Bài giảng Trường điện tử - Bài 2: Giải tích vectơ (Tiếp theo)

1 Tran Quang Viet – FEEE – HCMUT Electromagnetics Field
Giải tích vectơ (cont)
Lecture 2
EE 2003: Trường điện từ
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Toán tử gradient
1 2 3( , , )u u u 
1 2 3( , , )P u u u 1 1 2 2 3 3( , , )Q u du u du u du 
1 2 3
1 2 3
d du du du
u u u
  
 
  
Xét vô hướng và hai điểm lân cận
và . Ta có:
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 1 1
d a a a d
h u h u h u
   
 
   
  
 
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 1 1
grad a a a
h u h u h u
  
   
  
 Toán tử gradient: (VH VT)
.d grad d 
 
 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
2EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Toán tử gradient
na
d
 

0  0 d  
.d a 

 Ý nghĩa của toán tử gradient:
P
Q
1
Q2
Q3
Q4 n
a
4d
 
3d
 

2d
 

1d
 

0 
hướng của grad tại P
Độ lớn của grad tại P bằng tốc độ
tăng cực đại của  tại P
ngrad a
n

   

. .grad a a

   

 

ndn dna 
 
2Q
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Toán tử Divergence
 Định nghĩa toán tử Divergence:
0
lim S
V
AdS
divA A
V
  
  
  
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
3EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Toán tử Divergence
 Ý nghĩa của toán tử Divergence: mật độ nguồn
Không có MĐ nguồn Có MĐ nguồn dương Có MĐ nguồn âm
0divA 
 
0divA 
 
0divA 
 
V 0 V 0 
V 0 
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Toán tử Divergence
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
4EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Toán tử Divergence
 Biểu thức tính toán tử Divergence:
 2 3 1 1 3 2 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 h h A h h A h h A
divA A
h h h u u u
   
  
   
  
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Toán tử Divergence
 Định lý Divergence: trường liên tục trong thể tích V
S V
AdS divAdV 
   

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
5EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Toán tử Rotation (Curl)
 Định nghĩa toán tử rotation:
0
lim n
S
Max
Ad
rot A A a
S
   
 
  
  
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Toán tử Rotation (Curl)
 Ý nghĩa của toán tử rotation: mật độ nguồn của trường có
tính chất xoáy
0rot A 
 
0;rot A IN 
 
0;rot A OUT 
 
S 0 S 0 S 0 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
6EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Toán tử Rotation (Curl)
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Toán tử Rotation (Curl)
 Biểu thức tính toán tử rotation:
1 2 31 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1
h a h a h a
rot A A
h h h u u u
h A h A h A
  
  
  
  
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
7EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Toán tử Rotation (Curl)
 Định lý Stokes: trường phải liên tục trên S
C S
Ad rotAdS 
    

EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Toán tử Laplace
 Tác dụng lên vô hướng:
2 ( )div grad     
2 2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 h h h h h h
h h h u h u u h u u h u
      
     
      
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
8EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Toán tử Laplace
 Tác dụng lên vectơ:
2 ( ) ( )A A grad divA rot rotA  
    
EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
2 kết hợp toán tử bằng 0
rot(grad )=0
 
div(rotA)=0
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
9EE 2015 : Signals & Systems  Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – F – Electroma etics Field
Định lý Helmholtz
Trong không gian liên tục, một trường vectơ sẽ hoàn toàn
xác định (duy nhất) khi có rot và div là xác định. Nếu không
gian không liên tục (biên) thì cần thêm các ràng buộc trên
biên của vectơ trường trong 2 miền với nhau đó là điều kiện
biên
Như vậy mô hình toán của trường điện từ cần:
2 phương trình div và rot của trường điện + 2 phương
trình div và rot của trường từ 4 phương trình Maxwell
trong không gian liên tục (gọi là hệ phương trình Maxwell)
Các điều kiên biên trên mặt phân cách giữa 2 môi trường
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt