính chất thế của trường điện tĩnh
A
B
a
b
Xét phương trình (II) của hệ pt Maxwell
rot E 0
Lấy tích phân 2 phương trình trên ta có:
rot EdS 0
AaBbAS
Edl 0
AaBbA
  Edl EdlAaB AbB
Công của trường điện tĩnh dịch chuyển 1 đv điện tích từ A
tới B không phụ thuộc vào đường đi trường thế.
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Thế điện vô hướng
Định nghĩa thế điện:
rot E 0 (II)
rot(grad ) 0 (gtvt) E grad 
Dấu “-” là quy ước, là thế điện (V)
Ý nghĩa:
Trường điện vuông góc với
các mặt đẳng thế - mặt
 =const
Trường điện hướng theo
chiều giảm của thế điện Trường điện
Mặt đẳng thế
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
3EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Tính thế điện theo trường điện
Ta có (xem lại toán tử Gradient):
d =grad dl 
E= grad 
d = Edl 
Nhận xét: Thế điện có tính chất đa trị chọn gốc thế (Ref)
U = = d = Edl
A B
AB A B
B A
= Edl K 
+ hệ hữu hạn = 0
+ hệ kỹ thuật đất = 0
Hiệu thế điện giữa 2 điểm:
Thế điện tại 1 điểm:
Ref
ref= = EdlA A
A
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Dùng mặt Gauss tính trường & thế
Áp dụng phương trình Maxwell (III):
D (III)Vdiv 
 *DdS
S
q
  (Gauss Law)
--Phù hợp cho các mô hình phân bố điện tích đối xứng--
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
4EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Dùng mặt Gauss tính trường & thế của điện tích điểm
E
q
aR
R
(Mặt đẳng thế)
Do đối xứng ta có: (r) 
Áp dụng: rE grad a
r


 
(r) rE E a 
 
(r) rD E D a 
  
--Mặt Gauss--
Chọn mặt Gauss như hình vẽ ta có:
S
DdS q 
  

2
2
0 0
(r) r sinD d d q
   2(r) 4
q
D
r 
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Dùng mặt Gauss tính trường & thế của điện tích điểm
E
q
aR
R
(Mặt đẳng thế)
Suy ra:
Do hệ hữu hạn nên gốc thế tại 
24
r
D q
E a
r 
 
 
--Mặt Gauss--
24 4r r
q q
Edl dr
r r
  
  
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
5EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Thế điện của hệ điện tích điểm
Do hệ tuyến tính thỏa mãn tính chất xếp chồng tính
thế của hệ điện tích dùng thế của điện tích điểm
P
N
k
P
k=1
q1
φ =
4πε RK

1R
2R
RN
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Thế điện của hệ điện tích điểm
Do hệ tuyến tính thỏa mãn tính chất xếp chồng tính
thế của hệ điện tích dùng thế của điện tích điểm
Line charge Surface charge Volume charge
Sdq=ρ dS
P
P
P
R
 dq=ρ d  V
dq=ρ dV
 R
RS
L
V
P L,S,V
dq
φ =
4πεR 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
6EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Dùng mặt Gauss tính trường & thế của trục mang điện
Do đối xứng: = (r)
 
z
(Mặt đẳng thế)
--Mặt Gauss--
Áp dụng: rE grad a
r


 
(r) rE E a 
 
(r) rD E D a 
  
Chọn mặt Gauss như hình vẽ ta có:
S
DdS L 
  

2
0 0
(r) r
L
D d dz L
  (r) 2
D
r
 
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Dùng mặt Gauss tính trường & thế của trục mang điện
Suy ra:
Do hệ vô hạn, giả sử chọn gốc thế
tại mặt trụ r=r0
2
r
D
E a
r
 
 
 
 
0 0 0ln
2 2
r r
r r
r
Edl dr
r r
  
  
  
z
(Mặt đẳng thế)
--Mặt Gauss--
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
7EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Thế điện của 2 trục mang điện trái dấu
P
  
Gốc thế
--mặt trung trực--
r 
r 
0r0
r
0 0ln ln
2 2
r r
r r
   
   ln
2
r
r
 
 
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Dùng mặt Gauss tính trường & thế của mặt mang điện
Do đối xứng: = (y)
Áp dụng: yE grad a
y


 
( ) yE E y a 
 
( ) yD E D y a 
  
Chọn mặt Gauss như hình vẽ ta có:
SS
DdS A 
  

(y const)
2 ( ) S
A
D y dxdz A 
 ( ) 2
SD y
s ρ 
E
 
y
x
z
E
 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
8EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Dùng mặt Gauss tính trường & thế của mặt mang điện
Suy ra:
Hệ vô hạn, giả sử chọn gốc thế tại
y=0. Ta có:
s ρ 
E
 
y
x
z
E
 
s
y
s
y
ρ
a (y>0)
2ε
E=
ρ
a (y<0)
2ε
 
0
0
0
, y>0
2 2
, y<0
2 2
S S
y
y
S S
y
dy y
Edl
dy y
  
 
  
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Phương trình Poisson - Laplace
Áp dụng phương trình Maxwell (III):
D (III)Vdiv 
E grad 
D E
 ( grad ) Vdiv  
Nếu môi trường đồng nhất =const:
/V  (Phương trình Poisson)
Tại điểm tính trường V=0:
0 (Phương trình Laplce)
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
9EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Phương trình Poisson - Laplace
Hình chiếu của trường lên phương pháp tuyến và tiếp tuyến
n nnE Ea grad a
n


 
t ttE Ea grad a



 
Điều kiện biên liên tục của :
1 2 
Điều kiện biên pháp tuyến:
Điều kiện biên tiếp tuyến:
1 2
1 2 S
n n
  
 
 
1 2 0
 
 
 
(D1n-D2n= S)
(E1t-E2t=0)
(En & Et phải hữu hạn)
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN
x
Do đối xứng: N= N(x), P= P(x)
Áp dụng phương trình Poisson ta có:
VN D
N
N q 
 
VP A
P
N q 
 
D n A pN W N W 
S const  
2
2
D
N N N
N q
x A x B 

2
2
A
P P P
N q
x A x B 

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
10
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN
x
D n A pN W N W 
S const  
0 biV 
p(x W ) 0S (x W ) 0S n 
Áp dụng các điều kiện biên ta có:
p(x W ) 0
P
P
S
x Wx
 


(x W ) 0
n
N
S n
x Wx
 


0D n N
N q
W A

0A P P
N q
W A

EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN
x
D n A pN W N W 
S const  
0 biV 
p(x W ) 0S (x W ) 0S n 
Áp dụng các điều kiện biên ta có:
D
N n
N q
A W

A
P P
N q
A W

 2
2
A A
P P P
N q N q
x W x B 
 
2
2
D D
N n N
N q N q
x W x B 
 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
11
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN
x
D n A pN W N W 
S const  
0 biV 
p(x W ) 0S (x W ) 0S n 
Áp dụng các điều kiện biên ta có:
2(x ) 0
2
A A
P P P P P P
N q N q
W W WW B 
 
2(x )
2
D D
N n n n n N bi
N q N q
W W WW B V 
 
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN
x
D n A pN W N W 
S const  
0 biV 
p(x W ) 0S (x W ) 0S n 
Áp dụng các điều kiện biên ta có:
2
2
A
P P
N q
B W

2
2
D
N bi n
N q
B V W

2( )
2
A
P P
N q
x W 

2( )
2
D
N n bi
N q
x W V 

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
12
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN
x
D n A pN W N W 
S const  
0 biV 
p(x W ) 0S (x W ) 0S n 
Áp dụng các điều kiện biên ta có:
2 2
2 2
A D
P n bi
N q N q
W W V
 
 (x 0) (x 0)P N 
2 2 2 /A P D n biN W N W V q 
2 2 ( )( ) A D biP n
A D
N N V
W W
qN N
 
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Áp dụng phương trình Poisson cho tiếp xúc PN
x
D n A pN W N W 
S const  
0 biV 
p(x W ) 0S (x W ) 0S n 
Áp dụng các điều kiện biên ta có:
2 ( )
W ( ) S A D biP n
A D
N N V
W W
qN N
 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt